4.2《 认识一次函数》暑假预习-- 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一次函数概念与应用，通过基础辨析（如正比例函数定义判断）、实际情境（弹簧长度与重物质量关系）及新定义问题（特征值、关联数），培养抽象能力与模型意识，适配暑假预习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|5|正比例函数定义、一次函数图像与识别|第5题结合表格数据建立函数关系，体现数学眼光| |填空题|5|一次函数解析式、参数求解、新定义|第9、10题通过“特征值”“关联数”考查创新应用，发展推理意识| |解答题|5|函数关系建立、综合计算、新定义综合|第15题“美好点”问题融合坐标与一次函数，培养数学语言表达能力|

4.2《 认识一次函数》暑假预习 一、单选题 1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（     ） A．； B．； C．； D．． 2．一次函数的图像经过点A，则点A的坐标可能是（  ） A． B． C． D． 3．函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知y是x的正比例函数，且当时，，当时，y的值为（   ） A．6 B． C．9 D． 5．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（） A．27 B． C．20 D． 二、填空题 6．已知点在一次函数的图象上，则的值为_____． 7．函数是一次函数，则m的值为______． 8．点在直线上，则代数式的值为________． 9．定义：对于函数（），将的值叫做该函数的特征值．若函数的特征值为，则______． 10．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 三、解答题 11．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 12．已知函数， (1)当时，求函数的值； (2)当x取何值时，函数的值为0． 13．已知y关于x的函数表达式为． (1)若y是x的正比例函数，求m的值； (2)若，通过计算判断点是否在该函数的图象上． 14．已知与成正比例，且当时，； (1)求出与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 15．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的美好点是． (1)点的美好点坐标是______，若点的美好点为，则点的坐标是______； (2)若点的美好点在直线上，求的值； (3)点在直线上且点的横坐标为，点为点的美好点，点______直线（填“在”或“不在”），请说明理由． 参考答案 一、单选题 1．A 首先明确正比例函数定义：形如（为常数，）的函数叫做正比例函数， ∵ 选项A中，，符合的形式，且，∴A是正比例函数； ∵ 选项B中，是反比例函数，不符合正比例函数形式，∴B错误； ∵ 选项C中，是一次函数，常数项为，不是正比例函数，∴C错误； ∵ 选项D中，整理得，常数项为，是一次函数，不是正比例函数，∴D错误． 因此选A． 2．B ∵若点在一次函数的图象上，则点的坐标满足该解析式， 对选项A，当时，，∴A错误； 对选项B，当时，，与点的纵坐标相等，符合要求，∴B正确； 对选项C，当时，，∴C错误； 对选项D，当时，，∴D错误． 3．B 解：逐一判断各函数： ①中未说明，因此不一定是一次函数； ②，符合（，）的形式，是一次函数； ③的自变量在分母上，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④，符合（，）的形式，是一次函数； ⑤中自变量的最高次数为2，不是一次函数； 综上，一次函数共有2个． 4．C 解：∵y是x的正比例函数， ∴设函数解析式为， 将代入解析式得：， 解得， ∴函数解析式为， 当时，． 5．A 解：由表格数据可得，重物质量每增加，弹簧总长增加， ∴重物质量每增加，弹簧伸长， ∵弹簧原长为， ∴可得与的关系式为， 将代入得，． 二、填空题 6．2 解：点在一次函数的图象上， 得． 7． 解：∵函数是一次函数， ∴且， 由可得， 由可得， ∴． 8． 解：点在直线上， ， 移项整理得， 等式两边同乘得， ． 9． 解：对于函数，可得， ∵其特征值为， ∴由题意得，，解得． 10．5 解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义． ∵该一次函数是正比例函数， ∴， 解得：． 三、解答题 11．（1）解：由正方形的面积是边长的平方得，，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数． （2）解：由应缴电费y（元）是收费标准0.53元/（）与用电量x（）的乘积得，，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． （3）解：由剩余的费用y（元）是总钱数减去用去的钱得，，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 12．（1）解：将代入，得； （2）解：令，解得． 13．（1）解：∵y是x的正比例函数， ∴， ∴； （2）解：当时，该函数解析式为， 当时，， ∴点不在该函数的图象上． 14．（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∴，解得：， ∴， ∴与之间的函数关系式； （2）解：把代入得，； （3）解：把代入得，， ∴． 15．（1）解： 根据题意可得：，， ∴点的“美好点”坐标是； 若点P的“美好点”为， 则， 解得，， 点P的坐标是； （2）解：点的“美好点”为，即， 若点的“美好点”在直线上， 得， 解得：， 所以的值为； （3）解：点在直线上且点的横坐标为， ， 点Q为点P的“美好点”， ， 将代入中，得， 与点的纵坐标相等， 在直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $