河北沧州市沧县中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第九章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1,复数之=一5十81的虚部为 i A.5i B.8 C.-5 D.5 2.已知向量a=(2,1),b=(m,一1)，a⊥(a-b),则m= A.3 B.-2 C.-1 D.6 3.若甲、乙、丙、丁、戊五组数据（每组均含200个数据）的方差分别为42,39,51,45,37，则 A.乙组数据的波动最小，丙组数据的波动最大 B.戊组数据的波动最小，甲组数据的波动最大 C.丙组数据的波动最小，戊组数据的波动最大 D.戊组数据的波动最小，丙组数据的波动最大 4.已知a,B,Y,p是四个不同的平面，aB,YLp,且a,B将空间分成m个不同的部分，Y,e将空 间分成n个不同的部分，则 A.m=2,n=3 B.m=3,n=2 C.m=3,n=4 D.m=4,n=3 5.为了测量某大楼的高度AD,某社会实践小组选取与点A在同一水平 D 面的B,C两点作为测量点，测得BC=60米，∠ABC=45°，∠BCA= 105°，在C处测得楼顶D的仰角为45°，则该大楼的高度AD约为 A.83米 B.85米 C.87米 D.89米 6.若球O被一个平面截得的截面圆的面积为5π，且球心O到该平面的距离为2，设A为球O 的球面上的动点，B为截面圆圆周上的动点，则A,B两点间距离的最大值为 A.√30 B.5+√5 C.√/35 D.6 【高一数学第1页（共4页）】 7.如图，四边形ABCD与ABFE均为矩形，AE=1,AB=DE=2,将矩形 A ABFE沿EF边翻折，使得二面角B-EF-D为60°，则翻折后点F到平 面BCD的距离为 A B③ C.1 D② 2 8.若数据c1,x2,…,x1o的方差为15，数据y1,y2,,y150的方差为10，则数据x1,x2,…, x100,y1,y2,,y150的方差的最小值为 A.10 B.12 C.13 D.15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知一组样本数据为9,9,9,10,10,11,12,12,13,15，则 A.该组样本数据的众数为9 B.该组样本数据的中位数为11 C.该组样本数据的平均数为11 D.该组样本数据的第35百分位数为10 10.已知之1十之2=1十3i,之1一之2=3一i,则 A.z1之2∈R B.z1|=|z2| C.(z1-1)6=81 D.之2在复平面内对应的点位于第二象限 11.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1每条棱的长度均为2，D为棱AB的中 E 点，DE⊥底面ABC,点E在平面A1B1C1的上方，且DE=3,则 A.平面CDE⊥平面ABB1A: B.四面体ACDE外接球的表面积为13元 C.直线CE与直线A1B1相交 D.四面体ACDE与正三棱柱ABC-A,B,C,的公共部分的体积为43 27 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某实验室研发超导量子芯片、硅基自旋量子芯片、光量子芯片这三类芯 片，其数量之比为5：3：2.现按芯片类型进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取容量为 40的样本进行性能稳定性测试，则样本中超导量子芯片与光量子芯片的数量之差 为▲ 13.如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是直角梯形 OA'B'C',且OA'∥B'C',OA'=2B'C=4,A'B=2,将该平面图形 OABC绕OC边旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积 为▲一 A′ 14.在△ABC中，AB=AC=1,∠A=120°，E,F分别是AB,AC上的点，且AE=λAB,A京= AC,λ，4∈(0,1)，且入十4=1，则川EB+FC1的最小值为 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知AB,CD是圆柱下底面圆O的两条直径，AA1,BB1均为圆柱的母线，AA1=2OA=2. (1)求该圆柱的侧面积； (2)证明：B1C平面AA1D B D A B 16.