精品解析：山东省临沂市莒南县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

山东省临沂市莒南县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若式子有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图， 的对角线 与 相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于 的方程有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 某班19名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 171及以下 172 173 174 175及以上 人数 3 6 5 3 2 则本次测试成绩的中位数和众数分别是（　　） A. 172和172 B. 172和173 C. 173和172 D. 173和173 5. 已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点A在 轴负半轴上，顶点 在直线上，若点 的横坐标是4，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形 的对角线 ， 相交于点O， ，，则下列说法错误的是（　　） A. 若，则四边形 是矩形 B. 若 平分 ，则四边形 是菱形 C. 若且，则四边形 是正方形 D. 若 且，则四边形 是正方形 8. 今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小星家离黄果树景点的路程为 B. 小星从家出发第1小时的平均速度为 C. 小星从家出发2小时离景点的路程为 D. 小星从家到黄果树景点的时间共用了 9. 已知：如图，四边形 是平行四边形，点 为 上的一点（不与点 、 重合），连接 ． 求作：点 ，使得点 在 上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，连接 ； 乙：以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，连接 ； 丙：以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，连接 ． 上述三名同学的作法一定正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 10. 如图1，矩形 中， 为其对角线，一动点从 出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为 ．设点的运动路程为 ，为 ， 与 的函数图象如图2，则 的长为（ ） A. B. C. D. 第II卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 实数 在数轴上对应点的位置如图所示，化简：________． 12. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号） 13. 如图，直线与相交于点P，则关于x，y的方程组的解为________． 14. 如图，在矩形 中， 为 边上一点，，将 沿 折叠得，连接 ， ，若 平分，，则 的长为_____． 15. 将一组数，按以下方式进行排列： 则第七行左起第5个数是__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）用配方法解一元二次方程： 17. 如图，一次函数的图象经过两点，交 轴于点 ，求的面积． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有实数根； （2）设该方程的两个实数根分别为，，若，，求a的取值范围． 19. 如图，在四边形 中， 是 的中点，， 交于点 ，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若， ，，求 的长． 20. 油桃是山东省优质水果，现已成为带领群众增收，助力乡村振兴的“致富果”．某村有甲、乙两块油桃园．在油桃收获季节，某班级学习小组前往该村开展综合实践活动，对两块油桃园的油桃情况进行调查统计，为村民油桃种植管理提供一些参考． 信息一：从两块油桃园采摘的油桃中各随机选取200个．测量每个油桃的直径，作为样本数据，分五个组，直径用 （单位：）表示，并且每组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8．将所收集到数据分别整理，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图如下： （1）求图1中a的值； （2）分别求出两个园油桃样本数据的平均数； （3）下列结论一定正确的是：____________（填正确结论的序号） ①两园样本数据的中位数均在 组； ②两园样本数据的众数均在 组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 信息二：经市场调查，直径在的油桃品质最优，决定果园品质，为一级，直径在的为二级，其余的为三级． （4）估计哪个园的油桃品质更优，并说明理由． 21. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价 /元 日销售量 /件 （1）求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 22. 如图，在四边形 中， 为一条对角线，， 为 的中点，连接 ． （1）如果四边形为正方形，试用等式表示 ， 之间的数量关系； （2）连接 ，若 平分，求 的长． 23. 在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到米时，飞机停止表演．甲从起点出发，先以 米秒的速度匀速飞行了 秒，然后以 米秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发 秒后起飞，以 米秒的速度匀速飞行，乙出发 秒后，与甲飞行的高度相差 米．如图，折线 ，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间 （秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． （1） _____， _____． （2）分别求出线段 ，对应的函数表达式． （3）当两架无人机之间的飞行高度差不超过 米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市莒南县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若式子有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 2. 如图， 的对角线 与 相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 故选B． 3. 若关于 的方程有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于 的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 4. 某班19名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 171及以下 172 173 174 175及以上 人数 3 6 5 3 2 则本次测试成绩的中位数和众数分别是（　　） A. 172和172 B. 172和173 C. 173和172 D. 173和173 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数的概念．找中位数要把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数或中间两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，众数可以不止一个． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是173，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是； 在这组数据中172是出现次数最多的， 故众数是172； 故选：C． 5. 已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，牢记“当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出 【详解】解：， 随x的增大而减小， 又 点，都在一次函数的图象上，且， ． 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点A在 轴负半轴上，顶点 在直线上，若点 的横坐标是4，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点 在直线上，点 的横坐标是4， ∴，，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移5个单位得到点C， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键 7. 如图，四边形 的对角线 ， 相交于点O， ，，则下列说法错误的是（　　） A. 若，则四边形 是矩形 B. 若 平分 ，则四边形 是菱形 C. 若且，则四边形 是正方形 D. 若 且，则四边形 是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 先根据平行四边形的判定证明 是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ，， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形 是平行四边形， 若，则四边形 是矩形，故A选项不符合题意； 若 平分 ，， ∵， ∴， ∴， 则四边形 是菱形，故B选项不符合题意； 若且，则四边形 是正方形，故C选项不符合题意； 若 且，则四边形 是菱形，故D选项符合题意； 故选：D． 8. 今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小星家离黄果树景点的路程为 B. 小星从家出发第1小时的平均速度为 C. 小星从家出发2小时离景点的路程为 D. 小星从家到黄果树景点的时间共用了 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可． 【详解】解：时，，因此小星家离黄果树景点的路程为，故A选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发第1小时的平均速度为，故B选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发2小时离景点的路程为，故C选项错误，不合题意； 小明离家1小时后的行驶速度为，从家出发2小时离景点的路程为，还需要行驶1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象． 9. 已知：如图，四边形 是平行四边形，点 为 上的一点（不与点 、 重合），连接 ． 求作：点 ，使得点 在 上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，连接 ； 乙：以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，连接 ； 丙：以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，连接 ． 上述三名同学的作法一定正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本的尺规作图，平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 结合基本的尺规操作，利用平行四边形的判定定理逐项进行判定即可． 【详解】解： 甲：如图所示，此时， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故甲作法正确，符合题意； 乙：如图所示，此时， 四边形不是平行四边形， ∴与 不平行， 故乙作法错误，不符合题意； 丙：如图所示，此时， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故丙作法正确，符合题意； 故选：C． 10. 如图1，矩形 中， 为其对角线，一动点从 出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为 ．设点的运动路程为 ，为 ， 与 的函数图象如图2，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键． 根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 【详解】解：由图象得： ，当时，，此时点P在 边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：B． 第II卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 实数 在数轴上对应点的位置如图所示，化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解． 【详解】由数轴位置可知， ． 【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键． 12. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差的意义．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【详解】解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误． 故答案为：①②． 13. 如图，直线与相交于点P，则关于x，y的方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据直线的交点求出二元一次方程组的解， 将点代入求出a，进而得出点P的坐标，结合图象可得二元一次方程组的解. 【详解】解：将点代入， 得， 解得， ∴一次函数关系式为. 当时， . ∴方程组的解是. 故答案为：. 14. 如图，在矩形 中， 为 边上一点，，将 沿 折叠得，连接 ， ，若 平分，，则 的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过 作于点，于点 ，，由四边形 是矩形，得，，证明四边形是矩形，通过角平分线的性质证得四边形是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】如图，过 作于点，于点 ， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵ 平分， ∴，， ∴四边形是正方形， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 15. 将一组数，按以下方式进行排列： 则第七行左起第5个数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，观察可知，第 行共 个数，最后一个数字为，且每一个数的被开方数均为 的倍数，进行求解即可． 【详解】解：， ∴第 行共 个数，最后一个数字为， ∴第七行的最后一个数为：， ∴第七行左起第5个数是：； 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）用配方法解一元二次方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，配方法解一元二次方程，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式运算即可； （2）利用配方法运算即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2）解：， ， ， ， ， ∴或 解得：． 17. 如图，一次函数的图象经过两点，交 轴于点 ，求的面积． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先利用待定系数法求出函数解析式，进而求出点 的坐标，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， 直线 的解析式为 当 时，，解得： ， 点C的坐标为 ∴， ． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有实数根； （2）设该方程的两个实数根分别为，，若，，求a的取值范围． 【答案】（1） 证明：由题意得，． ∴该方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，再由，，可得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 19. 如图，在四边形 中， 是 的中点，， 交于点 ，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若， ，，求 的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 的长是． 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，推导出，进而证明四边形是平行四边形是解题的关键． （1）因为，所以 是的中点，而 是 的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由 是的中点， 是 的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质得，而，，根据勾股定理得． 【小问1详解】 证明：∵， 交于点 ，， ∴ 是的中点， ∵ 是 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵ 是的中点， 是 的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， 在中，，， ∴， ∴， ∴ 的长是． 20. 油桃是山东省优质水果，现已成为带领群众增收，助力乡村振兴的“致富果”．某村有甲、乙两块油桃园．在油桃收获季节，某班级学习小组前往该村开展综合实践活动，对两块油桃园的油桃情况进行调查统计，为村民油桃种植管理提供一些参考． 信息一：从两块油桃园采摘的油桃中各随机选取200个．测量每个油桃的直径，作为样本数据，分五个组，直径用 （单位：）表示，并且每组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8．将所收集到数据分别整理，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图如下： （1）求图1中a的值； （2）分别求出两个园油桃样本数据的平均数； （3）下列结论一定正确的是：____________（填正确结论的序号） ①两园样本数据的中位数均在 组； ②两园样本数据的众数均在 组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 信息二：经市场调查，直径在的油桃品质最优，决定果园品质，为一级，直径在的为二级，其余的为三级． （4）估计哪个园的油桃品质更优，并说明理由． 【答案】（1）40 （2）甲园样本数据的平均数5.95；乙园样本数据的平均数6 （3）① （4）乙园的油桃品质更优，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查直方图，求平均数，中位数和众数，从直方图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用总数减去其它组的频数，求出 的值即可； （2）根据平均数的计算公式，进行计算即可； （3）根据中位数，众数的确定方法，求出最大数与最小数的差进行判断即可； （4）求出两园中的一级率，进行判断即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 甲园样本数据的平均数； 乙园样本数据的平均数． 【小问3详解】 由图可知：将数据排序后，两园中的第100个和第101个数据都在 组， ∴两园样本数据的中位数均在 组；故①正确； 甲园的众数在 组，乙园的众数在 组；故②错误； 无法确定两园样本数据的最大数与最小数的差，故③错误； 故答案为：① 【小问4详解】 乙园的油桃品质更优，理由如下： 甲园样本数据的一级率为：，乙园样本数据的一级率为：， 乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， 乙园的油桃品质更优． 21. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价 /元 日销售量 /件 （1）求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出 与 之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出 与 之间的函数表达式； （2）利用销售额 每件售价销售量，即可得出关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：设 与 之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与 之间的函数表达式为； 【小问2详解】 略 22. 如图，在四边形 中， 为一条对角线，， 为 的中点，连接 ． （1）如果四边形为正方形，试用等式表示 ， 之间的数量关系； （2）连接 ，若 平分，求 的长． 【答案】（1）当时，四边形为正方形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，根据正方形的判定定理即可得出答案；在直角三角形中，根据勾股定理即可得出答案； （2）连接 ．先证明，得出，再得出，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 当时，四边形BCDE为正方形 为AD的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形． 若四边形为正方形， 则， 即三角形为直角三角形， 又， 【小问2详解】 解：连接 ． 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形BCDE是菱形 ， ， 在Rt中，， ， ． 23. 在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到米时，飞机停止表演．甲从起点出发，先以 米秒的速度匀速飞行了 秒，然后以 米秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发 秒后起飞，以 米秒的速度匀速飞行，乙出发 秒后，与甲飞行的高度相差 米．如图，折线 ，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间 （秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． （1） _____， _____． （2）分别求出线段 ，对应的函数表达式． （3）当两架无人机之间的飞行高度差不超过 米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时 的取值范围． 【答案】（1） ， ； （2） 对应的函数表达式为，对应的函数表达式为； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键． （ ）根据图象即可求解； （ ）利用待定系数法求出解析式即可； （ ）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，甲飞行 秒后的速度（米秒 ），乙飞行的速度（米秒 ）， 故答案为： ， ； 【小问2详解】 解：设 对应的函数表达式为， 把， ， 代入得：， 解得， ∴ 对应的函数表达式为； 设对应的函数表达式为 ， ∵乙出发 秒后，与甲飞行的高度相差 米， ∴图象过， ∴， 解得， ∴对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：对于，令，得， 当 时，甲的高度为， 此时两无人机高度差为米， 当甲比乙高 米时， ， 解得：， ∴能形成这种表演效果时 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $