精品解析：河北省保定市高碑店市部分校2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】分式值为0需要满足分子为0，同时分母不为0，根据该条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为 ∴，且 解方程得， 当时，，符合分母不为0的要求 ∴的值为． 3. 单项式与的公因式为（ ） A. a B. b C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据公因式的确定方法，先找系数的最大公约数，再取各项共有的相同字母的最低次幂，相乘即可得到结果． 【详解】∵单项式的系数为，所含字母为；单项式的系数为，所含字母为 ∴系数的最大公约数为，两项共有的相同字母为，的最低次数是， ∴两个单项式的公因式为． 4. 如图，用水平向右的拉力拉动滑块使其向右平移，若，，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，平移的距离为：． 【详解】解：∵，， ∴平移的距离为：． 5. 下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将多项式化为几个整式乘积的形式叫做因式分解，可通过提公因式法、公式法判断各选项是否能分解． 【详解】解：选项A，无法继续分解为多个次数不低于1的整式乘积，不能因式分解， 选项B，没有公因式，也不符合常用因式分解公式，不能因式分解， 选项C，没有公因式，也不符合常用因式分解公式，不能因式分解， 选项D，可提取公因式，得到，符合因式分解要求． 6. 如图，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 7. 嘉嘉制作了一份某市的（城市漫步）打卡地图，地图上的打卡点分为口袋公园和潮流街区两类，这两类加起来共13个打卡点．其中，口袋公园打卡点的数量不少于潮流街区打卡点数量的2倍．若设此城市潮流街区打卡点的数量为x个，则可得不等式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据总打卡点数量表示出口袋公园打卡点的数量，再根据题目给出的不等关系列出不等式即可． 【详解】解：∵设潮流街区打卡点数量为个，两类打卡点共13个， ∴口袋公园打卡点的数量为个， 又∵口袋公园打卡点的数量不少于潮流街区打卡点数量的倍， ∴可得不等式． 8. 已知，若，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知关系式代入不等式，化简后即可求出的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴ ∴． 9. 如图，线段相交于点O，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成平行四边形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，解答即可． 【详解】解：①如图，可得四边形为平行四边形； ②如图，可得四边形为平行四边形； ③如图，可得四边形为平行四边形； ④如图，可得四边形为平行四边形； 综上可得，这些点可以构成4个平行四边形． 10. 若，则表示的值的点落在区间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，把 变形为，根据，得到，进而可得的取值范围． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴表示的值的点落在区间． 11. 如图，M，N分别是边上的点，与交于点P，与交于点Q，P为的中点．若，，阴影部分的面积为S，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明，得到四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质“平行四边形对角线所分的四个三角形的面积相等”求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 如图所示，连接， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 12. 如图，在中，，，，D为其内部一动点，，E为的中点，连接，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】结合勾股定理可得，取的中点F，连接，则，证明，可得，从而得到当点C，D，F在同一条直线上时，取最小值，此时最小值为的长，即可求解． 【详解】解：∵，E为的中点， ∴无法确定与的大小关系，故选项A不正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴，∴选项B不正确； 如图，取的中点F，连接，则， ∵，E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，D，F在同一条直线上时，取最小值，此时最小值为的长． ∵， 即的最小值为，故D选项正确，C选项不正确． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 14. 若x为整数，且x满足，则x的值可以为______．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再确定不等式组的解集，最后找出解集中的整数，任写一个即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此，不等式组的解集为：， 为整数， 的值可以为1． 15. 如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D，且点D在边上，则的长为______． 【答案】1.8 【解析】 【分析】先由平移的性质得到，，，再由旋转的性质得到，则是等边三角形，，再根据即可求解． 【详解】解：∵将沿射线的方向平移，得到， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 16. 如图，在中，，，，动点M，N分别在边，上，且，以为边作等边，且点P始终在的内部或边上，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，从而得到当点P在边上时，的面积最大，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在边上时，的面积最大， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，设与交于点G， 同理， ∴的面积． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式或不等式组 （1）解不等式，并在所给的数轴上表示其解集． （2）解不等式，并在所给的数轴上表示其解集． （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），在数轴上表示其解集如下： （2），在数轴上表示其解集如下： （3） 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来； （2）根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来； （3）结合（1）（2），写出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，；数轴略； 【小问2详解】 解：， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，；数轴略； 【小问3详解】 解：结合（1）（2）问结果可得不等式组的解集为． 18. 在对“”进行因式分解时，嘉嘉和淇淇两名同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 嘉嘉： 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 淇淇： 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 任务： （1） （填“嘉嘉”或“淇淇”）的解答错误，从第 步开始出现错误． （2）按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程． 【答案】（1）淇淇；一 （2）按照淇淇同学的思路，写出正确的解答过程如下： 原式． 【解析】 【分析】（1）淇淇在第一步运用平方差公式分解因式时，第二个括号内的b前面的符号错误； （2）先运用平方差公式分解因式，再提取公因数分解因式即可． 【小问1详解】 解：观察可知，淇淇的解答过程错误，从第一步开始出现错误，错误原因是第一步运用平方差公式分解因式时，第二个括号内的b前面的符号错误； 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出将向右平移6个单位长度后得到的． （2）画出关于原点O对称的． （3）将绕某点旋转后得到，其中点A的对应点是，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移方式确定对应点的坐标，再描点，连线作图即可； （2）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数确定对应点的坐标，再描点，连线作图即可； （3）旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求． 20. “这么近，那么美，周末到河北．”河北省某地旅游景点为方便游客游览，现提供免费的观光车，观光车分为两种类型，分别为电瓶车和小火车，每辆小火车的座位比电瓶车多20个．某旅游团有120人，此旅游团成员全部乘坐观光车游览，若每一辆观光车都坐满乘客，且该旅游团全部乘坐电瓶车所需的数量是全部乘坐小火车所需数量的2倍．设乘坐的电瓶车每辆车的座位数为x个． （1）若旅游团成员全部乘坐电瓶车，则需 辆电瓶车；若旅游团成员全部乘坐小火车，则需 辆小火车．（都用含x的式子表示） （2）求x的值． 【答案】（1）； （2）x的值为20 【解析】 【分析】（1）先明确电瓶车座位数为，因为每辆小火车座位比电瓶车多20个，所以小火车每辆座位数为，根据总人数除以单辆车座位数等于车辆数，即可分别表示出乘坐两种车的数量． （2）因为题目给出乘坐电瓶车的数量是小火车数量的2倍，所以可以根据第一问得到的两个车辆数表达式，建立分式方程．求解所得的分式方程，最后对解进行检验，判断是否符合实际意义． 【小问1详解】 解：；． 【小问2详解】 解：由题意，得， 两边都乘以，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴x的值为20． 21. 如图，在四边形中， ，于点E，于点F，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图，与交于点G，过点G作，交的延长线于点H．若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． （2）5 【解析】 【分析】（1）先证明可得，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）由平行四边形的性质可得，．结合可知是的垂直平分线，即，再利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 22. 综合与实践 【情境】研究如图所示的四边形铁板零件的边长、角度和面积，并为其添加一个焊接点． 【操作和测量】如图，连接，测量得知，，查询零件出厂说明得知，，． （1）的形状为 三角形． （2）求的度数，并直接写出四边形的面积． （3）焊接点P的位置满足以下两个要求：①到点A，C的距离相等，②到两边的距离相等．请按上述两个要求在图中标注出点P的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）等腰直角 （2），四边形的面积为 （3）如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理解答即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理逆定理可得，即可求解； （3）作的垂直平分线与的角平分线交于点P，即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴四边形的面积； 【小问3详解】 略 23. 阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 解决下列问题： （1）若k为任意实数，求证：一定为非负数． （2）若，求x的值． （3）若，请直接写出x的值． 【答案】（1）证明：由题意得： ， ∵， ∴，即， ∴一定为非负数． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据材料中的定义化简、结合完全平方公式即可得证； （2）根据材料中的定义可得或，分别求出的值，代入进行检验即可； （3）得出，则可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：∵， ∴或， ①当时，解得，经检验，是这个分式方程的解， 将代入得：， 此时，舍去； ②当时，解得，经检验，是这个分式方程的解， 将代入得：， 此时，符合题意； 综上，的值为． 【小问3详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴． 24. 如图，在等腰梯形中，，． 【猜想证明】如图1，过点C作，交的延长线于点E． （1）猜想的形状，并说明理由． 【深入探究】如图2，M为的中点，，点N在边上，，，． （2）若P为的中点，Q为的中点，求的长． （3）请直接写出的长． 【答案】（1）解：为等腰三角形． 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，等量代换得到，即可证明为等腰三角形； （2）延长，交的延长线于点H，过点A作于点F，连接，先证明，再根据直角三角形的性质求得，再根据勾股定理得，求出,最后根据中位线定理求解即可； （3）延长，交的延长线于点H，过点A作于点F，过点D作于点G．先证得四边形是平行四边形，再由，得到，最后证得即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图所示，延长，交的延长线于点H，过点A作于点F，连接， ∴， ∵，， ∴，， ∵M为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴．由勾股定理，得， ∴． ∵，， ∴． 由勾股定理，得， ∴． ∵P为的中点，Q为的中点， ∴． 【小问3详解】 解：如图2，延长，交的延长线于点H，过点A作于点F，过点D作于点G． 由（2）知，， ∴． 在中，，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 分式的值为0，则x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 单项式与的公因式为（ ） A. a B. b C. D. 4. 如图，用水平向右的拉力拉动滑块使其向右平移，若，，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的值为（ ） A. B. C. D. 7. 嘉嘉制作了一份某市的（城市漫步）打卡地图，地图上的打卡点分为口袋公园和潮流街区两类，这两类加起来共13个打卡点．其中，口袋公园打卡点的数量不少于潮流街区打卡点数量的2倍．若设此城市潮流街区打卡点的数量为x个，则可得不等式（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，线段相交于点O，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成平行四边形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 若，则表示的值的点落在区间（ ） A. B. C. D. 11. 如图，M，N分别是边上的点，与交于点P，与交于点Q，P为的中点．若，，阴影部分的面积为S，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，，D为其内部一动点，，E为的中点，连接，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：______． 14. 若x为整数，且x满足，则x的值可以为______．（写出一个即可） 15. 如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D，且点D在边上，则的长为______． 16. 如图，在中，，，，动点M，N分别在边，上，且，以为边作等边，且点P始终在的内部或边上，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式或不等式组 （1）解不等式，并在所给的数轴上表示其解集． （2）解不等式，并在所给的数轴上表示其解集． （3）直接写出不等式组的解集． 18. 在对“”进行因式分解时，嘉嘉和淇淇两名同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 嘉嘉： 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 淇淇： 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 任务： （1） （填“嘉嘉”或“淇淇”）的解答错误，从第 步开始出现错误． （2）按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出将向右平移6个单位长度后得到的． （2）画出关于原点O对称的． （3）将绕某点旋转后得到，其中点A的对应点是，则旋转中心的坐标是 ． 20. “这么近，那么美，周末到河北．”河北省某地旅游景点为方便游客游览，现提供免费的观光车，观光车分为两种类型，分别为电瓶车和小火车，每辆小火车的座位比电瓶车多20个．某旅游团有120人，此旅游团成员全部乘坐观光车游览，若每一辆观光车都坐满乘客，且该旅游团全部乘坐电瓶车所需的数量是全部乘坐小火车所需数量的2倍．设乘坐的电瓶车每辆车的座位数为x个． （1）若旅游团成员全部乘坐电瓶车，则需 辆电瓶车；若旅游团成员全部乘坐小火车，则需 辆小火车．（都用含x的式子表示） （2）求x的值． 21. 如图，在四边形中， ，于点E，于点F，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图，与交于点G，过点G作，交的延长线于点H．若，，求的长． 22. 综合与实践 【情境】研究如图所示的四边形铁板零件的边长、角度和面积，并为其添加一个焊接点． 【操作和测量】如图，连接，测量得知，，查询零件出厂说明得知，，． （1）的形状为 三角形． （2）求的度数，并直接写出四边形的面积． （3）焊接点P的位置满足以下两个要求：①到点A，C的距离相等，②到两边的距离相等．请按上述两个要求在图中标注出点P的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 23. 阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 解决下列问题： （1）若k为任意实数，求证：一定为非负数． （2）若，求x的值． （3）若，请直接写出x的值． 24. 如图，在等腰梯形中，，． 【猜想证明】如图1，过点C作，交的延长线于点E． （1）猜想的形状，并说明理由． 【深入探究】如图2，M为的中点，，点N在边上，，，． （2）若P为的中点，Q为的中点，求的长． （3）请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $