5.2《二元一次方程组的解法》暑假预习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学暑假同步练，聚焦二元一次方程组解法，分层设计从基础运算到综合应用，梯度清晰，助力预习中巩固概念、提升推理与模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|代数式表示、代入法解法|单选题1-2、填空题6直接考查定义与基本运算，夯实抽象能力| |提升层|含参数方程组、解的性质|单选题3-4、填空题7-8结合相反数、同解问题，培养推理意识| |综合层|新定义运算、实际应用|解答题15-18通过跨情境问题（如袋子取球），发展模型意识与应用能力|

5.2《二元一次方程组的解法》暑假预习 一、单选题 1.在二元-次方程2x-y=6中，用含有x的代数式表示y,得() A.x=6-y B.y=6-x C.y=6-2x D.y=2x-6 y=-x+2① 2.用代入法解方程组2x-3y=4②时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是() A.2x+3x-6=4B.2x+3x-2=4C.2x-3x+6=4D.2x-3x-6=4 x+2y=k 3.已知关于x,y的二元一次方程组2x+y=4的解互为相反数，则k的值为() 4 A.4 B.-4 C.3 D.-3 4.定义一种新运算：a☆b=2a-b,若a☆b=0,且关于x,y的二元一次方程 (a-1)x+by+6-2a=0 ，当“，b取不同值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解：)， 那么公共解为( ) x=5 x=5 x=6 x=6 A.y=-1.5 B.y=1.5 C.y=2 D.y=-2 x-by=1 5.关于x、y的二元一次方程组ax+3y=2,则下列说法中正确的是() 7 x25 ①当，b=2时，该方程组的解是 .1;②当 时，该方程组无解；③当， a=1 5 ab=-3 a=2 2时，该方程组有无数个解；④当b≠-3时，该方程组有唯一解. A.②④ B.①③ C.①②④ D.①③④ 二、填空题 6.已知方程4x+3y=9,将其改写成用含x的式子表示y的形式为一· ax-by=4 ax+by=16 7.关于x,y的方程组3x-y=5与方程组4x-7y=1的解相同，则(a-b)226= 8.若某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“关联方 2x+3y=k 程组”.若关于x,y的二元一次方程组x+2y=1是“关联方程组”，则k= x+2y=5-2a 9.已知关于X,y的方程组x-y=4a-1,给出下列结论：①当a=1时，方程组的解也是 x+y=2a+1 的解；②可能存在某个a值，使得x,y的值互为相反数；③x,y都为自然数的 解有3对；④若2x+y=8,则a=2.正确的序号为一： 10.如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2个球 放入乙袋，再从乙袋中取出2+2)个球就入丙袋，员后从丙袋中取出2”个球放入甲袋，此时 三只袋子中球的个数都相同，则2x+y的值为 丙袋 2 2+2” 29 29 甲袋 乙袋 三、解容题 11.解下列方程组 [2x-y=-4 3(x-1)=y+5 (1)4x-5y=-23 (2)5(y-1)=3(x+5). 12.解下列方程组： 2x-4y=6 2x+3y=7 3x+5y=5 (1)13x+2y=17 3y=x+4 (2)12x+5y=-19 (3)13x-5y=1 (4)13x-4y=23 ax-4y=-6① 「x=3 13.甲、乙两人同解方程组5x=by+10②时，甲看错了方程①中的a,解得y=1,乙看错了 x=-1 方程②中的b,解得y=2. (1)求正确的a,b的值； (2)求原方程组的正确解. 14.定义：二元一次方程组的解满足y-x=2,我们就说方程组的解为“友好解”. x+y=5 (1)方程组x-y=1的解 (填“是”或“不是”)“友好解”； x-2y=5 (2)若方程组2x+y=m的解是“友好解”，求m的值. 15.对于有理数x,人，定义新运算：x#y=r+bx⊕y=ar-y,a、b是常数.已知 1#1=1,3⊕2=8 (1)求a,b的值； xHy =4-m (2)若关于x,y的方程组x®y=5m的解也满足方程x+y=3,求m的值. 16.对整数、'定义一种新运算T,规 T(x川=m+(其中a、b是常数)，如： T(2,1)=a×2+b×12=2a+b (1)填空：T3,2(用含a,b的代数式表示)： 2)者72)=572,1=7 ①求a与b的值； ②若77，求出此时的值. 17.按要求完成各题 [x=1 (1)已知y=-l是关于x、y的二元一次方程2x+ay=a-3的一个解，求a的值； (2)不论实数a(a≠0)取何值时，方程2xr+四=a-3总有一个公共解，求出这个公共解； [x+y=a-5 (3)点P(x,)中的x、y是方程组x-y=-3a+1的解，若点P(x,)到y轴的距离是5，求a的值. [2x+y=6 18.已知关于x、y的方程组m-2y+mx+8=0 (1)请写出方程2x+y=6的一组正整数解； (2)若方程组的解满足x+2y=0,求m的值； (3)不管m取任何值，方程m-2y+mx+8=0总有一个公共解，请直接写出这个解. 参者容案 一、单选题 1.D 解：在二元一次方程2x-y=6中，用含x的代数式表示y,得y=2x-6. 2.A y=-x+2① 解： 2x-3y=4② 将方程①代入方程②，得2r-3(x+2)=4 ∴.2x+3x-6=4. 3.B 解法一：.已知方程组的解互为相反数 ..x=-y 把=-y代入方程2x+y=4得2(+)=4 解得y=-4 ∴.x=4 把=4，y=-4代入x+2=水得=4+2x(4)=4 [x+2y=k① 解法二：2x+y=4②， ①+②，得 3x+3y=k+4 方程组的解互为相反数， .x+y=0 .3x+3y=0，即k+4=0, 解得：k=-4. 4.D 解：.a☆b=2a-b,且a☆b=0, ∴.2a-b=0,即b=2a, 号b-20入方程0-k+6-2=0,#.-r+246-2a0 整理得： a(x+2y-2)=x-6 ,,b取不同值时，方程都有公共解，即等式对任意a恒成立， x-6=0 .x+2y-2=0, x=6 解得y=-2, [x=6 ∴.公共解为y=-2. 5.D x-by=1 解：对原方程组 ax+3y=2, 将第一个方程两边乘“得-a=a,减去第二个方程得(6+3)y=2-a, x=1+by 2-a 解得： y= +ab, 逐个判定如下： ①当a=1,b=2时， 2-1_1 y=3+25,代入x=1+w: X= 5 解得 1 故①正确； y- ②当ab=-3时，ab+3=0, 此时方程变为0y=2-a, 若a≠2，方程组无解； 若02，则=，原方程组两个方程为月一个方程，方程组有无数解。 ∴.②错误； 3 ③当a=2,b=- 2时，原方程组化简后两个方程相同，因此方程组有无数个解，故③正确； ④当ab≠-3时，ab+3≠0， 2-a ∴可得唯一确定的y=b+3,对应可得唯一的x, .方程组有唯一解，故④正确； 综上，①③④正确. 二、填空题 6.y=9-4x 3 解：4x+3y=9 移项得：3y=9-4x」 9-4x 系数化为1得：y= 3· 7.1 解：两个方程组的解相同， 3x-y=5 x=2 .先解4x-7y=1,得y=1, [x=2「ax-by=4「2a-b=4 把y=1代入ax+by=16,得2a+b=16, a=5 解得：b=6, :(a-b=5-6)=(←1）0s=1 8.-1 2x+3y=k① 解：方程组x+2y=-1②， ①-② x+y=k+1 得： ,该方程组是“关联方程组”，两个未知数的值互为相反数， x+y=0, .k+1=0,解得k=-1. 9.①④ x+2y=5-2a① 解： x-y=4a-1② ①+②×2得 3x=6a+3 解得术20+1 把x=2a+1代入②得2a+1-y=4a-1,解得y=-2a+2, x=2a+1 .原方程组的解为y=-2a+2, ∴.x+y=2a+1-2a+2=3 当a=1时，2a+l=3, 当a=1时，x+y=3=2a+l,故①正确： ,x+y=2a+1-2a+2=3. .X≠-y, ∴.不存在某个a值，使得x,y的值互为相反数，故②错误； x+y=3, .x=3-y, 若x、y都为自然数，则当y=0时，x=3, 当y=1时，x=2, 当y=2时，x=1, 当y=3时，x=0, ∴.x,y都为自然数的解有4对，故③错误； x=2a+1 .y=-2a+2, ,2x+y=2(2a+1)+(-2a+2)=2a+4 .当2x+y=8时，2a+4=8, ∴.a=2,故④正确. 10.11 解：由题意可知，调整后三只袋中的球数， 甲袋：29-2+2”（个）， 乙袋：29+2-2-2”=29-2”（个）， 丙袋：5+2*+2'-2”=5+2（个）， ,此时三只袋中球的个数都相同， .29-2+2'=29-2'=5+2, 2*-22'=0 整理得2.2-2'=24， 解得：2*=16=24,2'=8=23， .x=4,y=32x+y=2×4+3=11 ,则 三、解答题 2x-y=-4① 11.(1)解： 4x-5y=-23②， 由①可得y=2x+4, 将y=2x+4代入②中可得，4x-5(2x+4)=-23,解得x=2, 1 .y=2×5+4=5 2 1 x= 2 故方程组的解为y=5· [3(x-1)=y+5 3x-y=8① (2)解：原方程组5(y-1)=3(x+5),整理得3x-5y=-20②， ①-②，4y=28 得 ,解得y=7, 将y=7代入①得3x-7=8,解得x=5, [x=5 故方程组的解为y=7. 2x-4y=6① 12.(1)解： 3x+2y=17②： ①+②×2得：8x=40, .x=5, 将x=5代入①得：2×5-4y=6, y=1, ·方程组的解为： =5 y=1/ 3y=x+4①】 (2)解： 2x+5y=-19②： 由①得：x=3y-4③， 将③代入②得：2×3y-4+5y=-19, 11y=-11, y=-1, 将y=-1,代入③得：x=-7, x=-7 方程组的解为：y=-1 (3)解： 2x+3y=7① 3x-5y=1② ①×3-②×2得：19y=19, y=1, 将y=1代入①得：2x+3=7, .x=2, 方程组的解为： 3x+5y=5①) (4)解： 3x-4y=23②， ①-② 得：9y=-18, y=-2, 将y=-2代入①得：3x-10=5, x=5, ∴方程组解为：} x=5 y=-2 [x=-1 13.(1)解：由题意，将y=2代入方程ax-4y=-6得：-a-4×2=-6,解得a=-2; x=3 将y=1代入方程5x=by+10得：5×3=b+10,解得b=5. 「-2x-4y=-6①「-2x-4y=-6① (2)解：由(1)得：原方程组为5x=5y+10②，即x=y+2③， 将③代入①得：-2(0y+2)-4y=-6, 1 解得y=3, 将y写代入®得：2-. 7 7 x= 则原方程组的正确解为 1 y3 x+y=5① 14.(1)解方程组x-y=1② x=3 ①+②得2x=6,解得”， 代入②得y=2, .y-x=2-3=-1≠2 ∴这个解不是“友好解” (2).方程组的解是“友好解”， 满足y-x=2,即y=x+2, .将y=x+2代入x-2y=5, 得：x-2(x+2)=5,解得x=-9, 代入y=x+2得y=-7, 把x=-9,y=-7代入2x+y=m,得m=2×(-9)+(-7)=-25. 15.(1)解：x#y=ar+byx⊕y=ax-by,且1#1=1,3⊕2=8， a+b=1① ∴.3a-2b=8② ②+0×2得5a=10, 解得0=2 把a=2代入①得2+b=1,解得b=-1, a=2 .b=-1; 「x#y=4-m (2)解：，x⊕y=5m, 2x-y=4-m① .2x+y=5m② ①+②得4=4m+4 解得x=m+1, 把x=m+1代入①得1 a2(m+1)-y=4- m,解得y=3m-2, x=m+1 ∴.原方程组的解为y=3m-2, x#y=4-m 关于x,y的方程组x⊕y=5m的解也满足方程x+y=3, .m+1+3m-2=3, 解得m=1. 16.(1)解：T(=ar+br 78,2)=a3+b-2=9a+8动 (2)解：①72)=5T2,1)=7 a×12+b×2=5 a×2+b×12=7. a+2b=5 整理得：2a+b=7, a=3 解得：b=1. ②：Tx1)-=3x+1x1r7Lx)=3x1r+1x .3×x+1×1'=3×1'+1×x .3x+1=3+x, 解得：x=1. [x=1 17.(1)解：将y=-1代入方程2x+ay=a-3, 得：2-a=a-3, 解得：a=5 2 (2)2x+y=a-3, :a0-+2x+3=0 :不论(a≠0) 取何值，方程都成立， y-1=0 ∴.2x+3=0, 3 解得： 2 y=1 3 x=- 即这个公共解为 2 y=1 x+y=a-5① (3)解方程组x-y=-3a+1②， ①+②得： 2x=-2a-4 解得：x=-a-2, ①-②，m2y=4a-6 得： 解得：y=2a-3, :点P刀到轴的距离是5. :=5,即a-25 .-a-2=t5, 当-a-2=5时，解得a=-7, 当-a-2=-5时，解得a=3, .a的值为3或-7. 18.(1)解：当x=1时，2×1+y=6, ∴.y=4, [x=1 .方程2x+y=6的一组正整数解为y=4; 2x+y=6 (2)解：.方程组m-2y+mx+8=0的解满足x+2y=0, 2x+y=6 x=4 ∴.x+2y=0,解得：y=-2, x=4 把y=-2代入m-2y+mx+8=0得：m-2×(-2)+4m+8=0, 解得：m三- (3)解：m-2y+mx+8=0, 整理得： m(x+1)-2y+8=0 不管m取任何值，方程m-2y+mr+8=0总有一个公共解， x+1=0 ∴-2y+8=0, x=-1 .y=4.