精品解析：山东省济南市平阴县2024--2025学年八年级下学期期末数学试卷

山东省济南市平阴县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 温馨提示：1．本试题分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分． 2．答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题． 第I卷 选择题（40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据定义逐一判定即可得答案，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、等式从左到右为整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式左边是单项式，从左到右为单项式变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式右边是多项式，从左到右属于整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式从左到右是因式分解，该选项符合题意； 故选：． 3. 用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解： ， ， ； 故选B． 4. 如图，在 中，D是的中点，， ，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到 等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵在 中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴ 等边三角形， ∴． 故选：A． 5. 如图，已知直线与相交于点（2，），若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：根据题意当x＞2时，若y1＞y2． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 6. 如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号．根据题意得到 ，，由此根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由题意得， ，， ∴，，，， 观察四个选项，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 7. 若关于的一元二次方程的一个根是 ，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根 ，代入， 可得，解之得； ∴ ； 故选：A． 8. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有无意义，及分式的值为0， 根据分式的分子等于0时，分式的值为0，可得分式的分子，再根据分式的分母等于0时，分式无意义得出分母即可. 【详解】解：当时，，可知分式的分子中含有因式 ； 当时，分式无意义，可知分式的分母中含有因式 ， 所以y代表的分式可能是. 故选：B. 9. 如图，在菱形 中， ，分别以点A和B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接 ，若 ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得 ，利用勾股定理即可求出 的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分 ， ∴， ∴， ∴， 在等腰 中， ， ∴， ∵四边形 为菱形， ∴， ∴， 在 中，由勾股定理，则 ； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到． 10. 如图，已知正方形 的对角线、交于，是的中点，线段（点 在点 的左边）在直线上运动，连结、．若， ，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线的性质，两点之间线段最短，勾股定理，能将两线段和的最小值化为一条线段的长来表示是解题关键． 作的中点，连接、、、，与交于点，证得四边形是平行四边形，得，由正方形的性质得，则得出，通过勾股定理求的长，即可求解． 【详解】解：如图，作的中点，连接、、、，与交于点， 四边形 是正方形， ， ， ， ，， 是的中点，是的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形 是正方形， 、 关于对称， ， ，即点 与点重合时，最小，最小值为的长， ，， 中，． 故选：A． 第II卷 非选择题（110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案． 11. 若将点向左平移2个单位后得到的点的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，直接利用平移中点的变化规律求解即可，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，理解并掌握平面直角坐标系中点的平移规律是解题的关键． 【详解】将点向左平移2个单位后得到的点的坐标为，即． 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 13. 如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则 的度数为______． 【答案】##132度 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：，每个内角为：， 正六边形内角和为：，每个内角为：， 因此， 故答案为：． 14. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移，由平移的性质得，，即得，进而可求出四边形的周长，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移的性质得，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 故答案为：． 15. 小明同学手中有一张矩形纸片 ，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把 沿折叠得到，交折痕于点 ，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在 中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即． 三、解答题：共10小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解不等式（组）：，并写出它的整数解． 【答案】 ，不等式组的所有整数解为0，1，2，3 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、求不等式组的整数解，正确求得不等式组的解集是解答的关键．先求得每个不等式的解集，再求得其公共部分即可得不等式的解集，进而可求解． 【详解】解： 由①得 ； 由②得； ∴不等式组的解集为 ， ∴不等式组的所有整数解为0，1，2，3． 17. 先化简，再求值： 化简，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简与求值和二次根式的运算，先根据分式的运算法则对原式进行化简，再把x的值代入化简后的算式计算即可．根据分式的运算法则对分式进行正确的化简是解题关键． 【详解】解：， ， ， ， ； 当时，原式． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法计算即可； （2）根据公式法计算即可． 【小问1详解】 解： 或 ； 【小问2详解】 解：整理得 即 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘 ，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘 ，化为整式方程，求出结果检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘 ，得， 解得 ， 检验：将 代入 得 ， 是原方程的增根， 原方程无解； 【小问2详解】 解：方程两边同时乘 ，得， 解得， 检验：将代入 得， 所以，是原方程的根． 20. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：∵ 四边形 是平行四边形 ∴ ∴ 在和 中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行以及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 21. 如图，在中，，D是的中点，过点A作 ，且 ，连接 ． （1）求证：四边形 是矩形： （2）若，，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）由，D是的中点，得到 ，再证明四边形 是平行四边形，即可得出结论； （2）根据等腰三角形性质，由，得，根据勾股定理求出，再根据矩形性质求出 的长． 【小问1详解】 证明：，D为的中点， ， ， ， ∵ ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是矩形． 【小问2详解】 解：， ， 为的中点，， ∴， ， 四边形 是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，熟记矩形性质与判定及等腰三角形性质是解题关键． 22. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， (元)． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． 【小问2详解】 设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元，则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， (台)． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到 ，请作出；并写出点的坐标______________； （3）在平面上是否存在点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析， （3）或或 【解析】 【分析】此题考查了平移和旋转的作图、平行四边形的性质和判定等知识，熟练掌握平移和旋转的作图是关键． （1）已知平移得到点的坐标为，即可得到平移规律为向右平移5个单位，向下平移6个单位，据此得到 经过平移后得到的对应点，再顺次连接、即可得到； （2）作出绕点按顺时针方向旋转得到的对应点，顺次连接即可得到，并写出点的坐标即可； （3）根据平行四边形的判定和性质找到所求的点即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 如图，即为所求，点的坐标； 故答案为： 【小问3详解】 如图，点D的坐标为或或． 24. 问题背景： 在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了． 某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．其原理是：将一个多项式分解因式因式分解的结果为，当 时，，，此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011． 实际应用： （1）根据上述方法，小明同学设置了智学网登录密码：多项式分解因式后利用x，y的数值设置密码，当，时，请破解小明的密码是多少； （2）学校管理员设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底分别为不同的整数x，y，请，你破解出由多项式分解因式后得到的密码． 拓展应用： （3）若多项式因式分解后，利用前面的方法，当时，得到的密码为242932，求m，n的值． 【答案】（1）小明的密码是060912；（2）010509；（3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． （1）先利用提取公因式法把多项式分解因式，然后按照已知条件求出分解因式后的所有因式的值，从而得到密码即可； （2）先根据等腰三角形的周长公式求出x，y，再把多项式分解因式，从而求出密码即可； （3）先把分解因式，然后设，再根据当时，可以得到密码为242932，求出a，b，从而求出和，从而列出关于m，n的方程组，解方程组求出m，n即可． 【详解】解：（1） ， 当，时，，， ∴小明的密码是060912； （2）∵一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底分别为不同的整数x，y， ∴， ∵x，y都为整数， ∴或（不合题意，舍去） 当 ， 时， ，， ∴多项式分解因式后得到的密码010509； （3） ， 设， ∵当时，可以得到密码为242932， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴， 由②得： ， 把 代入①得：， ∴， ． 25. 在中，点是线段 上一动点，连接．将线段 绕点 逆时针旋转至 ， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 （1）如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点 ，使 ，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 （2）如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图， 已知在中， ， ， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． 【答案】（1） ， ； （2） 解： ． 证明： 如图， 延长至点 ， 使得 ， 连接， ∵ ， ∴ ， ∵， ， ∴， 由旋转得 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（）利用余角性质可得 ，进而由 可证明 ，得到 ，再由三角形中位线性质可得 ； （）如图， 延长至点 ， 使得 ， 连接，同理（）即可求解； （）如图， 在线段上作 ， 连接， 延长至点 ， 使得 ， 连接，同理（）可得 ，进而知当 时， 最短， 此时取得最小值，利用直角三角形的性质求出即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，余角性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ， ∴ ， 又由旋转可知，， ∴， ∴ ， 即 ， ∵ 是的中点， ， ∴为的中位线， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 如图， 在线段上作 ， 连接， 延长至点 ， 使得 ， 连接， ∴ ， ， 由旋转得 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ∵ ， ， ， ∵点在线段 上运动， ∴当 时， 最短， 此时取得最小值， 如图， ∵ ， ， ， ∴ ， ， ， ∴线段 长度的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济南市平阴县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 温馨提示：1．本试题分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分． 2．答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题． 第I卷 选择题（40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，D是的中点，， ，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 5. 如图，已知直线与相交于点（2，），若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 3 8. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … A. B. C. D. 9. 如图，在菱形 中， ，分别以点A和B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接 ，若 ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形 的对角线、交于，是 的中点，线段（点在点 的左边）在直线上运动，连结、 ．若， ，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案． 11. 若将点向左平移2个单位后得到的点的坐标为_______________． 12. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 13. 如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则 的度数为______． 14. 如图，将周长为的 沿方向平移个单位得到，则四边形的周长为______． 15. 小明同学手中有一张矩形纸片 ，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把 沿折叠得到，交折痕于点，则线段的长为___________． 三、解答题：共10小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解不等式（组）：，并写出它的整数解． 17. 先化简，再求值： 化简，其中 18. 解方程： （1） （2） 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证： ． 21. 如图，在 中，，D是的中点，过点A作 ，且 ，连接 ． （1）求证：四边形 是矩形： （2）若，，求 的长． 22. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，请解答下列问题： （1）若 经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； （2）将 绕点按顺时针方向旋转得到 ，请作出；并写出点的坐标______________； （3）在平面上是否存在点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 24. 问题背景： 在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了． 某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．其原理是：将一个多项式分解因式因式分解的结果为，当 时，，，此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011． 实际应用： （1）根据上述方法，小明同学设置了智学网登录密码：多项式分解因式后利用x，y的数值设置密码，当，时，请破解小明的密码是多少； （2）学校管理员设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底分别为不同的整数x，y，请，你破解出由多项式分解因式后得到的密码． 拓展应用： （3）若多项式因式分解后，利用前面的方法，当时，得到的密码为242932，求m，n的值． 25. 在 中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至 ， 记旋转角为 ， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 （1）如图， 已知 是等腰直角三角形， ， ，．延长至点 ，使 ，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 （2）如图， 已知 是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图， 已知在 中， ， ， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $