精品解析：湖南省邵东市第四中学2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题

2025年下学期期末考试试卷 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量的相反向量为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 135° 3. 已知两圆和，那么这两个圆的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 4. 设是等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 55 5. “”是“函数在区间上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 7. 若双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于椭圆，下列结论正确的有（ ） A. 长轴长4 B. 短轴长为4 C. 焦距为4 D. 离心率为 10. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 11. 已知空间向量，，则（ ） A. B. 在上投影向量为 C. 若向量，则点E在平面ABC内 D. 向量是与平行的一个单位向量 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线C：上与焦点F的距离等于4的点的坐标为________. 13 直线过定点________. 14. 若直线与曲线相切，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和圆 . （1）直线交圆C于A，B两点，求弦长； （2）求过点的圆的切线方程. 16. 已知各项均为正数的数列前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 17. 如图，在长方体中，E是的中点，且． （1）求点到平面ACE的距离； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知函数. （1）若，，求函数的单调区间及极值； （2）若，，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围. 19. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合． （1）求椭圆方程； （2）求证：直线，的斜率之和为定值； （3）面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末考试试卷 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量的相反向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反向量的定义即得. 【详解】向量的相反向量为. 故选：A. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得. 【详解】解：直线，即，所以直线的斜率，设倾斜角为， 则，又，所以； 故选：D 3. 已知两圆和，那么这两个圆的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】C 【解析】 【详解】设的圆心为，半径为，将圆化为标准方程得，设其圆心为，半径为 ∴两圆的圆心距为 ∵ ∴，即两个圆的位置关系是外切，故选C. 4. 设是等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质计算即可． 【详解】为等差数列，，即， 故选：D. 5. “”是“函数在区间上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及充要条件的判断即可求解. 【详解】若在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，故，， 因函数在上单调递增，故，所以； 若，因，则，则函数在上单调递减.” 故“”是“函数在区间上单调递减”的充要条件. 故选：B. 6. 等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的基本量运算和等差中项概念列方程组，求得的值，再代入前n项和公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，则① 由与的等差中项为可得②， 将①代入②，可得，解得，回代入①，解得， 则. 故选：C. 7. 若双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出的值，即可写出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 8. 定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，构造函数，由条件判断在R上单调递减，由奇函数求出，将所求不等式转化为，利用单调性即可求解. 【详解】∵，∴，∴， ∴，设，则在R上单调递减， ∵为奇函数，∴，∴， ∴，不等式， 即，解得.即该不等式的解集为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于椭圆，下列结论正确的有（ ） A. 长轴长为4 B. 短轴长为4 C. 焦距为4 D. 离心率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆方程判断其焦点位置，求出的值，即可逐一判断. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，且长半轴长为，短半轴长为， 则半焦距为，离心率为. 故A错误，B，C，D均正确. 故选：BCD. 10. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据即可求出数列的通项，再根据等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可. 【详解】由， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故B正确； 因为，所以是等差数列，故A正确； 对于C，， 因为，所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，令，则，所以当时，，当时，， 故，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知空间向量，，则（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 若向量，则点E在平面ABC内 D. 向量是与平行的一个单位向量 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用空间向量数量积坐标公式计算判断A，应用投影向量公式计算判断B，利用空间向量共面的推论判断C即可，应用空间向量的关系得出平行再计算模长判断D. 【详解】对于A，因为空间向量，， 则，A错误； 对于B，在上的投影向量为，B正确； 对于C，若向量，， 可知四点共面，即点E在平面ABC内，故C正确； 对于D，设，向量， 则与平行，且 所以向量是与平行的一个单位向量，D正确； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线C：上与焦点F的距离等于4的点的坐标为________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】抛物线C：，，，焦点，准线方程为， 设抛物线上的点为，根据定义得，即， 把代入抛物线方程得， 故答案为：或. 13. 直线过定点________. 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程整理成关于方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 14. 若直线与曲线相切，则________. 【答案】e 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义写出切线方程，与已知直线方程对照，解方程组即得. 【详解】设切点为，由求导得， 则切线方程为，即， 与直线对照，可得， 解得. 故答案为：e. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和圆 . （1）直线交圆C于A，B两点，求弦长； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）与 【解析】 【分析】（1）根据圆的弦长公式计算即得； （2）根据条件分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，由圆心到直线的距离等于半径列方程即可求得切线方程. 【小问1详解】 由圆C：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 【小问2详解】 ① 当过点的直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为4， 恰等于半径，所以直线是圆的一条切线； ② 当直线斜率存在时，设切线方程为：即， 因直线与圆相切，则可得圆心到该直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为. 故所求切线有两条：与. 16. 已知各项均为正数的数列前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）证明： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由与的关系消去即可求得数列的通项； （2）利用求和公式求出，通过裂项，运用裂项相消法即可证明结论 【小问1详解】 ∵①， 当时，，∵，∴， 当时，②， 由②-①，可得， 即， ∵，∴，即是首项为3，公差的等差数列， 所以，满足此式， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得， 则， 于是， 即得证. 17. 如图，在长方体中，E是的中点，且． （1）求点到平面ACE的距离； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，再计算平面ACE的法向量结合点到面的距离公式求解即可； （2）分别计算平面的法向量，结合二面角的公式求解即可. 【小问1详解】 在长方体中，以点D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． ，，． 设平面ACE的法向量，则，令，得， 则点到平面ACE的距离． 【小问2详解】 ，． 设平面CDE的法向量，则，令，得． ， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 18. 已知函数. （1）若，，求函数的单调区间及极值； （2）若，，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是，极大值为，无极小值； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，求导判断函数的单调性，进而求出极大值，判断无极小值即可； （2）依题求出的值，即得函数解析式，由不等式参变分离可得在上恒成立，令，利用求导判断其单调性求出其最小值，即得参数范围. 【小问1详解】 当，时，，函数的定义域为， 所以，令，得， 当时，，在上是增函数； 当时，，在上是减函数， 所以的极大值为，无极小值， 所以函数的单调增区间是，单调减区间是， 极大值为，无极小值； 【小问2详解】 由，，得，则，故， 由，可得， 又∵，由上式可得在上恒成立， 令，可得， 令，解得， 当时，，在上是减函数； 当时，，在上是增函数， ∴，所以， 故实数b的取值范围是. 19. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线，的斜率之和为定值； （3）面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在；最大值为． 【解析】 【分析】（1）由已知解方程组即可； （2）设出直线BD方程，联立椭圆方程，利用韦达定理解决； （3）将△ABD面积表示成，再利用基本不等式求得最值. 【详解】（1）∵点是离心率为的椭圆：上的一点， ∴，解得，，，∴椭圆的方程为． （2）设，，直线、的斜率分别为、， 设直线的方程为，联立，得， ∴，解得，①，②， 则 ，（*） 将①、②式代入*式整理得， ∴直线，的斜率之和为定值． （3）， 设为点到直线：的距离，∴， ∴，当且仅当时取等号， ∵，∴当时，的面积最大，最大值为． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $