四川遂宁市2025-2026学年高二下期期末教学质量监测数学试题

**基本信息** 高二下期期末数学监测卷，以概率统计、导数、排列组合为核心，通过商场抽奖、电动摩托车销售回归等真实情境，考查数学眼光观察现实、数学思维分析问题、数学语言表达规律的能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|方差、排列组合、独立性检验、导数几何意义|结合电路路径、课程意愿调查等情境，基础与应用结合| |多选题|3/18|概率事件关系、导数极值、数列递推|设置互斥/独立事件判断、抽奖概率递推，考查逻辑推理| |填空题|3/15|二项式常数项、古典概型、函数构造|需构造函数解决抽象方程，体现数学抽象能力| |解答题|5/77|排列组合应用、导数零点、概率分布、回归分析、导数综合|以电动摩托车销售回归分析（含模型选择、预测、净利润计算）、综艺答题概率分布为载体，层次分明，强调数学建模与数据应用|

高中2027届高二下期期末教学质量监测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题，满分58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知离散型随机变量的方差，若离散型随机变量，则 A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，若电路从到只有一条支路接通，则不同的路径有 A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 3． 某学校计划开设一门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到如下 的列联表：（单位：人） 性别 参加该课程的意愿 合计 愿意参加 不愿意参加 男生 30 女生 30 合计 50 100 则由列联表计算= （附：，） A． B．5 C． D． 4 4．曲线在点处的切线的倾斜角为 A. B. C. D. 5．为了解户籍性别对前沿工科选择倾向的影响，某县域高中从高三学生中随机抽取了容量 为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男生60人，女生40人，绘制 不同群体中倾向选择前沿工科与不选择前沿工科的人数比例图（如图所示），其中阴影 部分表示倾向选择前沿工科的对应比例，则 A．是否倾向选择前沿工科与户籍无关 B．是否倾向选择前沿工科与性别有关 C．倾向选择前沿工科的人员中，男生人数与女生人数相同 D．倾向不选择前沿工科的人员中，农村户籍人数多于城镇户籍人数 6．在的展开式中，第3项的二项式系数为15，则 A．10 B．15 C．20 D．25 7． 已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小 二乘法得到的经验回归方程为，若增加两个数据后，得到新 的经验回归方程，则此时数据的残差为 A． B． C．1 D．2 8．初等函数被定义为：由常数与基本初等函数（幂、指数、对数、三角等）经有限次有理 运算（加、减、乘、除）和有限次复合得到的、能用一个解析式表示的函数。如函数 （），我们可以作变形：，所以可看 作是由函数和复合而成的，即（）为初等函数．根 据以上材料，对于初等函数（），则 A．的单调递增区间 B．有极大值 C．的单调递减区间 D．有极小值2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知为样本空间上的两个随机事件，其中，，则 A． B．如果与为互斥事件，则 C．如果,则 D．如果与相互独立时,则 10．已知函数，则 A．当时，有两个极值点 B．当时，过点可作曲线的两条切线 C. ，使得有两个零点 D．,点都是曲线的对称中心 11．某商场开展为期5天的庆五一抽消费券活动，活动要求：在商场消费满200元的顾客 可以通过手机扫码参与消费券抽奖活动，已知第一次中奖的概率为；从第2次抽奖 开始，若前一次未中奖，则本次中奖的概率为，若前一次中奖，则本次中奖的概率 为，记第次中奖的概率为，则 A． B．数列为等比数列 C．对任意正整数,都有 D．当时，越大，越小 第Ⅱ卷（非选择题，满分92分） 注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．在二项式的展开式中，常数项为 ▲ . 13．一箱6罐的饮料中2罐有奖券，从中一次性任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率是 ▲ . 14．已知，并满足，，则 ▲ . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 某医院某科室现有3名医生和4名护士.（结果用数字作答） （1）①若4名护士排成一行，则有多少种不同的排法？ ②若7人排成一行，甲、乙两人必须排在两端，则有多少种不同的排法？ （2） 该科室开展义诊活动，需要临时从中抽调3名医护人员，为了保障该科室工作正常运 作，该科室内至少需要留有1名医生和2名护士，则不同的抽调方案共有多少种？ ▲ 16．（15分） 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若，且函数有2个零点，求的取值范围． ▲ 17. （15分） 在综艺答题闯关节目中，每轮比赛，两位参赛选手各答一道题目，计分规则：一人答对、一人答错时，答对者得2分，答错者得0分；两人都答对，每人各得1分；两人都答错，则两人均得0分。已知甲,乙两人实力相当，每轮答题正确率都为，且两人答题相互独立，每轮比赛也相互独立，比赛共进行3轮。 （1）设表示在3轮比赛中，甲得2分的轮数，求的分布列和数学期望； （2）若比赛结束后，累计得分高者获胜晋级，求甲最终获胜晋级的概率是多少？ ▲ 18．（17分） 重庆某大型电动摩托车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入，该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，且的方差为2，的方差为8.06，现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回 归方程，并预测年广告费为9（百万元）时，产品的年销售量是多少？ （3）该公司生产的电动摩托车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在 加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动 摩托车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量 服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该 公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量- 年广告费-年研发经费-随机变量）. 附： ①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. ▲ 19．（17分）已知函数其导函数为，且函数。 （1）求的单调区间； （2）设为的极小值，证明：. （3）若恒成立，求的取值范围. ▲ 高2027届高二下期期末教学质量监测 数学试题参考答案及评分意见 一、单选题（每个5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D A D B A B 8. 解析：依题意，，，求导得：，由，得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以有极大值，无极小值.故选：B 二、多选题（每个6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 题号 9 10 11 答案 ABD ACD ABC 11. 解析：由，故A项正确； 依题,整理可得： 首项，数列以为首项，以为公比的等比数列，故B项正确； 由于，奇数项大于，偶数数项小于，故正确，即C项正确；,由于是负数，并非单调递减，D项错误。 三､填空题：（每小题5分，共15分．） 12. 240 13. 14. 14. 解析：由可得，由题意可知， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增，由可得， 所以，，由可得，则，且，① 由可得，则，由题意可知， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 由，即，可得，所以，， 由可得，且，则，② 令，其中，则，所以，函数在上为增函数， 由①②可得，所以，，可得，所以。 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分） 15. 解析：（1）①4名护士排成一行有种排法；………………………2分 ②先排甲、乙，再排其余5人，根据分步乘法计数原理，共有种排法；……………………………………………………………………………………6分 （2）要使科室内至少留有1名医生和2名护士，则有以下两类情况： ①抽调的3名医护人员由2名医生1名护士组成，则有种;……………9分 ②抽调的3名医护人员由1名医生2名护士组成，则有种. …………12分 所以不同的抽调方案共有种. …………………………………………13分 16. 解析：（1）当时，则，于是， 令，即，得………………3分 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增，……………………6分 故有极小值为，无极大值………………………………………7分 （2）当，有2个零点，即方程有2个实数解， 设，，令，得……………10分 当时，，则在单调递减，且时， 当时，，则在单调递增，且时，，的最小值为， 所以要使函数有2个零点，则需， 故的取值范围为 ………………………15分 17.解析：（1）每轮比赛“甲得2分”的概率为 ………………………2分 因为每轮比赛相互独立，故服从二项分布 ……………………………4分 故的分布列为 0 1 2 3 ………………………………7分 的数学期望为 或法2： …………8分 （2）每轮比赛甲得2分的概率为，乙得2分的概率为，两人均得1分或均得0分，即两人分差为0的概率为. 甲最终获胜可分为以下三种情况： 1 甲3轮都得2分，其概率为； ………………………………………10分 ②甲有2轮得2分，另1轮乙得2分或分差为0，其概率为； ………………………………12分 ③甲有1轮得2分，另外2轮分差为0，其概率为. …………………………………14分 综上，甲最终获胜的概率为 …………………………………15分 18. 解析：（1）设模型①和②的相关系数分别为，，因为的方差为2，的方差为8.06，所以，，则由题意可得：，………………………………2分 ,………………4分 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. ……………5分 （2）因为， ………………………………7分 又由，， ………………………………8分 得， ………………………………9分 所以，即回归方程为， ………………………………10分 当时，， 因此当年广告费为9（百万元）时，产品的销售量大概是15（百万辆）. ……11分 （3）净利润为，， ………………………………12分 令，所以，由，解得，由，解得，所以在上为增函数，在上为减函数， 所以，…………………………14分 由题意得：，即， ………………………………15分 ，即该电动摩托车公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.15 ………………………………17分 19. 解析：（1）令， 因为 时，； 时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为 ……………………………………5分 （2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为 因为，，，所以存在使得，且当时，；当时 ，；当时，.因此在区间上递减，在上递增，在上递减.所以的极小值为，因为， ，所以。 故 ………………………………………10分 （3）由知，，即 设,则,且，于是上述不等式化为，即. 设（） 由，知时 ，；时，。所以在区间上递减，在上递增。于是 ，且时，，所以，当时，的值域为，即的取值范围为 ………………………………………13分 故恒成立，等价于当时，不等式 恒成立。 设，则，当时，；当时，，于是在上递减，在上递增。 所以在上的最小值为 ，…………………………16分 所以，即的取值范围为。…………………………17分 高二数学试题第15页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $