精品解析：河北沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据1，2，3，4，5，那么这组数据的方差为（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C. 棱锥的所有侧面都是三角形 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 5. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中角，，所对的边分别为，，，满足，且．则的最大值为（ ） A. 6 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题是假命题的有（ ） A. 若一组数据为，，，，，，，，则该组数据的分位数是 B. 命题“，”的否定为“，” C. 设有一批产品，其次品率为，则从中任取件，必有件是次品 D. 若幂函数经过点，则 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 11. 如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（ ） A. 点的运动轨迹为一条线段 B. 直线与所成角可以为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某运动员在亚运会田径比赛中准备参加100米、200米两项比赛，根据以往成绩分析，该运动员100米比赛未能获得奖牌的概率为，200米比赛未能获得奖牌的概率为，两项比赛都未能获得奖牌的概率为，若该运动员在100米比赛中获得了奖牌，则他在200米比赛中也获得奖牌的概率为_______________. 13. 如图，在长方体中， 分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・ 14. 对任意两个非零的平面向量和，定义：，，若平面向量，满足，且和都在集合中，则__________，__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）； （2）若采用分层抽样的方法，从样本在［60，80）［80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率. 16. 设复数，为虚数单位）. （1）若为实数，求m的值； （2）若，且，求m的值. 17. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 （1）请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）； （2）机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令.机器人执行命令的正确率为，出错率为.当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为.如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？ （3）该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为.假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值. 参考公式：相关系数. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 19. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法计算. 【详解】. 故选：D 2. 目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这个家庭有女孩事件记为事件，这个家庭有男孩事件记为事件，进而根据古典概型计算公式和条件概率公式求解即可. 【详解】解：根据题意，一个家庭的三个孩子的性别情况共有：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）、（男男男）共8种可能的情况， 设这个家庭有女孩事件记为事件，这个家庭有男孩事件记为事件， 则事件包含：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女），共7种基本事件，故， 这个家庭既有女孩又有男孩的基本事件有：女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女），共6种，故， 所以这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是 故选：D 3. 已知一组数据1，2，3，4，5，那么这组数据的方差为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先由平均数的计算公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可． 【详解】由题可得； 所以这组数据的方差 故选：B. 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设个数据：的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，方差越小，波动越小． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C. 棱锥的所有侧面都是三角形 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义逐项分析即可 【详解】对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形， 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图： 对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误； 对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确； 对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误， 故选：. 5. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题可知，点在上， ， 又， ，解得. 故选：C． 6. 已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得B的大小.再利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围. 【详解】由题设知，， 由正弦定理得， 即, 又，所以，所以，得，所以， 又， 即，又锐角，所以，所以， 所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A 7. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解. 【详解】连接，设正四面体的棱长为2， 因为分别为的中点，则//， 所以异面直线，所成角为（或其补角）， 在中，则， 由余弦定理可得， 所以异面直线，所成角的余弦值为. 故选：A. 8. 已知中角，，所对的边分别为，，，满足，且．则的最大值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由正弦定理及两角和差得出,再由正弦定理边角互化结合辅助角公式计算即可. 【详解】中由正弦定理 , , , ,, ,时，的最大值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题是假命题的有（ ） A. 若一组数据为，，，，，，，，则该组数据的分位数是 B. 命题“，”的否定为“，” C. 设有一批产品，其次品率为，则从中任取件，必有件是次品 D. 若幂函数经过点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用百分位数的定义求解即可； 对于B，根据全称量词命题的否定是特称量词命题即可判断； 对于C，利用频率估计概率的定义即可判断； 对于D，利用幂函数的定义求解即可. 【详解】对于A：该组数据的分位数为第位和第位的平均数，故为，故A对； 对于B：命题“，”的否定为“，”故B错误； 对于C：次品率为该产品的估计值，从中任取件，不一定有件是次品，故C错误； 对于D：幂函数经过点，则，故D错误． 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】由向量共线的坐标运算可判断A；由向量的垂直的坐标运算可判断B；由向量数量积的坐标运算和的范围可判断C；由得，求出的范围可判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以， 因为，所以的值为，故B正确； 对于C，，因为， 所以，，所以的取值范围为，故C错误； 对于D，，所以，， 若，则，得， 解得，因为，所以，解得， 因为，所以无解，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（ ） A. 点的运动轨迹为一条线段 B. 直线与所成角可以为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】不妨设正方体的棱长为1，对于A：可证平面∥平面，进而可知，即可得结果；对于B：分析可知直线与所成角为，且，分析的长度即可；对于C：分析可知∥平面，根据平行的定值结合锥体体积公式分析判断；对于D：分析可知平面与正方体的截面为四边形，求长度即可得面积. 【详解】不妨设正方体的棱长为1， 对于选项A：取的中点，连接， 由题意可知：∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 又因为分别为的中点，则∥，可得∥， 且平面，平面，可得∥平面， 因为分别为的中点，则∥，且， 又因为∥，且，可得∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 由，平面，可得平面∥平面， 若∥平面，可知平面， 且侧面，侧面平面，可知， 所以点的运动轨迹为一条线段，故A正确； 对于选项B：因为点的运动轨迹为线段， 则直线与所成角为， 因为侧面，侧面，则， 在中，， 又因为，则有： 当为线段的中点时，取到最小值； 当为线段的端点时，取到最大值； 则，即，可知，故B错误； 对于选项C：由选项A可知：平面∥平面，且平面， 则∥平面， 且，可知点到平面的距离为定值， 即三棱锥的高为定值，且的面积为定值， 所以三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于选项D：取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥， 由选项A可知：∥，则∥， 所以平面与正方体的截面为四边形， 由题意可知：， 则等腰梯形的高， 所以截面的面积为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于证明平面∥平面，结合面面平行的性质分析点的运动轨迹，进而逐项分析求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某运动员在亚运会田径比赛中准备参加100米、200米两项比赛，根据以往成绩分析，该运动员100米比赛未能获得奖牌的概率为，200米比赛未能获得奖牌的概率为，两项比赛都未能获得奖牌的概率为，若该运动员在100米比赛中获得了奖牌，则他在200米比赛中也获得奖牌的概率为_______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据对立事件及条件事件的概率公式计算即可. 【详解】设在200米比赛中获奖为事件，在100米比赛中获奖为事件， 则, 所以， 则, 所以该运动员在100米比赛中获奖，在200米比赛中也获奖的概率是. 故答案为：. 13. 如图，在长方体中， 分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・ 【答案】 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，确定在直线，再根据时线段最短即可求解. 【详解】解：如图，连结， ∵分别为的中点， ∴平面，平面， ∴平面 ∵平面，平面， ∴平面， ∵，∴平面平面， ∵平面， ∴点在直线上，在中，， ∴当时，线段的长度最小，最小值为＝. 故答案为：. 14. 对任意两个非零的平面向量和，定义：，，若平面向量，满足，且和都在集合中，则__________，__________． 【答案】 ①. ##0.25 ②. 或 【解析】 【分析】设与的夹角为，分析可得，进而可得，且，分析可得，即可得或1，结合向量夹角公式运算求解. 【详解】设与的夹角为， 因为和都在集合中，所以其取值可能为， 因为，则， 可得， 因为，即，可得，所以； 又因为，即，解得， 因为， 可得，即或1， 当且时，即且， 可得，所以； 当且时，即且， 可得，所以； 综上所述：或. 故答案：；或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）； （2）若采用分层抽样的方法，从样本在［60，80）［80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率. 【答案】（1），58分钟；（2）. 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可得到的值；再将各区间的中点值乘以对应的频率，并求和，即可得到答案. (2) 样本在［60，80）［80，100]内的学生的频率为0.3,0.2，即样本在［60，80），［80，100] 采用分层抽样的比例为3:2，再结合古典概率即可求解得出答案. 【详解】（1）由可得； 这1000名学生每日的平均阅读时间，分钟； （2）由于，因此，［60，80）抽取了3人a，b，c，抽取了2人d，e， 则再从中抽取2人共有10种不同的抽取方法， 抽取的2人来自不同组共有6种可能，因此抽取的2人来自不同组的概率为. 16. 设复数，为虚数单位）. （1）若为实数，求m的值； （2）若，且，求m的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先化简，然后令其虚部为零，可求出m的值； （2）先求出复数，再由列方程可求出m的值 【详解】（1）由于， 所以，解得； （2）由于， 所以，解得. 17. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 （1）请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）； （2）机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令.机器人执行命令的正确率为，出错率为.当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为.如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？ （3）该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为.假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值. 参考公式：相关系数. 【答案】（1），可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用公式求出即可判断； （2）根据全概率公式及条件概率公式求解即可； （3）根据题意表示出小李挑战成功的概率为，再结合基本不等式及二次函数的知识求解即可. 【小问1详解】 由表知，， ， ， ， ， 则， 由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强． 【小问2详解】 设事件为机器人执行命令正确”，事件为“机器人执行命令错误”， 事件为“使用者不满意”， 则，， ，， 则， 所以. 【小问3详解】 当小李答对题数为3时，概率为： ， 当小李答对题数为4时，概率为：， 所以小李挑战成功的概率为：， 由，，， 则，当且仅当时等号成立， 所以，由二次函数的知识可知， 当时，小李挑战成功的概率最大，最大为. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出，进而得出角的值. （2）根据题意和正弦定理可得出边长a的值，再由第一问和余弦定理得出b和c的关系，结合基本不等式即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 由得，， 所以，又，所以， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 由外接圆的半径为，则得， 由余弦定理得，，即， 所以，解得. 所以，故面积的最大值为. 19. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3). 【解析】 【分析】(1)利用中位线构造平行四边形，证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； (2)先证平面，再根据面面垂直的判定定理得面面垂直； (3)几何法求解点到平面的距离，先作出并证明表示所求距离的线段，再利用三角形面积公式求线段长. 【详解】证明：取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点， 所以，且． 由已知，，所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面，所以平面． （2）在正方形中，．又由题知， 直线，在平面内，且相交于点，所以平面， 又平面，所以平面平面，即平面平面. (3)在直角梯形中，，，可得，． 在中，， 所以．所以． 由(2)知，平面与平面垂直且交线为，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 过点作的垂线交于点，则平面 所以点到平面的距离等于线段的长度 在直角三角形中， ， 所以 所以点到平面的距离等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $