精品解析：福建省泉州市永春县2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

2025年春季七年级期末教学质量监测 数学试题 注意事项： 本试卷共6页．满分150分． 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0．5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0．5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列方程中，解为的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 下列道路交通安全标志牌中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 小明在学习了平面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一种瓷砖来铺设地板，以下正多边形不能铺满地面的是（ ） A. 正八边形 B. 正六边形 C. 正方形 D. 正三角形 7. 《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著，其中的许多数学问题是世界上记载最早的，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱，问人数和进价各是多少？设人数为x，下列方程正确的为（　　） A. B. C. D. 8. 如果关于的不等式只有两个正整数解，那么常数的取值范围是（） A. B. C. D. 9. 如图，将直角沿方向平移得到，若平移的距离为5，，，则阴影部分的面积为（ ） A. 50 B. 40 C. 30 D. 20 10. 据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，古人称之为纵横图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字的和都相等．如图所示的幻方中，若所填入的数均为自然数且不相同，则的值不可能为（ ） 3 11 A. 13 B. 16 C. 19 D. 22 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 与的差大于5，用不等式表示为__________． 12. 一个三角形的两边长分别为2和4，第三边的长可以是______（写出一个即可）． 13. 如图，在正五边形内以为边作直角三角形，，则的度数为__________． 14. 如图，在中，，，，，点D是线段边上的动点，则线段的最小值为___________． 15. 已知，（），则_________． 16. 小燕在学习完《多边形内角和》后，做一个剪纸片的游戏：有一张三角形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，重复上述操作，得到4张纸片；…，如此下去．若最后得到7张纸片，其中有3张三角形纸片，2张四边形纸片，1张五边形纸片，则还有1张多边形纸片的边数是__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解一元一次方程：． 18. 解方程组． 19. 解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． （1）画出平移后的； （2）画出的角平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 21. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某公司计划购进一批新能源汽车．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的共计花费50万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的共计花费85万元． （1）每辆A，B两种型号的汽车售价分别为多少万元？ （2）若该公司计划用不超过180万元购进以上两种型号的新能源汽车共11辆，两种型号的汽车均购买，则该公司有哪几种购买方案？ 22. 如图1，在中，的角平分线与外角的角平分线相交于点，与相交于点． （1）若，，求的度数； （2）如图2，平分，连接，当时，求证：． 23. 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． （1）如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，求的度数； （2）如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束射到镜面上，经反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所夹的锐角为30°，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②若，请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（可用含的式子表示）． 24. 综合与实践：阅读下列材料，回答问题． 某校大礼堂要需要制作10个矩形铝合金窗框，每个窗框由3根长管（长度米/根）和4根短管（长度米/根）组成，这些铝合金管用长度足够的铝合金型材作为原材料进行切割获得，切割后剩余的原材料（长度小于米）称为废料．已知有A型材（长度为米/根）、B型材（长度为米/根）两种铝合金型材可供选择，它们的价格均为30元/米，且只能整根购买．数学综合实践小组对如何节约原材料的购买成本展开讨论，各自发表了意见： 小聪：需要使用的铝合金管的总长度是确定的，而原材料购买成本只与购买的总长度有关，因此废料最少时原材料的购买成本最低； 小颖：若全部采用B型材比全部采用A型材的购买成本更高； 小亮：除了选择原材料，还要制定合理的切割方法，才能使得购买原材料的成本最低． （1）请写出一根A型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度； （2）如果只使用B型材制作1个铝合金窗框，则至少需要多少根B型材？请写出切割方法； （3）请设计一种方案使得这10个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，并求出最低成本．（方案应说明A，B两种型材的购买数量及对应切割方法，但不必说明理由） 25. （1）如图1，是边上的一点．若，，求的值； （2）如图2，在四边形中，对角线、相交于点，分别记、、、为、、、，求证：； （3）如图3，在边长为6的正方形中，点是的中点，连接、，将线段绕点顺时针旋转一定的角度得到，分别交、于点、点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季七年级期末教学质量监测 数学试题 注意事项： 本试卷共6页．满分150分． 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0．5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0．5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列方程中，解为的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，将分别代入各选项，进行判断即可． 【详解】解：A、：代入，左边，右边为3，不等，排除； B、：代入，左边，右边为1，不等，排除； C、：代入，左边，右边，相等，符合条件； D、：代入，左边，右边为1，不等，排除； 故选：C 2. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的解集，解题的关键是熟练掌握数轴的表示方法． 根据不等式的解集在数轴上表示方法，：，向右画；，向左画，在表示解集时，要用实心圆点表示；，要用空心圆点表示． 【详解】解：该数轴表示的不等式的解集为． 故选B． 3. 下列道路交通安全标志牌中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的定义分别判断即可． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：． 4. 五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】n边形的内角和是 ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和． 【详解】（5﹣2）×180°=540°． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容． 5. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的两锐角互余，解题的关键是掌握三角形内角和定理 根据直角三角形的两个锐角互余即可求解 【详解】解：在中，，， ∴， 故选：D 6. 小明在学习了平面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一种瓷砖来铺设地板，以下正多边形不能铺满地面的是（ ） A. 正八边形 B. 正六边形 C. 正方形 D. 正三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了镶嵌，先分别求出每种正多边形的一个内角，再根据内角和能否拼成可判断答案． 【详解】解：正多边形的内角和公式为：， 正八边形（A）：每个内角为，，非整数，无法铺满， 正六边形（B）：每个内角为，，整数，可铺满， 正方形（C）：每个内角为，，整数，可铺满， 正三角形（D）：每个内角为，，整数，可铺满． 故选：A． 7. 《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著，其中的许多数学问题是世界上记载最早的，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱，问人数和进价各是多少？设人数为x，下列方程正确的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程．直接利用总钱数不变得出方程进而得出答案． 【详解】解：依题意有：． 故选：B． 8. 如果关于的不等式只有两个正整数解，那么常数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，根据不等式的解集求参数． 解不等式得到，根据“只有两个正整数解”确定m的范围即可． 【详解】解：解不等式，得， ∵关于的不等式只有两个正整数解， ∴ 故选：D． 9. 如图，将直角沿方向平移得到，若平移的距离为5，，，则阴影部分的面积为（ ） A. 50 B. 40 C. 30 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．根据平移的性质可得三角形也是直角三角形，则，再求出，然后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积计算即可． 【详解】解：沿方向平移得到，平移的距离为7， 是直角三角形，， ， ， ， ； 故选：B． 10. 据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，古人称之为纵横图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字的和都相等．如图所示的幻方中，若所填入的数均为自然数且不相同，则的值不可能为（ ） 3 11 A. 13 B. 16 C. 19 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据幻方的性质，每行、每列及对角线的和相等，设第二行第二个方格中的数为x，根据性质得出每行每列的和为，然后得出方程，然后代入计算判断即可 【详解】解：设第二行第二个方格中的数为x， A、当时，， 解得：， ∵9与均不相同， ∴a可以为13，选项不符合题意； B、当时，， 解得：， ∵10与3，11，16均不相同， ∴a可以为16，选项不符合题意； C、当时，， 解得：， ∵， ∴a不可以为19，选项符合题意； D、当时，， 解得：， ∵12与3，11，22均不相同， ∴a可以为22，选项不符合题意. 故选：C 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 与的差大于5，用不等式表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出不等式，直接利用x减去y再大于5即可得出答案．正确理解题意是解题关键． 【详解】解∶根据题意，得， 故答案为∶ ． 12. 一个三角形的两边长分别为2和4，第三边的长可以是______（写出一个即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解题关键．根据三角形三边关系可求得第三边的取值范围是大于，小于，即可解答． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为2和4， ∴第三边的取值范围是大于，小于， ∴第三边的长可以是3． 故答案为：3（答案不唯一）． 13. 如图，在正五边形内以为边作直角三角形，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角的性质，求出正五边形的内角是解题的关键． 先求出其内角的度数，再根据角的和差即可求出的度数． 【详解】多边形为正五边形， 其内角的度数为， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，，点D是线段边上的动点，则线段的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由垂线段最短可知，当时，最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，最小，如下图： ∵， ∴，则 故答案为： 【点睛】此题考查了点到直线的距离，面积法求三角形的高，解题的关键是确定当时，最小． 15. 已知，（），则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，用z将x、y表示出来，并代入代数式求解即可． 【详解】解∶联立，， 得， 解得， ∴， 故答案为∶． 16. 小燕在学习完《多边形内角和》后，做一个剪纸片的游戏：有一张三角形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，重复上述操作，得到4张纸片；…，如此下去．若最后得到7张纸片，其中有3张三角形纸片，2张四边形纸片，1张五边形纸片，则还有1张多边形纸片的边数是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键． 根据多边形的内角和进行即可求解． 【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加，7张纸片，则剪了6次，其中3张三角形纸片，2张四边形纸片，有1张五边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为， 解得． 故答案为：5． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解一元一次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 18. 解方程组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法与加减消元法是解题的关键． 用加减消元法即可求解． 【详解】解： 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组得解为：． 19. 解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示解集，正确求得不等式组的解集是解答本题的关键． 先分别求解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后再画数轴表示解集． 【详解】解：， 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， 数轴表示为： 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． （1）画出平移后的； （2）画出的角平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平移作图，作角平分线，熟练掌握作图步骤是解题的关键； （1）利用点B和的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、C的对应点，，然后顺次连结个对应点即可； （2）以B为圆心以任意长为半径作弧，交，于点E，F，以E，F为半径以大于为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D，即为所求； 【小问1详解】 解：如图所示： 即为所求 【小问2详解】 解：如图所示：即为所求； 21. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某公司计划购进一批新能源汽车．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的共计花费50万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的共计花费85万元． （1）每辆A，B两种型号的汽车售价分别为多少万元？ （2）若该公司计划用不超过180万元购进以上两种型号的新能源汽车共11辆，两种型号的汽车均购买，则该公司有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每辆型汽车的售价为20万元，每辆型汽车的售价为15万元 （2）该公司有3种方案，如下：①购买A型号的汽车1辆，则B种型号的汽车10辆；②购买A型号的汽车2辆，则B种型号的汽车9辆；③购买A型号的汽车3辆，则B种型号的汽车8辆 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及不等式的应用，解题的关键是∶ （1）设每辆型汽车的售价为万元，每辆型汽车的售价为万元，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆（且m为整数），则B种型号的汽车辆，根据总价不超过180万元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解∶ 设每辆型汽车的售价为万元，每辆型汽车的售价为万元． 依题意，得 解得 答：每辆型汽车的售价为20万元，每辆型汽车的售价为15万元； 【小问2详解】 解∶ 设购买A型号的汽车m辆（且m为整数），则B种型号的汽车辆， 根据题意，得， 解得， 又且m为整数， ∴或2或3， ∴该公司有3种方案，如下： ①购买A型号的汽车1辆，则B种型号的汽车辆； ②购买A型号的汽车2辆，则B种型号的汽车辆； ③购买A型号的汽车3辆，则B种型号的汽车辆． 22. 如图1，在中，的角平分线与外角的角平分线相交于点，与相交于点． （1）若，，求的度数； （2）如图2，平分，连接，当时，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和与外角定理，熟练掌握三角形内角和与外角定理是解题的关键． （1）由角平分线可得，，再由三角形的外角定理可得，，即可求解； （2）设，，则，那么，由垂直的意义得到，而，则，即可证明． 【小问1详解】 解：平分，平分， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 23. 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． （1）如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，求的度数； （2）如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束射到镜面上，经反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所夹的锐角为30°，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②若，请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（可用含的式子表示）． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，，解题的关键是∶ （1）如图，过B作，根据平行线的性质求出，根据光的反射定律并结合已知求出，根据平行线的性质求出，然后根据角的和差关系求解即可； （2）①过E作，根据平行线的传递性可得出，根据平行线的性质得出，，根据光的反射定律求出，进而求出，，然后根据平行线的性质求解即可； ②由①可求当和重合时，，然后分和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解∶由题意得， ， 如图，过B作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①根据题意，得，， 过E作， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过E作， ∴， ∴，， 当和重合时，则， ∴， 当时，如图， 由①可知：， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图，过E作， 同理可求出， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 24. 综合与实践：阅读下列材料，回答问题． 某校大礼堂要需要制作10个矩形铝合金窗框，每个窗框由3根长管（长度米/根）和4根短管（长度米/根）组成，这些铝合金管用长度足够的铝合金型材作为原材料进行切割获得，切割后剩余的原材料（长度小于米）称为废料．已知有A型材（长度为米/根）、B型材（长度为米/根）两种铝合金型材可供选择，它们的价格均为30元/米，且只能整根购买．数学综合实践小组对如何节约原材料的购买成本展开讨论，各自发表了意见： 小聪：需要使用的铝合金管的总长度是确定的，而原材料购买成本只与购买的总长度有关，因此废料最少时原材料的购买成本最低； 小颖：若全部采用B型材比全部采用A型材的购买成本更高； 小亮：除了选择原材料，还要制定合理的切割方法，才能使得购买原材料的成本最低． （1）请写出一根A型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度； （2）如果只使用B型材制作1个铝合金窗框，则至少需要多少根B型材？请写出切割方法； （3）请设计一种方案使得这10个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，并求出最低成本．（方案应说明A，B两种型材的购买数量及对应切割方法，但不必说明理由） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据一根A型材的长度，结合每根长管的长度米/根和每根短管的长度米/根，进行分类讨论即可； （2）先一根B型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度，再根据切割方法进行确定方案，即可求解； （3）根据每种切割方法的废料对边可得可切割的方案组合有：①②，①⑥，②⑥，①②⑥，分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：一根A型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度如下： 方法①：每根A型材切割出长管2根、短管0根，废料长度为每根米； 方法②：每根A型材切割出长管1根、短管1根，废料长度为每根米； 方法③：每根A型材切割出长管0根、短管2根，废料长度为每根米； 【小问2详解】 解：一根B型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度如下∶ 方法④：每根B型材切割出长管2根、短管0根，废料长度为每根米 方法⑤：每根B型材切割出长管1根、短管1根，废料长度为每根米 方法⑥：每根B型材切割出长管0根、短管3根，废料长度为每根0米 制作一个铝合金窗框可能的方案有∶ 方案：1根B型材按方法④切割出长管2根、短管0根，废料长度米， 1根B型材按方法⑤切割出长管1根、短管1根，废料长度米， 1根B型材按方法⑥切割出长管0根、短管3根，废料长度0米， 答：至少需要3根B型材，按方案切割． 【小问3详解】 解：依题意，共需切割出长管根、短管根， ∵废料最少时原材料的购买成本最低， ∴比较六种方法，废料最少的是方法①与方法⑥， ∴只选①⑥时，用于方法①切割的A型材为根，废料为：（米）， 用于方法⑥切割的B型材为根，此时共切割出短管根，但是实际只需要40根，多余的两根算废料为： （米）， 总废料为：（米）； 总费用为：（元）； ∴只选①⑥时，会浪费两根短管，故添加方法②， 设方案：①②⑥， 设用于方法①切割的A型材为根（），废料为：米， 则用于方法②切割的A型材为（）根，废料为：（米）， 方法①②的总废料为：米， 用于方法⑥切割的B型材为根， 当为整数时没有废料， ， 当，时， 当使方法①②⑥的总废料最小为米； 故用于方法①切割的A型材为根， 用于方法②切割的A型材为根， 用于方法⑥切割的B型材为根， 总费用为：（元）； 故切割方法为： 12根B型材按方法⑥切割，得到36根短管； 13根A型材按方法①切割，得到26根长管； 4根A型材按方法②切割，得到4根长管和4根短管． 最低成本为：元． 【点睛】本题考查了方案设计，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，能用一元一次方程及一元一次不等式进行求解是解题的关键． 25. （1）如图1，是边上的一点．若，，求的值； （2）如图2，在四边形中，对角线、相交于点，分别记、、、为、、、，求证：； （3）如图3，在边长为6的正方形中，点是的中点，连接、，将线段绕点顺时针旋转一定的角度得到，分别交、于点、点，若，求的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查三角形面积公式、比例关系应用，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用三角形面积与底高的关系，结合图形性质建立等式求解． （1）过作，利用三角形面积公式分别表示出与，因高相同，通过底和的长度比，得出面积比． （2）过作，过作，依据三角形面积公式，分别推导与和的关系，再通过比例等式转化，证明． （3）连接，由得面积比，设未知数表示相关三角形面积，结合是中点及正方形面积，列方程组求解面积，根据面积相等推出是中点（正方形对称中心），进而得出． 【详解】解：（1）过点作，垂足为， ，； ； （2）如图2，过点作垂直于，过点作垂直于， ，， ， ，， ， ， ， 即， （3）连接、 ， ，， 设，，则，， 点是的中点， ，， ∵，， 解得， ，， ， ， 点是的中点，又， ∴是的角平分线， ∵ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $