精品解析：山东省东营市广饶县2025-2026学年第二学期期末考试 八年级数学试题

2025-2026学年第二学期期末考试 八年级数学试题 （总分130分考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，100分． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一．选择题：本大题共10小题，每小题给出的四个选项中，只有一项正确，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 2. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 6. 若关于x的方程有实数根，则m的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线的图象上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线交于点B，连接AB，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则线段AB的长为（ ） A. B. C. D. 3 10. 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 方程的根为_______． 12. 如图，直线过点，且，则______． 13. 如图，小颖为测量学校旗杆的高度，她在C处放置一块镜子，然后退到D处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部A．已知小颖的眼睛E离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子C离旗杆的底部B处的距离，且B，C，D三点在同一水平直线上，则旗杆的高度为______． 14. 如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 15. 如图，在一笔直的海岸线上有相距的两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是________． 16. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 17. 如图，已知，垂足分别为D、E，联结，如果，那么______． 18. 如图，中，，，边上的高，点、、分别在边、、上，且四边形为正方形，点、、分别在边、、上，且四边形为正方形，按此规律操作下去，则线段的长度为____． 三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 已知是锐角，且． 求的值． 20. 如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为，为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （1）求的高度． （2）如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向右移多少时，才能确保山体不滑坡．（取） 21. 如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 （1）由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； （2）嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 22. 如图在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数图像的任意一点，若，求点P的坐标． 23. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． （1）像的长度为________； （2）如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 24. 综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． （1）【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图1所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米． （2）【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图2，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边的长． 25. 模型探究：如图1，D、E、F分别为三边BC、AB、AC上的点，且． （1）与相似吗？请说明理由； 模型应用：为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且． （2）如图2，当点D在线段BC上时，求的值； （3）如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求与的周长之比． 26. 关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角． （1）求sinA的值； （2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末考试 八年级数学试题 （总分130分考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，100分． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一．选择题：本大题共10小题，每小题给出的四个选项中，只有一项正确，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 2. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 3. 某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方． 【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D． 【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B； 当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键． 5. 如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形，可知，，然后根据平行线分线段成比例，可知，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ，即， ， 故选：C． 6. 若关于x的方程有实数根，则m的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此得到，进而求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， 选项A、B、C中的1、3、4满足，不符合题意，选项D中的5不满足，符合题意， 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解∶以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点A的坐标为， 点A的对应点的坐标为或， 即或． 故选∶B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线的图象上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线交于点B，连接AB，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点分别向轴做垂线，垂足分别为，证明，根据已知条件求得，进而根据即可求得答案，注意 【详解】解：如图，过点分别向轴做垂线，垂足分别为 轴，轴 ，在中，设，则 故选C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，反比例函数的几何意义，掌握三角形相似的性质是解题的关键． 9. 如图1，将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则线段AB的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用．已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图： 图1中的正方形面积为16， 正方形的边长为4， ∴直角三角形①中的长直角边为4， ， 解得：（已舍去负值）， ， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 12. 如图，直线过点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，过作轴于点，由，则，，然后根据正切的定义即可求解，掌握三角函数的有关定义是解题的关键． 【详解】解：过作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，小颖为测量学校旗杆的高度，她在C处放置一块镜子，然后退到D处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部A．已知小颖的眼睛E离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子C离旗杆的底部B处的距离，且B，C，D三点在同一水平直线上，则旗杆的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据题意可得，可证得，即可求解． 【详解】解：根据光的反射定律得：， 又， ∴， ∴，即， 解得， 即旗杆的高度为， 故答案为∶． 14. 如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可． 【详解】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在一笔直的海岸线上有相距的两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案． 【详解】过点C作CD⊥AB于点D， 根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°， ∠CBD=90°-30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°， ∴∠CAB=∠ACB， ∴BC=AB=4km， 在Rt△CBD中， ∴CD=BC•sin60°() ∴船C到海岸线的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用－方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义． 16. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 17. 如图，已知，垂足分别为D、E，联结，如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，先根据含角的直角三角形的性质得出，证明，得出，然后证明，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 18. 如图，中，，，边上的高，点、、分别在边、、上，且四边形为正方形，点、、分别在边、、上，且四边形为正方形，按此规律操作下去，则线段的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识点，根据题意确定三角形的相似比规律是解答本题的关键．先求得、、的长，设，则，，再根据正方形性质可得，所以，然后求得和的相似比，同理求得和的相似比，然后总结规律即可解答． 【详解】解：边上的高，， ， ， ， ， 设，则，， 四边形是正方形， ， ， ，即，解得， ，， 即和的相似比为， 同理：和的相似比为， 和的相似比， 依次类推，和的相似比为， ，即， ． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 已知是锐角，且． 求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 20. 如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为，为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （1）求的高度． （2）如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向右移多少时，才能确保山体不滑坡．（取） 【答案】（1） （2）坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡 【解析】 【分析】（1）作，交于，过点作于， 如图所示，得到四边形为矩形，利用矩形的性质，在中，利用勾股定理得到，求解即可得到； （2）在中，利用，列出式子求出，从而得到答案． 【小问1详解】 解：作，交于，过点作于， 如图所示： 四边形为矩形， ，， 设， 斜坡的坡比为， ， 由勾股定理得：，解得：或（负值舍去）， ，， ； 【小问2详解】 解：在中，，则，解得：， ， ， 答：坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡． 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，涉及矩形的判定与性质、勾股定理、坡比定义、解一元二次方程、正切函数求线段长等知识，根据题意构造直角三角形运用勾股定理和三角函数求相应线段长是解决问题的关键． 21. 如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 （1）由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； （2）嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】（1）反比例函数，； （2）解：将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 【解析】 【分析】（1）根据表格数据可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【小问1详解】 解：观察表格数据可得：，即为定值， 因此y与x之间是反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 略． 22. 如图在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数图像的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求反比例函数的解析式、一次函数图像上点的坐标特征、三角形面积等知识点，掌握数形结合是解题得关键． （1）先通过一次函数求出点A、点B坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式即可； （2）根据（1）求得点A、点B坐标，再结合函数图像即可解答； （3）根据图像求出，再根据求出，然后根据三角形面积公式及点的坐标即可解答． 【小问1详解】 解：分别把点、代入直线可得：， ∴，， ∵反比例函数的图像过点A， ∴， 即反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）得：，， ∴不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：把代入得：，即点C的坐标为：， ∴，    ∵， ∴， ∴，         当点P的纵坐标为3时，则，解得：，      当点P的纵坐标为时，则，解得． ∴点P的坐标为或． 23. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． （1）像的长度为________； （2）如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】（1）厘米 （2）厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； 【小问2详解】 解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 24. 综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． （1）【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图1所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米． （2）【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图2，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边的长． 【答案】（1）1 （2）30米 【解析】 【分析】（1）设每条小路的宽度是米，根据除小路后菜地面积为2262平方米列方程，解方程即得答案； （2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米，根据花圃的面积刚好为1800平方米列方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 解：设每条小路的宽度是米， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴每条小路的宽度是1米； 【小问2详解】 解：设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米， ∵水池长70米， ∴，解得， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：的长为30米． 25. 模型探究：如图1，D、E、F分别为三边BC、AB、AC上的点，且． （1）与相似吗？请说明理由； 模型应用：为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且． （2）如图2，当点D在线段BC上时，求的值； （3）如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求与的周长之比． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）与的周长之比为 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，即可证明； （2）①设，，根据等边三角形的性质与折叠可知，，，根据三角形的内角和定理得，即可证明，故，再根据比例关系求出的值； ②同理可证，得，得，再得到，再根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】解（1）， 理由：， 在中，， ， ， ， ， ， ； （2）①设，， 是等边三角形， ，， 由折叠知，，，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ； ②设，， 是等边三角形， ，， 由折叠知，，，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 与的周长之比为. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质. 26. 关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角． （1）求sinA的值； （2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长． 【答案】（1）sinA=；（2）△ABC的周长为或16． 【解析】 【详解】分析：（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A-16=0，解得sinA=； （2）利用判别式的意义得到100-4（k2-4k+29）≥0，则-（k-2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5． 分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长； 当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长． 详解：（1）根据题意得△=25sin2A-16=0， ∴sin2A=， ∴sinA=±， ∵∠A为锐角， ∴sinA=； （2）由题意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根， 则△≥0， ∴100-4（k2-4k+29）≥0， ∴-（k-2）2≥0， ∴（k-2）2≤0， 又∵（k-2）2≥0， ∴k=2， 把k=2代入方程，得y2-10y+25=0， 解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5． 分两种情况： 当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5， ∵sinA=， ∴AD=3，BD=4∴DC=2， ∴BC=2． ∴△ABC的周长为10+2； 当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D， 在Rt△ABD中，AB=5， ∵sinA=， ∴AD=DC=3， ∴AC=6． ∴△ABC的周长为16， 综合以上讨论可知：△ABC的周长为10+2或16． 点睛：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $