精品解析：福建福州黎明中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷

福州黎明中学2025-2026学年第二学期期末考试卷 （高一数学） 姓名：________班级：________座号：________成绩：________ 注意事项： 1．答题前填好自己的姓名、班级和座号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数满足，则在复平面内的对应点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先对复数进行化简，进而可得到它在复平面内对应点的坐标，从而可得到答案． 【详解】由题意，，故在复平面内对应点为，在第一象限，故选A. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，及复数的几何意义，属于基础题． 2. 在△ABC中,A＝60°,AB＝1,AC＝2,则△ABC的面积＝ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用面积公式求解△ABC的面积即可. 【详解】. 本题选择B选项. 【点睛】本题主要考查三角形面积公式及其应用，属于基础题. 3. 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的知识确定正确答案. 【详解】正三角形的高为， 根据斜二测画法的知识可知， 直观图的面积为. 故选：B 4. 在平行四边形中，为边的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，求得，结合，即可求解. 【详解】如图所示，可得， 所以. 故选：D． 5. 从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（ ） A. 都是蓝球 B. 都是黄球 C. 恰有一个蓝球 D. 至少有一个蓝球 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的意义判断即可. 【详解】事件“至少有一个黄球”的对立事件是“没有黄球”，即都是“都是蓝球”， 所以与事件“至少有一个黄球”互为对立的是“都是蓝球”. 故选：A 6. 某圆锥的母线长为2，侧面积为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为r，高为h，根据侧面积，可求得r值，进而可求得圆锥高h，代入公式，即可得答案. 【详解】设圆锥底面半径为r，高为h，则底面圆周长为， 所以侧面面积，解得， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故选：C 7. 如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可. 【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为3的正方体. 如图所示.取的三等分点,连接，根据正方体性质，知道. 则为直线 与 所成角或补角. 连接，.根据正方体性质，知道． 在中，余弦定理知道，, 则直线 与 所成角的余弦值为. 故选：C． 8. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知摸到白球和红球的概率都为，12个月其中月份为偶数的概率为，由此可估计出回答问题1为是的人数，从而可求出回答问题2为是的人数，从而可求出答案. 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，从随机从袋子中摸取1个球， 所以摸到白球和红球的概率都为， 所以这500个人中回答问题1的人数约为，回答问题2的人数约为， 因为12个月其中月份为偶数的有6个，所以月份为偶数的概率为， 所以问题1回答为是的人数约为人， 所以问题2回答为是的人数约为人， 所以这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为. 故选：A 二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，为中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知条件可得点为的重心，然后由三角形的重心的性质逐个分析判断即可. 【详解】因为，则三点共线，且， 又因为为中线，所以点为的重心， 连接并延长交于，则为的中点， 所以， 所以∥ 故选：． 10. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的概念求解选项A，利用复数的几何意义求解选项B，利用共轭复数的概念求解选项C，利用复数的模求解选项D. 【详解】若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 若在复平面内对应的点位于第四象限， 则且， 解得，即，故B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确， 故选:BCD． 11. 如图，在棱长为4的正方体 中，为 的中点，为 的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线 与 为异面直线 B. 平面 C. 三棱锥 外接球的体积为 D. 二面角 的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义可以判断A，线面平行的判断定理可以判断A，构造长方体，求出外接球半径，从而可判断C，作出所求二面角的平面角，结合余弦定理即可求解，从而可以判断D. 【详解】对于A，在正方体 中，，所以四点共面，所以直线 与 不是异面直线，故A错误； 对于B，连接，交于点O，在正方体 中，易知点O为的中点，又为 的中点，为 的中点，所以，又，所以，故B正确； 对于C，在正方体 中，分别在上取中点，并依次连接，易知四棱柱为长方体，三棱锥 的外接球就是长方体的外接球，且外接球的直径为长方体体对角线的长， 又长方体体对角线长度为：， 所以外接球的半径为3，所以三棱锥 的外接球的体积为，故C正确； 对于D，连接，交于点O，在正方体 中，易知点O为的中点，连接EO，FO，因为都是等腰三角形，所以，所以为二面角 的平面角， 又， 所以由余弦定理可得，,故D正确， 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式求出底面半径，再结合母线长，利用勾股定理求出圆锥的高. 【详解】设底面半径为，母线长为， 因为侧面积，母线长， 所以 ，解得. 圆锥的高. 故答案为：. 13. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论，（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢；（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，即得解. 【详解】由题得恰好进行了4局结束比赛，有两种情况： （1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； （2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； 所以恰好进行了4局结束比赛的概率为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14. 在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点得，，再将用向量表示并结合的最小值为得，即到直线的距离为，再根据几何关系即可求得 【详解】取的中点，取，， ， 因为的最小值， 所以． 作，垂足为，如图， 则，又，所以， 因为， 所以由正弦定理得：，， 所以 ． 故答案为：. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中档题. 四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）若向量满足，，求向量的坐标. 【答案】（1）7；（2）. 【解析】 【分析】(1)先计算,再求模即可； （2）设，进而计算，，再根据垂直与共线的坐标关系求解即可. 【详解】解：（1）因为向量，，所以，所以 （2）设，， 因为，， 所以， 解得 所以 16. 5月22日第14届中美旅游高层对话开幕，中国文化和旅游部为推动文化志愿服务工作规范化，在所有报名参加中国文化推广的人员中面试选拔出“中国文化志愿者”，通过使用注册服务证对“中国文化志愿者”进行组织管理. 现随机抽取128名报名者的面试成绩，并分成五组，第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求 和 的值； （2）估计本次面试成绩平均分（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）根据要求，本次“中国文化志愿者”面试选拔录取率为 ，请估算被录取至少需要多少分. 【答案】（1）， （2） （3）84分 【解析】 【分析】（1）第三、四、五组频率之和为0.7，求，根据总频率之和为1，求出b； （2）运用中点值代表该组数据，运用平均值求法求出即可； （3）找出频率0.93对应分数，或者93%分位数即可. 【小问1详解】 由题图可知组距为10，因为第三、四、五组频率之和为0.7， 所以 ，所以 ， 所以 ，解得. 【小问2详解】 面试成绩平均数估计为 . 【小问3详解】 因为前三组频率之和为， 前四组频率之和为， 所以频率0.93对应分数落在区间 内， 那么， 解得 ， 所以面试选拔录取率为，至少需要84分. 17. 在中，内角，，所对应的边分别是，，，． （1）求角的大小； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）根据同角三角函数的基本关系求出，再根据两角和的正弦公式求出，最后由正弦定理计算可得. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理可得， 即， 因为，所以， 所以． 因为，所以，所以，又， 所以． 【小问2详解】 解：因为，，所以， 则 ． 因为，所以. 18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. （1）求证：//平面 （2）求证：平面 （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，结合正方形的性质，根据三角形的中位线的性质得，从而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的性质定理得，再根据等腰三角形的性质得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可； （3）由平面知直线在平面的射影为，根据线面角的定义可知即为所求的线面角，根据勾股定理分别求得，然后在直角三角形中，求得，即可得解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 由题意可得平面，又平面， 所以，又为的中点，，所以， 因为，，平面， 所以平面. 【小问3详解】 由（2）知平面，所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以，所以， 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以，即直线与平面所成角为. 19. 已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且. （1）求B的大小； （2）若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正余弦定理，将条件变形，求角的大小； （2）根据正弦定理，将周长表示为三角函数，根据函数的定义域，求周长的取值范围. 【小问1详解】 根据余弦定理可知，， 所以，即， 则,，所以； 【小问2详解】 设， 根据正弦定理可知， 所以,， 所以周长 , 因为,， 所以，所以， 所以的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州黎明中学2025-2026学年第二学期期末考试卷 （高一数学） 姓名：________班级：________座号：________成绩：________ 注意事项： 1．答题前填好自己的姓名、班级和座号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数满足，则在复平面内的对应点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在△ABC中,A＝60°,AB＝1,AC＝2,则△ABC的面积＝ A. B. C. D. 3. 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，为边的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（ ） A. 都是蓝球 B. 都是黄球 C. 恰有一个蓝球 D. 至少有一个蓝球 6. 某圆锥的母线长为2，侧面积为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，为中点，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在棱长为4的正方体 中，为 的中点，为 的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线 与 为异面直线 B. 平面 C. 三棱锥 外接球的体积为 D. 二面角 的余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的高为______． 13. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______． 14. 在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________． 四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）若向量满足，，求向量的坐标. 16. 5月22日第14届中美旅游高层对话开幕，中国文化和旅游部为推动文化志愿服务工作规范化，在所有报名参加中国文化推广的人员中面试选拔出“中国文化志愿者”，通过使用注册服务证对“中国文化志愿者”进行组织管理. 现随机抽取128名报名者的面试成绩，并分成五组，第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求 和 的值； （2）估计本次面试成绩平均分（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）根据要求，本次“中国文化志愿者”面试选拔录取率为 ，请估算被录取至少需要多少分. 17. 在中，内角，，所对应的边分别是，，，． （1）求角的大小； （2）若，，求． 18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. （1）求证：//平面 （2）求证：平面 （3）求直线与平面所成角的大小. 19. 已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且. （1）求B的大小； （2）若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $