5.5.1 两角和与差的余弦公式 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

两角和与差的余弦公式 1、教学目标 （1）经历两角差的余弦公式的推导过程,体会单位圆上点的坐标的表示方法,培养学生逻辑推理素养； （2）会用两角差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等，提升数学运算的核心素养； （3）熟悉两角差的余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法，强化逻辑推理的核心素养。 2、教学重点与难点 （1）教学重点：了解两角差的余弦公式的推导过程． （2）教学难点：会用两角差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. 3、教学过程设计 环节1：复习引入 问题1：前面我们学习了三角函数的诱导公式，它们都是如何推导的？ 师生活动：学生思考回答，教师投影展示答案。 设计意图：利用圆的对称性推导诱导公式，为本节课做好铺垫。 师引导：观察诱导公式，我们发现它们都是轴线角(终边在坐标轴上的角)与任意角 α的和(或差)的三角函数值与这个任意角α的三角函数值之间的关系，如果把特殊角换成任意角β,那么任意角α与β的和(或差)的三角函数值与单角α，β的三角函数值会有什么关系呢？这就是我们这节课要研究的问题。 设计意图：问题1帮助学生回顾利用圆的对称性推导诱导公式的过程，为进一步利用圆的性质研究两角差的余弦公式做好铺垫。 环节2：公式的发现与推导 引导语：为研究上述问题，我们来看一种特殊情况。 问题2：你能求出cos(45°-30°)的值吗？ 师生活动：引导学生先研究一个特殊问题，鼓励学生大胆猜想。教师根据学生的回答情况进行引导。 追问：那么如何求cos(45°-30°)的值呢？cos15°的值与cos45°和cos30°之间到底存在什么关系呢？ 师生活动：引导学生利用单位圆中三角函数的定义， 如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1、A1、P.P1、A1、P点的坐标如何表示？与有什么关系？　 【提示】根据圆的旋转对称性可知，,所以有,根据两点间的距离公式，得 化简得: 当α=2kπ＋β （k∈Z）时，容易证明上式仍然成立． 设计意图：引导学生从三角函数的定义出发，从图形中寻找几何关系，然后利用代数式表示 师板书：两角差的余弦公式： 对于任意角α，β有 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作. 注意：(1)公式的结构特点： 公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式． (2)公式中的角α，β可以是任意角 由此引出： cos[(α＋β)=cos αcos β-sinαsinβ 公示的特例：诱导公式 环节3：新知应用 例1、利用和、差角余弦公式求、的值. 解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差. 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用. 【设计意图】初步体验公式的用法，增进对公式得理解，培养学生自学能力. 例2、已知，是第三象限角，求的值. 解：因为，由此得 又因为是第三象限角，所以 所以 点评：注意角、的象限，也就是符号问题. 【设计意图】进一步理解公式，掌握运用公式应注意的问题，明确思维的有序性和表述的条理性是三角恒等变换的基本要求 思考：本题中没有，呢？ 例3.求下列各式的值： (1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； (2)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°； (3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)；(4)cos 105°＋sin 105°. 解：(1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝. (2)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos(63°－33°)＝cos 30°＝. (3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)＝cos[(α－20°)－(α＋40°)]＝cos(－60°)＝. (4)cos 105°＋sin 105°＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)=. 点评:逆用cos(α－β)的公式，首先要符合“cos αcos β＋sin αsin β ”的形式，若不符合，要根据诱导公式变形．含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解． 【设计意图】培养学生从不同角度解决问题的能力，为后面公式的学习打下牢固基础. 环节4：课堂练习 1．cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 2．已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，则cos(α－β)＝(　　) A．－ B．－ C． D．1 3．设α∈，若sin α＝，则cos＝(　　) A． B． C．－ D．－ 4．已知cos＝cos α，则tan α＝________. 【答案】 1.B 2.A 3.B 4. 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 环节5：课堂小结 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 板书设计 新课导入 探究新知 两角和与差余弦公式 公式： 例1. 例2. 3、课堂练习 4、课堂小结 8 学科网（北京）股份有限公司 $