5.4.2正弦函数、余弦函数的性质教学设计第2课时-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦正弦函数、余弦函数性质的综合应用，通过复习回顾值域、周期性、奇偶性、单调性等核心性质，搭建知识框架，为后续典型题型讲解与训练奠定基础。 资料以奇偶性判断、单调区间求解、大小比较、值域最值四大题型为载体，通过分步解析与方法总结，渗透数形结合与转化思想，培养学生数学思维与解题能力。典型例题与变式训练结合，助力教师高效教学，提升学生性质综合应用的思路构建能力。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课时） 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1.掌握正弦、余弦函数的定义域、值域，理解周期性定义及最小正周期的求解； 2.能区分并应用正弦函数的奇偶性、余弦函数的奇偶性； 3.掌握两类函数的单调区间，能解决简单的比较大小、求最值问题。 教学内容 教学重点：正、余弦函数各性质的理解与典型题型应用； 教学难点：结合图像分析性质、性质综合应用题型的解题思路构建。 教学过程 1、 复习提问 学生在教师引导下，复习回顾上节课所学正弦函数、余弦函数的性质。 1. 值域 正弦函数 y=sinx：值域为[−1,1] 当且仅当 x=+2kπ（k∈Z）时，取得最大值1； 当且仅当 x=+2kπ（k∈Z）时，取得最小值−1。 余弦函数 y=cosx：值域为[−1,1] 当且仅当 x=2kπ（k∈Z）时，取得最大值1； 当且仅当 x=π+2kπ（k∈Z）时，取得最小值−1。 2. 周期性 二者均为周期函数，最小正周期均为 2π，满足： sin(x+2kπ)=sinx（k∈Z） cos(x+2kπ)=cosx（k∈Z） 3. 奇偶性 正弦函数 y=sinx：奇函数 推导：sin(−x)=−sinx； 图像特征：关于原点对称。 余弦函数 y=cosx：偶函数 推导：cos(−x)=cosx； 图像特征：关于y轴对称。 4. 单调性 正弦函数 y=sinx 单调递增区间：[−+2kπ,+2kπ]（k∈Z）； 单调递减区间：[+2kπ,+2kπ]（k∈Z）。 余弦函数 y=cosx 单调递增区间：[−π+2kπ,2kπ]（k∈Z）； 单调递减区间：[2kπ,π+2kπ]（k∈Z）。 5. 对称性 （1）对称中心 正弦函数 y=sinx：对称中心为 (kπ,0)（k∈Z）； 余弦函数 y=cosx：对称中心为 (+kπ,0)（k∈Z）。 （2）对称轴 正弦函数 y=sinx：对称轴为直线 x=+kπ（k∈Z）； 余弦函数 y=cosx：对称轴为直线 x=kπ（k∈Z）。 设计意图：以提问、抢答等互动形式开展复习回顾，梳理正弦函数、余弦函数的核心性质，唤醒学生已有知识储备，为后续典型习题的讲解与训练搭建知识框架，降低学生理解新知的门槛。 2、 性质应用 1.奇偶性问题 例1：判断下列函数的奇偶性： （1）f(x) = sin(-x)；（2）f(x) = cosx + x；（3）f(x) = sinx · cosx 分析：第一步判断定义域是否关于原点对称；第二步计算f(-x)，对比与f(x)、-f(x)的关系。 解题步骤： （1）定义域R，关于原点对称。f(-x)=sinx=-sin(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数； （2）定义域R，关于原点对称。f(-x)=cos(-x) + (-x)=cosx - x，既不等于f(x)也不等于-f(x)，所以f(x)为非奇非偶函数； （3）定义域R，关于原点对称。f(-x)=sin(-x)·cos(-x)=-sinx·cosx=-f(x)，所以f(x)为奇函数。 总结：奇偶性判断“两步走”，定义域对称是前提，诱导公式是化简f(-x)的关键。 2.单调区间问题： 例2 求函数y=sin()的单调区间. 【解析】令z=，则y=sinz的增区间为[-+2kπ,+2kπ]. 由-+2kπ≤≤+2kπ(k∈Z)得-+4kπ≤x≤+4kπ, 所以函数的单调递增区间为[-+4kπ,+4kπ](k∈Z). y=sinz的减区间为[+2kπ,+2kπ]. 由+2kπ≤≤+2kπ得+4kπ≤x≤+4kπ(k∈Z) 所以函数的单调递减区间为[+4kπ,+4kπ](k∈Z). 变式1：求函数y=sin()，x∈[-2π，2π]的单调增区间. 解：令z=，x∈[-2π，2π]，则z∈[-，]． 因为y=sinz，z∈[-，]的单调递增区间是z∈[-，]，且由 －≤≤， 得≤x≤． 所以，函数y=sin()，x∈[-2π，2π]的单调递增区间是[，]. 变式2：求函数y＝2sin()的单调增区间． 【解析】y＝2sin()＝－2sin()，令z＝，则y＝－2sin z，求y＝－2sin z的增区间，即求y＝sin z的减区间，所以＋2kπ≤z≤＋2kπ(k∈Z)， 即＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)， 所以y＝2sin()的单调增区间是[＋2kπ,＋2kπ](k∈Z)． 解题技巧：（求单调区间的步骤） (1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤： 第一步：写出基本函数y＝sin x(或y＝cos x)的相应单调区间； 第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”； 第三步：解关于x的不等式． (2) 对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略． 3.比较大小问题： 例3 不通过求值，比较下列各组数的大小： （1）sin(-)与sin(-) （2）cos(-)与cos(-) 分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小． 解：（1）因为 -＜-＜-＜０， 正弦函数y=sinx在区间[-,0 ]上单调递增，所以 sin(-)>sin(-) （2） cos(-)＝cos()＝cos， cos(-)＝cos（）＝cos， ∵π＜＜＜2π，且函数y＝cos x在[π，2π]上单调递增， ∴cos＜cos， 即cos(-)＜cos(-). 总结：比较两个三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上． (3)已知正(余)弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解． 4.值域与最值问题 例4：求下列函数的值域或最值： （1）y = 2sinx - 1；（2）y = cos²x + cosx - 2；（3）y = 3 - 2cos(2x +)，x∈[0, ] 分析：（1）利用sinx∈[-1,1]，通过不等式性质求解； （2） 换元法，令t=cosx，转化为二次函数值域； （3） 先求内层函数2x+的范围，再结合cosu的性质求最值。 解题步骤： （1） ∵ sinx∈[-1,1]，∴ 2sinx∈[-2,2]，2sinx - 1∈[-3,1]， 所以y = 2sinx - 1值域为[-3,1]； （2） 令t=cosx，t∈[-1,1]，函数化为y = t² + t - 2，对称轴t=-。 当t=-时，ymin=(-)² + (-) - 2 = -； 当t=1时，ymax=1 + 1 - 2 = 0，值域为[-, 0]； （3） ∵ x∈[0, π/2]，∴ 2x+∈[, ]。 y=cosu在[, π]上递减，在[π, ]上递增，cosπ=-1，cos=，cos=-，故cos(2x+)∈[-1, ]。 则-2cos(2x+)∈[-1, 2]，3 - 2cos(2x+)∈[2, 5]， 所以函数y = 3 - 2cos(2x +)，x∈[0, ]的最大值为5，最小值为2。 总结：值域/最值问题核心是“锁定正、余弦函数的取值范围”，常用方法：不等式性质、换元法（转化为二次函数）、限定区间内结合单调性求解。 3、 课堂小结 1. 师生共同回顾：正、余弦函数各性质的核心题型及解题方法（表格梳理核心逻辑）； 2. 强调核心思想：数形结合（图像辅助分析性质、求解不等式）、转化思想（换元转化为二次函数、利用奇偶性转化函数值）； 3. 易错点提醒：区间标注k∈Z、定义域优先判断、单调区间求解时的换元等价性。 4、 课后作业 1. 课本P207练习4、5题 2. 预习下节课内容。 学科网（北京）股份有限公司 $