第37讲圆锥曲线综合应用（知识清单+12典例精讲+方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学讲义聚焦圆锥曲线综合应用，覆盖椭圆、双曲线、抛物线的位置关系、弦长计算、焦点弦性质、定点定值及参数最值等高考核心考点，按知识清单梳理基础、12类典例精讲题型、解题大招提炼方法、分层训练巩固提升的逻辑架构，通过设线联立等五步模板指导，帮助学生构建系统解题思路。 资料以近3年高考真题为依托，创新采用题型分类突破策略，如定点定值问题通过特殊探点猜结论、韦达定理证一般培养数学思维，分层训练含基础过关、拔高选练及错题复盘，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用支撑。

第37讲圆锥曲线综合应用 （知识清单+12典例精讲+方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 双曲线几何性质、离心率计算 单选/填空题 5分 抛物线定义、焦点弦、直线与抛物线位置关系 多选题 6分 椭圆标准方程、直线与椭圆联立、韦达定理、定点定值、面积最值 单选/解答题 5分/12分 双曲线定义、焦点三角形计算 单选题 5分 平面轨迹方程、直线与抛物线相交、弦长公式、函数最值求解 单选/解答题 5分/12分 【知识点01】直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点. ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点. 【例1】判断直线 与椭圆 的位置关系。 【知识点02】弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|＝ ＝ ＝， 或|AB|＝ ＝. 【例2】已知直线 与椭圆 交于 两点，求弦长 。 【题型一】直线与椭圆的位置关系 【例1】（2024·山东·模拟预测）已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1】已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离 B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切 C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交 D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定 【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知为椭圆上一点，且直线与有且仅有一个交点，则的焦距为__________. 【变式3】已知椭圆的长轴长为4，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. （1）求椭圆的方程； （2）若点，点，在椭圆上，轴，垂足为，直线交轴于点，线段的中点为坐标原点，试判断直线与椭圆的位置关系. 【题型二】椭圆的弦长、焦点弦 【例1】（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】若直线：（其中）与圆相切，与椭圆：交于点，，为其右焦点，则的周长为______. 【变式3】（2025·上海嘉定·二模）已知椭圆C：．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点． (1)求的最小值； (2)当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)若直线与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线与交于点E，求线段的取值范围． 【题型三】椭圆中的参数范围及最值 【例3】（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知点是椭圆上的动点，点且，则|PQ|最小时，m的值可能是（    ） A．-1 B． C．a D．3a 【变式3】（2025·全国·模拟预测）已知椭圆，则在椭圆短轴的右侧与短轴相切且在椭圆内部（包括边界）的最大圆的方程为______． 【题型四】椭圆中的定点、定值 【例4】（2025·广东·模拟预测）圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）如图，为椭圆上异于顶点的一点，分别是椭圆的左焦点和右顶点．过点分别向轴和直线作垂线，垂足分别为．记直线与轴的交点为为坐标原点，则下列比值与相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·四川·模拟预测）已知点为椭圆的左顶点，点为椭圆的右焦点，过点作一条直线（直线与轴不重合）交椭圆于两个不同点，连接，则__________. 【变式3】（2026·重庆·三模）已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点． 【题型五】直线与双曲线的位置关系 【例5】（2026·山东济南·三模）已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式1】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【变式2】（2026·北京石景山·二模）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【变式3】函数的最小值为m，则直线与曲线的交点为___________个. 【题型六】双曲线的弦长、焦点弦 【例6】（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河北邢台·二模）（多选）已知直线被双曲线截得的弦长为，则下列直线中被截得的弦长也为的有（    ） A． B． C． D． 【变式2】过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长______． 【变式3】双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为______． 【题型七】双曲线中的定点、定值 【例7】（2025·山东泰安·三模）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（   ） A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 【变式1】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为_____________. 【变式2】（2026·安徽滁州·一模）（多选）已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（   ） A．点M在双曲线C上 B．当P在圆T上时，的面积为8 C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3 D．双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 【题型八】直线与抛物线的位置关系 【例8】若，则称点在抛物线C：外．已知点在抛物线C：外，则直线与抛物线C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式1】过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交于、两点，交轴于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知抛物线C：，圆．若C与交于M，N两点，圆与x轴的负半轴交于点P，则（    ） A．若为直角三角形，则圆的面积为 B． C．直线PM与抛物线C相切 D．直线PN与抛物线C有两个交点 【变式3】（2026·天津滨海新区·三模）已知圆：，过原点的一条直线与圆相切，且与焦点为的抛物线交于异于原点的点，若，则焦点的坐标为_____________． 【题型九】抛物线的弦长 【例9】（2026·福建莆田·模拟预测）若直线交抛物线于两点，则（   ） A． B．4 C． D．8 【变式1】（2025·山西临汾·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【变式2】（2026·山东枣庄·二模）（多选）过抛物线的焦点，且斜率为1的直线交于两点，则______． 【变式3】（2025·广东江门·模拟预测）已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)若经过点且斜率为1的直线与交于两点，求． 【题型十】抛物线焦点弦的性质 【例10】（2025·云南玉溪·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，点为线段的中点，若点的横坐标为，，则（） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】（2026·福建漳州·二模）已知A，B为抛物线上的动点，为AB中点且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 【变式3】已知梯形ABCD的四个顶点都在抛物线上，且，直线AB过抛物线E的焦点F. (1)若四边形ABCD为等腰梯形，求； (2)若直线AD与直线BC的交点为，求实数的值. 【题型十一】抛物线中的参数范围及最值 【例11】已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式1】（2026·河北·三模）在平面直角坐标系中，设，若抛物线上存在点P，使得，则p的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海黄浦·三模）抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为________． 【变式3】已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线被所截得的弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围. 【题型十二】抛物线中的定点、定值 【例12】（2026·四川巴中·一模）两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 则直线 恒过的点是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·浙江台州·二模）已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【变式2】（2024·四川宜宾·二模）已知为抛物线的焦点，过直线上的动点作抛物线的切线，切点分别是，则直线过定点__________. 【变式3】（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线，过点的直线交E于A，B两点． (1)设，，证明：为定值； (2)过点的另一条直线交E于C，D两点，且，求的最小值． 【解题大招01】直线与圆锥曲线联立通用解题法 所有直线与圆锥曲线综合题，统一执行 设线→联立→消元→判别式→韦达定理 五步模板。 1. 设直线：优先设，需单独讨论斜率不存在情况； 2. 联立曲线方程，消去 得到一元二次方程 ； 3. 必须写判别式：（保证有两个交点）； 4. 韦达定理列式： 5. 将题目所求（弦长、面积、最值、定点）全部转化为 整体代入。 【例1】已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点，联立方程并写出韦达定理关系式。 【解题大招02】圆锥曲线万能弦长公式 适用于椭圆、双曲线、抛物线任意相交弦，无需求交点坐标，整体代入韦达定理即可。 核心弦长公式： 补充技巧：直线斜率不存在时（），直接代入曲线求两点纵坐标差： 【例2】求直线 截椭圆 所得弦长 。 【解题大招03】圆锥曲线三角形面积速算技巧 直线与圆锥曲线相交形成的三角形面积，优先使用弦长×高和水平宽铅垂高两种算法。 公式1（通用）： 为定点到直线 的距离。 公式2（铅垂法，高考最优解）： 【例3】已知直线 与椭圆 交于 ，求原点 与 构成的三角形面积。 【解题大招04】定点定值问题解题技巧 1. 特殊探点：先取特殊斜率、特殊位置，猜出定点/定值； 2. 一般证明：联立韦达定理，整体代入化简，消去参数； 3. 核心逻辑：结果与参数 无关，即为定点定值。 【例4】已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 ，证明：直线恒过定点（本题验证定点逻辑）。 【解题大招05】最值与参数范围解题技巧 1. 利用韦达定理将目标式转化为单变量函数； 2. 结合判别式 求出变量取值范围； 3. 利用二次函数、对勾函数单调性求最值。 【例5】已知直线 与椭圆 相交，求弦长 的最大值。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2025·内蒙古包头·二模）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 3．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知直线与椭圆C：交于M，N两点，椭圆C的左、右焦点分别为，若，则a的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2025·广西柳州·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．面积的最大值为 D．椭圆C的离心率为 三、填空题 6．（2024·全国·一模）若直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是______． 四、解答题 7．（2025·河南·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 8．（2024·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·四川南充·二模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的右支交于点，.设与的内切圆圆心分别是，，直线，的斜率分别是，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西临汾·二模）椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知点O为坐标原点，抛物线C：（）的准线方程为，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列选项中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则直线l的斜率为1 C． D．面积的最小值为8 三、填空题 4．（2026·甘肃金昌·三模）双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 四、解答题 5．（2026·河南周口·三模）已知椭圆：的左焦点为，短轴长是长轴长的． (1)求的方程． (2)过点的直线与交于，两点，点，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明． ①直线与的斜率之和为定值； ②直线与的斜率之积为定值． 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，，是椭圆上的动点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则（    ） A．1 B． C．2 D．3 2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知椭圆与双曲线的焦距之比为，直线经过双曲线的一个焦点和椭圆的一个短轴端点，则截椭圆和双曲线所得的两条弦的弦长的比值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·山东东营·模拟预测）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．点是圆（）上的任意一点，使得的重心在轴上．线段与轴的交点为．则下列说法正确的是（     ） A． 的取值范围为 B．三角形的面积是斜率的函数 C．当时，的最大值为6 D．的最小值为 三、填空题 4．（2026·湖南永州·三模）已知椭圆，，为的左、右焦点，过的直线交于，两点，的面积为，的内切圆与相切于点，若，则的离心率为__________． 四、解答题 5．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过点． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第37讲圆锥曲线综合应用 （知识清单+12典例精讲+方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 双曲线几何性质、离心率计算 单选/填空题 5分 抛物线定义、焦点弦、直线与抛物线位置关系 多选题 6分 椭圆标准方程、直线与椭圆联立、韦达定理、定点定值、面积最值 单选/解答题 5分/12分 双曲线定义、焦点三角形计算 单选题 5分 平面轨迹方程、直线与抛物线相交、弦长公式、函数最值求解 单选/解答题 5分/12分 【知识点01】直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点. ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点. 【例1】判断直线 与椭圆 的位置关系。 解：步骤1：联立直线与椭圆方程 联立方程组： 步骤2：代入消元，整理一元二次方程 将 代入椭圆方程： 两边同乘12通分去分母： 展开整理： 步骤3：计算判别式 步骤4：判定结论 直线与椭圆相交，有两个不同公共点。 【知识点02】弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|＝ ＝ ＝， 或|AB|＝ ＝. 【例2】已知直线 与椭圆 交于 两点，求弦长 。 解：步骤1：沿用前文联立结果 联立化简得方程： 可得参数： 步骤2：利用韦达定理求根系关系 步骤3：确定直线斜率 直线 ，斜率 步骤4：代入弦长公式计算 代入数值： 分步计算： 最终结论：弦长 【题型一】直线与椭圆的位置关系 【例1】（2024·山东·模拟预测）已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可. 【详解】当时，直线：，直线与椭圆相切，当“与相切”时， 联立有，令有， 所以是直线与椭圆相切的充要条件. 故选:C. 【变式1】已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离 B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切 C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交 D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，联立方程，得到，根据点与椭圆的关系依次验证直线和椭圆的关系得到答案. 【详解】当，则，则直线， ①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交； ②若点A在椭圆C上，则，则，直线l与椭圆C相切； ③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离； 当时，联立方程，消去y得： ， 所以， ①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交； ②若点A在椭圆C上，则手，则，直线l与椭圆C相切； ③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离； 若点A在直线l上，则满足，即点A在椭圆C上，由以上讨论可知直线l与椭圆C相切，D错误. 综上所述：B正确 故选：B 【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知为椭圆上一点，且直线与有且仅有一个交点，则的焦距为__________. 【答案】 【分析】将代入椭圆方程，结合题意及关系及焦距定义即可求解. 【详解】将代入椭圆方程，得到， 又因为直线与仅有一个交点，所以， 进而解得，所以的焦距为. 故答案为：. 【变式3】已知椭圆的长轴长为4，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. （1）求椭圆的方程； （2）若点，点，在椭圆上，轴，垂足为，直线交轴于点，线段的中点为坐标原点，试判断直线与椭圆的位置关系. 【答案】（1）；（2）直线与椭圆相切. 【解析】（1）根据题意得，得，，解得，进而得椭圆的方程； （2）根据题意可得，，求出、，得到直线方程和点坐标，又线段的中点为坐标原点，得到坐标和直线的方程，代入椭圆的方程得化简得，又因为点，在椭圆上，所以整理得，代入得，由判别式得直线与椭圆相切. 【详解】（1）因为长轴长为4， 所以，得， 又因为过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. 所以，解得，所以椭圆的方程为：. （2）直线和椭圆相切，理由如下： 根据题意可得，，，又直线，所以， 所以直线方程为：，即， 令得，，即，， 又线段的中点为坐标原点，所以，， 所以直线的方程为：，即， 代入椭圆的方程得， 化简得， 又因为点，在椭圆上，所以， 代入得，即， ， ，， ， △， 所以直线与椭圆相切. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题. 【题型二】椭圆的弦长、焦点弦 【例1】（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. 【变式1】（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，从而写出直线方程，联立方程组得一元二次方程，由韦达定理得到两个的和与差，利用交点弦长公式即可求得结果. 【详解】，，∴，即， ，∴， 联立方程组得，整理得， 设，，∴，， . 故选：A. 【变式2】若直线：（其中）与圆相切，与椭圆：交于点，，为其右焦点，则的周长为______. 【答案】4 【分析】先根据直线与圆相切求得的关系，设切点为，利用勾股定理分别求出，再根据两点间的距离公式分别求出，从而可得出答案. 【详解】解：由直线与圆相切， 可得，则， 联立，消得， 则，故， ， 因为，所以， 所以， 设切点为，则，， ， 同理， ， 因为，所以， 同理， 则的周长为. 故答案为：4. 【变式3】（2025·上海嘉定·二模）已知椭圆C：．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点． (1)求的最小值； (2)当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)若直线与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线与交于点E，求线段的取值范围． 【答案】(1), (2), (3) 【详解】（1） 由椭圆方程知，，所以右焦点， 设，则，由代入得： ， 由于，对称轴， 所以， 即的最小值为，此时点为椭圆的右顶点. （2） 由直线的斜率为1且经过，可得直线方程， 与椭圆联立方程组，消元得：， 解得，则代入得：，所以， 则， 设平行于直线的直线方程为，则与椭圆联立方程组，消元得： ，当此直线与椭圆相切时，满足判别式为， 即，解得， 根据数形结合可得时，满足切点取到面积最大值， 此时方程为， 代入直线得，则， 由点到直线的距离公式得： ， 所以面积的最大值为， 此时点； （3） 设过点直线为：，与椭圆联立方程组，消元得： ， 由， 再由于交点D不在x轴上，即， 设交点，则有， 代入得：， 由于Q关于原点的对称点为点R，所以， 则直线方程为，与直线相交得： 点纵坐标为， 而直线与直线相交得： 点纵坐标为， 所以可得 当且仅当，即时，取到最小值. 即的取值范围是 【题型三】椭圆中的参数范围及最值 【例3】（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 【变式2】（多选）已知点是椭圆上的动点，点且，则|PQ|最小时，m的值可能是（    ） A．-1 B． C．a D．3a 【答案】BD 【分析】由，结合距离公式、二次函数的单调性得出m的可能值. 【详解】因为点在椭圆上，所以， 所以 ，若，当时，最小， 若，当时，最小. 故选：BD. 【变式3】（2025·全国·模拟预测）已知椭圆，则在椭圆短轴的右侧与短轴相切且在椭圆内部（包括边界）的最大圆的方程为______． 【答案】 【分析】根据圆的位置及圆的对称性，设圆心的坐标为，圆的方程为，显然．设椭圆右半侧上点的坐标为，，则．结合椭圆右半侧上点只能在圆外或者圆上，有．对及恒成立．令，在内的最小值．二次函数性质可得．进而求得结果； 【详解】根据圆的位置及圆的对称性，可知圆心的坐标为， 故可设圆的方程为，显然． 要求最大圆，即求半径的最大值． 如图所示，设椭圆右半侧上点的坐标为，，则． 由于椭圆右半侧上点只能在圆外或者圆上，所以有． 对及恒成立． 因此，在内的最小值． 因为，所以，则当时有最小值，解得． 故所求最大圆的方程为，即. 故答案为: 【题型四】椭圆中的定点、定值 【例4】（2025·广东·模拟预测）圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则直线的斜率，将与联立，利用韦达定理即可求解. 【详解】依题意，，设， 则直线的斜率， 由，得，即， 由韦达定理得，则，所以. 故选：D 【变式1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）如图，为椭圆上异于顶点的一点，分别是椭圆的左焦点和右顶点．过点分别向轴和直线作垂线，垂足分别为．记直线与轴的交点为为坐标原点，则下列比值与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由椭圆的几何性质逐个判断即可. 【详解】选项A：，A对； 选项B：，B对； 选项C：设，则不是定值，C错； 选项D：，D对． 故选：ABD 【变式2】（2024·四川·模拟预测）已知点为椭圆的左顶点，点为椭圆的右焦点，过点作一条直线（直线与轴不重合）交椭圆于两个不同点，连接，则__________. 【答案】/ 【分析】利用椭圆方程可知，再设直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理来计算，最后得到一个定值. 【详解】由题知，设，直线， 联立消去整理得， 所以， 因此 ， 故答案为：. 【变式3】（2026·重庆·三模）已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)直线过定点，证明见解析 【分析】（1）由抛物线方程和双曲线方程分别可焦点坐标，进而可得，，再由椭圆的性质可得，因此可得椭圆方程； （2）设交点坐标，再联立直线的方程与椭圆的方程消去，由根与系数关系及可得，进而可得直线过定点. 【详解】（1）由抛物线，得焦点， 因为椭圆过抛物线的焦点，所以. 由双曲线，得焦点， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以. 由椭圆的性质，， ∴椭圆的方程为. （2）设，， 联立，消去得， ， ，， 由已知， 所以 ， 所以， 则， ， ，解得，满足， ∴直线的方程为，故直线恒过定点 【题型五】直线与双曲线的位置关系 【例5】（2026·山东济南·三模）已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】直线方程代入双曲线方程应用韦达定理求解. 【详解】由得，由已知得，解得（舍去）. 【变式1】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【分析】根据点和双曲线的位置关系确定满足条件的直线的条数. 【详解】分析条件可得：点在双曲线的渐近线上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图： 所以过且与双曲线有且只有一个公共点的直线只有两条： 一条是切线：，一条是过点且与另一条渐近线平行的直线. 故选：C 【变式2】（2026·北京石景山·二模）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【答案】1（只要满足即可，答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需比较直线的斜率与渐近线的斜率即可. 【详解】双曲线C：的一条渐近线的斜率为， 若直线与双曲线C无公共点，只需. 故b的一个取值可以为，（只要满足即可，答案不唯一）. 【变式3】函数的最小值为m，则直线与曲线的交点为___________个. 【答案】2 【分析】利用均值不等式可得的最小值，即的值，再分情况讨论去掉绝对值，最后联立直线方程求解即可得答案. 【详解】解：因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以函数的最小值为， 所以， 所以曲线，即为， ①当时，曲线，即，联立直线方程，解得交点为和； ②当时，曲线，即，联立直线方程可得无交点； ③当时，曲线，即不存在，所以无交点； ④当时，曲线，即，联立直线方程，可得无交点； 综上，直线与曲线的交点为和， 故答案为：2. 【题型六】双曲线的弦长、焦点弦 【例6】（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得，进而可求直线的方程，联立方程组可求弦长. 【详解】由，得. 双曲线的渐近线方程为，， 因为到的渐近线的距离为，所以，解得，所以， 过的直线与圆相切于，则可得， 所以， 过且与圆相切的直线方程为， 联立方程组，消去得.设， 则，所以 . 故选：D. 【变式1】（2026·河北邢台·二模）（多选）已知直线被双曲线截得的弦长为，则下列直线中被截得的弦长也为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】双曲线关于轴、轴和原点对称 若两直线关于轴、轴或原点对称，那么它们被双曲线截得的弦长相等. 对于A，直线与直线关于轴对称，它们被双曲线截得的弦长相等，故A正确； 对于B，直线与直线，它们既不关于轴对称，也不关于轴和原点对称，它们被双曲线截得的弦长不相等，故B错误； 对于C，直线与直线关于原点对称，它们被双曲线截得的弦长相等，故C正确； 对于D，直线与直线，它们既不关于轴对称，也不关于轴和原点对称，它们被双曲线截得的弦长不相等，故D错误. 【变式2】过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长______． 【答案】8 【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式代值求解） 【详解】由双曲线，得，， 焦点为，倾斜角， 法一：直线斜率，直线方程为， 联立消得，， 由韦达定理知， 代入弦长公式， 得. 法二：. 故答案为：8. 【变式3】双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为______． 【答案】 【分析】根据双曲线的渐近线可求c与a的关系，根据即双曲线的定义可求，在焦点三角形中，利用余弦定理可求出cos∠，从而可求sin∠，根据即可求出a，从而可求2c． 【详解】∵C的渐近线方程是，∴C为等轴双曲线，a=b， ∴． 设，则2a=3m-m=2m，即m=a，则， 设∠=θ，在△中，由余弦定理得， ， 即，化简可得， ∴， ∵， ，，，，． 故答案为：． 【题型七】双曲线中的定点、定值 【例7】（2025·山东泰安·三模）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（   ） A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 【答案】A 【分析】设点，由两点间的距离公式得到P到y轴的距离与P到，距离之和的比为，再结合双曲线的定义即可判断. 【详解】不妨设点，且易有，，且，， 代入得P到y轴的距离与P到，距离之和的比值为 ， 由于P为双曲线C上一点，故等价于点到与的距离之差的绝对值，由双曲线定义知其等于2， 故原式等价于，为定值. 故选：A. 【变式1】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为_____________. 【答案】 【分析】先根据渐近线的倾斜角算出，然后联立直线和双曲线，结合题目条件和韦达定理找到的关系，从而得到定点. 【详解】因为双曲线方程为一条渐近线的倾斜角的正切值为.所以，解得，所以双曲线方程为. 设，，联立得， . 由韦达定理得，. 因为，所以 . 所以，由题意知，此时. 所以直线方程为，恒经过的定点为. 故答案为： 【变式2】（2026·安徽滁州·一模）（多选）已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（   ） A．点M在双曲线C上 B．当P在圆T上时，的面积为8 C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3 D．双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值 【答案】ABD 【分析】根据题意，求出双曲线方程，将点M代入方程验证A选项；联立求出点的横坐标值，根据三角形面积公式求解验证B选项；求出双曲线渐近线，利用点到直线距离验证C选项；利用点差法验证D选项. 【详解】由题知双曲线的焦点在轴， 故，焦点坐标为， 因为圆过焦点，代入得，即，解得， 因此双曲线的方程为：. 对于A：点代入双曲线方程得左边右边， 因此在双曲线上，故A正确； 对于B：联立，消去得，故横坐标可以为 ， 中，，高为， 面积 ，故B正确. 对于C：双曲线渐近线为， 设，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为， 因为在双曲线上，故满足，即， 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积如下， 为，故C错误； 对于D：设是位于双曲线上，关于原点对称，且异于的两个点， 则， 又①，②，由①②得到， 得到，所以， 综上，只要满足位于双曲线上，关于原点对称， 且异于的两个点均可满足点P与两点连线斜率之积为定值， 故当点坐标为时， 直线和的斜率之积为定值，故D正确. 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 【答案】(1)；(2)；(3) 直线恒过定点 【分析】（1）根据双曲线的性质可得双曲线的基本量，进而可得双曲的方程； （2）设，根据点在双曲线上及斜率的定义可得； （3）方法一：先设直线的方程为，由（2）的分析得，进而可得，再由斜率的坐标运算公式及根与系数关系代入化简得，从而可得直线过定点；方法二：先设直线的方程为，再由条件及根与系数关系可得恒成立，得，从而可得及直线过定点. 【详解】（1）由经过点，得． 由，又因为双曲线一条渐近线与直线平行， 所以，则，故的方程为． （2）设，则，即， 因为，， 所以， 故直线与的斜率之积为． （3）证明：（方法一）由（2）知，，因为，所以． 设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为， 再将，代入得：得， 即， 所以， 因为直线不过点，所以，所以， ，化简整理得，解得， 所以直线的方程为，故直线恒过定点． （方法二）设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为，所以，即， 整理得， 由，所以，得， 所以， ，整理得， 因为等式恒成立，所以，解得． 所以直线的方程为，故直线恒过定点． 【题型八】直线与抛物线的位置关系 【例8】若，则称点在抛物线C：外．已知点在抛物线C：外，则直线与抛物线C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【详解】试题分析：因为点在抛物线C：外，所以由与联立方程组消得：因此，所以直线与抛物线相交. 考点：直线与抛物线位置关系 【变式1】过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交于、两点，交轴于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出、的值，利用弦长公式结合已知条件可求得的值. 【详解】抛物线的焦点为，易知直线的方程为，设点、， 联立，可得，解得，， 所以，，， 所以，，因为，解得. 故选：B. 【变式2】（多选）已知抛物线C：，圆．若C与交于M，N两点，圆与x轴的负半轴交于点P，则（    ） A．若为直角三角形，则圆的面积为 B． C．直线PM与抛物线C相切 D．直线PN与抛物线C有两个交点 【答案】ABC 【分析】对于A：分析可知直线MN过焦点F且与x轴垂直，可得，进而可得结果；对于B：分析可知，即可得结果；对于CD：，求直线AM的方程，与抛物线联立，结合以及对称性分析判断. 【详解】记抛物线C的焦点为，坐标原点为O， 则圆的圆心为F，半径． 对于选项A：由抛物线与圆的对称性可知，点M，N关于x轴对称， 若为直角三角形，则， 则直线MN过焦点F且与x轴垂直，则，圆的面积为，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C，D：设，由抛物线定义可知，， 又因为，则，所以直线PM的方程为， 与抛物线C：联立可得，，则， 故，所以直线PM与抛物线C相切， 由抛物线与圆的对称性可知直线PN也与抛物线C相切，故C正确，D错误． 故选：ABC．    【变式3】（2026·天津滨海新区·三模）已知圆：，过原点的一条直线与圆相切，且与焦点为的抛物线交于异于原点的点，若，则焦点的坐标为_____________． 【答案】 【分析】先求出切线方程，再将切线方程与抛物线联立求出点M的坐标，进而可以得到的值，从而能够得到焦点的坐标. 【详解】由题可知，圆的圆心坐标为，半径为 设过原点的直线方程为，该直线与圆相切，即圆心到直线的距离等于半径 ，解得，. 所以直线方程为 将直线方程与抛物线方程联立有， 所以由抛物线定义可知， 解得，. 所以焦点的坐标为. 【题型九】抛物线的弦长 【例9】（2026·福建莆田·模拟预测）若直线交抛物线于两点，则（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】已知抛物线方程，则焦点，准线为， 设， 联立直线方程与抛物线方程得， 则， 因为直线过焦点， 所以由抛物线焦点弦的性质可得． 【变式1】（2025·山西临汾·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，写出韦达定理得到，进而得到，再利用焦半径公式得到，求解出，最后再利用焦半径公式求值即可. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点为，设直线的方程为， 将直线的方程与抛物线的方程联立，设，且， ，消去x得， 由韦达定理得，则， 由焦半径公式得，， 因为，所以， 联立方程组，解得或（舍去）， 则，故D正确. 故选：D 【变式2】（2026·山东枣庄·二模）（多选）过抛物线的焦点，且斜率为1的直线交于两点，则______． 【答案】 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以直线的方程为，与抛物线方程联立， 得， ，设，， . 【变式3】（2025·广东江门·模拟预测）已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)若经过点且斜率为1的直线与交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意有，求出参数值，即可得方程； （2）由题意可得，联立抛物线，应用韦达定理和焦点弦长公式求. 【详解】（1）由题设，准线为，而焦点关于的准线的对称点为， 所以，可得，故； （2）    由（1）知，则直线，联立， 所以，可得，显然， 所以，，(的横坐标分别为)， 则. 【题型十】抛物线焦点弦的性质 【例10】（2025·云南玉溪·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，点为线段的中点，若点的横坐标为，，则（） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】根据抛物线定义，点到焦点的距离分别等于它们到准线的距离， 设，则， 由于为中点，所以， 又因为， 代入得，解得， 故选：. 【变式1】（2026·福建漳州·二模）已知A，B为抛物线上的动点，为AB中点且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先过点，分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，即可得解. 【详解】设抛物线的准线为，焦点为，则， 过点作于，过点作于，连接，， 设 ，根据抛物线的定义，， 因 是 中点，所以，故, ，得，解得， 当且仅当A，B，F 三点共线时等号成立. 所以的最小值为2. 【变式2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 【答案】4 【详解】抛物线 是标准抛物线，，得 ，因此焦点 ，准线 ，准线与轴交点 ， 设过的直线为 ，， 联立直线与抛物线方程： ，， 由韦达定理得：，， 因为在以为直径的圆上，故 ，即 ，， 代入得： ，将 代入化简， 结合韦达定理得，即 ，即 ， 当 时，直线为，代入抛物线得， 故 ，（也可由抛物线焦点弦公式 ）. 【变式3】已知梯形ABCD的四个顶点都在抛物线上，且，直线AB过抛物线E的焦点F. (1)若四边形ABCD为等腰梯形，求； (2)若直线AD与直线BC的交点为，求实数的值. 【答案】(1)4； (2)5． 【分析】(1)设AB方程为，与抛物线方程联立，设，根据韦达定理和中点坐标公式求出AB中点M坐标，同理设CD为(t≠1)，求出CD中点N的坐标，根据MN坐标关系结合AB⊥MN可得AB的位置关系，从而求得m的值，从而可求． (2)根据可得AB∥CD，可得，结合P的坐标可得，故求出A点横坐标和D点横坐标即可.易知P、M、N三点共线可求m的值，故可求A的坐标，联立PA与抛物线方程即可求D的横坐标，由此即可求得λ． 【详解】（1）由题可知直线AB斜率若存在，则斜率不为零，故可设直线AB为， 与联立得， 设，则， 则，则AB中点M为． ∵CD∥AB，则设CD为(t≠1)， 与联立得， 设，则， 则，则CD中点﹒ ∴M和N纵坐标相同，则MN⊥y轴， 又∵ABCD为等腰梯形，∴，∴AB∥y轴，即轴， ∴，； （2）∵，∴AB∥CD，又由图可知λ>0， 故， ∵，∴， 设M是AB中点，N为CD中点，∵AB∥CD，易知P、M、N三点共线， 则结合(1)中M和N的坐标可知，，∴， 则为，根据抛物线的对称性，不妨设点A在x轴上方，易得， ∴可求直线PA方程为：， 与抛物线联立可得， ∵，∴解得． 【题型十一】抛物线中的参数范围及最值 【例11】已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】结合抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 即直线是抛物线的准线. 抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和，也即是到直线与焦点的距离之和， 最小值为到直线的距离，即. 故选：A 【变式1】（2026·河北·三模）在平面直角坐标系中，设，若抛物线上存在点P，使得，则p的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆与抛物线有交点转化为方程有正实数根求解. 【详解】因为，， 所以点在以为直径的圆上， 而以为直径的圆的方程为， 又点在抛物线上， 所以圆与至少有一个交点，且交点横坐标大于， 即至少有一个正根， 即至少有一个正根， 所以，解得. 【变式2】（2025·上海黄浦·三模）抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为________． 【答案】 【分析】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，设､，把MN用a、b表示，在中用余弦定理把AB表示出来，就可以表示出并求最值. 【详解】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P， 设､，如图所示，根据抛物线的定义， 可知、， 在梯形中，有， 在中，， 又∵，∴， ∴， 故 的最小值是. 故答案为：. 【变式3】已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线被所截得的弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线方程，与抛物线方程联立，利用抛物线焦点弦长公式可构造方程求得，由此可得抛物线方程； （2）设，圆的半径为，利用面积公式，借助可求得，结合抛物线定义可知，由此可得，进而得到所求范围. 【详解】（1）由抛物线方程得：，可设过点且倾斜角为的直线为：， 由得：， 由抛物线焦点弦长公式可得：，解得：， 抛物线的方程为：. （2） 由（1）知：，准线方程为：； 设，圆的半径为，则，， ，又，； 由抛物线定义可知：，即，， 即的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，本题第二问求解的基本思路是能够将所求距离之积转化为关于圆的半径的函数的形式，通过抛物线定义确定的取值范围后，即可得到所求距离之积的取值范围. 【题型十二】抛物线中的定点、定值 【例12】（2026·四川巴中·一模）两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 则直线 恒过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线与抛物线方程，求出的坐标，然后求出直线的方程，进而可求出结果. 【详解】因为两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 所以分别联立直线与抛物线为： ，化简得和. 解得和，所以. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为. 化简得，所以直线 恒过的点是. 故选：D. 【变式1】（2026·浙江台州·二模）已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】C 【分析】设（），利用两点斜率公式求，再分别求即可判断. 【详解】因为点是抛物线上异于的动点， 故设（）， 则，， 对于选项A，，不是定值，A错误； 对于选项B，，不是定值，B错误； 对于选项C，，为定值，C正确； 对于选项D，，不是定值，D错误. 【变式2】（2024·四川宜宾·二模）已知为抛物线的焦点，过直线上的动点作抛物线的切线，切点分别是，则直线过定点__________. 【答案】 【分析】设，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点，从而可确定直线的方程，进而可得出答案. 【详解】设， 由，得，则， 则抛物线在点处得切线方程为， 即， 又，所以， 又因为点在切线上，所以，① 同理可得，② 由①②可得直线的方程为， 所以直线过定点.    故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 【变式3】（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线，过点的直线交E于A，B两点． (1)设，，证明：为定值； (2)过点的另一条直线交E于C，D两点，且，求的最小值． 【答案】(1)证明：直线不垂直于轴，设直线AB方程为， 由消去x并化简得， 则，因此， 所以为定值. (2)． 【分析】（1）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理计算得证. （2）由（1）求出，结合已知求出直线与的关系，再利用弦长公式列式，借助基本不等式求出最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 设直线的方程为，同理， 由，得，则， 又， 同理，则． 当时，，， 且当且仅当时取等号，当时，，， 所以的最小值为. 【解题大招01】直线与圆锥曲线联立通用解题法 所有直线与圆锥曲线综合题，统一执行 设线→联立→消元→判别式→韦达定理 五步模板。 1. 设直线：优先设，需单独讨论斜率不存在情况； 2. 联立曲线方程，消去 得到一元二次方程 ； 3. 必须写判别式：（保证有两个交点）； 4. 韦达定理列式： 5. 将题目所求（弦长、面积、最值、定点）全部转化为 整体代入。 【例1】已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点，联立方程并写出韦达定理关系式。 解：步骤1：联立方程 步骤2：代入消元 两边同乘8： 整理得： 步骤3：判别式验证 恒有交点，符合题意。 步骤4：韦达定理. 【解题大招02】圆锥曲线万能弦长公式 适用于椭圆、双曲线、抛物线任意相交弦，无需求交点坐标，整体代入韦达定理即可。 核心弦长公式： 补充技巧：直线斜率不存在时（），直接代入曲线求两点纵坐标差： 【例2】求直线 截椭圆 所得弦长 。 解：步骤1：调取韦达结果 步骤2：代入弦长公式 最终弦长： 【解题大招03】圆锥曲线三角形面积速算技巧 直线与圆锥曲线相交形成的三角形面积，优先使用弦长×高和水平宽铅垂高两种算法。 公式1（通用）： 为定点到直线 的距离。 公式2（铅垂法，高考最优解）： 【例3】已知直线 与椭圆 交于 ，求原点 与 构成的三角形面积。 解：步骤1：联立得方程 韦达定理： 步骤2：求弦长 步骤3：求原点到直线距离 步骤4：计算面积 面积： 【解题大招04】定点定值问题解题技巧 1. 特殊探点：先取特殊斜率、特殊位置，猜出定点/定值； 2. 一般证明：联立韦达定理，整体代入化简，消去参数； 3. 核心逻辑：结果与参数 无关，即为定点定值。 【例4】已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 ，证明：直线恒过定点（本题验证定点逻辑）。 解：直线方程 为斜截式， 无论 取何值，当 时，， 故直线恒过定点 。 【解题大招05】最值与参数范围解题技巧 1. 利用韦达定理将目标式转化为单变量函数； 2. 结合判别式 求出变量取值范围； 3. 利用二次函数、对勾函数单调性求最值。 【例5】已知直线 与椭圆 相交，求弦长 的最大值。 解：由前文得： 令 ，则： 平方后结合函数单调性可得：当 时，弦长取得最大值 。 即弦长最大值： 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2025·内蒙古包头·二模）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 2．（2025·广东·模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】   由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 3．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求得右焦点的坐标，渐近线方程，进而求得的坐标，可求的面积. 【详解】由双曲线，可得右焦点为，渐近线方程为， 因为直线经过且与轴垂直，所以直线的方程为， 所以直线与两渐近线的交点的坐标分别为， 所以，所以的面积为. 故选：C. 4．（2024·全国·模拟预测）已知直线与椭圆C：交于M，N两点，椭圆C的左、右焦点分别为，若，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率可得，结合条件可得，利用直角三角形知识可得答案. 【详解】易知，直线的斜率为且经过点， 所以直线的倾斜角为，直线经过点，则． 因为，， 所以，因为，所以， 因此，解得． 故选：B 二、多选题 5．（2025·广西柳州·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．面积的最大值为 D．椭圆C的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义与性质对选项进行分析，从而确定各选项的正确性. 【详解】如图： 依题意，， 所以的周长为，A选项正确； 若为椭圆上任意点，则，即， 当为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，B选项错误； 当为椭圆短轴顶点时，的面积最大，为，C选项正确； 椭圆的离心率为，D选项正确. 故选：ACD 三、填空题 6．（2024·全国·一模）若直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是______． 【答案】 【分析】由直线恒过定点，直线不可能与双曲线相切，只能直线平行与渐近线. 【详解】由于直线恒过定点，所以直线不可能与双曲线相切．要满足有且只有一个交点，直线必须平行于双曲线的渐近线，渐近线方程为，所以， 解得 故答案为： 四、解答题 7．（2025·河南·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程即可得准线方程， （2）根据两点斜率公式，求解直线方程，联立与抛物线方程，即可根据韦达定理以及焦点弦公式求解. 【详解】（1）因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为 （2）因为在的准线上，所以，即， 易得的坐标为，此时， 因为，所以，解得， 所以的方程为，设，， 联立消去并整理得，由韦达定理得， 所以 8．（2024·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 【答案】(1)；(2) 为定值． 【分析】（1）由渐近线的斜率设，再将代入求解即可； （2）分两种情况证明，当直线的斜率存在，设，与双曲线联立，根据韦达定理及得出，设点到直线的距离为，则由等面积法即可证明；当直线的斜率不存在，设直线的斜率为1，分别求出，即可证明． 【详解】（1）由题可设双曲线的方程为． 因为经过点， 所以，解得， 故的方程为． （2）若直线的斜率存在，设， 由，消去得， 则，即， 设，则， 因为，所以，即， 所以，整理得， 设点到直线的距离为，则由等面积法得，所以， 又，所以； 若直线的斜率不存在，则直线的斜率为， 不妨设直线的斜率为1，则， 将点的坐标代入方程，得， 所以， 所以． 综上，为定值． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·四川南充·二模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的右支交于点，.设与的内切圆圆心分别是，，直线，的斜率分别是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线的标准方程求出焦点、的坐标，再利用三角形内切圆的性质以及双曲线的性质，推导出、的横坐标，设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到、两点横坐标的关系，结合内切圆圆心的位置特点，求出、的纵坐标与、两点坐标的关系式，进而得到、的表达式，再计算. 【详解】由双曲线，得：，，， 所以焦点，， 过的直线与右支交于，，且， 设内切圆与边的切点为，根据切线长性质，有 ， 又，解得，， 以为起点向右移动4个单位得， 因此内切圆圆心在直线上， 设，，，不妨点在第一象限，同理， 由三角形面积公式：， 又的周长的一半， 内切圆半径，且，得， 由焦半径公式，代入得，故， 同理，于是 当直线的斜率不存在时， 可得，代入到双曲线方程中， 得，，此时； 当直线的斜率存在时， 设直线的斜率为，则， 代入双曲线方程得， 由韦达定理， 计算， ； ； 于是. 2．（2026·山西临汾·二模）椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式求出AB中点坐标M，将其代入直线方程即可求解. 【详解】设，线段AB的中点为， 若此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，则可设， 联立， 则即， 且，即， 中点在直线上， 所以. 二、多选题 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知点O为坐标原点，抛物线C：（）的准线方程为，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列选项中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则直线l的斜率为1 C． D．面积的最小值为8 【答案】ACD 【分析】由抛物线准线方程可求得抛物线方程，利用焦半径公式可求得A点坐标，即可判断A；设直线l的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，结合求得，即可求得直线斜率，判断B；利用焦半径公式结合基本不等式可判断C；表示出面积，结合基本不等式求得其最小值，判断D. 【详解】因为抛物线C：的准线方程为， 故， 故，焦点为，设， 对于A，，代入得，即 故，A正确； 对于B，，则， 当直线为时，，由此可判断时，直线的斜率存在且不等于， 设直线的方程为，联立可得：， 故，解得，满足，故B错误； 对于C，由B的分析可知，当直线为时，也有成立； 故， 当且仅当即时，取得等号，C正确； 对于D，不妨设A点在第一象限，则， 故的面积， 当且仅当时等号成立，即面积的最小值为，D正确. 三、填空题 4．（2026·甘肃金昌·三模）双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 【答案】30 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式列式求得，求得双曲线的标准方程，将直线与双曲线方程联立，结合弦长公式求得答案. 【详解】设，渐近线的方程为， 则到的距离，到的距离， 所以，又，所以， 所以双曲线的标准方程为. 由，得， 设，则， ，所以， 所以. 四、解答题 5．（2026·河南周口·三模）已知椭圆：的左焦点为，短轴长是长轴长的． (1)求的方程． (2)过点的直线与交于，两点，点，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明． ①直线与的斜率之和为定值； ②直线与的斜率之积为定值． 【答案】(1)椭圆的方程为； (2)命题①正确，定值为。 【分析】（1）由椭圆焦点得，结合短轴长与长轴长的比例关系及求解参数，即可得椭圆方程； （2）设过的直线方程与椭圆联立，利用韦达定理化简斜率之和的表达式，验证其为定值. 【详解】（1）由题意可知：解得因此椭圆的方程为 （2）命题①正确， 证明如下：当斜率不存在或斜率不为时， 设过的直线方程为，， 将直线方程代入椭圆方程得： ， 整理得， 由韦达定理得： ， ， 化简得, 当斜率为时，设，显然，故命题①成立. 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）根据题意，结合图形可得，，设，由求出的值，即得； （2）（ⅰ）依题设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用直线OA与直线OB的斜率之积为，列方程求得，即可得证； （ii）由（ⅰ）结合条件可得，求得点的坐标，写出直线MN的方程，与直线直线AB的方程联立，求得点的坐标，进而得到点的坐标，利用三角形的面积公式即可求得答案. 【详解】（1）记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是的垂心，所以，， 设，则，又，由可得 ， 解得或，所以． （2）（ⅰ）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 由，得，所以 ，，， 又直线OA与直线OB的斜率之积为，所以 ，解得， 所以直线AB的方程为，故直线AB过定点． （ⅱ）由题意知，可得，即，所以或， 当时，MN的中点为，直线MN的斜率为，方程为． 此时直线AB的方程为，由，得，解得或， 即，或，， 故，又，点到直线MN的距离为， 所以； 当时，同理可得． 综上，的面积为． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，，是椭圆上的动点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据几何关系，以及椭圆的定义，转化向量的数量积，即可求解. 【详解】， 其中，， ， 所以. 2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知椭圆与双曲线的焦距之比为，直线经过双曲线的一个焦点和椭圆的一个短轴端点，则截椭圆和双曲线所得的两条弦的弦长的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆与双曲线焦距之比为得到和在椭圆与双曲线中的关系，由此设出用表示的双曲线的右焦点和椭圆的上短轴端点，再使用两点式设直线方程，分别与椭圆与双曲线方程联立，各自解得两个含的交点坐标，再用两点间距离公式分别求椭圆和双曲线的弦长，最终作比即可求解. 【详解】由题意得椭圆的焦距为，双曲线的焦距为， 若焦距之比为，则有，即，解得， 在双曲线中，，即，，此时有，取双曲线右焦点， 在椭圆中，此时有，取椭圆短轴端点， 由题意得直线过和，则由两点式设直线，整理得，如图:    ①联立椭圆与直线：，整理得，解得或， 当时，，此时直线与椭圆的交点为， 当时，，此时直线与椭圆的交点为， 则椭圆的弦长， ②联立双曲线与直线：，整理得，解得或， 当时，，此时直线与双曲线的交点为， 当时，，此时直线与双曲线的交点为， 则双曲线的弦长， 故椭圆弦长与双曲线弦长的比值. 故选：D. 二、多选题 3．（2026·山东东营·模拟预测）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．点是圆（）上的任意一点，使得的重心在轴上．线段与轴的交点为．则下列说法正确的是（     ） A． 的取值范围为 B．三角形的面积是斜率的函数 C．当时，的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用重心坐标公式结合韦达定理得到，再利用圆上点的性质得到参数范围判断A，举反例并结合函数的定义判断B，结合题意得到直线和圆的位置关系，进而得到不等式，求解参数范围判断C，将表示为一元函数，再利用换元法与二次函数的性质求解最值判断D即可. 【详解】结合题意，可设， 对于A，设直线的方程为，则， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，， 由重心坐标公式得， 因为在轴上，所以，解得， 则，由题意得圆心坐标为，半径为， 因为点是圆上的任意一点，所以，解得， 则，得到斜率的取值范围为，故A正确， 对于B，当时，此时，此时，直线方程为， 此时，将代入中， 解得或，则或， 设到的距离为，由点到直线的距离公式得，， 而，则，而此时，， 由弦长公式得，为定值，即得到， 可得三角形的面积不可能是斜率的函数，故B错误， 对于C，由题意得的斜率为，的斜率为， 因为，所以，解得， 此时点在直线上，而点是圆上的任意一点， 可得直线与圆相交或相切，得到，解得， 则的最大值为6，故C正确， 对于D，由三角形面积公式得， 由线段共线的性质得，， 则， 由题意得，则，而， 可得， ， 则， 令，则，得到，则， 令，，当时，符合题意， 由二次函数性质得，当时，取得最大值，且， 则，可得，即的最小值为，故D正确. 三、填空题 4．（2026·湖南永州·三模）已知椭圆，，为的左、右焦点，过的直线交于，两点，的面积为，的内切圆与相切于点，若，则的离心率为__________． 【答案】 【分析】利用三角形面积可求得为椭圆短轴端点，再利用切线线相等的性质可求得，再结合椭圆的定义可求得，最后利用椭圆的第二定义推导的焦半径公式来表达相等关系，即可求得离心率. 【详解】由的面积， 代入椭圆方程得，即为椭圆短轴端点， 不妨取， 由椭圆的定义可得 ​的周长为， 根据内切圆切线长性质：， 由椭圆的定义得：，，， 则， 由得，即， 直线过)和，方程为， 联立椭圆方程，代入可得：， 解得点横坐标， 由椭圆右焦半径公式， 再代入可得：， 所以解得. 四、解答题 5．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过点． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i） 不是定值 （ⅱ）必过定点. 【分析】（1）根据题意，列出的方程组求出得解； （2）（i）设点 ， ， 设 联立椭圆的方程，进而将斜率表示出来，得到 ，与点的坐标有关，从而 不为定值. （ii）通过（i）中将斜率表示成，从而直线方程转化为从而直线过定点 【详解】（1）由题可知：，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i） 不为定值.理由如下. 设点， 设 ， 由 得， 由 ，得 ，解得 或 ， 又点 , 在 轴下方，则 ， 由韦达定理得 得 ，即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 不是定值. （ii） 由（i）得 则直线 的方程为 ， 即 ， 当 时，得 ， 所以必过定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $