精品解析：福建省泉州市永春县2025-2026学年下学期七年级期末质量检测数学试题

2026年春季七年级期末质量检测 数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ． 2. “的2倍与3的差是正数”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵的2倍与3的差表示为，正数是大于的数， ∴可得不等式． 3. 中华文化丰富多彩，下面四幅简笔画，其中利用轴对称图形设计的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 4. 在中，，，则长可能为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，求出的取值范围，即可判断选项． 【详解】∵在中，，， ∴， ∴，即． 选项中：只有B符合． 5. 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（　　） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°． 【详解】∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点， ∴正三角形可以铺满地面； ∵正方形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正方形可以铺满地面一个点， ∴正方形可以铺满地面； ∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3， ∴正五边形不能铺满地面； ∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点， ∴正六边形可以铺满地面． 故选C． 【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 6. 关于的不等式的解集如图所示，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解集为，再根据数轴可得，从而可得，解方程即可得． 【详解】解：解关于的不等式得：， 由数轴可知，这个不等式的解集为， 则， 解得． 7. 下列等式变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】等式的基本性质为：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：∵若，两边同时加1可得，两边同时减2可得， ∴A，B选项变形正确，不符合题意． ∵若，且，两边同时除以4可得， ∴D选项变形正确，不符合题意． ∵若，当时，无论取何值等式都成立，只有时才能得到，题目没有说明，因此不能直接得到， ∴C选项变形错误，符合题意． 8. 《九章算术》中记载有这样一个问题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问：甲、乙持钱各几何？其意思是：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问：甲与乙各多少钱？若设甲的钱数为，乙的钱数为，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的两个等量关系列方程组即可． 【详解】解：设甲的钱数为，乙的钱数为．依题意得： ． 9. 若关于的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，先分别解不等式得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围，注意端点处不等号的判断． 【详解】解不等式得， 解不等式， 展开得， 整理得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解，且， ∴4个整数解为， ∴可得的取值范围是． 10. 商场导购机器人可以帮顾客快速找到店铺、电梯、卫生间、收银台，避免迷路．如图是根据机器人照片抽象出的一幅直观图．已知：与交于点，，，，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，，，根据题意得出，，，进而表示出，求得，再根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：设，，，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ 即 ∴ 如图，延长交于点 ∵，， ∴， ∴ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 关于x的方程的解是，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是方程成立未知数的值成为解题的关键．把代入得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：把代入可得： ， 解得：． 故答案为：3． 12. 一个三角形的两个内角的度数分别为和，按角分类它是______三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：第三个内角的度数为 ， 因此该三角形是直角三角形． 13. 正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为___． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵正n边形的一个外角的度数为60°， ∴n=360÷60=6． 故答案为：6． 14. 若，且，是正整数，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断出的符号，再结合为正整数的条件即可求出的值． 【详解】解：，且， ， 解不等式得， 又是正整数， ． 15. 如图，，与交于点，，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】以为底、为高表示面积，再以为底、为高表示面积，根据同一个三角形面积相等建立等式，代入已知线段长度，求出的长． 【详解】解：，即， 以为底时，的高为， ， ，即， 以为底时，的高为， ， ∴， ∴， 把，，代入得： ． 16. 如图，在中，，，，点是延长线上一动点，在下方构造，连接，，有下列结论：①的面积不变；②没有最小值；③的最小值为4，④四边形是中心对称图形．其中正确的是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由于底边AC是已知的，因此先求出底边AC上的高，根据三角形的面积公式，即可判断结论①；由条件可知A，B为定点，E为动点，首先确定点的运动轨迹为一条直线，进而把问题转化为“将军饮马”模型，由此可判断结论②；根据点的运动轨迹，利用垂线段最短求出的最小值，继而判断结论③，通过四边形是平行四边形，即可判断结论④． 【详解】解：对于结论①，如图1所示，过点E作于点J，则， ∵ ， ∴ , ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积不变，故结论①符合题意； 对于结论②，如图2，过点E作， 由上面已知， ∴ 点到直线的距离为， ∴ 点在直线上运动． 作点关于直线上的对称点，连接，，设交直线l于点T，交直线l于点F,则当点E和点F重合时取得最小值，最小值为的长，且易知点C在上． ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 在中，， ∴ 的最小值为，故结论②不正确； 对于结论③，∵ 点在直线上运动， ∴ ， ∴的最小值为，故结论③正确； ∵ ， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是中心对称图形．故结论④正确； 综上可知，正确的是①③④． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【详解】解：由得：， ． 把代入①得：， ， ． 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】解集为： 数轴上表示如下： 【解析】 【详解】解：解不等式①得：， ∴解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 20. 如图，在正方形网格中，点、、、均在格点（网格线的交点）上，按要求作图． （1）作，使与关于直线成轴对称； （2）作，使与关于点成中心对称． 【答案】（1）如图所示为所求作 （2）为所求作 【解析】 【分析】（1）根据对称轴垂直平分对应点连线，可找到各点的对称点，顺次连接即可得到； （2）根据中心对称点平分对应点连线，可得各点的对称点，顺次连接可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知关于，的二元一次方程． （1）若是该方程的一个解，求的值； （2）当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解，试求出这组公共解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将方程的解代入方程中求解即可； （2）将原方程转化为，根据当每取一个不为零的值时所得方程都有一个公共解可得，，解之即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， 解得. 【小问2详解】 解：， ． 当时，无论取何值，始终为2． 又∵当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解， ∴，， ∴这组公共解为． 22. 如图，在中，点、分别在边、上． （1）若，，且，求的度数； （2）若，，试说明：． 【答案】（1） （2）， 且， ， ， ， ． 又， ． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，进而得出，即可求得，即可求解． （2）根据已知可得，进而得出，结合，即可得出． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 23. 某校团委多次到文具批发市场购买钢笔、毛笔作为奖品奖给学生．其中前两次购买时，均按标价购买；从第三次购买开始，钢笔、毛笔批发商都给予相同折扣出售．前三次购买的数量及费用如下表： 购买钢笔的数量/支 购买毛笔的数量/支 购买总费用/元 第一次购买 第二次购买 第三次购买 （1）求每支钢笔及每支毛笔的标价； （2）该校七、八年级组织学生进行书法比赛，颁发奖品30支钢笔和40支毛笔（均按打折价购买），七、八年级各获得35个奖品，七年级所获奖品的购买金额不低于430元，八年级所获奖品的购买金额不低于350元，则七、八年级所获奖品有哪几种方案？ 【答案】（1）每支钢笔、毛笔的标价分别为20元和10元 （2）方案①：七年级获得钢笔19支和毛笔16支，八年级获得钢笔11支和毛笔24支； 方案②：七年级获得钢笔20支和毛笔15支，八年级获得钢笔10支和毛笔25支； 方案③：七年级获得钢笔21支和毛笔14支，八年级获得钢笔9支和毛笔26支． 【解析】 【分析】（1）设每支钢笔、每支毛笔的标价分别为元和元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设七年级获得钢笔支，毛笔支，则八年级获得钢笔支，毛笔支，根据题意列出一元一次不等式组，进而根据为整数，求得整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设每支钢笔、每支毛笔的标价分别为元和元 依题意得： 解得 答：每支钢笔、毛笔的标价分别为20元和10元． 【小问2详解】 解：第三次购买的打折数为： 折 设七年级获得钢笔支，毛笔支，则八年级获得钢笔支，毛笔支． 则 解得 又为整数， 可取19，20，21，共三种方案， ∴方案①：七年级获得钢笔19支和毛笔16支，八年级获得钢笔11支和毛笔24支； 方案②：七年级获得钢笔20支和毛笔15支，八年级获得钢笔10支和毛笔25支； 方案③：七年级获得钢笔21支和毛笔14支，八年级获得钢笔9支和毛笔26支． 24. 数学活动 阅读：将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的长方形称为“网格长方形”，水平方向边长为，竖直方向边长为的网格长方形称为“长方形”，例如，图1、图2、图3、图4中的网格长方形分别称为“长方形”、“长方形”、“长方形”、“长方形”．数学兴趣小组对“长方形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究． 操作：画出图1、图2、图3、图4中网格长方形的一条对角线，制作了下表：（表示、最大公约数，表示“长方形”的一条对角线穿过单位正方形的个数） 2 1 1 2 2 3 1 4 4 2 2 4 6 4 2 探究： （1）①表格中______； ②由表格得出结论：_____________（用含、、的式子表示）； （2）在“长方形”中，求； （3）若，均为正整数，且，求满足的所有数对． 【答案】（1）①8；② （2）24 （3）所有数对为：，，，，，， 【解析】 【分析】（1）通过画图和观察表格的数据规律即可获解； （2）根据（1）所得规律代入计算即可； （3）设，，，（其中、、均为正整数，，互质，且），用上述规律列方程整理可得，再讨论方程的整数解即可． 【小问1详解】 解：①如图： 所以； ②观察表格数据规律可知： 当，时，，， 当，时，，， 当，时，，， 当，时，，， 由表格得出结论：． 【小问2详解】 解：， ． 【小问3详解】 解：设，，，（其中、、均为正整数，，互质，且）， ， 即． 当时，， ， 或或， 数对为：，，． 当时，， ， 或， 数对为：，． 当时，， ， ． 数对为：． 当时，， ， ． 数对为：． 综上，所有数对为：，，，，，，． 25. 已知：中， （1）如图1，，，把绕点逆时针旋转到，当时，求旋转的角度； （2）如图2，沿所在射线方向平移到，使与交于点，与的角平分线相交于点，求的度数（可用含的式子表示）； （3）如图3，在中，，，将沿直线平移，当中有两个角相等时，请求出的度数． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用旋转的性质求出的度数，利用平行线的性质得到与的关系，进而求出旋转角； （2）根据平移的性质确定和与的关系，再结合角平分线的定义求出、的度数，进而求出的度数，在四边形中，利用其内角和为进行求解即可； （3）①当点在点下方，分三种情况：当或或，利用三角形内角和定理求出的度数；②当点在点上方时，根据平角的性质求出的度数，此时只有一种情况，再利用与、之间的关系求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， 由旋转的性质可知： 当时， 即旋转角度为； 【小问2详解】 解：设，则， 由平移的性质可知：，， ， 与的角平分线相交于点， ， ， ， 在四边形中， ； ； 【小问3详解】 解：①当点在点下方，分三种情况： （）当，如图， ， 又， ； （）当时，如图 ， ， 又， ； （）当时，如图 ， ； ②当点在点上方时，如图 ， 只能是， 又， ； 综上所述，的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季七年级期末质量检测 数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. “的2倍与3的差是正数”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中华文化丰富多彩，下面四幅简笔画，其中利用轴对称图形设计的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，则长可能为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 5. 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（　　） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 6. 关于的不等式的解集如图所示，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 下列等式变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 《九章算术》中记载有这样一个问题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问：甲、乙持钱各几何？其意思是：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问：甲与乙各多少钱？若设甲的钱数为，乙的钱数为，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 商场导购机器人可以帮顾客快速找到店铺、电梯、卫生间、收银台，避免迷路．如图是根据机器人照片抽象出的一幅直观图．已知：与交于点，，，，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 关于x的方程的解是，则_______． 12. 一个三角形的两个内角的度数分别为和，按角分类它是______三角形． 13. 正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为___． 14. 若，且，是正整数，则的值是______． 15. 如图，，与交于点，，，，则的长是______． 16. 如图，在中，，，，点是延长线上一动点，在下方构造，连接，，有下列结论：①的面积不变；②没有最小值；③的最小值为4，④四边形是中心对称图形．其中正确的是______． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： 18. 解方程组： 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 20. 如图，在正方形网格中，点、、、均在格点（网格线的交点）上，按要求作图． （1）作，使与关于直线成轴对称； （2）作，使与关于点成中心对称． 21. 已知关于，的二元一次方程． （1）若是该方程的一个解，求的值； （2）当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解，试求出这组公共解． 22. 如图，在中，点、分别在边、上． （1）若，，且，求的度数； （2）若，，试说明：． 23. 某校团委多次到文具批发市场购买钢笔、毛笔作为奖品奖给学生．其中前两次购买时，均按标价购买；从第三次购买开始，钢笔、毛笔批发商都给予相同折扣出售．前三次购买的数量及费用如下表： 购买钢笔的数量/支 购买毛笔的数量/支 购买总费用/元 第一次购买 第二次购买 第三次购买 （1）求每支钢笔及每支毛笔的标价； （2）该校七、八年级组织学生进行书法比赛，颁发奖品30支钢笔和40支毛笔（均按打折价购买），七、八年级各获得35个奖品，七年级所获奖品的购买金额不低于430元，八年级所获奖品的购买金额不低于350元，则七、八年级所获奖品有哪几种方案？ 24. 数学活动 阅读：将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的长方形称为“网格长方形”，水平方向边长为，竖直方向边长为的网格长方形称为“长方形”，例如，图1、图2、图3、图4中的网格长方形分别称为“长方形”、“长方形”、“长方形”、“长方形”．数学兴趣小组对“长方形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究． 操作：画出图1、图2、图3、图4中网格长方形的一条对角线，制作了下表：（表示、最大公约数，表示“长方形”的一条对角线穿过单位正方形的个数） 2 1 1 2 2 3 1 4 4 2 2 4 6 4 2 探究： （1）①表格中______； ②由表格得出结论：_____________（用含、、的式子表示）； （2）在“长方形”中，求； （3）若，均为正整数，且，求满足的所有数对． 25. 已知：中， （1）如图1，，，把绕点逆时针旋转到，当时，求旋转的角度； （2）如图2，沿所在射线方向平移到，使与交于点，与的角平分线相交于点，求的度数（可用含的式子表示）； （3）如图3，在中，，，将沿直线平移，当中有两个角相等时，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $