精品解析：福建省福州市闽侯县第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

闽侯一中2024-2025学年第二学期期末考试 高中一年数学科试卷 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 已知向量，，若与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，则求解． 【详解】解：因为与垂直，所以， 则， 得， 故选：A 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用反比例函数性质判断A，利用幂函数性质判断B，利用指数函数性质判断C，利用对数函数性质判断D即可. 【详解】对于A，由反比例函数性质得在区间上单调递减，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在区间上单调递增，故B正确， 对于C，由指数函数性质得在区间上单调递减，故C错误， 对于D，由对数函数性质得在区间上单调递减，故D错误. 故选：B 4. 已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取AC中点为G，连接EG，FG，可得为异面直线与所成的角或其补角，然后由勾股定理逆定理可得答案. 【详解】取AC中点为G，连接EG，FG，则， 又，则， 则为异面直线与所成的角或其补角， 又，则， 则异面直线与所成的角是. 故选：A 5. 某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直观图的画图原则画出原图图形，则可得出直角梯形的边长，再利用圆台的体积公式计算即可. 【详解】作出其平面图形，则在平面图形中，，， 则圆台的上底面半径，下底面半径，高， 则上底面面积，下底面面积， 由圆台的体积公式. 故选：C. 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，则（ ） A. 当时， B. 当时，事件与事件独立 C. 当时， D. 当时，事件与事件互斥 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法求出古典概率，再结合互斥事件、相互独立事件的意义逐项判断. 【详解】当时，样本空间(正正),(正反),(反正),(反反)，(正反),(反正)， (正反),(反正),(反反)， 对于A，是2次正面都朝上，是不可能事件，，A错误； 对于B，，则，B错误； 当时，样本空间(正正正),(正正反),(正反正),(反正正),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)， (正正反),(正反正),( 反正正),(正反反),(反正反),(反反正)， (正反反),(反正反),( 反反正),(反反反)， 对于C，，则，C正确； 对于D，事件与事件可以同时发生，D错误. 故选：C 8. 在中，，，，是边上的中线，则向量在向量上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，然后利用投影向量公式求解. 【详解】由题意得，， ， 根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量是. 故选：C 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 如果直线和平面满足，，那么 B. 已知平面和直线，若，，，，则 C. 已知平面和直线，若，， ，，则 D. 已知平面和直线，若，，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AB，由答案不完备即可判断；对于CD，分别由面面垂直、线面平行的性质判断即可. 【详解】对于A，如果直线和平面满足，，那么平行、相交或异面，故A错误； 对于B，已知平面和直线，若，，，，则或相交，故B错误； 对于C，由面面垂直的性质可知，若，， ，，则，故C正确； 对于D，由线面平行的性质可知，若，，，则，故D正确. 故选：CD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于原点对称 D. 直线是的图象的对称轴 【答案】AC 【解析】 【分析】A项，由图象即可得出的值；B项，由图象得出周期的长度，求出周期，即可得出的值；C项，写出的表达式，得出的表达式，令得出，即得出关于原点对称；D项，将代入表达式，求出，写出的对称轴满足的方程，得出不存在整数使得时，，进而得出结论. 【详解】由题意及图得， 在中， ，，故A正确， ∴，，故B错误， ∴， ∵图像过， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴的图象关于原点对称，C正确； 当时，， 当直线满足时，为的对称轴， ∴不存在整数使得时，，即， 故D错误； 故选：AC. 11. 已知内接于圆O，，设，则（ ）． A. B. 若，则圆O的面积为 C. 若，则圆O的面积为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形外心性质可判断A；利用同角三角函数的平方关系求出，利用余弦定理得到，再利用正弦定理求出外接圆的半径可判断B；利用三点共线得到为外接圆的直径可判断C；取的中点，上靠近的一个三等分点，由已知得三点共线，利用外心性质结合余弦定理可判断D. 【详解】设中角所对的边分别为，则， 对于A，因为内接于圆O，所以圆O是的外接圆， 即为各边垂直平分线的交点，设的垂直平分线与交于点，如下图： 则，故A正确； 对于B，若，则， 由余弦定理得，所以， 设外接圆的半径为， 则由正弦定理得，所以， 所以圆O的面积为，故B错误； 对于C，因为，若，则三点共线， 即外接圆的圆心在上，所以为等腰直角三角形， 则，外接圆的半径为，面积为，故C正确； 对于D，取的中点，上靠近的一个三等分点， 则， 因为，所以， 因为，则，所以三点共线，如下图： 因为，，， 所以在中，， 在中，， 所以，故D正确. 故选：ACD 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 某工厂生产三种不同型号的产品，数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取个产品进行分析，则型号产品被抽取的数量等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的计算公式求解即可. 【详解】由题意，抽取型号商品的数量为：. 故答案为： 13. 在中，角所对的边分别为，已知，且，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理及边长关系得到，根据余弦定理求出. 【详解】，由正弦定理得， 又，所以， 由余弦定理得. 故答案为： 14. 已知三棱锥，满足，，则三棱锥的外接球的表面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】设三棱锥外接球的半径为，先判断出为直角三角形，再判断出点在平面上的射影是的中点，在中，求出，在中，再根据勾股定理列出方程，求出，即可求出外接球的表面积. 【详解】 因为，且， 所以为直角三角形. 又因为，所以点在平面上的射影 是外接圆的圆心，即的中点. 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则有平面. 所以在中， 在中，， 所以由勾股定理可知，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 四､解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明､证明或演算步骤.） 15. 某企业拟从甲、乙两家工厂中选择一家作为供货商，现从两家工厂生产的产品中各抽取100件，并测量其质量指标值（指标值越大，代表质量越高），测量结果统计如下： 质量指标值分组 频数 40 60 平均数 63 83 方差 6 16 乙工厂 （1）求的值，并估计甲工厂产品质量指标值的样本平均数和样本方差（频率分布直方图中，同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）结合统计学知识为该企业推荐一家供货商． 【答案】（1），样本平均数75，样本方差129； （2）建议选择乙工厂生产的产品. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1，可计算出，再利用平均数和方差公式计算即可； （2）利用公式计算出乙工厂生产的产品质量指标平均数和方差，与甲工厂生产的产品质量指标数据比较大小，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，所以， 所以甲工厂生产的产品质量指标平均数为 ， 方差为. 【小问2详解】 乙工厂生产的产品质量指标平均数为， 方差为， 所以， 以样本估计总体，甲、乙两家工厂产品的质量指标平均数相当，但乙工厂生产的产品质量指标值方差比较小，产品质量比较稳定， 故建议选择乙工厂生产的产品． 16. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求得结果； （2）解法一：由结合辅助角公式化简可求出，则可得为等腰三角形，再由三角形的面积可求出，在中利用余弦定理可求得结果；解法二：同解法一求出，然后利用余弦定理求出，再利用极化恒等式可求得结果；解法三：同解法一求出，同解法二求出，然后利用平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍求解. 【小问1详解】 因为 ，所以 ， 由正弦定理得， 由余弦定理得 因为，所以. 【小问2详解】 解法一：因为， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以. 故. 所以， 所以. 在 中，由余弦定理可得 ， 即. 解法二： 因为 ， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以 . 故. 所以， 所以. 由余弦定理得：，所以 ， 又 由极化恒等式得： 所以 ，所以 解法三： 因为 ， 所以，则 即 又，所以，则 ，所以 . 故 . 所以 ， 所以 . 由余弦定理得： ，所以 由平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍得 所以 所以 17. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，求证，即可由线面平行判定定理得证； （2）先由（1）得为异面直线与所成的角或其补角，再在中，由余弦定理即可得解. 【小问1详解】 证明：连接交于，连接， 侧面为平行四边形，为的中点. 又点为的中点，， 又平面平面， 平面. 【小问2详解】 由（1）得为异面直线与所成的角或其补角. 在棱长均为2的正三棱柱中，，，， 在中，由余弦定理得， 异面直线与所成的角的余弦值为. 18. 某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答．若答对两道题目，则面试通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试．已知李明答对第一道题目的概率为，答对第二道题目的概率为，答对第三道题目的概率为，假设每道题目是否答对是独立的． （1）求李明第二次答题后结束面试的概率； （2）求李明最终通过面试的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设表示“李明答对第道题目”，，设表示“李明第二次答题后结束面试”，则，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式可求得结果； （2）设表示“李明最终通过面试”，则，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式可求得结果 【小问1详解】 设表示“李明答对第道题目”，．设表示“李明第二次答题后结束面试”， 则，且，互斥． 因为每道题目是否答对是独立的，所以与．相互独立，与相互独立， 于是． 【小问2详解】 设表示“李明最终通过面试”，则且互斥， 所以 ． 因此，李明最终通过面试的概率是． 19. 《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面． （1）求证：四面体为鳖臑； （2）若，，M是的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 【答案】（1）证明：如图，在平面内过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面，平面， 所以，所以为直角三角形， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为直角三角形， 所以四面体为鳖臑； （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）在平面内过点作于点，根据面面垂直得到平面，再利用线面垂直证明即可； （2）（ⅰ）取的中点，证明平面即可求解；（ⅱ）过点作，利用线面平行证明面面平行，再利用面面平行的性质定理得，设，利用相似三角形分别用表示，再利用勾股定理转化为二次函数求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）如图，取的中点，连接， 因为底面，底面，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角， 因为，，M是的中点， 所以，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为； （ⅱ）如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知，，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 设，则，， 易知，所以，即，得， 所以， 则当时有最小值 所以线段长度的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闽侯一中2024-2025学年第二学期期末考试 高中一年数学科试卷 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 5. 某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，则（ ） A. 当时， B. 当时，事件与事件独立 C. 当时， D. 当时，事件与事件互斥 8. 在中，，，，是边上的中线，则向量在向量上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 如果直线和平面满足，，那么 B. 已知平面和直线，若，，，，则 C. 已知平面和直线，若，， ，，则 D. 已知平面和直线，若，，，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于原点对称 D. 直线是的图象的对称轴 11. 已知内接于圆O，，设，则（ ）． A. B. 若，则圆O的面积为 C. 若，则圆O的面积为 D. 若，则 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 某工厂生产三种不同型号的产品，数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取个产品进行分析，则型号产品被抽取的数量等于______． 13. 在中，角所对的边分别为，已知，且，则的值为______． 14. 已知三棱锥，满足，，则三棱锥的外接球的表面积等于______． 四､解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明､证明或演算步骤.） 15. 某企业拟从甲、乙两家工厂中选择一家作为供货商，现从两家工厂生产的产品中各抽取100件，并测量其质量指标值（指标值越大，代表质量越高），测量结果统计如下： 质量指标值分组 频数 40 60 平均数 63 83 方差 6 16 乙工厂 （1）求的值，并估计甲工厂产品质量指标值的样本平均数和样本方差（频率分布直方图中，同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）结合统计学知识为该企业推荐一家供货商． 16. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 17. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 18. 某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答．若答对两道题目，则面试通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试．已知李明答对第一道题目的概率为，答对第二道题目的概率为，答对第三道题目的概率为，假设每道题目是否答对是独立的． （1）求李明第二次答题后结束面试的概率； （2）求李明最终通过面试的概率． 19. 《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面． （1）求证：四面体为鳖臑； （2）若，，M是的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $