第41讲统计（知识清单+14典例精讲+方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦统计核心考点，涵盖抽样方法、统计图表分析、样本数字特征等高考高频内容，按“基础概念-抽样方法-图表应用-数字特征”逻辑架构知识体系。通过知识清单梳理、14典例精讲、解题大招指导及分层训练，系统帮助学生突破频率分布直方图、分层抽样计算等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料创新融入分层抽样比例速算、百分位数定位等解题技巧，注重培养学生“数学思维”与“数据观念”。典例精讲结合变式训练，配合基础过关、拔高选练、错题复盘的分层练习设计，确保学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径，有效提升学生统计问题的应考能力。

第41讲统计（知识清单+14典例精讲+方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 抽样方法、统计图表分析 单选/多选/解答题 5分/6分/12分 分层抽样、频率分布直方图 单选/解答题 5分/12分 样本数字特征、统计案例 单选/多选/解答题 5分/6分/12分 众数、中位数、平均数与频率直方图 单选/多选/解答题 5分/6分/12分 系统抽样、茎叶图 单选/多选/填空/解答题 5分/6分/12分 频率分布表、样本均值与方差 单选/多选/填空/解答题 5分/6分/12分 【知识点01】总体、个体、样本 调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量. 【例1】为调查某高中2000名高一学生的身高情况，随机抽取100名学生测量身高，指出该调查中的总体、个体、样本、样本容量。 解：步骤1：确定研究核心 本次调查的研究对象是：高一学生的身高，而非学生本身。 步骤2：逐一界定概念 1. 总体：该高中2000名高一学生的身高全体； 2. 个体：该高中每一名高一学生的身高； 3. 样本：抽取的100名高一学生的身高； 4. 样本容量：100（纯数字，无单位）。 易错提醒：样本容量是数量，不带单位，区别于样本 【知识点02】简单随机抽样 抽签法和随机数法是比较常用的两种方法. 【例2】已知总体容量为80，采用简单随机抽样抽取容量为8的样本，求每个个体被抽到的概率。 解：步骤1：明确已知量 总体容量，样本容量 。 步骤2：代入概率公式 最终答案：每个个体被抽到的概率为 【知识点03】分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 【例3】某学校高一、高二、高三学生分别为400人、300人、300人，现采用分层随机抽样抽取100人的样本，求各年级抽取的人数。 解：步骤1：计算总体容量与抽样比 总体容量： 抽样比： 步骤2：分层计算抽取人数 高一： 人 高二： 人 高三： 人 最终答案：高一40人，高二30人，高三30人 【知识点04】统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等. (2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差； ②决定组距与组数； ③将数据分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图. 【例4】已知一组数据分组区间为，组距为2，该区间 ，求该组数据的频率。 解：步骤1：代入频率计算公式 最终答案：该组频率为 【知识点05】百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. 【例5】已知数据：，求该组数据的50百分位数（中位数）。 解：步骤1：数据排序 原数据已排序，数据个数 。 步骤2：计算指数 ，为整数。 步骤3：求解百分位数 取第3项和第4项数据的平均值： 最终答案：50百分位数为 【知识点06】平均数、中位数和众数 (1)平均数：(x1＋x2＋…＋xn). (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时). (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据). 【例6】求数据的平均数、中位数、众数。 解：步骤1：计算平均数 步骤2：确定中位数 数据共5个（奇数），排序后第3个数为中位数，即 。 步骤3：确定众数 数据出现次数最多，众数为 。 最终答案：平均数，中位数，众数 【知识点07】方差和标准差 (1)方差：s2＝(xi－)2或. (2)标准差：s＝. 【例7】求样本数据的方差与标准差。 解：步骤1：计算平均数 步骤2：计算样本方差 步骤3：计算样本标准差 最终答案：方差，标准差 【知识点08】总体方差和总体标准差 (1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝(Yi－)2. (2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2. 【例8】已知总体数据：，求总体方差和总体标准差。 解：步骤1：计算总体均值 步骤2：代入总体方差公式 . 步骤3：计算总体标准差 最终答案：总体方差，总体标准差 【题型一】简单随机抽样 【例1】已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一次.若2月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（    ） A．2月25日 B．2月26日 C．2月27日 D．2月28日 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列举法列出甲、乙、丙从2月14日开始的去锻炼的日期即可作答. 【详解】甲去的时间：2月14日，2月16日，2月18日，2月20日，2月22日，2月24日，2月26日，2月28日， 乙去的时间：2月14日，2月17日，2月20日，2月23日，2月26日， 丙去的时间：2月14日，2月18日，2月22日，2月26日， 所以下一次共同去锻炼的日期是2月26日. 故选：B 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 【答案】B 【分析】根据统计估计计算求解. 【详解】根据已知从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60， 则，所以. 【变式2】某校高一共有10个班，编号分别为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（5）班被抽到的可能性为a，高一（6）班被抽到的可能性为b，则___________；___________. 【答案】 /0.3 /0.3 【分析】利用简单随机抽样的等可能性，即得解 【详解】由简单随机抽样的定义，知每个个体被抽到的可能性相等， 故高一（5）班和高一（6）班被抽到的可能性均为． 故 故答案为： 【变式3】假设要考查某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号______． （下面摘取了随机数表第7行至第9行） 8442175331  5724550688  7704744767  2176335025  8392120676 6301637859  1695566719  9810507175  1286735807  4439523879 3321123429  7864560782  5242074438  1551001342  9966027954 【答案】068 【分析】由题目给出的随机数表，按照读取随机数表的方法读取编号，可得答案． 【详解】从随机数表第7行第8列的数开始向右读，编号分别为331，455，068， 则第3支疫苗的编号为068， 故答案为：068． 【题型二】系统抽样 【例1】某印刷厂为了保证图书的印刷质量，将每批次印刷出来的图书排放整齐，每隔20本检查一下其封面和内文的质量情况，则这样的抽样方法是（    ） A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．以上三种方法都有 【答案】B 【分析】根据总体中个体数量较多，且分布均匀，抽取样本的间隔相等这些特点，判断是系统抽样． 【详解】从印刷出来的图书中，每隔20本检查一下其封面和内文的质量情况， 这样的抽样方法为系统抽样. 故选：B 【点睛】本题考查了系统抽样的应用，属于基础题． 【变式1】某学校为响应“平安出行号召”，拟从2019名学生中选取名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法剔除名学生，剩下的名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率 A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 【答案】D 【分析】先用简单随机抽样的方法剔除，剩下的再按系统抽样的抽取，故可得结论． 【详解】根据题意，先用简单随机抽样的方法从2019人中剔除19人，个体不被剔除的概率为 则剩下的再按系统抽样的抽取时，每人入选的概率为，由相互独立事件的概率知每人入选概率为 故选D． 【点睛】本题考查系统抽样和简单随机抽样，等可能事件的概率，考查抽样方法，明确每个个体的等可能性是关键,是基础题 【变式2】（2026·山东·一模）计划从560袋某品牌食品中抽取8袋进行质量检测，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1~560，并对编号依次分段，若抽出的编号中含有550，则从第1个号码段中抽出的编号应是______． 【答案】60 【分析】由系统抽样操作步骤即可求解. 【详解】由，可知每组70袋，且抽出的编号间距为70， 又550为第8组数据， 所以第一个号码段抽出的编号为， 故答案为：60 【变式3】（2024·山东·二模）某中职学校计划从300名学生中抽取30名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1—300，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽取的号码是6，则从第五个号码段中抽取的号码应是______. 【答案】46 【分析】根据系统抽样的特征即可求解. 【详解】由题意可知，抽取的间距10，第一组抽取的数据是6，故接下来抽取的数据分别为16，26，36，46，...... 故第五个号码段中抽取的号码应是46 故答案为：46 【题型三】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【例3】（2026·湖南长沙·模拟预测）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（    ） A．人，人，人 B．人，人，人 C．人，人，人 D．人，人，人 【答案】A 【详解】因为，所以甲校应抽取， 乙校应抽取，丙校应抽取. 【变式1】（2026·甘肃金昌·三模）（多选）某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一､高二､高三三个年级中共抽取87名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校高一､高二､高三年级学生人数分别为，则（    ） A． B．从高一年级中抽取的学生人数为30 C．从高二年级中抽取的学生人数为27 D．从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是 【答案】AB 【详解】A选项，根据分层抽样，，解得，正确； B选项，从高一年级中抽取的学生人数为，正确； C选项，从高二年级中抽取的学生人数为，错误； D选项，从全校中任选一人，此人是高三学生的概率，错误． 【变式2】（2026·山西太原·二模）一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________. 【答案】10 【详解】解：根据题意男、女运动员的比例为， 所抽样本中男运动员的人数为16， 则该样本中女运动员的人数为． 【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）2023年被称为交互式元年.人工智能是今年的一大焦点，因为它的发展方式很快就变得无处不在，并像电子邮件､流媒体或任何其他曾经是未来主义､现在成为日常的技术一样融入到我们的生活中.公众反复讨论生成式人工智能对社会协作方式的影响.中学生是祖国科技发展之光，为了激发中学生对科技创新的兴趣，现调查了某重点中学生高一年级学生对的了解情况.调查问卷主要设置了在以下六个方面的应用：传媒､机器人､办公､医药､自动驾驶､军事.已知该学校高一年级共600人，随机选取30名学生（其中男生16人，女生14人）做了一次调查，结果显示：对有较多了解的男生有12人，女生8人，其他均表示了解较少.其中表示有较多了解的学生最感兴趣的应用领域具体人数情况如下表： 性别 传媒 机器人 办公 医药 自动驾驶 军事 男 1 4 2 1 3 1 女 3 2 2 0 1 0 (1)估计该学校高一年级对有较多了解且在机器人应用最感兴趣的学生人数； (2)现学校从对机器人最感兴趣的这6名学生中抽取2名到某机器人基地研学，求参加机器人基地研学的至少有一名女生的概率. 【答案】(1)120人；(2). 【分析】（1）根据样本数据计算出频率，即可估计人数； （2）记男生的4人分别为，女生的2人分别为，，利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式及对立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）依题意样本中对有较多了解的频率为， 对有较多了解的学生最感兴趣的应用领域为机器人的频率为， 所以该学校高一年级对有较多了解且在机器人应用最感兴趣的学生人数约为人. （2）记男生的4人分别为，女生的2人分别为，， 从这人中选取人，基本事件是共15种， 这人都是男生的事件是共6种， 故所求概率. 【题型四】分层抽样的概率 【例4】（2024·湖北·模拟预测）从一个容量为的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由简单随机和随机抽样，每个个体被抽中的概率相等的特点可得答案． 【详解】 随机抽样每个个体被抽到的概率相等， 选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为， 故选：A 【变式1】已知某民营车企1月份生产了A，B，C三种型号的新能源汽车，台数依次为120，210，现用分层抽样的方法从中随机抽取16台车进行安全测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为_______. 【答案】 【解析】根据分层抽样的概率，即可容易求得. 【详解】由题可知，型车辆与每一台新能源汽车被抽取的概率均相等， 则其概率. 故答案为：. 【点睛】本题考查分层抽样的概率计算，属基础题. 【变式2】某省数学学业水平考试成绩共分为、、、四个等级，在学业水平考试成绩分布后，从该省某地区考生中随机抽取名考生，统计他们的数学成绩，部分数据如下： 等级 频数 频率 （1）补充完成上述表格的数据； （2）现按上述四个等级，用分层抽样方法从这名考生中抽取名.在这名考生中，从成绩为等和等的所有考生中随机抽取名，求至少有名成绩为等的概率. 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据频率，即可求出相应数据； （2）用分层抽样可得A、B分别抽取到的人数为4人、3人，列举可得总的基本事件共21个，由概率公式可得. 【详解】（1） 等级 频数 频率 （2）成绩为等的考生应抽名，分别记为，，，， 成绩为等的考生应抽名，分别记为，，， 从这名中抽取名，有如下种抽法： ，，，，，；，，，，；，，，；，，，，；. 其中至少有名成绩为等的有如下种抽法： ，，，，，；，，，，，，，，；，，. ∴至少有名成绩为等的概率为. 【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题. 【变式3】4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下： 小组 甲 乙 丙 丁 人数 12 9 6 9 （1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率； （2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用表示抽得甲组学生的人数，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1）（2）见解析， 【解析】（1）采用分层抽样的方法甲组抽取4人，乙组抽取3人，丙组抽取2人，丁组抽取3人，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，基本事件总数为，这两人来自同一小组取法共有，由此可求出所求的概率； （2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，而甲、丙两个小组学生分别有4人和2 人，所以抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望. 【详解】（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4，3，2，3（人）， 从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法共有（种）， 抽取的两名学生来自同一小组的取法共有（种）， 所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为 （2）由（1）知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4人、2人，所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0，1，2, 因为 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所求的期望为 【点睛】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等知识，考查运算能力，属于中档题. 【题型五】条形统计图、折线统计图、扇形统计图 【例5】（2024·四川乐山·三模）为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（    ） A．800，360 B．600，108 C．800，108 D．600，360 【答案】B 【分析】由扇形图求出三个年级的学生总人数，进而求出样本容量，求出抽取的二年级学生人数，再结合二年级学生的满意率求解. 【详解】由扇形图可知，三个年级的学生总人数为人， 所以样本容量为人， 因为抽取的二年级学生人数为人， 所以抽取的二年级学生中满意的人数为人. 故选：B 【变式1】（2026·河北邢台·二模）某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（   ） A．乙车间产量的中位数为6月份的产量 B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 【答案】D 【详解】一共11个月的产量数据，中位数是将产量从小到大排序后的第个数据， 对乙车间产量排序后，第6个数据是月份的产量，不是6月份，A错误； 甲车间产量极差约为，乙车间产量极差约为，甲的极差小于乙的极差，B错误； 观察折线图，除9月、10月外，其余月份甲车间产量均高于乙车间，整体估算可得甲产量平均值大于乙的平均值，C错误； 第80百分位数为，根据百分位数计算可知第80百分位数是排序后的第9个数据， 从小到大排序后，甲的第9个数据约为3.85，乙的第9个数据约为3.6，甲的第80百分位数大于乙，D正确. 【变式2】（2025·河南·模拟预测）（多选）2024年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论是整体实力，还是结构性指标都稳步提升.2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出及其增长速度如图所示，则（    ） A．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长 B．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25百分位数为24393亿元 C．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为 D．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的平均数超过 【答案】ACD 【分析】通过分析条形图可直接判断B，根据百分位数的求解方式可得第25百分位数为2021年的经费支出可判断B错误；由折线图可计算经费支出增长速度的极差确定C；计算出增长速度的平均数即可判断D. 【详解】本题考查统计，考查数据分析的核心素养. 2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长，A正确. 至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25百分位数为27956亿元，B错误. 2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为，C正确. 2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的平均数为，D正确. 故选：ACD. 【变式3】“一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了新实践.某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品，，的开发. （1）在对三种饮品市场投放的前期调研中，对100名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图.若饮品的百件利润为400元，饮品的百件利润为300元，饮品的百件利润为700元，请估计三种饮品的平均百件利润； （2）为进一步提高企业利润，企业决定对饮品进行加工工艺的改进和饮品的研发.已知工艺改进成功的概率为，开发新饮品成功的概率为，且工艺改进与饮品研发相互独立； （ⅰ）求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率； （ⅱ）若工艺改进成功则可为企业获利80万元，不成功则亏损30万元，若饮品研发成功则获利150万元，不成功则亏损70万元，求该企业获利的数学期望. 【答案】（1）415元；（2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）根据样本的条形图可得顾客选择饮品、选择饮品、选择饮品的频率，从而可计算总体的百件利润平均值. （2）（ⅰ）设饮品工艺改进成功为事件，新品研发成功为事件，事件为工艺改进和新品研发恰有一项成功，则，从而可计算工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率. （ⅱ）求出的分布列后可求的数学期望. 【详解】（1）根据样本的条形图可得顾客选择饮品的频率为， 选择饮品的频率为， 选择饮品的频率为； 由样本估计总体可得总体顾客中选择饮品的概率为， 选择饮品的概率为 选择饮品的概率为； 则可以得到总体的百件利润平均值为元. （2）（i）设饮品工艺改进成功为事件，新品研发成功为事件， 依题意可知事件与事件相互独立， 事件为工艺改进和新品研发恰有一项成功. 则. （ⅱ）由题意知企业获利的取值为，10，120，230， 则，， ，. 故的分布列如下： 10 120 230 所以. 【点睛】本题考查条形图的应用以及独立事件的概率公式的应用，还考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，本题属于中档题. 【题型六】频率分布表 【例6】（2024·四川成都·模拟预测）在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 观看人数占调查 人数的百分比 从表中数据可以得出的正确结论为（   ）． A．表中的数值为 B．观看场次不超过场的学生的比例为 C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人 D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人 【答案】D 【分析】对于A，根据数据百分比的和为可以计算出的值；对于B，计算出观看场次为、、、场的百分比和即可得出所求比例；对于C、D，分别计算出符合问题的百分比和，再乘以总人数，即可求得结果. 【详解】由表可知，， 解得，选项A错误； 观看场次不超过场的学生的比例为，选项B错误； 观看场次不超过场的学生的比例为， 则观看场次不超过场的学生约为人，选项C错误； 观看场次不低于场的学生的比例为， 则观看场次不低于场的学生约为人，选项D正确． 故选：D 【变式1】（多选）在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高三年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下： 观看场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% m% 12% 6% 2% 从表中可以得出正确的结论为（    ） A．表中m的数值为16 B．估计全年级观看比赛低于4场的学生约为32人 C．估计全年级观看比赛不低于4场的学生约为360 D．估计全年级观看比赛场数的众数为2 【答案】AC 【分析】由频率分布表的性质，求出；先由频率分布表求出观看比赛不低于4场的学生所占比率，由此估计观看比赛不低于4场的学生人数；根据频率分布表读出众数． 【详解】解：由频率分布表的性质，得： ，故正确； 观看比赛低于4场的学生所占比率为：， 估计观看比赛低于4场的学生约为：人，故错误， 观看比赛不低于4场的学生所占比率为：， 估计观看比赛不低于4场的学生约为：人，故正确， 出现频率最高的为3．故估计全年级观看比赛场数的众数为，故错误； 故选：． 【变式2】将一个样本容量为的样本数据分组如下：，，，，，其中样本数据在和内的频率之和为，，对应的频数分别为，，则样本数据在内的频数为___________. 【答案】6 【分析】根据频率之和为进行列式，结合频率和频数的关系求得样本数据在内的频数. 【详解】由题可得，样本数据在，，内的频率之和为，又，对应的频数分别为，，所以样本数据在内的频数为. 故答案为：6 【变式3】某校 1 200 名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为 100 分），为了分析这次数学测验的成绩， 从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题： 成绩分组 频数 频率 平均分 3 0.015 16 a b 32.1 25 0.125 55 c 0.5 74 62 0.31 88 (1)求 a，b，c 的值； (2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：60 分及 60分以上为及格）. 【答案】(1) (2)0.81 【分析】（1）根据统计图中数据分析得到a，b，c 的值； （2）计算出抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率，从而估计出这名学生该次数学测验及格的概率. 【详解】（1），解得， 故，， （2）抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率为， 故估计这名学生该次数学测验及格的概率. 【题型七】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【例7】（2026·辽宁·三模）某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6 【答案】C 【详解】从频率分布条形图中可得：阅读课外书为4本的频率是， 阅读课外书为5本的频率是. 每月阅读课外书数量不少于4本，包含阅读4本和阅读5本两种情况. 总频率为. 由频率估计概率，可知该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为. 【变式1】（2026·河北张家口·二模）（多选）从工厂生产的零件中随机抽出100个，测量其直径（单位：），将所得数据分为5组：，并整理得到频率分布直方图如图，记这100个零件的直径的中位数为，平均数为，极差为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由图可知，这5组的频率依次为， 则这5组的频数依次为， 将这100个零件的直径数据从小到大排序， 第31个数大于或等于5.18，第65个数小于5.28，第50与第51个数之和为， 所以，故A正确； 若每个区间中的数都取最大值， 平均数，故B正确； 极差是最大数减去最小的数，所以，故C正确； 众数是指这100个数中，相等的数的个数最多的那个， 而在中最多有30个数相等，中最多有35个数相等， 则众数，D错误. 【变式2】（2024·山西·模拟预测）某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：        则样本中停车时长在区间上的车辆数为______辆. 【答案】 【分析】利用频率直方图中频率之和为1求得的频率，进而求得的频数，从而得解. 【详解】依题意，设的频率为， 则，解得， 所以样本中停车时长在区间上的车辆数为. 故答案为：. 【变式3】（2024·四川成都·三模）某手机生产厂商要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：，，，，，（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在的一组人数为50人.    (1)求和的值； (2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）可求得在的一组的，可求，利用概率和为，可求得； （2）由已知可求得屏幕需求尺寸为的人数与屏幕需求尺寸为的人数，可求得在每组各抽了多少人，利用古典概型概率公式计算可得2人来自同一分组的概率. 【详解】（1）因为屏幕需求尺寸在的一组人数为50人， 所以其频率为.又因为组距为0.5，所以. 又因为，所以， 即，. （2）因为屏幕需求尺寸为人数为：， 屏幕需求尺寸为人数为， 若要用分层抽样的方法抽取6人 所以要在组中抽2人，设为，； 要在组中抽4人，设，，，， 因此样本空间 ，，，，，， ，，，，共15个基本事件， 而这2人来自同一分组为事件， ，共7个基本事件， 所以这2人来自同一分组的概率. 【题型八】频率分布直方图的实际应用 【例8】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a（单位：t），用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费，如果当地政府希望使80%以上的居民每月的用水量不超出该标准，为了科学合理确定出a的数值，政府采用抽样调查的方式，绘制出100位居民全年的月均用水量（单位：t）频率分布直方图如图，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况，可推断标准a大约为（    ） A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3.2 【答案】B 【分析】由直方图易知： ，由题意列出方程，由此就可以求出月均用水量的最低标准. 【详解】前5组的频率之和为 前6组的频率之和为 ，由 ，解得 故选：B 【变式1】（多选）某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（   ） A． B．估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人 C．第二次联考学生的成绩波动更小 D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加 【答案】BCD 【分析】由频率和为1列方程求参数判断A；再根据两次联考对应的直方图分析B、C、D的正误. 【详解】因为，所以，A错误． 因为第一次联考成绩在130分以上的学生人数大约占， 第二次联考成绩在130分以上的学生人数大约占， 所以增加，则增加的学生人数为10，B正确． 第一次联考成绩集中于70～110分的学生人数占比为， 第二次联考成绩集中于90～130分的学生人数占比为， 第二次联考成绩数据更集中，所以方差更小，C正确． 第一次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为，在[110,150]内的学生人数占比为， 第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为，在[110,150]内的学生人数占比为，D正确． 故选：BCD 【变式2】我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值为__________． 【答案】2.9 【分析】先建立方程求解得，再判断的取值范围，最后建立方程求解得. 【详解】解：由题意：，解得， 因为前6组的频率之和为，前5组的频率之和为， 所以． 所以，解得， 因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 故答案为：2.9 【点睛】本题考查补全频率分布直方图、根据频率分布直方图估值，是基础题. 【变式3】（2026·江西新余·二模）在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图． (1)求的值； (2)若参赛学生共有2000名，估计其中成绩小于70分的人数； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得答案. （2）先求出成绩小于70分的频率，根据总人数，即可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1， 可得，解得. （2）由图象可得，成绩小于70分的频率为， 则成绩小于70分的人数为. 【题型九】计算几个数的众数、中位数、平均数 【例9】（2026·福建漳州·三模）样本数据的众数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为样本数据中出现的次数最多，所以该样本数据的众数为． 【变式1】（2026·湖南长沙·三模）一组数据：3，5，7，9，11，这组数据的中位数是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】数据共5个，从小到大排列后中间第3个数为7，即中位数是7. 【变式2】（2026·陕西·二模）中山大学X同学参加了今年3月组织的考研复试测试，共有5名考官打分，如果去掉一个最高分和最低分，则X同学的平均成绩为95.8；如果仅去掉一个最低分，则X同学的平均成绩为96.6；如果仅去掉一个最高分，则X同学的平均成绩为94分．如果5位考官的成绩都保留，则X同学的平均分为_____． 【答案】 【详解】设5名考官打分由高到低的排列为， 因为去掉一个最高分和最低分，X同学的平均成绩为95.8， 所以， 因为仅去掉一个最低分，X同学的平均成绩为96.6， 所以， 因为去掉一个最高分，X同学的平均成绩为94分， 所以， ，得， ，得， X同学的平均分为. 【变式3】某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15天的数据作为样本，得到如图所示的统计表.若日用电量不低于200度，则称这一天的用电量超标. 分组 频数 3 6 3 3 (1)估计该企业日用电量的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表） (2)用分层抽样的方法从日用电量在和内的数据中抽取6天的日用电量数据，再从这6个数据中随机抽取2天的日用电量数据，求这2天中至少有1天的日用电量超标的概率. 【答案】(1)（度）(2) 【分析】（1）根据平均数公式进行求解即可； （2）利用列举法，结合古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】（1））估计该企业日用电量的平均值为： （度）. （2）由题意可知应从日用电量在内的数据中抽取个，记为，，，， 从日用电量在内的数据中抽取个，记为，. 从这6个数据中随机抽取2天的日用电量数据的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种； 其中符合条件的情况有，，，，，，，，，共9种.故所求概率. 【题型十】由频率分布直方图估计中位数、平均数 【例10】如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（    ） A．众数平均数中位数 B．众数中位数平均数 C．众数平均数中位数 D．中位数平均数众数 【答案】B 【详解】平均数受极端值影响，中位数，众数不受极端值影响， 由于图象“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，B项满足. 【变式1】（2026·福建福州·模拟预测）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的中位数约为__________.（精确到0.1） 【答案】 【详解】根据频率分布直方图：前三个矩形频率和为， 设中位数为，则，解得. 所以中位数为 【变式2】某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： 估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为__________千米． 【答案】 【分析】由频率分布直方图的意义可求. 【详解】 故答案为： 【变式3】藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求参赛学生成绩的众数、中位数； (2)按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，再从这6人中，抽取2人，则求这两人都是在的概率. 【答案】(1)众数为65，中位数为65 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图确定众数与中位数即可； （2）根据古典概型求解基本事件总数与所求事件总数即可得答案. 【详解】（1）由题图可知众数为65， 因为的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为； 的频率为； 所以设中位数为，则，解得，所以中位数为； （2）按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，则分别抽取了3人，2人，1人. 设这6人分别为，，，，，. 再从其中抽取2人，这一共有，，，，，，，，，，，，，，，总共15种情况. 两人都在有，，三种情况， 则求这两人都是在的概率为. 【题型十一】计算几个数据的极差、方差、标准差 【例11】（2026·湖南株洲·模拟预测）一组数据0，1，3，4，5，6的极差为（     ） A．6 B．4 C．3 D．5 【答案】A 【详解】确定该组数据0，1，3，4，5，6的最大值为6，最小值为0； 所以极差是 6−0=6， 因此该组数据的极差为6. 【变式1】（2026·福建泉州·三模）已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个数据3和9，则剩下的8个样本数据的方差为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设原样本为，则去掉数据后的平均值为， 又，所以， 所以去掉数据后的方差为. 【变式2】（2026·福建福州·模拟预测）已知样本数据，，…，的平均数为6，方差为9．前五个数据，，，，的平均数7，方差为6，则后十个数据，，…，的方差是__________． 【答案】 【详解】由题意得，，， ，， 则，，， ， 则， 则， 故后十个数据，，…，的方差是 【变式3】（2024·宁夏银川·三模）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下： 甲：95　82　88　81　93　79　84　78 乙：83　92　80　95　90　80　85　75 (1)哪个工人的成绩较好？ (2)甲、乙成绩位于内的有多少？ 【答案】(1)甲的成绩较好； (2)4个，5个. 【分析】（1）根据给定数据，求出甲乙工人成绩的平均数和方差，再比较大小作答. （2）求出标准差及指定区间，再观察数据即得. 【详解】（1）甲工人成绩的平均数， 乙工人成绩的平均数， 甲工人成绩的方差 ， 乙工人成绩的方差 ， 显然，所以甲的成绩较稳定，较好. （2）由（1）知，， 甲的成绩位于区间，即内的有4个， 乙的成绩位于区间，即内的有5个. 【题型十二】各数据同时加减、乘除同一数对方差的影响 【例12】（2026·福建龙岩·三模）已知数据：，将这组数据中的每个数值都加上3后，与原始数据相比，调整后的数据中不会发生改变的是（   ） A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 【答案】A 【分析】设原始数据为，新数据为，且，则，根据样本的数字特征的定义和计算公式分析即可判断. 【详解】原始数据：，将这组数据中的每个数值都加上3后， 新数据：， 对于A，由知，故A正确； 对于B，原始数据的众数为3，新数据的众数为6，故B错误； 对于C，原始数据的中位数为，新数据的中位数为，故C错误； 对于D，由知，故D错误. 【变式1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知一组样本数据，，…，的方差为2，令，，2，…，n，则样本数据，，…，的方差为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】由题可知，， 所以，， . 【变式2】（2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据5，7，8，8，9，10，13，14，16，16的80%分位数是14 B．若数据的平均数为4，则数据的平均数为16 C．若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5 D．若数据的平均数为，则的方差为 【答案】BCD 【详解】对于A项，因为，所以 80% 分位数为，故 A 错误； 对于B项，因为数据的平均数为4， 则数据的平均数为，故B正确； 对于C项，原7个数据：，方差， 加入数据 5,6,7 后，新平均数为：， ，故C正确， 对于D项，因为，则方差为，故D正确. 【变式3】（2025·四川泸州·模拟预测）已知数据的平均数是4，数据的平均数是20，则，的方差为__________. 【答案】16 【分析】先求出数据的方差后再利用方差的性质可得新数据的方差. 【详解】数据的方差， 所以数据的方差为. 故答案为： 【题型十三】用方差、标准差说明数据的波动程度 【例13】（2026·山东青岛·三模）为评价某种蓝莓的种植效果，随机选择5块地作为试验田，这5块地的亩产量（单位：）分别为，，…，，下面给出的指标中可以评估这种蓝莓亩产量稳定程度的是（     ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差 【答案】D 【详解】对于A，众数体现的是出现次数最多的数，故A错误； 对于B，平均数是体现集中趋势的一项指标，故B错误； 对于C，中位数将数据分为前后两部分，体现的是数据的“中等水平”，故C错误； 对于D，标准差体现的是数据的离散程度，可以用来评估产量稳定程度，故D正确. 【变式1】（2026·江苏·三模）在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（ ） A．甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大 B．乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大 C．甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大 D．乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大 【答案】C 【分析】根据进球个数的平均数判断进攻能力强弱，根据标准差判断进球数波动大小． 【详解】因为甲队进球个数的平均数为2.1，乙队进球个数的平均数为1.4， 所以甲队进攻能力比乙队强， 又因为甲队进球个数的标准差为1.1，乙队进球个数的标准差为1.2， 所以乙队进球数波动较大． 【变式2】在2022年世界技能大赛特别赛上，中国代表团共获得21枚金牌，名列金牌榜第一.甲､乙两人在准备参选制造与工程技术项目中进行了6次比赛，每次的得分如下： 甲 7 7 9 8 6 8 乙 6 8 8 9 10 7 则平均成绩较高的是__________，成绩比较稳定的是__________ 【答案】 乙 甲 【分析】根据题意分别计算出甲和乙的平均成绩，可知平均成绩较高的是乙；再计算出两成绩的方差可得甲的成绩比较稳定. 【详解】计算可得甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， 因此平均成绩较高的是乙， 甲成绩的方差为； 乙成绩的方差为； 显然，即成绩比较稳定的是甲. 故答案为：乙；甲. 【变式3】（2024·陕西渭南·模拟预测）某高中为配合爱国主义教育，开展国防科技知识竞赛，预赛后，将成绩最好的甲、乙两个班学生（每班都是40人）的得分情况做成如下的条形图（20道单项选择题，每题5分，满分100分）.记甲、乙两班学生得分的平均数分别为，方差分别为，已求得 (1)分别求出甲、乙两班的学生得分为95分及以上的频率； (2)试计算，并判断哪个班的学生的成绩波动更小. 【答案】(1)0.3，0.425； (2)，甲班学生的成绩波动更小. 【分析】（1）利用条形图计算频率即可； （2）利用方差公式计算结合及方差的意义判定即可. 【详解】（1）甲班得分为95分及以上的学生有人，故频率为；   乙班得分为95分及以上的学生有人，故频率为 （2）因为， 所以方差 ； 显然，所以，甲班学生的成绩波动更小. 【题型十四】总体百分位数的估计 【例14】（2026·河南周口·模拟预测）已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（     ） A．7 B．9 C．11 D．12 【答案】A 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义计算对应位置，即可求得第40百分位数． 【详解】首先将该组数据从小到大排列为：，数据总个数， 因为， 因此该组数据的第40百分位数为排列后的第3个数据7． 【变式1】（2026·陕西咸阳·三模）已知样本数据8，12，13，a，17的第80百分位数为16，则（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】因为，所以第百分位数为将数据从小到大排序后的第4个数与第5个数的平均数， 经讨论可知，为使第80百分位数为16，排序后的数据必为， 故有，解得. 【变式2】（2026·甘肃张掖·二模）米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行，奖牌榜前10名金牌数如下：18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第80百分位数为__________． 【答案】11 【分析】利用百分位数的定义即可求解. 【详解】由题意得：，所以这组数据的第80百分位数为. 【变式3】（2024·陕西榆林·一模）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按分成6组，并整理得到如下频率分布直方图. (1)请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的市民，某市民知识竞赛的成绩是，请估计该市民能否得到表彰 【答案】(1)68.3 (2)估计该市民能得到表彰 【分析】（1）用每组中点值为代表，估算平均值； （2）估算排名在的成绩，和比较，得到结论. 【详解】（1）100份样本数据的平均值为： （2）成绩低于70分的频率为0.45，成绩低于80分的频率为0.77， 则被表彰的最低成绩为， 所以估计该市民能得到表彰. 【解题大招01】分层抽样比例速算技巧 技巧原理 分层抽样核心为全程比例相等，总体、各层、样本抽样比完全统一，无需分步求总人数，可直接列比例式速算，规避分步计算出错。 核心公式 式中：总体容量，样本容量，单层总体数，单层抽取样本数 【例1】某单位老、中、青员工人数分别为120、180、240，采用分层抽样抽取容量为18的样本，求中年员工抽取人数。 解：步骤1：计算总总体容量 步骤2：代入分层抽样速算公式 答案：中年员工抽取人数为 【解题大招02】频率分布直方图三秒读数技巧 技巧原理 直方图核心：纵坐标不是频率，是频率/组距，频率=矩形面积，所有矩形面积和为1，中位数为左右面积各0.5的分界点。 核心公式 【例2】一组数据分组区间，组距均为5，对应纵坐标分别为0.02、0.06，求两组数据的总频率。 解：步骤1：分别计算每组频率 ， 步骤2：合并总频率 答案：总频率为 技巧总结：禁止直接用纵坐标当作频率，必须乘组距，是高考直方图第一易错点。 【解题大招03】百分位数快速定位计算技巧 技巧原理 固定两步秒杀：排序→算指数，整数取平均、非整数向上取整，适配所有百分位数题型，无需死记特例。 核心公式 判定规则： 1. ，百分位数 2. ，向上取整对应位置数据 【例3】数据：，求70%百分位数。 解：步骤1：数据已排序，统计个数 步骤2：计算定位指数 步骤3：规则判定 4.9非整数，向上取整为5，第5项数据为22。 答案：70%百分位数为 技巧总结：无论数据多少，严格按公式定位，杜绝主观估数。 【解题大招04】平均数平移速算技巧 技巧原理 一组数据全部加减同一个常数，平均数同步加减，方差、标准差不变，适合大数数据快速化简，规避大数运算出错。 核心公式 若新数据，则： 【例4】求数据的平均数。 解：步骤1：数据平移简化 所有数据减100，得新数据： 步骤2：计算简易平均数 步骤3：平移还原 答案：平均数为 【解题大招05】方差缩放平移万能技巧 技巧原理 数据线性变换，均值、方差、标准差有固定变换规律，无需逐一代入计算，直接秒杀。 核心公式 已知原数据均值，方差，若： 【例5】已知数据均值为3，方差为2，求数据的均值与方差。 解：步骤1：确定变换参数 步骤2：代入变换公式 均值： 方差： 答案：均值，方差 【解题大招06】众数、中位数快速判定技巧 技巧原理 1. 众数：统计图中最高矩形中点横坐标（直方图）、出现次数最多的数据； 2. 中位数：直方图中累计面积达0.5的区间，无需精确计算可快速定位区间。 【例6】某直方图三组区间：（面积0.2）、（面积0.5）、（面积0.3），快速判定中位数所在区间。 解：步骤1：累计面积判断 第一组累计面积0.2<0.5，未到中位数； 第二组累计面积，中位数落在该区间。 答案：中位数在区间 【解题大招07】样本与总体方差区分答题技巧 技巧原理 高考答题核心规则： 1. 描述整体全部数据，用总体方差，分母； 2. 抽取部分样本估计总体，无特殊说明高考统一用分母计算。 核心公式 总体方差： 样本方差（高考通用）： 【例7】求全部数据的总体方差。 解：步骤1：求总体均值 步骤2：代入总体方差公式 答案：总体方差为 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·江苏扬州·三模）已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（     ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】D 【详解】已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4， 则，解得. 将这组数据按照从小到大的顺序排列，得共5个数据， 由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6. 2．（2026·广西桂林·模拟预测）高三（2）班有女生20人，男生30人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一个容量为10的样本，则男生应抽取（   ） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 【答案】D 【详解】∵设男生应抽取人，女生应抽取人， 则且 解得， 故男生应抽取6人． 3．（2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽样的概念，每个个体被抽中的概率是均等的，进而即可选择答案. 【详解】因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为， 所以. 故选：B. 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）某同学收集并整理了某市年月日至日每日最高气温（单位：）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则月日至日最高气温的中位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由中位数的定义计算可得. 【详解】由图知，月日至日的最高气温由低到高排列为，共个数据， 故中位数为. 二、多选题 5．（2026·山东东营·模拟预测）一组数据1，2，2，4，5，6，8，则（     ） A．该组数据的极差为7 B．该组数据的中位数为3 C．该组数据的平均数为4 D．将每一个数据增加1，方差会变大 【答案】AC 【详解】样本的极差为，所以A选项正确； 样本的中位数为，所以B选项错误； 样本的平均数为，所以C选项正确； 样本原方差为， 数据全部加后，新样本的平均数为， 新样本的方差为，方差不变，所以D选项错误， 三、填空题 6．（2026·湖北黄冈·二模）一组数据，，，，频率分布直方图如图所示．若（，，，），则估计数据，，，，的中位数为__________． 【答案】 【详解】由频率分布直方图估计，，，，的中位数为. 若（，，，），则估计数据，，，，的中位数为. 四、解答题 7．（2026·湖南株洲·模拟预测）某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中随机抽取17名学生座谈，求每组抽取的学生人数； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值． 【答案】(1)； (2)从第，，组应依次抽取人，人，人； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图各小长方形面积和为1列式求解. （2）由分层抽样的抽样比求解. （3）由频率分布直方图计算出随机抽取学生所得测试分数的平均值. 【详解】（1）由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，得， 所以. （2）由频率分布直方图知，第2，3，4组的学生人数之比为， 所以每组抽取的人数分别为：第2组抽人；第3组抽人；第4组抽人. （3）抽取学生测试分数的平均值为. 8．作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长，下面给出的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长． (1)在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图； (2)通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，记X为“选取的2个年份中，增长率高于的年份的个数”，求X的分布列及数学期望； (3)设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为，平均数为，比较和与的大小（只需写出结论）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长”补全折线图 （2）根据题意写出的取值并计算对应的概率，写出分布列即可 （3）根据题意分别计算，直接写出答案即可 【详解】（1） （2）依题意，的可能取值为 ； ； 的分布列为： 的数学期望 （3） 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2025·广东广州·模拟预测）某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（    ） A．抽取男生的样本量为40 B．估计该校高三学生身高的均值为165 C．抽样时女生甲被抽到的概率为 D．估计该校高三学生身高的方差为19 【答案】C 【分析】应用分层抽样判断A，应用分层抽样的均值及方差计算判断B，D，再应用分层抽样的概率计算判断C. 【详解】某学校高三学生共有900人，其中男生500人，采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本. 则抽取男生的样本量为，A选项错误； 男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19， 则估计该校高三学生身高的均值为，B选项错误； 抽样时女生甲被抽到的概率为，C选项正确； 估计该校高三学生身高的方差为，D选项错误； 故选：C. 2．（2024·四川·模拟预测）某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（    ） A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多 B．估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小 C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等 D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多 【答案】B 【分析】频率分布直方图，得女生学业达成在各层次的频率，对选项中的频率频数问题进行判断. 【详解】对于AC，设女生学业达成频率分布直方图中的组距为， 由，得， 所以女生学业达成频率分布直方图中层次频率为，层次频率为， 层次频率为，层次频率为，层次频率为， 因为男､女生样本数未知，所以层次中男､女生人数不能比较，即A选项错误； 同理，层次女生在女生样本数中频率与层次男生在男生样本数中频率相等，都是， 但因男､女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C选项错误； 对于D，设女生人数为，男生人数为，但因男､女生人数可能不相等， 则层次的学生数为， 层次的学生数为， 因为不确定，所以与可能不相等，即D选项错误； 对于B，女生两个层次的频率之和为， 所以女生的样本学业达成的中位数为B，C层次的分界点， 男生两个层次的频率之和为，显然中位数落在C层次内， 所以样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小，B选项正确． 故选：B． 二、多选题 3．（2026·重庆渝中·三模）某大模型用于处理两类推理任务：代码生成与数学证明，任务数量分别为 5000 个与 3000 个.现按比例分层抽样， 共抽取 160 个任务进行延迟测试 （单位： ms）.经计算， 代码生成样本均值为 212ms，方差为 ；数学证明样本均值为 ，方差为 ，下列说法中正确的有（    ） A．每个数学证明任务被抽中的概率为 B．代码生成任务应抽取 100 个 C．总样本的均值为 D．总样本的方差为 【答案】BC 【详解】对于A选项，数学证明的样本容量为 ， 所以每个数学证明任务被抽中的概率为 ，故A选项错； 对于B选项，代码生成任务的样本容量为，故B选项对； 对于C选项，因为样本容量是 160 ， 且100个代码生成样本均值为 212ms，60个数学证明样本均值为 ， 所以总样本的均值是 ，故C选项对； 对于D选项，因为代码生成样本均值为 212ms，方差为 ； 数学证明样本均值为 ，方差为 ； 总样本的均值是200，所以总样本的方差为 ，故D选项错. 三、填空题 4．（2024·云南楚雄·模拟预测）以“塑造软件新生态，赋能发展新变革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于2023年8月31日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，其中某个区域的男性参会人员有25人，女性参会人员有15人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域随机抽取16位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为______. 【答案】6 【分析】利用分层抽样的分层比直接计算即可. 【详解】由题意得分层比为，则女性参会人员应抽取的人数为. 故答案为：6 四、解答题 5．（2026·甘肃金昌·三模）某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100人进行问卷调查，每人给出一个评分，分数都不低于60，满分100分．统计出这100人的评分成绩，绘制出频率分布直方图如图．已知这100人中，男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80分的男、女市民人数相等． (1)求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例； (2)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分； (3)在满意度评分低于80分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分层随机抽样方法选出5人进行座谈，再在这5人中选出3人作为座谈会主讲人，求3位主讲人中至少有1位男性市民的概率． 【答案】(1) (2)79.5 (3) 【分析】（1）先计算出不低于80分的男生、女生人数，再求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例； （2）由概率和为1列方程求a,再求平均值； （3）先分层抽样，再求概率. 【详解】（1）评分不低于80分的人数为， 因为评分不低于80分的男、女市民人数相等，所以评分不低于80分的男、女市民人数都是25， 因为这100人中，男、女市民人数之比为9：11，所以100人中，男市民45人，女市民55人， 所以满意度评分低于80分的市民中，男、女人数分别为20，30，男、女人数的比例为2：3． （2）由得， 因为，所以满意度的平均分为79.5． （3）因为评分低于80分的被调查的人员中，男、女人数的比例为2：3，所以用分层随机抽样方法选出5人，男性为2人，女性为3人， 再在这5人中选出3人，3人至少有1位男性的事件为A， 则． 6．（2024·新疆·三模）某教育部门印发的文件《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”.现调查了1万个当地学生的时间利用信息，得出下图.    (1)根据上图分别计算小学、初中两个学段睡眠时长的平均值及方差；（结果保留两位小数） (2)从学习时间大于睡眠时间的年级中随机挑选两个年级进行问卷调查，求选出的两个年级均来自高中的概率； (3)与高中生相比，大学生在时间管理方面有哪些变化，据此提出一条对大学生的建议. 【答案】(1)平均值9.63，8.64，方差0.03，0.05、(2)、(3) 与高中生相比，大学生的学习时间减少了近4个小时，睡眠时间增加了近一个小时， 建议大学生充实在校生活，增加学习时间以更好地提升自己.(答案不唯一） 【分析】（1）根据平均数和方差公式计算即可； （2）应用古典概型计算； （3）根据图中信息判断提出建议即可. 【详解】（1）设小学生的平均睡眠时间为，方差为；设初中生的平均睡眠时间为，方差为. ， ， . （2）设事件为两个年级均来自高中，则. （3）与高中生相比，大学生的学习时间减少了近4个小时，睡眠时间增加了近一个小时，建议大学生充实在校生活，增加学习时间以更好地提升自己.(答案不唯一） 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·广东广州·三模）小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（    ）同学不用上台表演. A．小吴：平均数为，中位数为 B．小温：中位数为，众数为 C．小蔡：平均数为，方差为 D．小龙：中位数为，方差为 【答案】C 【详解】若小吴的个点数分别是，满足选项A； 若小温的个点数分别是，满足选项B； 若小龙的个点数分别是，平均数为4，其方差为，满足选项D； 若小蔡的平均数为，又有点数，则个点数为，方差，不可能满足C，因此小蔡不会出现点数6， 故选：C． 2．（2026·山东烟台·一模）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一．某村统计了一合作社最近天通过直播带货销售农产品的日销售额（单位：万元），并绘制成右侧的频率分布直方图，则的第百分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据频率和为可解得，再根据百分位数的定义及公式求解. 【详解】设销售额的第百分位数为， 由已知，解得， 又， ， 所以， 且， 解得， 即销售额的第百分位数为. 二、多选题 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能(Artificial Intelligence，简称AI)已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 项目 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 为了分析数据，小组甲、小组乙分别使用不同的办法解决一些统计问题． 【小组甲】用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为． 【小组乙】通过查阅资料，该AI工具对某20个问题能准确答对其中的(，)个，其余个问题均无法答对．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，不妨记事件为“抽取的10个问题中，AI恰好答对3个问题”． 则下列说法正确的有（   ） A．该AI工具用户的平均年龄为32.5岁 B． C．使概率最大的值为6 D．使概率最大的值为7 【答案】ABC 【分析】对于A项，以每组数据的区间中点值为该组数据的代表值进行估算；对于B项，先确定人数，再根据古典概率计算即可；对于C、D项，恰好答对3题的概率，分析的单调性即可. 【详解】对于A项，估计平均年龄为，故A项正确. 对于B项，由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有 (人)，年龄在第二组内的有 (人)， 设“”为事件A，则当时，；当时，， 所以，故B项正确. 对于C、D项，从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且，得， 所以， 由二次函数的性质可知当时，， 令， 当时，有，即，此时； 当时，有，即，此时，即， 所以使概率最大的值为6，故C项正确，D项错误． 三、填空题 4．（2026·江西九江·一模）已知成对样本数据中互不相等，且所有样本点都在曲线上.若的平均值与方差均为5，则的平均值为__________.（其中） 【答案】 【分析】先根据已知条件求出与的值，再结合求出即可得解. 【详解】因为的平均值为5，即，所以， 因为的方差为5，即，解得. 因为所有样本点都在曲线上， 所以， 所以， 所以的平均值为， 故答案为：. 四、解答题 5．（2026·广东深圳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： (1)利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为s，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 【答案】(1)， (2) 0 1 2 3 4 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求即可，利用平均数的求解公式求解即可； （2）根据题意得到各组抽取的人数，进而可知的所有可能取值为0，1，2，3，4，结合组合数求出对应概率，列出分布列并得到期望即可； （3）由题可得恰好答对3个问题的概率为，设，求出，进而分析得出最值及的值． 【详解】（1）根据频率直方图的性质可得，解得, 利用中点值可估计平均年龄为； （2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内有 人，年龄在第三组内有 人， 年龄在第四组内有 人，年龄在第五组内有 人， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以； （3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第41讲统计（知识清单+14典例精讲+方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 抽样方法、统计图表分析 单选/多选/解答题 5分/6分/12分 分层抽样、频率分布直方图 单选/解答题 5分/12分 样本数字特征、统计案例 单选/多选/解答题 5分/6分/12分 众数、中位数、平均数与频率直方图 单选/多选/解答题 5分/6分/12分 系统抽样、茎叶图 单选/多选/填空/解答题 5分/6分/12分 频率分布表、样本均值与方差 单选/多选/填空/解答题 5分/6分/12分 【知识点01】总体、个体、样本 调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量. 【例1】为调查某高中2000名高一学生的身高情况，随机抽取100名学生测量身高，指出该调查中的总体、个体、样本、样本容量。 【知识点02】简单随机抽样 抽签法和随机数法是比较常用的两种方法. 【例2】已知总体容量为80，采用简单随机抽样抽取容量为8的样本，求每个个体被抽到的概率。 【知识点03】分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 【例3】某学校高一、高二、高三学生分别为400人、300人、300人，现采用分层随机抽样抽取100人的样本，求各年级抽取的人数。 【知识点04】统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等. (2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差； ②决定组距与组数； ③将数据分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图. 【例4】已知一组数据分组区间为，组距为2，该区间 ，求该组数据的频率。 【知识点05】百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. 【例5】已知数据：，求该组数据的50百分位数（中位数）。 【知识点06】平均数、中位数和众数 (1)平均数：(x1＋x2＋…＋xn). (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时). (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据). 【例6】求数据的平均数、中位数、众数。 【知识点07】方差和标准差 (1)方差：s2＝(xi－)2或. (2)标准差：s＝. 【例7】求样本数据的方差与标准差。 【知识点08】总体方差和总体标准差 (1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝(Yi－)2. (2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2. 【例8】已知总体数据：，求总体方差和总体标准差。 【题型一】简单随机抽样 【例1】已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一次.若2月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（    ） A．2月25日 B．2月26日 C．2月27日 D．2月28日 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 【变式2】某校高一共有10个班，编号分别为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（5）班被抽到的可能性为a，高一（6）班被抽到的可能性为b，则___________；___________. 【变式3】假设要考查某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号______． （下面摘取了随机数表第7行至第9行） 8442175331  5724550688  7704744767  2176335025  8392120676 6301637859  1695566719  9810507175  1286735807  4439523879 3321123429  7864560782  5242074438  1551001342  9966027954 【题型二】系统抽样 【例1】某印刷厂为了保证图书的印刷质量，将每批次印刷出来的图书排放整齐，每隔20本检查一下其封面和内文的质量情况，则这样的抽样方法是（    ） A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．以上三种方法都有 【变式1】某学校为响应“平安出行号召”，拟从2019名学生中选取名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法剔除名学生，剩下的名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率 A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 【变式2】（2026·山东·一模）计划从560袋某品牌食品中抽取8袋进行质量检测，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1~560，并对编号依次分段，若抽出的编号中含有550，则从第1个号码段中抽出的编号应是______． 【变式3】（2024·山东·二模）某中职学校计划从300名学生中抽取30名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1—300，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽取的号码是6，则从第五个号码段中抽取的号码应是______. 【题型三】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【例3】（2026·湖南长沙·模拟预测）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（    ） A．人，人，人 B．人，人，人 C．人，人，人 D．人，人，人 【变式1】（2026·甘肃金昌·三模）（多选）某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一､高二､高三三个年级中共抽取87名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校高一､高二､高三年级学生人数分别为，则（    ） A． B．从高一年级中抽取的学生人数为30 C．从高二年级中抽取的学生人数为27 D．从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是 【变式2】（2026·山西太原·二模）一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________. 【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）2023年被称为交互式元年.人工智能是今年的一大焦点，因为它的发展方式很快就变得无处不在，并像电子邮件､流媒体或任何其他曾经是未来主义､现在成为日常的技术一样融入到我们的生活中.公众反复讨论生成式人工智能对社会协作方式的影响.中学生是祖国科技发展之光，为了激发中学生对科技创新的兴趣，现调查了某重点中学生高一年级学生对的了解情况.调查问卷主要设置了在以下六个方面的应用：传媒､机器人､办公､医药､自动驾驶､军事.已知该学校高一年级共600人，随机选取30名学生（其中男生16人，女生14人）做了一次调查，结果显示：对有较多了解的男生有12人，女生8人，其他均表示了解较少.其中表示有较多了解的学生最感兴趣的应用领域具体人数情况如下表： 性别 传媒 机器人 办公 医药 自动驾驶 军事 男 1 4 2 1 3 1 女 3 2 2 0 1 0 (1)估计该学校高一年级对有较多了解且在机器人应用最感兴趣的学生人数； (2)现学校从对机器人最感兴趣的这6名学生中抽取2名到某机器人基地研学，求参加机器人基地研学的至少有一名女生的概率. 【题型四】分层抽样的概率 【例4】（2024·湖北·模拟预测）从一个容量为的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知某民营车企1月份生产了A，B，C三种型号的新能源汽车，台数依次为120，210，现用分层抽样的方法从中随机抽取16台车进行安全测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为_______. 【变式2】某省数学学业水平考试成绩共分为、、、四个等级，在学业水平考试成绩分布后，从该省某地区考生中随机抽取名考生，统计他们的数学成绩，部分数据如下： 等级 频数 频率 （1）补充完成上述表格的数据； （2）现按上述四个等级，用分层抽样方法从这名考生中抽取名.在这名考生中，从成绩为等和等的所有考生中随机抽取名，求至少有名成绩为等的概率. 【变式3】4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下： 小组 甲 乙 丙 丁 人数 12 9 6 9 （1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率； （2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用表示抽得甲组学生的人数，求随机变量的分布列和数学期望． 【题型五】条形统计图、折线统计图、扇形统计图 【例5】（2024·四川乐山·三模）为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（    ） A．800，360 B．600，108 C．800，108 D．600，360 【变式1】（2026·河北邢台·二模）某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（   ） A．乙车间产量的中位数为6月份的产量 B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 【变式2】（2025·河南·模拟预测）（多选）2024年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论是整体实力，还是结构性指标都稳步提升.2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出及其增长速度如图所示，则（    ） A．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长 B．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25百分位数为24393亿元 C．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为 D．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的平均数超过 【变式3】“一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了新实践.某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品，，的开发. （1）在对三种饮品市场投放的前期调研中，对100名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图.若饮品的百件利润为400元，饮品的百件利润为300元，饮品的百件利润为700元，请估计三种饮品的平均百件利润； （2）为进一步提高企业利润，企业决定对饮品进行加工工艺的改进和饮品的研发.已知工艺改进成功的概率为，开发新饮品成功的概率为，且工艺改进与饮品研发相互独立； （ⅰ）求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率； （ⅱ）若工艺改进成功则可为企业获利80万元，不成功则亏损30万元，若饮品研发成功则获利150万元，不成功则亏损70万元，求该企业获利的数学期望. 【题型六】频率分布表 【例6】（2024·四川成都·模拟预测）在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 观看人数占调查 人数的百分比 从表中数据可以得出的正确结论为（   ）． A．表中的数值为 B．观看场次不超过场的学生的比例为 C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人 D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人 【变式1】（多选）在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高三年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下： 观看场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% m% 12% 6% 2% 从表中可以得出正确的结论为（    ） A．表中m的数值为16 B．估计全年级观看比赛低于4场的学生约为32人 C．估计全年级观看比赛不低于4场的学生约为360 D．估计全年级观看比赛场数的众数为2 【变式2】将一个样本容量为的样本数据分组如下：，，，，，其中样本数据在和内的频率之和为，，对应的频数分别为，，则样本数据在内的频数为___________. 【变式3】某校 1 200 名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为 100 分），为了分析这次数学测验的成绩， 从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题： 成绩分组 频数 频率 平均分 3 0.015 16 a b 32.1 25 0.125 55 c 0.5 74 62 0.31 88 (1)求 a，b，c 的值； (2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：60 分及 60分以上为及格）. 【题型七】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【例7】（2026·辽宁·三模）某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6 【变式1】（2026·河北张家口·二模）（多选）从工厂生产的零件中随机抽出100个，测量其直径（单位：），将所得数据分为5组：，并整理得到频率分布直方图如图，记这100个零件的直径的中位数为，平均数为，极差为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山西·模拟预测）某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：        则样本中停车时长在区间上的车辆数为______辆. 【变式3】（2024·四川成都·三模）某手机生产厂商要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：，，，，，（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在的一组人数为50人.    (1)求和的值； (2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？ 【题型八】频率分布直方图的实际应用 【例8】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a（单位：t），用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费，如果当地政府希望使80%以上的居民每月的用水量不超出该标准，为了科学合理确定出a的数值，政府采用抽样调查的方式，绘制出100位居民全年的月均用水量（单位：t）频率分布直方图如图，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况，可推断标准a大约为（    ） A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3.2 【变式1】（多选）某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（   ） A． B．估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人 C．第二次联考学生的成绩波动更小 D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加 【变式2】我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值为__________． 【变式3】（2026·江西新余·二模）在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图． (1)求的值； (2)若参赛学生共有2000名，估计其中成绩小于70分的人数； 【题型九】计算几个数的众数、中位数、平均数 【例9】（2026·福建漳州·三模）样本数据的众数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖南长沙·三模）一组数据：3，5，7，9，11，这组数据的中位数是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式2】（2026·陕西·二模）中山大学X同学参加了今年3月组织的考研复试测试，共有5名考官打分，如果去掉一个最高分和最低分，则X同学的平均成绩为95.8；如果仅去掉一个最低分，则X同学的平均成绩为96.6；如果仅去掉一个最高分，则X同学的平均成绩为94分．如果5位考官的成绩都保留，则X同学的平均分为_____． 【变式3】某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15天的数据作为样本，得到如图所示的统计表.若日用电量不低于200度，则称这一天的用电量超标. 分组 频数 3 6 3 3 (1)估计该企业日用电量的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表） (2)用分层抽样的方法从日用电量在和内的数据中抽取6天的日用电量数据，再从这6个数据中随机抽取2天的日用电量数据，求这2天中至少有1天的日用电量超标的概率. 【题型十】由频率分布直方图估计中位数、平均数 【例10】如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（    ） A．众数平均数中位数 B．众数中位数平均数 C．众数平均数中位数 D．中位数平均数众数 【变式1】（2026·福建福州·模拟预测）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的中位数约为__________.（精确到0.1） 【变式2】某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： 估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为__________千米． 【变式3】藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求参赛学生成绩的众数、中位数； (2)按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，再从这6人中，抽取2人，则求这两人都是在的概率. 【题型十一】计算几个数据的极差、方差、标准差 【例11】（2026·湖南株洲·模拟预测）一组数据0，1，3，4，5，6的极差为（     ） A．6 B．4 C．3 D．5 【变式1】（2026·福建泉州·三模）已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个数据3和9，则剩下的8个样本数据的方差为（   ） A． B． C．2 D． 【变式2】（2026·福建福州·模拟预测）已知样本数据，，…，的平均数为6，方差为9．前五个数据，，，，的平均数7，方差为6，则后十个数据，，…，的方差是__________． 【变式3】（2024·宁夏银川·三模）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下： 甲：95　82　88　81　93　79　84　78 乙：83　92　80　95　90　80　85　75 (1)哪个工人的成绩较好？ (2)甲、乙成绩位于内的有多少？ 【题型十二】各数据同时加减、乘除同一数对方差的影响 【例12】（2026·福建龙岩·三模）已知数据：，将这组数据中的每个数值都加上3后，与原始数据相比，调整后的数据中不会发生改变的是（   ） A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 【变式1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知一组样本数据，，…，的方差为2，令，，2，…，n，则样本数据，，…，的方差为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据5，7，8，8，9，10，13，14，16，16的80%分位数是14 B．若数据的平均数为4，则数据的平均数为16 C．若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5 D．若数据的平均数为，则的方差为 【变式3】（2025·四川泸州·模拟预测）已知数据的平均数是4，数据的平均数是20，则，的方差为__________. 【题型十三】用方差、标准差说明数据的波动程度 【例13】（2026·山东青岛·三模）为评价某种蓝莓的种植效果，随机选择5块地作为试验田，这5块地的亩产量（单位：）分别为，，…，，下面给出的指标中可以评估这种蓝莓亩产量稳定程度的是（     ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差 【变式1】（2026·江苏·三模）在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（ ） A．甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大 B．乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大 C．甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大 D．乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大 【变式2】在2022年世界技能大赛特别赛上，中国代表团共获得21枚金牌，名列金牌榜第一.甲､乙两人在准备参选制造与工程技术项目中进行了6次比赛，每次的得分如下： 甲 7 7 9 8 6 8 乙 6 8 8 9 10 7 则平均成绩较高的是__________，成绩比较稳定的是__________ 【变式3】（2024·陕西渭南·模拟预测）某高中为配合爱国主义教育，开展国防科技知识竞赛，预赛后，将成绩最好的甲、乙两个班学生（每班都是40人）的得分情况做成如下的条形图（20道单项选择题，每题5分，满分100分）.记甲、乙两班学生得分的平均数分别为，方差分别为，已求得 (1)分别求出甲、乙两班的学生得分为95分及以上的频率； (2)试计算，并判断哪个班的学生的成绩波动更小. 【题型十四】总体百分位数的估计 【例14】（2026·河南周口·模拟预测）已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（     ） A．7 B．9 C．11 D．12 【变式1】（2026·陕西咸阳·三模）已知样本数据8，12，13，a，17的第80百分位数为16，则（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式2】（2026·甘肃张掖·二模）米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行，奖牌榜前10名金牌数如下：18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第80百分位数为__________． 【变式3】（2024·陕西榆林·一模）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按分成6组，并整理得到如下频率分布直方图. (1)请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的市民，某市民知识竞赛的成绩是，请估计该市民能否得到表彰 【解题大招01】分层抽样比例速算技巧 技巧原理 分层抽样核心为全程比例相等，总体、各层、样本抽样比完全统一，无需分步求总人数，可直接列比例式速算，规避分步计算出错。 核心公式 式中：总体容量，样本容量，单层总体数，单层抽取样本数 【例1】某单位老、中、青员工人数分别为120、180、240，采用分层抽样抽取容量为18的样本，求中年员工抽取人数。 【解题大招02】频率分布直方图三秒读数技巧 技巧原理 直方图核心：纵坐标不是频率，是频率/组距，频率=矩形面积，所有矩形面积和为1，中位数为左右面积各0.5的分界点。 核心公式 【例2】一组数据分组区间，组距均为5，对应纵坐标分别为0.02、0.06，求两组数据的总频率。 【解题大招03】百分位数快速定位计算技巧 技巧原理 固定两步秒杀：排序→算指数，整数取平均、非整数向上取整，适配所有百分位数题型，无需死记特例。 核心公式 判定规则： 1. ，百分位数 2. ，向上取整对应位置数据 【例3】数据：，求70%百分位数。 【解题大招04】平均数平移速算技巧 技巧原理 一组数据全部加减同一个常数，平均数同步加减，方差、标准差不变，适合大数数据快速化简，规避大数运算出错。 核心公式 若新数据，则： 【例4】求数据的平均数。 【解题大招05】方差缩放平移万能技巧 技巧原理 数据线性变换，均值、方差、标准差有固定变换规律，无需逐一代入计算，直接秒杀。 核心公式 已知原数据均值，方差，若： 【例5】已知数据均值为3，方差为2，求数据的均值与方差。 【解题大招06】众数、中位数快速判定技巧 技巧原理 1. 众数：统计图中最高矩形中点横坐标（直方图）、出现次数最多的数据； 2. 中位数：直方图中累计面积达0.5的区间，无需精确计算可快速定位区间。 【例6】某直方图三组区间：（面积0.2）、（面积0.5）、（面积0.3），快速判定中位数所在区间。 【解题大招07】样本与总体方差区分答题技巧 技巧原理 高考答题核心规则： 1. 描述整体全部数据，用总体方差，分母； 2. 抽取部分样本估计总体，无特殊说明高考统一用分母计算。 核心公式 总体方差： 样本方差（高考通用）： 【例7】求全部数据的总体方差。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·江苏扬州·三模）已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（     ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 2．（2026·广西桂林·模拟预测）高三（2）班有女生20人，男生30人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一个容量为10的样本，则男生应抽取（   ） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 3．（2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）某同学收集并整理了某市年月日至日每日最高气温（单位：）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则月日至日最高气温的中位数为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2026·山东东营·模拟预测）一组数据1，2，2，4，5，6，8，则（     ） A．该组数据的极差为7 B．该组数据的中位数为3 C．该组数据的平均数为4 D．将每一个数据增加1，方差会变大 三、填空题 6．（2026·湖北黄冈·二模）一组数据，，，，频率分布直方图如图所示．若（，，，），则估计数据，，，，的中位数为__________． 四、解答题 7．（2026·湖南株洲·模拟预测）某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中随机抽取17名学生座谈，求每组抽取的学生人数； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值． 8．作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长，下面给出的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长． (1)在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图； (2)通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，记X为“选取的2个年份中，增长率高于的年份的个数”，求X的分布列及数学期望； (3)设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为，平均数为，比较和与的大小（只需写出结论）． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2025·广东广州·模拟预测）某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（    ） A．抽取男生的样本量为40 B．估计该校高三学生身高的均值为165 C．抽样时女生甲被抽到的概率为 D．估计该校高三学生身高的方差为19 2．（2024·四川·模拟预测）某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（    ） A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多 B．估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小 C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等 D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多 二、多选题 3．（2026·重庆渝中·三模）某大模型用于处理两类推理任务：代码生成与数学证明，任务数量分别为 5000 个与 3000 个.现按比例分层抽样， 共抽取 160 个任务进行延迟测试 （单位： ms）.经计算， 代码生成样本均值为 212ms，方差为 ；数学证明样本均值为 ，方差为 ，下列说法中正确的有（    ） A．每个数学证明任务被抽中的概率为 B．代码生成任务应抽取 100 个 C．总样本的均值为 D．总样本的方差为 三、填空题 4．（2024·云南楚雄·模拟预测）以“塑造软件新生态，赋能发展新变革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于2023年8月31日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，其中某个区域的男性参会人员有25人，女性参会人员有15人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域随机抽取16位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为______. 四、解答题 5．（2026·甘肃金昌·三模）某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100人进行问卷调查，每人给出一个评分，分数都不低于60，满分100分．统计出这100人的评分成绩，绘制出频率分布直方图如图．已知这100人中，男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80分的男、女市民人数相等． (1)求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例； (2)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分； (3)在满意度评分低于80分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分层随机抽样方法选出5人进行座谈，再在这5人中选出3人作为座谈会主讲人，求3位主讲人中至少有1位男性市民的概率． 6．（2024·新疆·三模）某教育部门印发的文件《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”.现调查了1万个当地学生的时间利用信息，得出下图.    (1)根据上图分别计算小学、初中两个学段睡眠时长的平均值及方差；（结果保留两位小数） (2)从学习时间大于睡眠时间的年级中随机挑选两个年级进行问卷调查，求选出的两个年级均来自高中的概率； (3)与高中生相比，大学生在时间管理方面有哪些变化，据此提出一条对大学生的建议. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·广东广州·三模）小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（    ）同学不用上台表演. A．小吴：平均数为，中位数为 B．小温：中位数为，众数为 C．小蔡：平均数为，方差为 D．小龙：中位数为，方差为 2．（2026·山东烟台·一模）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一．某村统计了一合作社最近天通过直播带货销售农产品的日销售额（单位：万元），并绘制成右侧的频率分布直方图，则的第百分位数为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能(Artificial Intelligence，简称AI)已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 项目 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 为了分析数据，小组甲、小组乙分别使用不同的办法解决一些统计问题． 【小组甲】用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为． 【小组乙】通过查阅资料，该AI工具对某20个问题能准确答对其中的(，)个，其余个问题均无法答对．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，不妨记事件为“抽取的10个问题中，AI恰好答对3个问题”． 则下列说法正确的有（   ） A．该AI工具用户的平均年龄为32.5岁 B． C．使概率最大的值为6 D．使概率最大的值为7 三、填空题 4．（2026·江西九江·一模）已知成对样本数据中互不相等，且所有样本点都在曲线上.若的平均值与方差均为5，则的平均值为__________.（其中） 四、解答题 5．（2026·广东深圳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： (1)利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为s，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $