福建福州市福九联盟2025-2026学年第二学期高一期末适应性练习数学试卷

2025-2026学年第二学期高中期末适应性练习 高中一■ 年数学科试卷 考试时间：7月8日 完卷时间：120分钟 满 分：150分 第1卷 选择题：本题共8题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 当中要 1. 已知集合A={x女>2}，B={1≤x≤3}，则AUB=() A.[1,3] B.(2,3] C.[l,+o) D.(2,+o) ! 2.已知复数z满足(1+i)z=-2, 则z的虚部为() A.-1 B.1 C.-i D.i 3.“x>y"是“nr>lny"的（)条件 A. 充分不必要 B.充要 C.必要不充分 D. 既不充分也不必要 4. 已知向量a=(2,x2),6=(x-1,1),若a+6)16,则2a-=() A.3 B.√6 C.2√6 D.√26 5.正四棱台上底面边长为4,1 下底面边长为6，侧棱长为3，则该四棱台的体积为() 76 52+V52 52+V525 A. B D. 762 3 3 6. 抽样调查得到20个样本数据，记作x,心，，x0,样本数据的平均数为9，方差5现去掉 个最大值13和一个最小值5，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是（) A.中位数一定不变 B.极差一定变小 C.方差一定变小 D,平均数一定不变 7. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件A为“第一次 朝上的面的点数为质数”，事件B为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则P(AUB)=（) 高一数学第(1)页共5页 A.2 C.m D.J 4 2 8.设△ABC的外心为O,若AOBC+2BO.CA+3CO.AB=0,sinC= im小，则co5A=() A. 6 D.56 12 B.55 c.75 18 24 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某保险公司为客户定制了5个险种，甲，一年期短险，乙，两全保险！丙，理财类保险：丁， 定期寿险：戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔。该保险公司对5个险种 的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是() >54周岁 费用 比例 7000 0.55h 6000 42.53 18-29 5000 0.33 周岁33%周岁20% 4000 3000 30-41 2000 周岁30% 1000 0.02 O 0.01北当☐ 参保人数比例 18-2930-4142-5354周岁以上0甲乙丙丁戊险种 不同年龄段人均参保费用 参保险种比例 A.18-29周岁人群参保总费用最少 B.30周岁以上的参保人群约占参保总人群的20% C.54周岁以上的参保人数最少 D.丁险种更受参保人青睐 10.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1,2,3,4的4张卡牌，现从中 依次不放回摸出两张卡牌，记事件A=“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件B=“摸出的两 张卡牌的编号之和为5”，事件C=摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的 是() a-君 B.P(C) C.事件A与事件B相互独立 D.事件B与事件C为互斥事件 高一数学第2)页共5页 IL.如图、在正方体ABCD-ABGD中，M是BD的中点，N是线段CD,上一动点，则下列说 法正确的有() A.三棱锥N-BAA的体积随着点N的位置的改变而随之变化. B.无论点N在何处，始终有B,D⊥平面ACN成立. C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为[0，V2] D.平面BDN截得正方体ABCD-ABCD的截面不可能是五边形， 第川卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知3"=√2，n=l1og6,则n-2m= 13.吉林市一中学有男生900人，女生600人：在“书香校园活动中，为了解全校学生的读书 时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均 值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15.结合上述数据估计该校学生每天读书时间 的方差为 14.在R△ABC中，C=,4C=l,AB=2,D是AB的中点，把aACD沿CD翻折到△ACD, 使得二面角A-CD-B的平面角为120°，则三棱锥A-BCD外接球表面积是 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知函数f)=Asin(5x+)(A>0,0<o<),f(x) 的部分图象如图所示，P,Q分别为该图象的最高点和最低点，点 P的坐标为(L,A). (1)求(x)的最小正周期及P的值： 2若点R的坐标为0，∠PR2=元，求A的值 高一数学第(3)页共5页 16.(15分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB延长线上的一点，∠BCD=30°，BC=2. (I)若BD=√2，求AB的长： (2)若CD=23,求△ACD的面积. B 17.(15分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正 p 方形，E为侧棱PC的中点。 (I)设经过A、B、E三点的平面交PD于F,证明：F为PD的 中点： (2)若PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2, (i)求证：平面BED⊥平面PAC:()求点P到平面ABE的距离. 18.(17分)人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、 延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基 于AI的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社 会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新某探究 小组利用AI解答了一些模拟试卷，收集其准确率，整理得 频率/组距 到如下频率分布直方图已知准确率在[80,85)内的试卷份数 0.06 为10 0.04 ()求出试卷总份数，并估计出准确率的中位数： 0.02 (2)如何利用A”是AI能否更好的造福人类的关键，基于此 80859095100准确率% 该小组进行了AI运用比赛，即用AI进行问题解答，并通过正确率来评定结果.甲、乙两名小组 成员进行AI运用比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直 进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛已知每局比赛中，甲获胜的概率为 a,乙获胜的概率为B,两人平局的概率为y（a+B+Y=1,a>0,B>0,y≥0)，且每局比 赛结果相互独立 高一数学第(4)页共5页 2 1 )若α，A5,y·求进行4局比赛后甲同学赢得比赛的概率 ()当y=0时，求比赛不超过5局就结束的概率（用α表示）. 19.(17分)如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=√3，点M为线段BC上的动点（不含 端点)，将△ABM沿AM折起，点B翻折至B位置，且使二面角B-AM-D的大小为60°. M (I)若N为棱B'D的中点，且满足CNI1平面BAM,求BM 的值： MC (2)若∠BAM=T,求三棱锥B'-AMC的体积： 6 (3)求二面角B'-CM-D的正切值的取值范围. 高一数学第(5)页共5页 2025-2026学年第二学期高中期末适应性练习 高一期末试卷答案 题号 1 2 4 6 8 9 10 答案 C B C D B 0 A ACD BC 题号 11 答案 BCD 12.1 13.108 8.【详解】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 对于△ABC的外心0，有性质A0B=)ABP,A0AC=ACP。 BC=AC-AB, 40c=40ac-6)-24c-21202-c), 同理可得oa-e2-a,co证=-b. 将上述结果代入AO.BC+2BO.CA+3CO.AB=0, 得d-c)+2xe-a)+3a-的)-6 2 化简得a2+c2=2b2. :mC.5n4,由正弦定理ac sim4=smC，得c=22a,即a2=2c2 2 将=x代入a1c=2,得=2水，即方-，放-5 2 由余弦定理，c0s4-b+c2-d,代入d=2x,=3c, 2bc 2 b+c-a 3c2+c2-2c2 1c2 得c0sA= 6 2bc 2x6 √6c212 XC 11.BCD 【分析】A选项，直角△BAA面积为定值，点N到平面BAA的距离为定值，进而判断体积： B选项，平面ACN即为平面ACD,再结合正方体特点判断；C选项，作出辅助线，得到 ∠MW即为直线MN与平面ABCD所成角，设大小为日，设NW=m,0≤≤2，分1≤m≤2， m=0和0<m<1三种情况，得到tan6的取值范围；D选项，当N为CD的中点，CN<WD,和 CN>ND,三种情况，画出平面BDN截得正方体ABCD-ABC1D的截面. 【详解】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面BA4的距离为定值， 等于正方体ABCD-ABCD的棱长，且直角△BAA面积为定值， 所以三棱锥N-BAA的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误： A D B: B选项，平面ACN即为平面ACD,而正方体中必有B,D⊥平面ACD;得到B正确： C选项，取CD的中点T,连接MT,则MT⊥CD,过点N作NW⊥CD于点W, 则NW /IDD,故NW⊥平面ABCD, 所以∠☑MW即为直线MN与平面ABCD所成角，设大小为O, 设正方体ABCD-ABC1D的棱长为2，则MT=1, 设WW=m,0≤m≤2， 若1≤m≤2，则CW=,WT=m-1, A D C A B 由勾股定理得MW=VM2+WT2=1+-1=2-2+2, N tan= WmM√m2-2+2 当m=2时，tan0取得最大值，最大值为√2， 当m=1时，tan6取得最小值，最小值为1，故tan6∈[1，V2, 若m=0,此时MNc平面ABCD,此时夹角为0，tanO=0, 若0<m<1,则CW=m,WT=1-, 由勾股定理得MW=VM2+wT2-V1+(1-m}=m2-2+2, WN 1 1 tan= 则 WmM√m2-2+2 显然 11、1 21 m22 此时tan8e(0,l), 综上，tan8∈[0，v2, 直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为O,V2,C正确： D选项，当N为CD,的中点时，平面BDN截得正方体ABCD-ABGD的截面为正△BDC1, A B A B 当CN<ND,时，延长DN交CC于点E,连接BE, 则△BDE即为平面BDN截得正方体ABCD-ABC1D的截面， A D B B 当CN>ND时，延长DN交DC于点F, 在平面AB,CD上，过点F作FP平行于BD,交C于点P,连接BP, 则四边形BDFP即为平面BDN截得正方体ABCD-ABC1D的截面， A B A :D 故平面BDN截得正方体ABCD-ABC1D的截面可能是三角形或四边形，D正确. 14. 61 9 【分析】根据给定条件，结合二面角的定义及球面的性质确定球心，进而求出球半径及球的 表面积 【详解】在t△ABC中，C=54C-LAB=2,则BC=5,BAC 3 由D是AB的中点，得CD=BD=AD=1,△4CD为正三角形，∠BDC= 3 令△BCD,△A'CD的外接圆圆心分别为O,O,连接AQ并延长交CD于E,连接EO, 则AELCD,0,B1CD,∠O,EO,是二面角A-CD-B的平面角，∠OB0,=号， 2元 BC Q8=4E- 在△BCD中，由正弦定理得D0,=CO,= =1 2元 6 sin 3 △0，cD是正三角形，O,B=5,在△QB0,中，由余弦定理得 6 令三棱锥A-BCD外接球球心为O,连接OO,OO,则OO⊥平面ACD,而CDC平面ACD, 则CD⊥00，同理CD⊥002，而00∩002=0,00,002c平面0Q0, 于是CD⊥平面O0,O,而CD⊥平面OEO,则平面OO,O与平面OEO重合， 即点O,O,E,O2四点共面，且这四点共圆，其直径为OE,由正弦定理得 OE= 00,√13 sin∠OEO,3 0,=6-0尽=-=三4-0D外接球半 6 6 所以三棱锥4-BCD外接球表面积S=4R?=61 故答案为： 61π 9 15.(13分)已知函数f)=Asm(5x+9(A>0,0<9<受)， f(x)的部分图象如图所示，P,Q分别为该图象的最高点和最 低点，点P的坐标为1，A) (1)求f(x)的最小正周期及9的值： 2诺点R的坐标为L0,∠R吧-，求A的值。 【详解】 2π (1)函数f)=Am(+9的最小正周期T =6 …3分 3 由P0,)为函数图象的最高点，得义1+孕=十2，kEZ,巧分 3 解得p=亚+2m,keZ, 。。。。。。。。。。。。。 …6分 6 而0<p<受，所以o= …8分 6 (2)由0为函数图象的最低点，P40,-,得点0的坐标为4.-，…9分 3 RI,O),PR⊥OR,又∠PRQ=三π，则∠ORx= …………11分 4 过点Q作9S1OR于点S,S(4,0),因此A=OS=RS=3.…13分 VA 16.【详解】 (1)在△BCD中，根据正弦定理可得 BD BC sin∠BCD sinD' 即sinD= BC.sin∠BCD2×sin30° Q √2 2 ,…2分 BD 由∠CBD为钝角，得∠D为锐角，所以∠D=45°， 所以∠ABC=∠D+∠BCD=75°，… …4分 所以AB= BC 2 。。。。。。。。 c0s75°c0s45°+30) …5分 2 = cos45°cos30°-sin45°sin30° 2 =2√6+2W2 √2V32、1 8分 2222 注：有第出c0(45430）=6-巨， 即可得2分) 4 (2)因为CD=2W3, 在△BCD中，由余弦定理得，BD2=BC2+CD2-2BC.CDcos.∠BCD,…9分 解得BD-2,… …10分 则∠D=∠BCD=30°，…11分 则∠ABC=60°，在△ABC中，AB=4,AC=2W3,…13分 所以a1CD的面积为s=4C-CDsm∠ACD-25x2s35 …15分 17.【详解】(1)证明：连结EF,AF. 因为底面ABCD为矩形，所以AB/ICD 又AB文平面PCD,且CDC平面PCD,所以AB/平面PCD.…1分 又ABC平面ABE,且平面ABEO平面PCD=EF,所以AB1/EF.…3分 又因为AB/CD,所以CD/EF.因为E为PC的中点，所以F为PD的中点.…4分 D （2)(i),PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,·PA⊥BD, 底面ABCD为矩形，∴AC⊥BD,… …6分 PAC平面PAC,ACC平面PAC,PA∩AC=A,·BD⊥平面PAC,…7分 BDC平面BDE,.平面BED⊥平面PAC.…8分 (ii)法1：PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,·PA⊥BC, 底面ABCD为矩形，∴AB⊥BC, PAC平面PAB,ABC平面PAB,PAAB=A,.BC⊥平面PAB.…9分 同理，AB⊥平面PAD. E B 取PB中点H,连EH, E是PC中点，.EH/BC,即EH=1且EH⊥平面PAB,…I0分 又AB的面积S=PAA5-2 1 四面体ABEP的体积V='-P趣=3SB班H= 2 3 11分 (注：若四面体ABBP的体积由'P=2 a年用，年心音钢2会、西架 2 Vx-PAB 又得1分) EF∥AB,EF⊥平面PAD,四边形ABEF为直角梯形 △4BE的面积S=ABAF=V.…13分 “四面体ABBP的体积=p-ABB=号Sd,√2， .点P到平面ABE的距离为√2. 15分 法2： PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,PA⊥AB,…9分 底面ABCD为矩形，.ABLAD,… …10分 :ADOPA=A,∴ADC平面PAD,PAC平面PAD .AB1平面PAD… 11分 又：PDC平面PAD .AB PD... …12分 由(1)知：F为PD的中点，且PA=AD, pD LAF.................... …13分 :ABOAF=A,∴ABC平面ABEF,AFC平面ABEF .PD⊥平面ABEF… …14分 所以PF即为点P到平面ABE的距离 因为F-m-D+an-万 .点P到平面ABE的距离为V2.… 15分 18.【详解】 (1)由频率分布直方图可得5×(0.02+0.04+0.06+a)=1,解得a=0.08;…1分 而准确率在[80,85)内的试卷数占样本总数的品 准确率在[80,85)内的试卷数为10，所以共有100套试卷： …2分 准确率在90以下所占比例为0.02×5+0.04×5=0.3， 因此中位数落在区间[90,95)内，设中位数为x, 由0.3+0.08×(-90)-0.5，得到x=92.5,… …3分 所以准确率的中位数为92.5%.… …4分 (2)(1)用事件A,B,C分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，…5分 则P到=a号P@=A-房cy=y 2 1 记“进行4局比赛后甲同学赢得比赛”为事件N, 则事件N=ABAA U BAAA ACCA CACAU CCAA …6分 ABAA,BAAA,ACCA,CACA,CCAA两两互斥，A,B,C相互独立…7分 P(N)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ACCA)+P(CACA)+P(CCAA) =2P(B)P(AP(A)P(A)+3P(C)P(C)P(A)P(A)…8分 =2+) …0分 625 (i)因为y=0,所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即B=1一a,…11分 记“比赛不超过5局就结束”为事件M, 则事件M=AAUBBABBB BABBABAABAAA, …12分 AA,BB,ABBB,BABB,ABAA,BAAA两两互斥，A,B相互独立I3分 所以P(M=P(AA)十P(BB)+P(ABBB)+P(BABB)+P(BAAA)+P(ABAA) =P(A)P(A)+P(B)P(B)+2P(A)P(B)P(B)P(B)+2P(A)P(A)P(A)P(B).................15 =02+(1-0)）2+2×a×(1-0)3+2×03×(1-0)=4a4+8a3.4a2+1.…17分 19.【详解】 (1)法1：取AB的中点T,连接NT,MT,则 NT-AD.NTIIAD 又.MC/IAD ∴.NT/MC …1分 .NT,MC确定一个平面NTMC 又因为CN/平面BAM,CWC平面NTMC,平面BAMO平面NTMC=TM, .CN//ZM.… …3分 又.NT/MC ∴.四边形NTMC为平行四边形 MC-NT-D-BC 即B/ …4分 MC 法2：在线段AD上截取AE=CM,由AD/CM, 可得四边形AMCE为平行四边形，则CE//AM, 又CE￠平面MB,AMC平面AMB,则CE//平面MB,…1分 因为CN1/平面BAM,又CN∩CE=C,则平面CEN/平面BAM,…2分 因为ENc平面CEN,所以EN//平面BAM,… …3分 又N为棱B'D的中点，所以E为AD的中点， 则CMAD三BC,即后 …4分 'MC (2)由∠BAM,4B=1,则8M-5AM-25,CM-2 3 …5分 6 3 过B作B'O⊥平面AMCD于点O,过O作OP⊥AM于点P,连接BP, 由B'O⊥平面AMCD,AMC平面AMCD,则B'O⊥AM, 又OP∩B'O=O,OP,OB'C平面OPB,则AM⊥平面OPB', 又BPC平面OPB,则B'P⊥AM,∴.∠B'PO为二面角B-AM-D的平面角， ∠BPO=60°，…7分 D M 在Rt△4BM中，BM= 34M=2 ,BA=1, 3 00十 年闺則谁明耳4卫明Q-WO-,ag厘二怕 + 39e4m·(g0)31士甲 /+I乙 00 +I忆O短 =0吧m‘6年/￥明Q-WO-&琪厘二识 个 +I乙.1+ 三1 …·1￡ 1+忆 =00哑a 80O0·‘00a-av能婚 IE 0 9 ☑ “ǒ士WOT000学科 2+个忆 1E =d,&+d0=da+d0=a0‘中QO8F张 2+z 个 =0g+ 1 =Od. :2+ =d,a此但￥厘。甲‘中N,&VH平 g[… (个0)311-=OWm‘1=V短泵(E) g0… Y个I” 入=T×E乙二pw9S叫 b乙乙 6… x=0g E W g8… 乙E个z =d,&‘此世战厘。甲 F&·W,a N