(15分) 已知D为△ABC中BC边上的点，且AD-}A+AC (1)证明：BD=3DC. (2)若AB⊥AC,且BA在BC上的投影向量等于DC,求AB与BC的夹角. 17.(15分) 为了解居民用水情况，某市水务部门随机调查了1000户居民的月用水量（单位：吨），发现 这些数据均分布在区间[5,35]内，现对这1000个数据进行整理，并据此绘制频率分布直 方图. (1)求图中a的值； (2)为促进节约用水，该水务部门将对居民用水价格进行调整，拟确定一个用水量临界值，使 得80%的居民月用水量不超过该值，求该临界值（单位：吨，结果精确到小数点后一位）； (3)已知该市有20万户居民，若每组的数据用该组区间的中点值作代表，试估计该市居民月 用水的总量 ◆频率/组距 0.07 0.05 0.04 0.02 5101520253035月用水量/吨 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分)》 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cosB=bsin(-A). (1)求角B的大小： (2)若△ABC的面积为8√3，且b=6,求△ABC的周长； (3)若a=2,D在边AC上，BD是∠ABC的角平分线，求BD-子AB的最大值。 19.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,且AB⊥BC. (1)若AD/平面PBC,证明：AD⊥PB. (2)设平面PAD⊥平面PCD. (i)证明：CD⊥AD (ⅱ)若1≤AD≤√3，求二面角A-PC-D的正弦值的取值范围. D B 【高一数学第4页（共4页）】高一数学参考答案 1.D因为之=-5+81=8+5i,所以之的虚部为5. 2.A因为a-b=(2-m,2),a⊥(a-b),所以a·(a-b)=4一2m+2=6-2m=0,所以m=3. 3.D因为37<39<42<45<51，所以戊组数据的方差最小，丙组数据的方差最大，故戊组数据 的波动最小，丙组数据的波动最大 4.C因为aB,所以a,β将空间分成3个不同的部分，因为y⊥p,所以y,9将空间分成4个 不同的部分，故m=3,n=4. 5.B∠BAC=180°-（∠ABC+∠BCA)=30°，由正弦定理得BC AC sin∠BAC=sin∠ABC,代入数 据解得AC=60√2米，因为在C处测得楼顶D的仰角为45°，所以∠ACD=45°，则AD=AC =60√2≈84.84米，故该大楼的高度AD约为85米 6.D设截面圆的半径为r,球O的半径为R,则πr2=5π，解得r=√5，所以R=√22十(5)2= 3,故A,B两点间距离的最大值为2R=6. 7.C翻折前，EF⊥BF,EF⊥CF,翻折后，EF⊥BF,EF⊥CF, 则∠BFC为二面角B-EF-D的平面角，即∠BFC=60°，易证 EF⊥平面BCF,又EF∥CD,所以CD⊥平面BCF,因为BF B 平面BCF,所以CD⊥BF.因为BF=AE=1,CF=DE=2, 所以由余弦定理得BC=√3，则BC2+BF=CF2,所以BC⊥ BF,又CD∩BC=C,所以BF⊥平面BCD,故翻折后点F到平面BCD的距离为BF=1. 8.B设x1,z2,…,x1oo的平均数为x,y1y2,,y1o的平均数为y,总体的平均数为之，总体 的方若为，调-90+-=号[15+G-门+10+G-门 [15+号G-]+[10+若G-]=12+G-)≥12，当且仅当=时，等 号成立，所以数据x1,x2,…,x10y1y2,…,y10的方差的最小值为12. 9.ACD样本数据的众数为9，中位数为101-10,5，平均数云=0×(9+9+9+10+10+ 2 11+12+12+13+15)=11,A,C均正确，B错误.因为10×35%=3.5，所以该组样本数据的 第35百分位数为10，D正确. 10.BD因为之1十之2=1十3i,之1一之2=3-i,所以之1=2+i,之2=一1+2i,则z122=一4十3i, |之1|=|之2|=√5，之2在复平面内对应的点位于第二象限，A错误，B,D均正确.(1一1)= (1+i)6=[(1+i)2]3=(2i)3=-8i,C错误. 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 11.AB在正三棱柱ABC-A1B,C1中，AA1⊥底面ABC,则AA1⊥CD.因 为D为棱AB的中点，所以CD⊥AB.又AA,∩AB=A,所以CD⊥平 面ABB1A1.因为CDC平面CDE,所以平面CDE⊥平面ABB1A1,AA∠ 正确.取棱AC的中点M,设四面体ACDE外接球的球心为O,连接 OM,DM,OD.易知OML底面ABC,DM=2BC=1,OM=-2DE= 号，所以OD=DM+O-号，所以四面体ACDE外接球的表面积A 为13π，B正确.直线CE与直线A1B1异面，C错误 M 设DE与A1B1交于点H,AE与A,B1交于点F,CE与HC1交于点G,连接FG,则四面 体ACDE与正三棱柱ABC-A,B,C1的公共部分为三棱台FGH-ACD,△ACD的面积S= 合×得×g-停因为器提-号号所以△GⅢ的面积为()》八s-得所以三 棱台GH-ACD的体积v-吉×2x(侣++√停×语)-1， 27,D错误. 12.12样本中超导量子芯片、光量子芯片的数量分别为40×5十3十2=20,40X写+3+2=8， 则样本中超导量子芯片与光量子芯片的数量之差为20一8=12. 13.1122x因为AB=2.所以0C'=V2+2=22,所以0C=4/2,由∠AOC'=45得 A0LC0,所以该旋转体为圆台，其体积V-x2+4+2×0X4v2-山2Y2。 3π. 14.2 7 因为E克+F元=(1-X)Ai+(1-)AC,AB.AC=1X1Xcos120=- 2, 所以(EB+FC)2=(1-λ)2+2(1-A)(1-4)AB·AC+(1-μ)2=(1-λ)2-(1-λ)(1- μ)+(1-μ)2，因为入十4=1，所以1一入=4， 则(E+F心2=(4r)2-4u1-)+(1-)=2r2-6+1=21(-号）}°+号 当以=7入=号时，(E店+F心)取得最小值，且最小值为，故E店+F心的最小值为 2√7 7 15.(1)解：因为AA1=2OA=2,所以该圆柱的高为2，底面半径为1，… …2分 A 则该圆柱的侧面积为2πrh=4元.…5分 (2)证明：连接BC.因为AA1,BB1均为圆柱的母线，所以AA1BB1, D …6分 又AA,亡平面BB,C,BB1C平面BB1C,所以AA1平面BB,C.… B …7分 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 连接AC,BD.因为AB,CD是圆O的两条直径，所以AO=OB,CO=OD,所以四边形 ACBD是平行四边形，… …9分 所以AD/∥BC,…10分 又AD中平面BB,C,BCC平面BB1C,所以AD平面BB1C,…11分 因为AA1∩AD=A,所以平面AAD/平面BB,C.…12分 又B,CC平面BB,C,所以B,C平面AA1D. 13分 16.(1)证明：因为AD=A店+A心，所以4AD=A店+3AC,所以AD-A店=-3AC-3A, 2分 即BD=3DC, 4分 所以BD=3DC. …5分 (2)解：BA在BC上的投影向量为|BA|cosB· BC IBCI …7分 由1)知D心=B心， 8分 ‘=d- 所以1B1osB·B交 9分 即|BAlcos B=-|BC,即BC=4 BAcos B,. …10分 又AB⊥AC,所以BA=BCcos B,即BA=4 BA cos2B,…11分 所以cos2B=},又0°<B<90,所以cosB=号 7”●。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。0年。。。。。∠ 所以B=60°，…13分 所以A店与BC的夹角为180°-60=120（或）. …15分 17.解：(1)因为5a十0.05×5+0.04×5+0.07×5+0.02×5+5a=1,…2分 所以a=0.01. … …4分 (2)设该临界值为x吨.因为前3组的频率之和为0.5，前4组的频率之和为0.85，·6分 所以x∈(20,25).…7分 由(x-20)X0.07=0.8-0.5=0.3,… 8分 得.x=170 7今≈24.3，即该临界值为24.3吨 10分 (3)这100户居民的月用水量的平均值的估计值为5×0.01×5+10 2 ×0.05×5+ 15+20×0.04×5+20+25×0.07X5+2530×0.02×5+30135×0.01×5=19.25, 2 2 2 2 13分 所以估计该市居民月用水的总量为19.25×20=385万吨. .…15分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 18.解：(1)因为(2c-a)cosB=bsim(2-A）, 所以(2sinC-sinA)cosB=sin Bcos A, 2分 所以2 sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A十B)=sinC,…3分 1 因为sinC≠0，所以cosB=2,… 4分 又B∈(0，x,所以B=子 …5分 （2)因为S=2csnB=2acX停-8v5,所以ac=32, 6分 由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B,得36=a2十c2-32,即a2十c2=68,…8分 又因为(a十c)2=a2+c2+十2ac=l32,所以a十c=2√33，…9分 所以△ABC的周长为2√/33十6.…10分 (3)因为BD是∠ABC的角平分线，所以∠ABD=∠CBD= 6, …11分 由S6=Sam+Sam得2(AB+BC)·BDsn若=号AB·BCsin子， …12分 又BC=a=2,所以BD= 2√3AB 2+AB' …13分 所以BDAB-2821EAB=25-(行AB+2B) 4w3 2+AB …14分 因为AB+48B-子2+AB)+8号8层×4有-日-25-· 1 …15分 当且仅当AB=43一2时，等号成立， …16分 所以BD-AB≤23-23+号，故BD-号AB的最大值为23-2万+ .…17分 19.（1)证明：因为PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥BC,…1分 因为AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,…2分 因为AD平面PBC,ADC平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD =BC,所以AD∥BC,…3分 所以AD⊥平面PAB,因为PBC平面PAB,所以AD⊥PB. … …4分 D (2)(i)证明：如图1，过点A作AQLPD,垂足为Q.…5分 因为平面PAD⊥平面PCD,平面PAD∩平面PCD=PD,所以 AQ⊥平面PCD,… 6分 B 因为CDC平面PCD,所以AQ⊥CD.…7分 图1 又因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD,因为PA∩AQ=A,所以CD 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 ⊥平面PAD,… 8分 因为ADC平面PAD,所以CD⊥AD.…9分 (iⅱ)解：如图2，过点D作DE⊥AC,垂足为E,过点E作EF⊥CP,垂足为F,连接DF. ……………0……*……………]0分 因为PA⊥平面ABCD,DEC平面ABCD,所以PA⊥DE,因为 PA∩AC=A,所以DE⊥平面PAC,…11分 因为PCC平面PAC,所以DE⊥PC,又EF⊥PC,DE∩EF=E, 以PC⊥平面DEF,因为DFC平面DEF,所以PC⊥DF,… …12分 所以∠DFE为二面角A-PC-D的平面角.…13分 A 由(i)知CD⊥AD,所以CD2+AD2=AC2=4,设AD=m(1≤m B ≤3)， 图2 则CD=√4-m,所以DE=AD,CD-mV4-m AC 2 …14分 PC-2/2,PD-V4+m,DF-PD.CD_/16-mT PC 2√2 m√4-m2 则sin∠DFE=DE 2 √2m DE 15分 √16-m √4+m2 2√2 √2m √2 又 4+m 三，所以sin∠DFE随着m的增大而增大， 4 Vm3+1 当m=1时，sin∠DFE= 5, 当m=V3时，sin∠DFE=V42 , 16分 所以二面角ACD的正弦值的眼值范围为[平，俨] 17分 【备注】第(2)（ⅱ）问也可以在图1中过点Q作QF⊥PC,垂足为F,连接AF(图略)，则 ∠AFQ为二面角A-PC-D的平面角. 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】