精品解析：四川乐山市2025-2026学年高二下学期教学质量监测数学试题

2024级高二下学期教学质量监测 数 学 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有3个零点 B. 是的极小值点 C. 函数在区间上单调递减 D. 的最大值是 4. 已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，则实数（ ） A. B. C. 3 D. 6 5. 是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 108种 8. 已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（ ） A. B. C. 是数列中的最大项 D. 若，则的最小值为4051 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知女儿身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程，则（ ） A. 与具有正的线性相关关系 B. 当父亲身高为时，女儿身高一定为 C. 若父亲身高每增加，则女儿身高平均增加 D. 若残差越小，说明模型的拟合效果越好 10. 已知且，指数函数，对数函数，则（ ） A. 若的图象过点，则 B. 函数的图象过定点 C. 若，则 D. 当时，对任意，，都有 11. 我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点．对于“优美曲线”：，则（ ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 曲线上任意两个顶点间的最大距离为 C. 若点在曲线上，则最小值为 D. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 13. 已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为________． 14. 为测量某海岛主峰的海拔高度，勘测船在海平面上的点测得主峰顶点的仰角为，沿北偏东方向航行后到达点，测得的仰角为，且此时主峰位于点的正北方向，则该海岛主峰的海拔高度为________（海平面海拔视为0，结果保留最简根式）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知椭圆：（）的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求的面积． 17. 如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数，． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若在恒成立，求的取值范围； （3）若有三个零点，求的取值范围． 19. 一场电影观影中，影院内有（）个座位，且每个座位均对应一名持票观众，现在观众依次检票进入影院．已知第一位进场的观众不慎将电影票落在了检票处且无法取回，该观众忘记了自己的座位号，他将在个座位中随机选择一个位置坐下．后面进场的观众，若位置未被占据，则将在自己的位置上坐下；若位置被占据，则将在剩余的位置中随机选一个坐下． （1）若，求第3位进场的观众选对位置的概率； （2）若，记为电影院内最终坐错位置的人数，求的数学期望； （3）证明：无论取何值，最后一位进场的观众坐错位置的概率都相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二下学期教学质量监测 数 学 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合集合补集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得，所以， 因为，所以. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由复数的除法整理已知复数，进而由共轭复数概念表示答案. 【详解】因为，所以其共轭复数是 故选：A 【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了求复数的共轭复数，属于基础题. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有3个零点 B. 是的极小值点 C. 函数在区间上单调递减 D. 的最大值是 【答案】C 【解析】 【分析】从导函数图象得到函数单调性，并由零点，极值点，最值的定义出发进行判断 【详解】从图象可知在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，C正确； 故不是的极值点，B错误； 是的极大值，不是最大值，D错误； 的零点个数不确定，A错误. 4. 已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，则实数（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】因为与共线，所以存在实数，使得. 即. 由于不共线，则得 由第一式得，代入第二式，解得. 5. 是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用周期性与奇函数性质求的值. 【详解】因为是定义在上周期为的奇函数， 所以. 故选：C. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式变形和同角三角函数关系可得答案 【详解】， 因为，所以，故 因为，所以， 故. 7. 如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 108种 【答案】B 【解析】 【分析】应用分步分类计数原理求不同着色方法数. 【详解】第一步涂：有种颜色可选，共种选择， 第二步涂：与不同色，共种选择， 第三步涂：与都不同色，共种选择， 第四步涂、：分两类讨论， 当与同色时， 只有种， 与相邻，只需排除两种颜色，共种， 此情况总数， 当与不同色时， 需要排除三种颜色，共种， 与相邻，需要排除三个不同颜色，共种， 此情况总数， 所以总着色方法为种. 8. 已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（ ） A. B. C. 是数列中的最大项 D. 若，则的最小值为4051 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误. 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号且，结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， A：，，故，错误； B：等比中项公式得， 因为，则，即，错误； C：因为，数列单调递减，又， 当时，当时， 所以，， 因此最大项是，不是，错误； D：若，则最小值为， 等比数列性质，， 因为===， 所以， 已知，故； 因为===， ，故最小值为 4051，正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知女儿身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程，则（ ） A. 与具有正的线性相关关系 B. 当父亲身高为时，女儿身高一定为 C. 若父亲身高每增加，则女儿身高平均增加 D. 若残差越小，说明模型的拟合效果越好 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：由题目可知，所以与具有正的线性相关关系，故选项A正确； 选项B：当父亲身高为时，则其女儿身高可能为，而不是一定，故选项B错误； 选项C：由题目可知，即当父亲身高每增加，则女儿身高平均增加，故选项C正确； 选项D：根据残差的定义可知，残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越好，并非残差，故选项D错误. 10. 已知且，指数函数，对数函数，则（ ） A. 若的图象过点，则 B. 函数的图象过定点 C. 若，则 D. 当时，对任意，，都有 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因为的图象过点，所以，又，所以， 所以，，所以，则，故A错误； 对于B，，当时，，即函数的图象过定点，故B正确； 对于C，因为，所以，解得，则在上单调递增， 又，，则，故，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 11. 我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点．对于“优美曲线”：，则（ ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 曲线上任意两个顶点间的最大距离为 C. 若点在曲线上，则最小值为 D. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】因为方程含绝对值，将方程转化为各象限内的圆的标准方程，结合对称性得到曲线的完整图形，因为图形关于坐标轴、原点对称，先计算第一象限内的图形面积，再乘以4，第一象限图形可拆为扇形和三角形面积之和；求顶点间最大距离时，联立对称轴和曲线方程得到所有顶点坐标，再计算两点间距离的最大值；求的最小值时，可转化为求曲线上的点到直线的距离的最小值，再乘以；求直线与曲线有公共点时的范围时，利用对称性先分析第一象限的曲线段与直线的位置关系，结合圆心到直线的距离不大于半径，以及直线与曲线段端点的连线斜率，得到的取值范围。 【详解】对配方得：   曲线关于轴、轴、原点对称，也关于、对称， 本质是四个圆心为、半径为的圆拼接成的闭合曲线，逐个分析选项： A：连接曲线与坐标轴交点，得到中间正方形， 正方形对角线长为，面积为：  , 正方形每条边外对应一个半圆，半圆直径为，半径， 四个半圆总面积为：  总面积，正确. B：根据定义，顶点是优美曲线和其所有对称轴的交点. 曲线的对称轴为，求得所有顶点为. 任意两顶点的最大距离为与（或与）的距离：  ，B正确 C：是点到直线的距离，即. 曲线上离最近的点为，满足，确实在曲线上， 代入得：  最小值为，C错误. D：直线恒过点，曲线上点的最大纵坐标约为， 直线与曲线有公共点等价于圆心到直线距离小于等于半径. 对上方两个圆心，相切时满足距离等于半径，计算得相切时； 当时直线平缓，与曲线无交点，当时存在公共点， 因此的范围为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 【答案】6 【解析】 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线为， 点到焦点的距离为9，即点到准线的距离为9， 所以，解得. 13. 已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知：圆柱的高，底面半径， 所以该圆柱的表面积. 14. 为测量某海岛主峰的海拔高度，勘测船在海平面上的点测得主峰顶点的仰角为，沿北偏东方向航行后到达点，测得的仰角为，且此时主峰位于点的正北方向，则该海岛主峰的海拔高度为________（海平面海拔视为0，结果保留最简根式）． 【答案】 【解析】 【分析】作出示意图，为海岛主峰，由题意可得，，，，设，求得，，在中，由余弦定理可得，求解即可. 【详解】作出示意图如图所示：为海岛主峰，由题意可得，， ，. 设，在中，，所以， 在中，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以海岛主峰的海拔高度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项把方程转化为公比的一元二次方程，结合正项数列舍去负根，再整理成指数幂统一形式； （2）对数化简后得到等差数列通项，验证首项、公差后，套用等差数列求和公式快速算出前项和. 【小问1详解】 设数列的公比为， ，， ． 解得（舍去）或． 因此数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）得． 当时，，又，故是首项，公差为-2的等差数列， 则． 16. 已知椭圆：（）的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦距可得，即可得，从而求得椭圆C的方程； （2）求直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合弦长公式求得，以及点到直线的距离，即可得面积. 【小问1详解】 因为椭圆：（）的离心率为，焦距为2， 则，解得，可得， 所以椭圆的方程为：． 【小问2详解】 由题意可知：，直线的斜率，且直线与椭圆必相交， 则直线的方程为， 联立方程，消去y可得， 设，，则，， 可得， 且点到直线：的距离为． 所以的面积为． 17. 如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）法1：以为原点，分别以射线、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设， 由已知得，，，． 由是中点，得． 是中点，故． 由，得，因此． 平面的法向量为． 因为，且平面，因此平面． 法2：取的中点，连结、，由是的中点可得． 由平面，平面，因此平面． 由是的中点得，又． 所以，而平面，平面，因此平面． 由得，平面平面． 因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）法1：建系求出向量，利用它与底面法向量垂直，直接证线面平行；法2：构造中位线得到两组相交直线分别平行底面，由面面平行推出线面平行； （2）建立坐标系求出两个平面的法向量，套用夹角公式，取绝对值计算面面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别以射线、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 不妨设，由已知得，，，． 由是中点，得；是中点，故． 由，得，因此． 设平面的法向量为， 已知，． 由得，令，解得，，即． 因为平面的法向量为． 故． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知函数，． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若在恒成立，求的取值范围； （3）若有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，转化为，令，求得，得到函数的单调性和最小值，即可求解； （3）由，得到当时，方程有两个不同的非零解，转化为与的图象有两个非零交点，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【小问1详解】 当时，，可得， 则，且，即切点为，切线的斜率为， 所以函数在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由，即， 因为，所以，即证， 令，其中，可得， 当，，单调递增；当，，单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 因为函数有三个零点，即有三个根， 因为，所以0是的一个零点， 所以当时，方程有两个不同的非零解， 即当时，方程有两个不同的非零解， 可转化为与的图象有两个非零交点， 由（2）可知在单调递减，在单调递增，且 又因为，且当时，；当时，， 在同一坐标系中，画出函数与的图象，如图所示， 当时，，解得，不满足非零条件， 所以或，即实数的取值范围为． 19. 一场电影观影中，影院内有（）个座位，且每个座位均对应一名持票观众，现在观众依次检票进入影院．已知第一位进场的观众不慎将电影票落在了检票处且无法取回，该观众忘记了自己的座位号，他将在个座位中随机选择一个位置坐下．后面进场的观众，若位置未被占据，则将在自己的位置上坐下；若位置被占据，则将在剩余的位置中随机选一个坐下． （1）若，求第3位进场的观众选对位置的概率； （2）若，记为电影院内最终坐错位置的人数，求的数学期望； （3）证明：无论取何值，最后一位进场的观众坐错位置的概率都相等． 【答案】（1） （2） （3）证明：最后一位观众坐错位置，则最后一号位置一定被占据． 解法1： 设为个座位时，最后一位观众坐对的概率． ①当时，观众2选对位置的概率． ②假设当时，， 那么，当时，有以下3种情况： ．观众1选座位1，后续观众都选对； ．观众1选座位，最后一位观众一定坐错； ．观众1选座位（），此时观众相当于新的观众1，问题转化为个座位的情况． ， ∴由数学归纳法，对任意，． 即最后一位观众坐错的概率恒为． 解法2： 有0人坐错：则． 有2人坐错：则． 有3人坐错： 则． 以此类推，可发现，，，，…，中的项可视为多项式 中的系数． 构造多项式，记作式． 设为最后一位观众坐错且共有人坐错的概率，最后一位观众坐错的概率为所有符合条件的之和． 令式中，可得该式为． 因此无论取何值，最后一位进场的观众坐错位置的概率都相等，均为． 【解析】 【分析】（1）通过分析第一位进场观众不同的就座情况，计算出第3位进场观众坐到对的座位上的概率； （2）先确定的可能取值为0，2，3，4，求出对应的概率，再根据期望公式求； （3）利用数学归纳法证明即可. 【小问1详解】 设第位观众的本座位为，记“第一位进场的观众选1号位”，“第一位进场的观众选2号位”，“第二位进场的观众选1号位”． ． ． 又与互斥，． 【小问2详解】 解法1：的可能取值为0，2，3，4． ． ． ． ． ． 解法2：设“第位进场的观众选错位置”， ． ． ． ． ， ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $