精品解析：四川省乐山市2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

乐山市普通高中2026届高二下学期教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知变量与，与分别都成线性相关关系，且与相关系数满足，且与相关系数满足，下列结论正确的是（ ） A. 与负相关，与负相关，且与的相关性更强 B. 与负相关，与正相关，且与的相关性更强 C. 与负相关，与正相关，且与的相关性更弱 D. 与正相关，与负相关，且与的相关性更弱 2. 已知函数，则当自变量由2变到时，函数的平均变化率为（ ） A. 4 B. 4.1 C. 4.2 D. 4.3 3. 某课题组为调查“错题重练”是否有助于学生提高数学成绩，随机抽取300名高中生分为两组，实验组在每天的学习中有计划地开展“错题重练”，对照组学习方法不变.一个月后，对统计数据运用列联表进行独立性检验，计算得，则下列结论正确的是（ ） 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A. 认为“错题重练”与提高数学成绩有关 B. 认为“错题重练”与提高数学成绩无关 C. 认为“错题重练”与提高数学成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.01 D. 认为“错题重练”与提高数学成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.001 4. 已知等差数列，，，则（ ） A. 4038 B. 4040 C. 4050 D. 4052 5. 1000的不同正因数个数为（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 216 C. D. 728 7. 若随机变量服从二项分布且，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 以走网格为例，从格点走到格点，只能向右或向上走，且在对角线的右下方（不能越过对角线）的路径的条数，就是卡特兰数，记为.则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列的前和是 C. 数列是等差数列 D. 数列的前10项和是 10. 已知多项式，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，函数仅有一个零点 B. 当时，若在上单调递增，则 C. 若恒成立，则 D. ，都存在极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________ 13. 已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则_____. 14. 甲、乙、丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙、丙比赛胜率均为，且各场比赛的结果均相互独立.由抽签法决定哪两名运动员参加第一场比赛，记甲参加第场比赛的概率为，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等比数列，，且，，构成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 某种产品每吨成本6万元，其销售价格（万元/吨）和销售量（吨）的变化情况如下表： 7 7.5 8 8.5 9 10 9 8.5 7.5 5 （1）若与线性相关，求关于的经验回归方程； （2）根据（1）的结论，预测要使该产品销售利润最大，销售价格是多少？（结果精确到0.1） 附：（参考公式，） 17. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数在上的单调性. 18. 某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于55%为优级品，固形物含量低于55%且不低于50%为一级品，固形物含量低于50%为二级品或不合格品. （1）现有5瓶水果罐头，已知其中3瓶为优级品，2瓶为一级品. （ⅰ）若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这5瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出5瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； （2）已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在5次独立重复抽检中，至少有3次抽到优级品的概率不小于，求的最小值. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，记作，. （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山市普通高中2026届高二下学期教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知变量与，与分别都成线性相关关系，且与相关系数满足，且与相关系数满足，下列结论正确的是（ ） A. 与负相关，与负相关，且与的相关性更强 B. 与负相关，与正相关，且与的相关性更强 C. 与负相关，与正相关，且与的相关性更弱 D. 与正相关，与负相关，且与的相关性更弱 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关系数的概念判断. 【详解】由题可知，且， 与成负相关关系，与成正相关关系，且与的相关性更弱. 故选：C. 2. 已知函数，则当自变量由2变到时，函数的平均变化率为（ ） A. 4 B. 4.1 C. 4.2 D. 4.3 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的概念求解. 【详解】函数的平均变化率为. 故选：B. 3. 某课题组为调查“错题重练”是否有助于学生提高数学成绩，随机抽取300名高中生分为两组，实验组在每天的学习中有计划地开展“错题重练”，对照组学习方法不变.一个月后，对统计数据运用列联表进行独立性检验，计算得，则下列结论正确的是（ ） 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A. 认为“错题重练”与提高数学成绩有关 B. 认为“错题重练”与提高数学成绩无关 C. 认为“错题重练”与提高数学成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.01 D. 认为“错题重练”与提高数学成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的定义判断即可. 【详解】， 根据小概率值的独立性检验，可以推断“错题重练”与有助于提高数学成绩有关. 故选：C. 4. 已知等差数列，，，则（ ） A. 4038 B. 4040 C. 4050 D. 4052 【答案】C 【解析】 【分析】法1，设的公差为，首项为，利用等差数列基本量运算求得得解；法2，用减去，求得，代回求得，得解. 【详解】解法一：设的公差为，首项为，根据题意得： ，，. 解法二：减去，得，即， 将代入得，. 故选：C. 5. 1000的不同正因数个数为（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，判断整数的不同正因数的个数. 【详解】可知，则不同正因数个数为. 故选：A. 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 216 C. D. 728 【答案】D 【解析】 【分析】法1，设等比数列的公比为，首项为，利用等比数列基本量运算求解判断；法2，利用等比数列前项和性质运算判断. 【详解】解法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，①，②， 由①②可得，，所以. 解法二：因为，，成等比数列，即，解得：. 故选：D. 7. 若随机变量服从二项分布且，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由二项分布的概率公式结合，求得，利用二项分布的期望公式和性质求解. 【详解】由，解得， 又，， 所以. 故选：C. 8. 以走网格为例，从格点走到格点，只能向右或向上走，且在对角线的右下方（不能越过对角线）的路径的条数，就是卡特兰数，记为.则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，向右的步数始终不少于向上的步数，即走法总数为“所有走法”减去“过线的走法”，易发现“过线的走法”即对应从到的走法，运算得解. 【详解】如图，由题，只能向右或向上走，且在对角线的右下方（不能越过对角线）， 即向右的步数始终不少于向上的步数， 所以走法总数为“所有走法”减去“过线的走法”， 由图易发现“过线的走法”，必先碰到直线， 将碰直线后的路径关于对称，可得均过点， 所以每一种“过线的走法”即对应着从到的走法，共有种， 所以走法总数为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列的前和是 C. 数列是等差数列 D. 数列的前10项和是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式和等比前和公式，等差数列的定义法证明方法，和等差数列前和公式，分别判断各选项正误. 【详解】由题可得， 则，所以数列是等比数列，故A正确；，故B不正确； 已知，，故是等差数列，故C正确； 则，故D错误. 故选：AC. 10. 已知多项式，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，求出特定项的系数，在通过赋值法，求出部分项的系数的和，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】令，即，故A正确； 可知的展开式为， 则项的系数，故B正确； 令，即，所以，故C错误； 令，即，联立可得. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，函数仅有一个零点 B. 当时，若在上单调递增，则 C. 若恒成立，则 D. ，都存在极值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，令，求解判断；对B，由题可得恒成立，分离参数求出最值得解；对C，由题得，分析与的单调性和零点得，结合基本不等式求解；对D，求导，利用极限思想判断和时的取值，结合零点存在性定理和极值点的概念判断. 【详解】对于A，当，时，函数，由，得或，得，故A正确； 对于B，当时，在上单调递增， 则在上恒成立，， 在上单调递增，，即，故B正确； 对于C，由知，与同号，令，解得，令，解得， 和单调递增，，即， 由，得，即，，故C错误； 对于D，，当时，，当时，， 在上一定有变号零点，一定存在极值点.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________ 【答案】48 【解析】 【分析】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案. 【详解】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有种选法， 再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有种选法， 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是. 故答案为：48. 13. 已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列性质，可得数列为等差数列，求出其公差和首项，利用等差数列前项和公式求解. 【详解】根据等差数列性质，数列为等差数列，设其公差为. 因为，， ，又，， . 故答案为：. 14. 甲、乙、丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙、丙比赛胜率均为，且各场比赛的结果均相互独立.由抽签法决定哪两名运动员参加第一场比赛，记甲参加第场比赛的概率为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型求出甲第一场参加比赛的概率，根据题目信息，求出每场参加比赛的概率与上一场惨叫比赛概率之间的关系，根据递推公式，求出通项公式. 【详解】由题意可知，第场上场，则第场继续上场的概率为，若第场没有上场比赛，则第场必定上场比赛； 可得，则，即，为等比数列， 易知，则首项为，公比为. ，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等比数列，，且，，构成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为，，由题列出的方程运算得解； （2）由（1）求出，利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 设数列的公比为，由，则， 由，得，解得或（舍）. 因为，，成等差数列，所以. ，即，解得或（舍）. 所以. 【小问2详解】 由（1）知，. 则. 所以. 16. 某种产品每吨成本6万元，其销售价格（万元/吨）和销售量（吨）的变化情况如下表： 7 7.5 8 8.5 9 10 9 8.5 7.5 5 （1）若与线性相关，求关于的经验回归方程； （2）根据（1）的结论，预测要使该产品销售利润最大，销售价格是多少？（结果精确到0.1） 附：（参考公式，） 【答案】（1） （2）预测销售价格是8.7万元/吨时，该产品销售利润最大 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用最小二乘法公式求出经验回归方程. （2）由（1）的结论，求出销售利润函数式，再借助二次函数最值求解. 【小问1详解】 依题意，，. . . 因此，. 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 销售利润为. 当时，取得最大值， 所以预测销售价格是8.7万元/吨时，该产品销售利润最大. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数在上的单调性. 【答案】（1）极大值为，极小值为； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据导数的符号确定区间单调性，进而求极值； （2）对函数求导，应用分类讨论及导数的区间符号确定区间单调性. 【小问1详解】 当时，，则， 令，即，则或. 令，即，则. 在，上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由题. ①当时，，则时，时， 在上单调递减，在上单调递增. ②当时，则时，或时， 在，上单调递增，在上单调递减. ③当时，则在上恒成立，故在上单调递增. ④当时，则时，或时， 在，上单调递增，在上单调递减. ⑤当时，，则时，时， 在上单调递增，在上单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 18. 某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于55%为优级品，固形物含量低于55%且不低于50%为一级品，固形物含量低于50%为二级品或不合格品. （1）现有5瓶水果罐头，已知其中3瓶为优级品，2瓶为一级品. （ⅰ）若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这5瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出5瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； （2）已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在5次独立重复抽检中，至少有3次抽到优级品的概率不小于，求的最小值. 【答案】（1）（i）； （ii）分布列： 2 3 4 数学期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据古典概型概率计算公式，求出事件概率. （ii）根据不同的检验顺序，分析所有可能的情况，再根据分步乘法计数原理，求出事件概率，写出分布列，计算期望. （2）根据二项分布的概率公式，计算至少有3次抽到优级品的概率，列出不等式，求出参数范围，写出最小值. 【小问1详解】 （i）5瓶水果罐头，其中3瓶为优级品，2瓶为一级品，抽出一瓶优级品后，还剩2瓶优级品，2瓶一级品，再抽一级品的概率为； （ii）的所有可能取值为：2，3，4， 当时，即最先抽出两个一级品，则. 当时，分为最先抽出三个优级品，和先抽一个优级品一个一级品，第三个抽一级品两种情况， 则. 当时，前三个为两个优级品一个一级品，第四个为一级品，和第四个为优级品两种情况， 则. 的分布列为： 2 3 4 . 【小问2详解】 记在5次独立重复抽检中，至少有3次抽到优级品的概率为，其中； 则. ； 在单调递增. 又，则. 的最小值为. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，记作，. （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，得解； （2）（ⅰ）问题转化为在上有两个根，，令，求导判断的单调性和最小值，问题转化为在上有两个根，分离参数，令，求导判断单调性最值，得解；（ⅱ）由（ⅰ）知，，可得，利用分析法转化为即证，令，即证在上恒成立，利用导数判断单调性求出最值得证. 【小问1详解】 当时，， 则，. 又，在处的切线方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题知，在上有两个根，， ，即. 令，则. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 所以问题转化为在上有两个根. 易知，故， 令，则. 当时，，单调递增 当时，，单调递减. 又，时，，时，， 且时，；时，， ，解得，即参数的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，两式相减得 ， 要证， 即证， 即证， 即证， 令，即证在上恒成立. 令， ， 令， ， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增. ， ，得证， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $