精品解析：山东省临沂市莒南县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年度下学期期末素养作业 八年级数学 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如果二次根式有意义，那么应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，，为垂足．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 4. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 当时， C. 直线与直线平行 D. 函数的图象不经过第三象限 5. 如图，已知，，是正十二边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正十二边形的外部作正方形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所示，平均分最高的是（ ） 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 平均分都相同 7. 小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与轴、轴分别交于点、，以为底边在轴右侧作等腰，将点向左平移9个单位，若其对应点在直线上，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，按以下操作步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点； ②分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作射线，交于点．若，，则线段的长度是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 10. 如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线l：沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度平移，设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，则b的值为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 第Ⅱ卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知点在一次函数的图象上，则a的值为______． 12. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为_____________． 13. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 14. 如图，在中，点A、B、C的坐标分别为、和．则当的周长最小时，m的值为________． 15. 一次函数与的图象如图所示，下列结论：①若，是直线上不重合的两点．则；②当时，；③；④．其中正确结论的代号是______． 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）用配方法解方程：． 17. 已知一次函数（，为常数，）的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）当时，求该一次函数的函数值的取值范围． 18. 珍重生命，注意安全！小明骑自行车上学，当他骑了一段时间，想起要买文具，于是又折回到刚经过的文具店，买到文具后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是______米． （2）本次上学途中，小明一共行驶了______米，一共用了______分钟． （3）骑自行车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，这个最快速度在安全限度内吗？请说明理由． 19. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE． （1）若∠ADB=40°，求∠E的度数． （2）若AB=3，CE=5，求AE的长． 20. 某学校社团开展了“调查哪一款手机套餐资费更合适”的综合实践活动．相关内容如下： 活动主题：调查哪一款手机资费套餐更合适． 调查方式：资料查阅，实际访谈 调查内容：套餐资费标准 套餐名称 套餐内 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 A套餐 90元 300分钟 3元/ 元/分钟 B套餐 150元 500分钟 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费语音超时费），套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 请根据上面的信息完成下列问题： （1）根据调查内容，某用户一个月使用流量为，语音400分钟，按A套餐月资费为______元，按B套餐月资费为______元； （2）若王老师每月语音通话不超过200分钟，每月使用流量为，每月的手机资费为元． ①若王老师使用的是A套餐，与的函数关系为：当时，；时， ．如图为与的函数图象．若王老师使用B套餐，请求出与之间的函数关系式，并在坐标系中画出它的图象； ②若王老师某月使用流量为，则使用______（填：A或B）套餐月资费更少； ③若王老师某月的月资费为180元，请判断使用哪种套餐流量更多，并说明理由． 21. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 22. 综合与实践课上，小南对正方形纸片进行了如下操作： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． （1）根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． （2）小南在以上操作的基础上，继续进行研究，延长交于点M，连接，如图2，求的度数． （3）如图3，若正方形的边长为，，把沿翻折得，延长交于点M，请求出的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交一次函数的图象于点，点在一次函数的图象上，横坐标为，过点作轴的平行线交一次函数的图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点． （1）求与的值； （2）求四边形周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期末素养作业 八年级数学 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如果二次根式有意义，那么应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ ， 解得． 2. 如图，在平行四边形中，，为垂足．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理． 求出，根据三角形内角和定理求出，根据平行四边形的性质得出即可． 【详解】解：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选：B． 3. 科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类， 四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定， ∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的， 故选：B． 4. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 当时， C. 直线与直线平行 D. 函数的图象不经过第三象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数中和的意义，逐一判断选项即可找出错误结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． A选项：∵， ∴随的增大而减小，原结论错误，符合题意； B选项：若，即，解得，原结论正确，不符合题意； C选项：直线与直线的相等，截距不同，因此两直线平行，原结论正确，不符合题意； D选项：∵，， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，原结论正确，不符合题意． 5. 如图，已知，，是正十二边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正十二边形的外部作正方形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的内角和和正方形的性质计算． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 正十二边形的每个内角为，即， ∴． 6. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所示，平均分最高的是（ ） 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 平均分都相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的含义，根据平均数的含义分别计算甲、乙、丙的平均数，再比较即可. 【详解】解：甲的平均分为：（分）， 乙的平均分为：（分）， 丙的平均分为：（分）， ∴平均分最高的是乙； 故选：B 7. 小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，直线与轴、轴分别交于点、，以为底边在轴右侧作等腰，将点向左平移9个单位，若其对应点在直线上，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，根据等腰三角形三线合一的性质得出点的纵坐标，再结合平移规律和一次函数解析式求出点的横坐标． 【详解】解：当时，，  点的坐标为，  ，  是以为底边的等腰三角形，  点的纵坐标为，  将点向左平移个单位得到点，  点的纵坐标为，  点在直线上，  当时，，解得，  点的坐标为，  点的横坐标为，  点的坐标为． 9. 如图，在中，，按以下操作步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点； ②分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作射线，交于点．若，，则线段的长度是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得是的角平分线，根据角平分线的性质可得，利用勾股定理求得，证明，可得，设，则，，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，是的角平分线， 过D点作于H点， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理：， 即， 解得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查作图−角平分线、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解一元一次方程，熟练掌握角平分线的作法得出是的角平分线是解题的关键． 10. 如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线l：沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度平移，设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，则b的值为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可知直线移动到点用了秒，移动到点用了秒，可以求出，根据勾股定理可以求出，而的值最大时，即直线经过点，再由等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，当秒时，直线经过点， 当秒时，的值最大，即直线经过点， 当时，直线经过点， 当时，可得：， 解得， 点的坐标是， 由图象可知，直线移动到点用了秒，移动到点用了秒， 个单位长度，个单位长度， 点的横坐标为，点的横坐标是， ， 三角板是等腰直角三角形， ， ， 当直线经过点时，的值最大，此时等腰被分成两个等腰三角形， ∴最大值为． 第Ⅱ卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知点在一次函数的图象上，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点A的横坐标代入解析式即可求出的值. 【详解】解： 点在一次函数的图象上， 将，代入得 ． 12. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，，证明得的，即点M是的中点，再由三角形中位线定理可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点M是的中点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：4． 13. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 【答案】{7，9}，{12，13，15} 【解析】 【分析】根据组内离差平方和越小，组内数据相差越小，得到第2个间隔组内离差平方和最小，据此解答即可． 【详解】解：将5名同学的引体向上个数从小到大排列为：7，9，12，13，15， 观察表格，4种分法中最小的组内离差平方和为， 因此，正确的分组是：{7，9}，{12，13，15}． 14. 如图，在中，点A、B、C的坐标分别为、和．则当的周长最小时，m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查利用将军饮马求三角形的最短周长，待定系数法求一次函数的解析式； 作B关于x轴的对称点，连接，根据A、、C共线时的周长最小时，得，求出所在直线的解析式即可解答． 【详解】解：作B关于x轴的对称点，连接，当A、、C共线时的周长最小时， ∵B，关于x轴对称，，， ∴， 设所在直线的解析式为 则， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当时，，即， 故答案为2． 15. 一次函数与的图象如图所示，下列结论：①若，是直线上不重合的两点．则；②当时，；③；④．其中正确结论的代号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，利用一次函数的增减性即可判断；对于②和③，两条直线在处相交，结合增减性即可判断；对于④，比较时，两个函数值的大小即可． 【详解】解：对于①：∵，在直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，， ∴，故①正确； 对于②：由图可知，当时，，即， ∴当时，，故②错误； 对于③：当时，， ∴，故③正确； 对于④：由图可知，当时，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为①③④． 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）用配方法解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘法和化简二次根式，再计算二次根式的加法即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 移项，得， 配方，得， ∴， ∴或， ∴，． 17. 已知一次函数（，为常数，）的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）当时，求该一次函数的函数值的取值范围． 【答案】（1）该一次函数的解析式为 （2）该一次函数的函数值的取值范围是 【解析】 【分析】（1）将点，的坐标代入一次函数的解析式中，得到关于，的二元一次方程组，解之即可； （2）根据函数图像的性质及函数的解析式求出的取值范围． 【小问1详解】 ∵点，在该一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式为． 【小问2详解】 ∵， ∴该一次函数的函数值随的增大而减小． 当时，； 当时，． ∴当时，该一次函数的函数值的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，关键是要理解函数图象上的点的坐标与函数图象的关系：若点在函数的图象上，那么点的坐标就满足函数的解析式． 18. 珍重生命，注意安全！小明骑自行车上学，当他骑了一段时间，想起要买文具，于是又折回到刚经过的文具店，买到文具后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是______米． （2）本次上学途中，小明一共行驶了______米，一共用了______分钟． （3）骑自行车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，这个最快速度在安全限度内吗？请说明理由． 【答案】（1）1500 （2）2700，14 （3）不在安全限度内，理由如下： 由图象可知： 分钟时，平均速度， 分钟时，平均速度， 分钟时，平均速度， ∴分钟时速度最快，不在安全限度内． 【解析】 【分析】（1）根据图中的信息解题； （2）结合图中的信息，将每个时间段的路程相加即可； （3）计算每个时间段的平均速度，进而判断． 【小问1详解】 解：由图可知，小明家到学校的路程是米； 【小问2详解】 解：本次上学途中，小明一共行驶了米， 一共用了分钟； 【小问3详解】 略 19. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE． （1）若∠ADB=40°，求∠E的度数． （2）若AB=3，CE=5，求AE的长． 【答案】（1）20° （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC，根据矩形的性质可得△ABC≌△BAD，从而得到∠ACB=∠ADB=40°，再由BD=CE，可得AC=CE，从而得到∠E=∠CAE，即可求解； （2）根据勾股定理可得BC=4，从而得到BE=9，再由勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°， ∵AB=BA， ∴△ABC≌△BAD， ∴∠ACB=∠ADB=40°， ∵BD=CE， ∴AC=CE， ∴∠E=∠CAE， ∵∠ACB=∠E+∠CAE， ∴∠E=20°； 【小问2详解】 解：由（1）得：AC=CE=5，∠ABC=90°， ∵AB=3， ∴， ∴BE=BC+CE=9， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20. 某学校社团开展了“调查哪一款手机套餐资费更合适”的综合实践活动．相关内容如下： 活动主题：调查哪一款手机资费套餐更合适． 调查方式：资料查阅，实际访谈 调查内容：套餐资费标准 套餐名称 套餐内 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 A套餐 90元 300分钟 3元/ 元/分钟 B套餐 150元 500分钟 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费语音超时费），套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 请根据上面的信息完成下列问题： （1）根据调查内容，某用户一个月使用流量为，语音400分钟，按A套餐月资费为______元，按B套餐月资费为______元； （2）若王老师每月语音通话不超过200分钟，每月使用流量为，每月的手机资费为元． ①若王老师使用的是A套餐，与的函数关系为：当时，；时， ．如图为与的函数图象．若王老师使用B套餐，请求出与之间的函数关系式，并在坐标系中画出它的图象； ②若王老师某月使用流量为，则使用______（填：A或B）套餐月资费更少； ③若王老师某月的月资费为180元，请判断使用哪种套餐流量更多，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①， B套餐的大致图象如图； ②B ③使用B种套餐流量更多，理由如下： 若使用A套餐，由图象可知，时，， ∴， 解得； 若使用B套餐，由图象可知，时，， ∴， 解得， ∵， ∴使用B种套餐流量更多． 【解析】 【分析】（1）根据套餐的计价方案进行计算即可； （2）①分为和两段研究，结合表格写出关系式，并画出图象即可； ②分别计算两种套餐的月资费，对比后得出结论； ③结合图象与表格判断时，的取值范围，确定关系式后求出对应的的值，对比后得出结论． 【小问1详解】 解：由表格可知，A套餐的费用为（元）， 该用户使用的流量和语音均未超出B套餐， ∴B套餐的费用为元； 【小问2详解】 解：①当时，； 当时，； 综上，若王老师使用的是B套餐，则； ②将代入，得， ∴王老师若使用A套餐需要支付元， 由表格可知，王老师若使用B套餐需要支付元， ∵， ∴使用B套餐月资费更少； ③略 21. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）90；92 （2）70；96；补图见解析 （3）乙组竞赛成绩较好．理由：平均分更高，成绩更稳定．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（）根据众数，中位数的定义即可求解． （）根据数值计算前后各个数的中位数即可求出上四分为数和下四分位数即可． （）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【小问1详解】 解：甲组个数，排序后第五和第六位分别是89 和91， ∴中位数 ， 众数是出现次数最多的，乙组排序后最多， ∴众数． 【小问2详解】 解：前半部分为前个数（, , , , ），中位数是第个为，则下四分位数为，后半部分数据为（, , , , ），中位数是第个为，则上四分位数为， 所以，箱线图为： 【小问3详解】 解：乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好． 22. 综合与实践课上，小南对正方形纸片进行了如下操作： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． （1）根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． （2）小南在以上操作的基础上，继续进行研究，延长交于点M，连接，如图2，求的度数． （3）如图3，若正方形的边长为，，把沿翻折得，延长交于点M，请求出的长． 【答案】（1）解：， 理由如下， 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得，根据等腰三角形三线合一得； （2）先在中计算，再根据证明，得，进而得计算的度数即可； （3）由（2）知，，得，由折叠性质得当时，，，设，则，，，在中，根据列关于的方程，求解即可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可知，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∴， 由折叠可知， 当时，则，， 设，则，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交一次函数的图象于点，点在一次函数的图象上，横坐标为，过点作轴的平行线交一次函数的图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点． （1）求与的值； （2）求四边形周长的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，接着求出点的坐标，代入中求出即可； （2）设，表示出点坐标，求出，，表示出四边形的周长，再根据的取值范围计算即可； 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点，， ， ， ， 点在一次函数的图象上， ， ， 把点代入中， ， ． 【小问2详解】 由（1）可得：， 轴，轴，轴，点在上，点在上， 设， 点的纵坐标为，横坐标为， ， ，， ， ， 当时，四边形的周长最小， 四边形的最小周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $