第36讲双曲线、抛物线的定义、方程与几何性质（知识清单+12典例精讲+方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线与抛物线的定义、方程及几何性质，按知识清单梳理核心概念，通过12个典例精讲构建题型体系，配套方法技巧与分层训练，形成“考点梳理-方法指导-真题训练”的完整教学流程，帮助学生系统突破高考高频难点。 讲义突出高考命题导向，创新采用定义法速算、焦点三角形面积公式等解题大招，通过变式训练培养学生数学思维与应用意识，分层练习覆盖基础到拔高，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第36讲双曲线、抛物线的定义、方程与几何性质 （知识清单+12典例精讲+方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 双曲线的定义、标准方程、弦长公式、中点弦问题 单选/填空题 5分 双曲线的焦点、焦距 单选题 5分 双曲线的范围、对称性 单选/多选题 5分/6分 双曲线的定义、焦点三角形、离心率 单选题 5分 抛物线的定义、准线、切线、几何性质综合 解答题 12分 抛物线的标准方程、顶点、开口方向 单选/填空题 5分 【知识点01】双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 【例1】已知双曲线的两焦点为 ，双曲线上任意一点 满足 ，判断该轨迹是否为双曲线，并说明理由。 解析：第一步：计算焦距 由焦点坐标可得：，即 。 第二步：对比双曲线定义条件 由题意得：，可得 ，满足 。 第三步：结论判定 满足双曲线的定义条件，因此点 的轨迹是以 为焦点的双曲线。 最终结论：该轨迹为双曲线。 【知识点02】双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 【例2】已知双曲线焦点在 轴上，焦距为 ，且 ，求该双曲线的标准方程、渐近线方程及离心率。 解析：第一步：求参数 由焦距 ，得 。 第二步：求参数 由双曲线参数关系 ，代入数据： 第三步：写标准方程 焦点在 轴上，故标准方程： 第四步：求渐近线方程 第五步：求离心率 最终结论：标准方程 ，渐近线 ，离心率 。 【知识点03】抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线. 【例3】已知动点 到定点 的距离等于它到定直线 的距离，求证：动点 的轨迹为抛物线。 解析：第一步：根据距离公式列等式 点 到 的距离： 点 到直线 的距离： 由题意 ，得： 第二步：化简等式 两边平方： 展开整理： 化简得： 第三步：轨迹判定 定点 不在定直线 上，满足抛物线定义。 最终结论：动点 的轨迹是焦点为 ，准线为 的抛物线。 【知识点04】抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 【例4】已知抛物线的焦点为 ，求该抛物线的标准方程、准线方程及通径长。 解析：第一步：判断抛物线开口方向 焦点在 轴正半轴，抛物线开口向上，对应标准方程：。 第二步：求参数 由焦点坐标 ，得 ，解得。 第三步：写标准方程与准线方程 标准方程： 准线方程： 第四步：求通径长 通径长： 最终结论：标准方程 ，准线方程 ，通径长为 。 【题型一】双曲线定义的理解 【例1】（2026·广东江门·一模）已知双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则（    ） A．1 B．8 C．9 D．11 【答案】D 【详解】双曲线的焦距为， ，解得， ， ， ， 由双曲线的定义：， ， ，得或（舍去）， ． 【变式1】（2026·吉林·模拟预测）双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于5，那么点与另一个焦点的距离等于（    ） A．1 B．2 C．11 D．1或11 【答案】C 【分析】通过双曲线方程求出，设双曲线两个焦点为，则，再解方程即可． 【详解】双曲线的标准方程是， ，设双曲线两个焦点为，, ， 解得或（舍去）， 即点与另一个焦点的距离等于11． 故选：C． 【变式2】已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得，即可求解. 【详解】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点， 所以，故， 由于， 所以， 故选：A 【变式3】（2024·广西·二模）已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则______. 【答案】2 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】双曲线的实半轴长为， 延长交直线于点，由题意有，， 又是中点，所以， 故答案为：2.    【题型二】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【例2】（2025·四川成都·模拟预测）已知是双曲线（）上的点，该双曲线的两个焦点分别为与，且，，则的面积是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义和已知条件求出，再判断的形状，进而求出其面积. 【详解】根据可知，双曲线的半焦距，由（），得. 根据双曲线的定义，，即，可得或. 当时，点在轴上，不符合题意， 当，由于，， 可知是直角三角形，边为斜边， 的面积， 故选：A. 【变式1】（2025·河南开封·二模）已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断圆心位置，求得半径，判断点即双曲线的左右两焦点，利用双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，求得，即可求的面积. 【详解】设双曲线的半焦距为，由题意，圆的圆心在坐标原点，半径， 点即双曲线的左右两焦点，故有①， 且因为圆的直径，可得，则有②， 将①式两边取平方，， 解得，故的面积为. 故选：B. 【变式2】（2026·江苏·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【答案】5 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理即可求解． 【详解】由题知，， 在中，， 由得，， 所以． 【变式3】（2025·河北·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为______． 【答案】4 【分析】利用双曲线的定义即可列方程求解. 【详解】由双曲线定义可得， 所以， 故周长为 故答案为：4 【题型三】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【例3】已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：设双曲线的标准方程为由的中点为知，，即，双曲线方程为，故选B. 考点：1、待定系数法求双曲线的标准方程为；2、双曲线的简单性质. 【变式1】（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意及双曲线的定义可知，，再结合，求出，即可求出结果. 【详解】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又， 所以，得到，所以双曲线的方程为， 故选：D. 【变式2】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 【变式3】若双曲线的焦距为，则__________． 【答案】6 【分析】将双曲线方程化为标准方程，再根据双曲线的焦距为，即可求得. 【详解】因为双曲线，所以双曲线的标准方程为， 又双曲线的焦距为，则，解得. 故答案为：6. 【题型四】双曲线的焦点、焦距 【例4】（2026·山西晋中·二模）双曲线的焦距为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】将双曲线方程化为标准形式. 两边同除以得，由此可知，. 根据双曲线的关系，代入得，即.双曲线的焦距为，所以焦距为. 【变式1】（2026·广西河池·三模）双曲线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得， 所以有，双曲线焦点在轴上， 其中，，则，所以， 所以焦点坐标为. 【变式2】（2026·广东茂名·二模）双曲线的焦距为______． 【答案】4 【详解】双曲线，，， ，， 焦距为. 【变式3】（2025·上海·模拟预测）双曲线的焦点坐标为___________． 【答案】，. 【分析】结合双曲线性质，计算双曲线的半实轴长及半虚轴长即可得其半焦距，即可得其焦点坐标. 【详解】由双曲线的渐近线为轴与轴，对称轴为，且其焦点在上， 联立方程，解得或， 即其两顶点坐标分别为，，可知其实半轴长为， 且双曲线的渐近线相互垂直，可知双曲线为等轴双曲线， 故其虚半轴长为，可知其半焦距为， 故其焦点坐标分别为，. 故答案为：，. 【题型五】已知方程求双曲线的渐近线 【例5】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，另一条渐近线恰好是线段的垂直平分线，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意及双曲线的性质，可得渐近线的倾斜角为，代入方程，即可得答案. 【详解】设双曲线的左焦点为，原点为，线段与的另一条渐近线交于点， 则由题意可得 所以， 所以双曲线的渐近线的斜率为， 则双曲线的渐近线方程为.    故选：B. 【变式1】（2026·云南·三模）双曲线的渐近线方程为_________.（写出一个即可） 【答案】（或） 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长， 因为双曲线的焦点在轴上， 则该双曲线的渐近线方程为. 【变式2】（2026·甘肃兰州·一模）双曲线的右焦点为，则双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【详解】由题设，可得，而， 所以双曲线的渐近线方程为. 【变式3】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（   ） A． B． C．的渐近线方程为 D．的面积为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线定义计算可判断A；根据计算可判断B；根据双曲线定义结合B可得，再根据双曲线渐近线方程计算可判断C；根据三角形面积公式计算可判断D. 【详解】对于A，双曲线，则， 不妨设点在第一象限，由双曲线定义可知， 因为，所以，，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 故，所以，故B正确； 对于C，由B可知，， 因为，所以，所以，即， 所以，即， 所以的渐近线方程为，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， ， 所以，故D正确. 【题型六】根据双曲线的渐近线求标准方程 【例6】（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. 【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线C：的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，渐近线方程， 焦点到的距离为，则， 则此双曲线的方程为 【变式2】（2025·青海西宁·二模）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为_________． 【答案】或 【分析】分焦点在轴、轴分别求解. 【详解】当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为，则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，解得， 所以该双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为，则渐近线方程为实轴长为， 由题意得，解得， 则该双曲线的标准方程为． 综上，该双曲线的标准方程为或． 故答案为：或 【变式3】双曲线C以过原点与圆相切的两条直线为渐近线，且过椭圆的两个焦点，求双曲线的标准方程. 【答案】 【详解】证明:根据题意可设双曲线的渐近线为y=kx，圆心为(0，2)，r=1 所以，即， 所以 又因为得焦点坐标为， 即 由上述两个式子可得 ， 所以双曲线的标准方程为 【题型七】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【例7】（2026·云南昆明·模拟预测）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，则. 【变式1】在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得与双曲线有公共点，据此可得答案. 【详解】易知，设，则，所以， 又，所以，即，所以，即直线与双曲线有公共点.联立与双曲线方程，有， 消去得：，则要使方程有根，需使. 故选：D 【变式2】（2026·陕西铜川·三模）（多选）设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率可能为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】BC 【分析】利用双曲线的定义，结合图形，利用图形的几何性质构造的关系，转化为关于的方程进行求解. 【详解】设双曲线的半焦距为， ∵分别为双曲线的左、右焦点，∴，， ∵， ∴点在双曲线的右支，设的内切圆半径为， 则， 设，则， ∵，即， ∴，设外接圆的半径为R， 由正弦定理有：，即， 即的外接圆半径为， ∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍， ∴，即， ∴， ∴或. 【变式3】若双曲线的焦距为8，求的离心率． 【答案】 【分析】先由双曲线的焦距为8，求出，进而可求出结果. 【详解】因为双曲线的焦距为8， 所以，解得； 因此的离心率为. 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 【题型八】抛物线定义的理解 【例8】（2026·山东聊城·模拟预测）已知抛物线绕其顶点旋转后得到抛物线，且抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】由抛物线顶点到准线距离等于，即可求解. 【详解】由题意，抛物线的顶点到其准线的距离与抛物线的顶点到其准线的距离相等，即． 抛物线的顶点为坐标原点， 准线方程为， ，解得． 【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由题意得，即，焦点坐标为 ，因此. 因为，所以. 设 ， 因为点A在E上，则. 代入抛物线方程得 ，因此. 【变式2】（2026·福建·模拟预测）若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 【答案】 【详解】设， 因为，所以， 则，所以， 所以． 【变式3】（2026·江苏·模拟预测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上．若线段中点的纵坐标为，且，，则______． 【答案】 【详解】如图，过点作垂直准线于，过点作于点， 由抛物线的定义可知，， ∴， 又∵线段中点的纵坐标为，∴， ∴， ∵在第一象限，∴，， ∴，∴，即， ∴. 【题型九】根据抛物线方程求焦点或准线 【例9】（2026·河南·二模）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把抛物线化为标准方程， 因为抛物线开口向下，且焦点坐标是， 则，即，可得，所以焦点坐标是. 【变式1】（2026·北京·模拟预测）将抛物线平移使其顶点与坐标原点重合，得到抛物线，则的准线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，则抛物线为， 化成抛物线的标准式，故准线方程为. 【变式2】（2026·浙江·二模）（多选）若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则的准线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则点在抛物线的内部，或在抛物线上， 所以，所以，所以，. 所以的准线可能是B,C. 【变式3】（2026·广东梅州·模拟预测）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，则的坐标为__________． 【答案】 【详解】抛物线焦点的坐标为. 【题型十】抛物线的焦半径公式 【例10】（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，点为上一点，当时，点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记点的纵坐标为，由题意知， 借助焦半径公式可得，故， 所以点的纵坐标为. 【变式1】（2026·海南儋州·二模）已知抛物线的焦点为点，点在上，且，则点的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意知，，由抛物线的定义可知，得， 故点的横坐标为 【变式2】（2025·陕西商洛·模拟预测）（多选）已知点在抛物线上，点为抛物线的焦点，则（    ） A．焦点的坐标为 B．抛物线的准线方程为 C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程，然后再由抛物线的焦半径公式判断C，由抛物线的性质判断D.. 【详解】抛物线的方程是，则，焦点坐标是，准线方程是，A对B错； 点在抛物线上，，，则,,C对； 抛物线上点到焦点的距离在点为顶点时取得最小值，这个最小值是1，因此，D对， 故选：ACD. 【变式3】（2026·广东揭阳·二模）已知点在抛物线上，若点P到点的距离与点到抛物线的准线的距离相等，则______. 【答案】4 【详解】由抛物线，则焦点，准线方程为， 因为点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等， 结合抛物线的定义可得， 则点在线段的垂直平分线上，而，，则点的横坐标为3， 所以. 【题型十一】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【例11】（2026·广西柳州·二模）准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线标准方程及准线方程的定义可得. 【详解】因为抛物线准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为， 则，即， 所以抛物线的标准方程为. 故选：C 【变式1】已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的准线方程确定抛物线方程的形式，并求出的值即得． 【详解】由于准线方程为，所以抛物线开口向右，设抛物线的方程为， 因为抛物线的准线方程为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为． 故选：B． 【变式2】（2025·山东潍坊·二模）若抛物线的准线与直线之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程：____________． 【答案】或（填一个答案即可） 【分析】根据题意，判断抛物线的准线方程为或，分别求出焦准距，写出抛物线方程即可. 【详解】依题意，抛物线的准线与直线平行，且距离为2， 故抛物线的准线方程为或， 当抛物线的准线方程为时，抛物线的焦点在轴的负半轴上，且，，故抛物线方程为：； 当抛物线的准线方程为时，抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，，故抛物线方程为：. 综上可知，满足条件的抛物线的标准方程可以是或. 故答案为：或（填一个答案即可） 【变式3】（2026·内蒙古赤峰·一模）以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________． 【答案】 【详解】记抛物线（）的焦点为， 设准线上的两点与构成边长为的等边三角形， 则由正三角形的对称性，可得. 所以焦点到准线的距离为， 所以抛物线的标准方程为. 【题型十二】根据抛物线上的点求标准方程 【例12】（2025·山西·二模）若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的标准方程，代入可得结果. 【详解】由题意可知，抛物线C的方程为， 将代入，可得，故抛物线C的方程为. 故选：A. 【变式1】（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线的定义结合题意可得， 所以抛物线的方程为. 【变式2】（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】如下图： 由题可知，设，且， 则两式相减得， 则直线的方程为， 因为中点的纵坐标为2，得， 由抛物线的定义可知， 即， 解得或， 故的方程为或. 【变式3】（2026·北京朝阳·二模）顶点在原点，关于轴对称，且过点的抛物线的标准方程是___________． 【答案】 【详解】根据抛物线关于轴对称，且过的点在第一象限， 因此抛物线开口向上，可设抛物线的标准方程为， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程是. 【解题大招01】定义法解题技巧 核心思想：遇焦点、距离、轨迹问题，优先使用双曲线定义，避免联立复杂运算。 双曲线恒等定义式： 解题技巧： ① 题目出现“双焦点、点在曲线上、距离差”，直接套用 ； ② 几何定义优先，大幅简化计算； ③ 轨迹判定：无轨迹，两射线，中垂线。 【例1】已知双曲线焦点，曲线上一点 满足，求双曲线标准方程。 解析：由题意得：，焦距 由双曲线参数关系： 焦点在 轴上，因此标准方程： . 【解题大招02】双曲线参数速算技巧 核心公式（区别椭圆）： 速算口诀：双曲线“大方加小方”， 最大，离心率恒大于1。 【例2】已知双曲线 ，求离心率 。 解析：由方程得：，即 . 【解题大招03】渐近线秒杀求法 通用技巧：方程右侧置0，直接写出渐近线，无需死记。 共渐近线设方程： 【例3】求双曲线 的渐近线方程。 解析：令等式右侧为0： 整理得： 渐近线方程： 【解题大招04】焦点三角形面积秒杀公式 核心结论：设 ， 【例4】已知双曲线 ，点 在双曲线上，且 ，求 面积。 解析：由方程得 ， . 【解题大招05】定义转化万能技巧 核心等价关系： 抛物线上任意一点到焦点距离 = 该点到准线距离，。 【例5】已知抛物线 ，点 在抛物线上，求点 到焦点 的距离。 解析：由 ，准线方程： 由定义： 【解题大招06】焦点弦二级秒杀结论 抛物线 焦点弦结论： 【例6】抛物线 的焦点弦 ，已知 横坐标为4，求弦长 。 解析： 由焦点弦定值： 代入 ，得 焦点弦长： 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·陕西渭南·三模）已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据已知条件求出点A、F的坐标，代入两点间的距离公式即可得解. 【详解】点在抛物线上，，则， 又抛物线：的焦点，故． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为， 直线与双曲线的一条渐近线平行， 则，又，则 所以的离心率为． 3．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，故抛物线方程为， 设，因为，所以，可得， 代入抛物线方程可得，解得， 因为点在第一象限，所以， 所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 二、多选题 4．（2026·内蒙古赤峰·一模）若双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的虚轴长是实轴长的倍 C．双曲线与双曲线有相同渐近线 D．以双曲线实轴和虚轴端点为顶点的椭圆的离心率为 【答案】ABC 【详解】因双曲线渐近线方程为：，则. 对于A，双曲线离心率，故A正确； 对于B，虚轴长为，实轴为，则双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，故B正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为，故C正确. 对于D，双曲线C实轴端点为,虚轴端点为. 则对应椭圆方程为：，离心率为，故D错误. 三、填空题 5．（2026·河北邯郸·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则______. 【答案】 【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：， 一条渐近线方程为，，即. 6．（2026·江西宜春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 【答案】 【分析】设，根据焦半径公式得，进而求得，再计算斜率即可. 【详解】由已知得，设， 所以，根据焦半径公式得，解得， 代入得，解得， 所以直线的斜率为． 四、解答题 7．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，且经过点和点的椭圆的标准方程； (2)焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点位置及椭圆的顶点即可确定，从而求出椭圆方程； （2）根据焦距和离心率确定，从而求出，结合焦点位置求出双曲线方程. 【详解】（1）由题意得：，，因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为：； （2）依题意，又，所以，所以， 由于双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为． 8．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆与圆的公共点． （1）求的方程； （2）直线与交于，两点，点在上，且在这一段曲线上运动（异于端点与），求面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）联立两圆方程求出交点坐标即为抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线方程； （2）联立直线与抛物线求出交点坐标，求出弦，设，表示出点到直线的距离，即可求出面积的取值范围； 【详解】解：（1）联立得 因此的焦点为，设抛物线，则， 则，故的方程为． （2）联立得或 不妨假设，，则． 设，则， 到直线的距离， 因为当时，函数的值域为， 所以，则， 故面积的取值范围是． 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·湖北·三模）卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴， 设抛物线方程为，焦点，焦点到顶点距离为． 天线口径（直径），深度，故抛物线过点（或）， 将代入：， 焦点到顶点距离为． 2．（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理把用表示，然后利用余弦定理求得关系，从而求得离心率． 【详解】设的半焦距为，，渐近线的斜率的绝对值为， 所以，因为又，所以，故解得，， 则．在中，由正弦定理，得，解得，故， 由余弦定理，得 ，整理得，所以的离心率．    二、多选题 3．（2026·山东烟台·二模）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为和的一个公共点，则（   ） A． B．的离心率为2 C． D．点到的两条渐近线的距离之和为 【答案】BCD 【分析】先根据双曲线的性质求出其右焦点坐标，进而得到抛物线的p值，再根据抛物线和双曲线的定义及性质逐一分析选项即可. 【详解】因为双曲线 为标准形式 ， 其中 ，，则，所以，则 双曲线的右焦点坐标为. 选项A，由 的焦点为 ，由题意，，解得，故A错误； 选项B，由上分析，的离心率为，故B 正确； 选项C，联立，解得 或（不合题意舍去）， 即，则 ，故C 正确； 选项D，由上分析，易得双曲线 的渐近线方程为 ， 由对称性，可取点Q 为 ，该点到两条渐近线的距离分别为，， 所以，故D 正确. 三、填空题 4．（2026·河北保定·三模）已知 O为坐标原点，抛物线 若 C₁与 C₂交于点 O与A，且C₁，C₂的准线交于点 则|OA|=________. 【答案】 【分析】由准线交点得值，然后解方程组得交点坐标，再由距离公式求解. 【详解】由题意，，抛物线方程分别为，， 由，解得或， 所以，. 四、解答题 5．已知椭圆：的离心率为，且短轴长等于双曲线：的实轴长. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，为椭圆上关于原点对称的两点，在圆：上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意直接列方程求解； （2）根据题意可得，设直线的方程代入求解，注意讨论斜率是否存在. 【详解】（1）依题意有，解得，. ∴椭圆的标准方程为 （2）∵点在圆：上， ∴ 又∵为等边三角形，且为线段的中点， ∴， ①当直线的斜率不存在时，，为椭圆的上下顶点， ∴，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设，直线的方程为 联立 解得， ∴，解得 ∴直线的方程为： 6．（2026·甘肃金昌·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与的交点为，与轴的交点为，且点在轴上方. (1)若，求的方程； (2)若，求过点的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出抛物线的方程，设的方程，代入，写出韦达定理，利用抛物线的定义，结合题设条件求得，即得的方程； （2）先求出，将点的坐标代入推得，由（1）的结论求得，结合，利用待定系数法即可求得圆的标准方程. 【详解】（1）因为的焦点为，所以，解得， 故的方程为， 设的方程为，将其代入，消去整理得， 设，则 ， 因为，所以， 由，得， 所以的方程为，即. （2）对于，令，得点， 则，故得， 由（1）知，所以，， 因为，所以，从而，则， 因为点在轴上方，所以，进而可得， 设过三点的圆的方程为，又， 则得 解得， 所以过三点的圆的方程为. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·安徽芜湖·二模）有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出的位置关系，利用已知条件求出相应的点，代入方程中建立关于的方程，解齐次方程，再由椭圆的离心率范围求解即可. 【详解】因为为抛物线与椭圆的公共焦点，且抛物线与椭圆相交于两点， 由抛物线和椭圆对称性以及可知，轴， 设点在第一象限，如图所示： 令，此时有， 又抛物线的焦点为，所以， 所以抛物线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以， 即点，又点在椭圆上， 所以， 又，所以，所以 即，又，所以， 令 ，则，解得（舍去）或， 即， 又，所以. 2．（2026·天津滨海新区·三模）设双曲线的左右焦点分别为，取双曲线上一点（在第一象限），点在以为直径的圆上，且，若直线斜率为，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，证明为等腰三角形，得到以及为的中点，结合双曲线的定义得到，又根据是的中位线得到和，最后在中运用余弦定理得到关于的方程，求解即可得离心率. 【详解】因为点在以为直径的圆上，所以，延长交于点， 在中，已知且即平分， 故为等腰三角形，有，且为的中点， 同时根据双曲线的定义以及在第一象限，有， 所以，又因为分别为的中点， 所以且，已知直线斜率为， 则直线的斜率也为，所以，可得， 由可得， 在中，根据余弦定理有， 即， 整理得，于是有，解得. 二、多选题 3．（2026·江苏南京·三模）如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点，过与底面平行的平面绕点逆时针转动，截圆锥依次得到圆，椭圆，部分椭圆，抛物线，双曲线.则（    ） A．截面中圆的面积为 B．截面是完整椭圆的离心率最大是 C．截面是抛物线的焦准距 D．垂直于底面的双曲线截面的离心率为 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出截面中圆的面积判断A；确定离心率最大的完整椭圆位置并求出离心率判断B；建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程，进而求解判断CD. 【详解】依题意，圆锥的底面圆半径，圆锥的高，， 对于A，由为母线的中点，得截面圆的半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，截面是完整椭圆的短轴可视为以点为圆心，为半径的圆垂直于的直径 沿投影到截面椭圆上，则短轴长，当椭圆经过点时，其长轴长取得最大值， 离心率取得最大值，，，B错误； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为原点，为x轴， 在平面中建立平面直角坐标系，则，，点， 设抛物线方程为，则，解得，则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误； 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为，则，，解得， ，所以双曲线的离心率为，D正确. 三、填空题 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 【答案】 【分析】设,利用斜率公式由，推得，由得到，由，求得，由三角形的面积公式列出方程，求解即得的值. 【详解】，可得，， 设,则，解得， 因，则， 由，可得， 又因， 可得， 即， 即，即， 依题意，， 代入，得到， 解得，又，故. 四、解答题 5．已知是双曲线的左焦点，点在双曲线上且双曲线的离心率为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)若是双曲线在第二象限内的动点，，记的内角平分线所在直线斜率为，直线斜率为,求证：是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的离心率公式及点在双曲线上即可求解； （2）根据两点的斜率公式及角平分的性质，利用斜率的定义及两角和的正切公式，结一元二次方程的解法，注意分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意可知：， 因为点在双曲线上， 所以，解得（负舍）， 所以 所以双曲线的标准方程. （2）由题意可知，作出图形如图所示    当时，因为在上， 所以，解得（负舍）， 所以 所以， 设斜率斜率的角平分线斜率， 设，则 所以，即即，解得， 当时， 所以， ， ， 所以, 当时， 所以 . 综上所述：. 【点睛】关键点睛：解决此题第一问的关键是利用点在双曲线上和双曲线的离心率公式即可，第二问，利用角平分线的定义及斜率的定义，结合二倍角的正切公式注意分类讨论即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第36讲双曲线、抛物线的定义、方程与几何性质 （知识清单+12典例精讲+方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 双曲线的定义、标准方程、弦长公式、中点弦问题 单选/填空题 5分 双曲线的焦点、焦距 单选题 5分 双曲线的范围、对称性 单选/多选题 5分/6分 双曲线的定义、焦点三角形、离心率 单选题 5分 抛物线的定义、准线、切线、几何性质综合 解答题 12分 抛物线的标准方程、顶点、开口方向 单选/填空题 5分 【知识点01】双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 【例1】已知双曲线的两焦点为 ，双曲线上任意一点 满足 ，判断该轨迹是否为双曲线，并说明理由。 【知识点02】双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 【例2】已知双曲线焦点在 轴上，焦距为 ，且 ，求该双曲线的标准方程、渐近线方程及离心率。 【知识点03】抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线. 【例3】已知动点 到定点 的距离等于它到定直线 的距离，求证：动点 的轨迹为抛物线。 【知识点04】抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 【例4】已知抛物线的焦点为 ，求该抛物线的标准方程、准线方程及通径长。 【题型一】双曲线定义的理解 【例1】（2026·广东江门·一模）已知双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则（    ） A．1 B．8 C．9 D．11 【变式1】（2026·吉林·模拟预测）双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于5，那么点与另一个焦点的距离等于（    ） A．1 B．2 C．11 D．1或11 【变式2】已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3】（2024·广西·二模）已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则______. 【题型二】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【例2】（2025·四川成都·模拟预测）已知是双曲线（）上的点，该双曲线的两个焦点分别为与，且，，则的面积是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【变式1】（2025·河南开封·二模）已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【变式3】（2025·河北·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为______． 【题型三】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【例3】已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是 A． B． C． D． 【变式1】（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】若双曲线的焦距为，则__________． 【题型四】双曲线的焦点、焦距 【例4】（2026·山西晋中·二模）双曲线的焦距为（    ） A．3 B．6 C． D． 【变式1】（2026·广西河池·三模）双曲线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广东茂名·二模）双曲线的焦距为______． 【变式3】（2025·上海·模拟预测）双曲线的焦点坐标为___________． 【题型五】已知方程求双曲线的渐近线 【例5】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，另一条渐近线恰好是线段的垂直平分线，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·云南·三模）双曲线的渐近线方程为_________.（写出一个即可） 【变式2】（2026·甘肃兰州·一模）双曲线的右焦点为，则双曲线的渐近线方程为__________. 【变式3】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（   ） A． B． C．的渐近线方程为 D．的面积为 【题型六】根据双曲线的渐近线求标准方程 【例6】（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线C：的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·青海西宁·二模）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为_________． 【变式3】双曲线C以过原点与圆相切的两条直线为渐近线，且过椭圆的两个焦点，求双曲线的标准方程. 【题型七】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【例7】（2026·云南昆明·模拟预测）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西铜川·三模）（多选）设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率可能为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【变式3】若双曲线的焦距为8，求的离心率． 【题型八】抛物线定义的理解 【例8】（2026·山东聊城·模拟预测）已知抛物线绕其顶点旋转后得到抛物线，且抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．9 【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【变式2】（2026·福建·模拟预测）若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 【变式3】（2026·江苏·模拟预测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上．若线段中点的纵坐标为，且，，则______． 【题型九】根据抛物线方程求焦点或准线 【例9】（2026·河南·二模）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·北京·模拟预测）将抛物线平移使其顶点与坐标原点重合，得到抛物线，则的准线方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·浙江·二模）（多选）若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则的准线可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·广东梅州·模拟预测）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，则的坐标为__________． 【题型十】抛物线的焦半径公式 【例10】（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，点为上一点，当时，点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·海南儋州·二模）已知抛物线的焦点为点，点在上，且，则点的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【变式2】（2025·陕西商洛·模拟预测）（多选）已知点在抛物线上，点为抛物线的焦点，则（    ） A．焦点的坐标为 B．抛物线的准线方程为 C．若，则 D． 【变式3】（2026·广东揭阳·二模）已知点在抛物线上，若点P到点的距离与点到抛物线的准线的距离相等，则______. 【题型十一】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【例11】（2026·广西柳州·二模）准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东潍坊·二模）若抛物线的准线与直线之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程：____________． 【变式3】（2026·内蒙古赤峰·一模）以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________． 【题型十二】根据抛物线上的点求标准方程 【例12】（2025·山西·二模）若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3】（2026·北京朝阳·二模）顶点在原点，关于轴对称，且过点的抛物线的标准方程是___________． 【解题大招01】定义法解题技巧 核心思想：遇焦点、距离、轨迹问题，优先使用双曲线定义，避免联立复杂运算。 双曲线恒等定义式： 解题技巧： ① 题目出现“双焦点、点在曲线上、距离差”，直接套用 ； ② 几何定义优先，大幅简化计算； ③ 轨迹判定：无轨迹，两射线，中垂线。 【例1】已知双曲线焦点，曲线上一点 满足，求双曲线标准方程。 【解题大招02】双曲线参数速算技巧 核心公式（区别椭圆）： 速算口诀：双曲线“大方加小方”， 最大，离心率恒大于1。 【例2】已知双曲线 ，求离心率 。 【解题大招03】渐近线秒杀求法 通用技巧：方程右侧置0，直接写出渐近线，无需死记。 共渐近线设方程： 【例3】求双曲线 的渐近线方程。 【解题大招04】焦点三角形面积秒杀公式 核心结论：设 ， 【例4】已知双曲线 ，点 在双曲线上，且 ，求 面积。 【解题大招05】定义转化万能技巧 核心等价关系： 抛物线上任意一点到焦点距离 = 该点到准线距离，。 【例5】已知抛物线 ，点 在抛物线上，求点 到焦点 的距离。 【解题大招06】焦点弦二级秒杀结论 抛物线 焦点弦结论： 【例6】抛物线 的焦点弦 ，已知 横坐标为4，求弦长 。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·陕西渭南·三模）已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 2．（2026·陕西西安·模拟预测）设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D．5 3．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2026·内蒙古赤峰·一模）若双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的虚轴长是实轴长的倍 C．双曲线与双曲线有相同渐近线 D．以双曲线实轴和虚轴端点为顶点的椭圆的离心率为 三、填空题 5．（2026·河北邯郸·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则______. 6．（2026·江西宜春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 四、解答题 7．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，且经过点和点的椭圆的标准方程； (2)焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程 8．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆与圆的公共点． （1）求的方程； （2）直线与交于，两点，点在上，且在这一段曲线上运动（异于端点与），求面积的取值范围． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·湖北·三模）卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 二、多选题 3．（2026·山东烟台·二模）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为和的一个公共点，则（   ） A． B．的离心率为2 C． D．点到的两条渐近线的距离之和为 三、填空题 4．（2026·河北保定·三模）已知 O为坐标原点，抛物线 若 C₁与 C₂交于点 O与A，且C₁，C₂的准线交于点 则|OA|=________. 四、解答题 5．已知椭圆：的离心率为，且短轴长等于双曲线：的实轴长. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，为椭圆上关于原点对称的两点，在圆：上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程. 6．（2026·甘肃金昌·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与的交点为，与轴的交点为，且点在轴上方. (1)若，求的方程； (2)若，求过点的圆的标准方程. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·安徽芜湖·二模）有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津滨海新区·三模）设双曲线的左右焦点分别为，取双曲线上一点（在第一象限），点在以为直径的圆上，且，若直线斜率为，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·江苏南京·三模）如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点，过与底面平行的平面绕点逆时针转动，截圆锥依次得到圆，椭圆，部分椭圆，抛物线，双曲线.则（    ） A．截面中圆的面积为 B．截面是完整椭圆的离心率最大是 C．截面是抛物线的焦准距 D．垂直于底面的双曲线截面的离心率为 三、填空题 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 四、解答题 5．已知是双曲线的左焦点，点在双曲线上且双曲线的离心率为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)若是双曲线在第二象限内的动点，，记的内角平分线所在直线斜率为，直线斜率为,求证：是定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $