1.1《探索勾股定理》暑假预习-2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理核心应用，融合赵爽弦图、刘徽“青朱出入图”等传统文化素材，通过基础计算、折叠问题、动点探究等梯度设计，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|5|勾股定理直接应用（题1）、正方形面积与边长关系（题3）|第5题辨析证明方法，渗透批判性思维| |填空题|5|折叠中勾股定理（题8）、青朱出入图剪拼（题10）|题9结合完全平方公式，体现运算能力| |简答题|6|垂美四边形证明（题13）、动点直角三角形分类讨论（题14）、赵爽弦图推导（题15）|题16勾股树面积关系探究，发展创新意识与模型观念|

1.1《探索勾股定理》暑假预习 一、选择题 1．中，，，，则（     ） A．10 B．14 C．12 D．5 2．在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（   ） A．8 B．64 C．7 D．49 4．如图是一块正方形草地，在边上取定一个点E，经测量知，．则这块草地的面积是（    ） A． B． C． D． 5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在中，，，，则______． 7．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 8．如图，一张三角形纸片，，，，将纸片沿直线折叠，使点A与点B重合，则的长是______． 9．已知的两条直角边分别为，斜边为，若，则∆ABC的面积为______． 10．如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，．那么正方形的边长为_______． 三、简答题 11．如图，在∆ABC中，于点，，，高，求的长． 12．如图，在四边形中，，，，，求的长． 13．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 14．在∆ABC中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒； (1)求线段的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 15．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 16．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有，和的式子表示三者之间的等量关系）； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示） 则：______ 参考答案 一、选择题 1．A 解：在中，，， 为斜边，由勾股定理得， ，， ， 边长为正数， ． 2．A 解：∵∆ABC是直角三角形，是斜边，且， ∴． 3．A 解：由题意，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 4．B 解：∵四边形是正方形， ∴∠B=90∘， ∵，， ∴， ∴， 即这块草地的面积是． 5．A 解：、边长为正方形的面积边长为正方形的面积2个长为，宽为的长方形的面积大正方形的面积， ，属于完全平方公式，不能用来证明勾股定理，符合题意； 、三个直角三角形的面积和梯形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意． 二、填空题 6． 解：∵，，， ∴． 7． 解：∵分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴． 8． 解：，，， ， 由折叠的性质可得，， 设，则， 在中，， ， 整理得， 解得， ． 9．8 解：∵中，a，b为直角边，c为斜边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由完全平方公式展开得， ∴， 整理得， ∴的面积为 10． 解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴正方形的边长是． 三、解答题 11．解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，． 12．解：∵在中，，，， ∴． ∵在中，，， ∴． 13．（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 14．（1）解：设， ∵， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即； （2）解：由题意知． ①当时，如图1，点P与点C重合，， ∴． ②当时，如图2，，． 在中，， 在中，， 因此， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为4或． 15．（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 16．（1）①解：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么， 故答案为：． ②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得：． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得：． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即， 化简得：． （2）①解：三个图形中面积关系满足的有3个； 故答案为：3； ②解：结论：． 理由：以为直径的半圆面积为， 以为直径的半圆面积为， 以为直径的半圆面积为， 三角形的面积为， ∴， ∴， 由（1）的结论可知：， ∴； （3）解：如图9， 正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m， 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $