第二章一元二次方程 假期自主提升综合练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一元二次方程全章核心，通过基础概念、解法应用、实际与几何综合及新定义探究，系统覆盖概念生成、解法迁移与模型构建，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-4、填空11|二次项系数转化、求根公式逆用、根的定义辨析|从方程形式到根的意义，构建概念认知链| |解法应用|选择5、填空12-14|判别式、根与系数关系、换元法|从代数运算到方法迁移，强化推理意识| |实际与几何综合|选择6、9-10、填空15、解答20-22|比赛场次、利润问题、三角形面积、古代几何解法|从现实情境到几何模型，发展应用意识与几何直观| |新定义与探究|选择7-8、填空16-17、解答18-19、23-24|列表法、新运算、动态几何、含参方程|从创新情境到综合探究，提升创新意识与批判性思维|

第二章一元二次方程 假期自主提升综合练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册 一、选择题 1.把方程的二次项系数化为1，可得方程（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质处理。 【详解】解；等式两边同时除以3，得，故选：A。 2.在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义。 根据求根公式，可找出a，b，c的值，从而可求解。 【详解】解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为， ∴， ∴该一元二次方程为，故选：B。 3.若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（   ）。 A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键。 根据当时，；当时，作答即可。 【详解】解：∵把代入得：， ∴方程的一个解是， ∵把代入得：， ∴方程的一个解是， 故选：C。 4.方程与求根公式中相对应的的值分别是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程一般式，确定二次项系数、一次项系数与常数项，掌握一元二次方程的一般形式是解题关键。 将方程化为标准形式后，确定各项系数即可。 【详解】解：将方程化为一般形式得： ， 此时，二次项系数，一次项系数，常数项， ∴对应的，，的值分别是，，， 故选：B。 5.如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（   ）。 A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式。 利用一元二次方程根的判别式列不等式求解，然后进行验证即可。 【详解】解：根据题意得，当时， ， 解得，且； 当时，原方程为一元一次方程， 解得，有实数根； 综上，当时，原方程有实数根， 故选：B。 6.2023年国际篮联篮球世界杯比赛小组赛在印度尼西亚、日本以及菲律宾同时进行。若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍都赛1场），单循环比赛共进行了15场，则该小组参加比赛的队伍共有（  ）。 A．7支 B．6支 C．5支 D．4支 【答案】B 【详解】设该小组参加比赛的队伍共有x支， 根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴该小组参加比赛的队伍共有6支。 7.列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（  ）。 -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D -【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义。 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案。 【详解】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D。 8.对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ）。 A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键。 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故选：C。 9.如图，在中，，过点A作，垂足为D，，，则的长度（   ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的性质和判定，熟知相关知识点是正确解答此题的关键。 作于，由勾股定理求出，进而求得，根据面积相等及勾股定理建立方程即可求解。 【详解】解：作于， ， ， ， ， ，， ， ， 设，， 由勾股定理得， 即， 由面积得， 即， ， ， 解得（负值已舍去）， 故答案为：C。 10.我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法。以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此。在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键。 根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案。 【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8， ∴图2是， 即的几何解法， 故选：C。 二、填空题 11.下列方程是一元二次方程的是 。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【答案】（5） 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程。 【详解】解：（1），不是整式方程，不是一元二次方程； （2），含有2个未知数，不是一元二次方程； （3），不是整式方程，不是一元二次方程； （4），未知数的最高次数为3，不是一元二次方程； （5），是一元二次方程； （6），当时，是一元二次方程； 故答案为：（5）。 12.已知，是一元二次方程的两个根，则 。 【答案】1 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，代入计算即可。 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ∴， 故答案为：1。 13.已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是_________。 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且，计算即可。 【详解】∵一元二次方程没有实数根， ∴且， 解得， 故答案为：。 14.关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是 。 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据关于x的方程的解是，得出或，即方程的解是。 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程的解是， ∴或， ∴方程的解是， 故答案为：。 15.已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 。 【答案】 【详解】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，求出已知方程的解，确定出等腰直角三角形斜边上的高，利用三线合一得到此高为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出斜边的长，熟练掌握性质是解题的关键。 【解答】解：方程， ， 解得：或（舍去）， ∴等腰直角三角形斜边上的高为，即为斜边上的中线， 则这个直角三角形斜边的边长为， 故答案为：。 16.对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；若，则_________。 【答案】或2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用。正确理解题意是解题的关键。 由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，计算求出满足要求的解即可。 【详解】解：由题意知，当时，， 解得，或， ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； ∵时，， ∴符合要求； 当时，， 解得，或， ∵时，，∴符合要求； ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； 综上所述， 或， 故答案为：或2。 17.如图，在等腰三角形中，，为边上的高，，点P从点A出发，以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点D出发，以的速度向点C运动。当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间为。 （1）当时，的长为________。（用含t的式子表示） （2）当时，若的面积恰好等于，则t的值为________。 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式及一元二次方程的求解。 （1）根据点P的运动速度和时间，结合线段的长度关系，即可求出的长； （2）先根据等腰三角形三线合一的性质求出的长，再根据点P、Q的运动速度和时间表示出、的长，最后根据三角形面积公式列出方程求解。 【详解】解：（1）已知点P从点A出发，速度是，运动时间为， ∴， 又∵为等腰三角形，为边上的高， ∴点D为的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，，， ∵， ∴中边上的高为， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴， 故答案为：。 三、解答题 18.求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数。 【答案】见解析 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法和完全平方的非负性，进行证明即可。 【详解】证明：， 不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数。 19.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数。 （1）当时，求x的值； （2）当时，求n的值。 【答案】（1） （2）或5 【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出方程是解题关键。 （1）根据题意，列出方程，解出方程即可； （2）根据题意，列出方程，解出方程即可。 【详解】（1）解：根据题意得：， 当时，， 解得：； （2）解：根据题意得：， 当时，， 即， 解得：， 当时，； 当时，； 综上所述，或5。 20.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元。 （1）若每件商品降价5元，那么每件商品的利润是多少元，每星期的销售量是多少件，每周的利润是多少元； （2）为了让顾客得到更多的实惠，并且商家还想获得6080元的利润，应将每件的销售价降低多少元？ 【答案】（1）元，件，元 （2）应将每件的销售价降低4元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键。 （1）先理解题意，结合每件商品降价5元，售价为每件60元，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期可多卖出20件，得出每件商品的利润是15元，每星期的销售量是件，故每周的利润是元，即可作答。 （2）理解题意，设将每件的销售价降低元，则每星期的销售量是件，结合获得6080元的利润，列方程，再解方程，即可作答。 【详解】（1）解：∵每件商品降价5元， ∴（元）， ∴每件商品的利润是15元， 则每星期的销售量是（件）， 每周的利润是（元）， 故答案为：每件商品的利润是元，每星期的销售量是件，每周的利润是元； （2）解：设将每件的销售价降低元，则每星期的销售量是件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵为了让顾客得到更多的实惠，∴， 答：应将每件的销售价降低4元。 21.已知a是一元二次方程的一个根，求代数式的值。 【答案】11 【分析】把代入方程中得，从而可得，再把所求式子去括号后合并同类项，最后代入式子中进行计算，即可解答。 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 。 22.在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案。 （1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由。 （2）你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案。 【答案】（1）小芳的方案不符合条件，见解析； （2）见解析。 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键。 （1）利用等量关系花园的长花园的宽荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可。 【详解】（1）解：不符合。 设小路宽度均为， 根据题意得： 解这个方程得：，， 但不符合题意，应舍去， ∴小芳的方案不符合条件； （2）解：答案不唯一。 例如： 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半。 23.已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和。 （1）填空：________，________； （2）求，； （3）已知，求的值。 【答案】（1）， （2）， （3） 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键。 （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解。 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴。 24.已知关于的一元二次方程。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求的值。 【答案】（1）见解析 （2）的值为4或5 【分析】（1）先计算出，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）①将代入方程，求出方程的根，进而判断出的形状即可； ②分是等腰三角形的底边和腰长，两种情况进行讨论求解即可。 【详解】（1）证明： ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：①时，方程为， 解得，， ，， 是直角三角形； ② 中有一个数为5， 当时，原方程为：， 即， 解得：，； 当时，原方程为， ，； 由三角形的三边关系，可知4、5、5能围成等腰三角形， 符合题意； 当时，原方程为， 解得：； 由三角形的三边关系，可知5、5、6能围成等腰三角形， 符合题意， 综上所述：的值为4或5。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章一元二次方程 假期自主提升综合练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册 一、选择题 1.把方程的二次项系数化为1，可得方程（    ）。 A． B． C． D． 2.在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（    ）。 A． B． C． D． 3.若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（   ）。 A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 4.方程与求根公式中相对应的的值分别是（    ）。 A． B． C． D． 5.如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（   ）。 A． B． C．且 D．且 6.2023年国际篮联篮球世界杯比赛小组赛在印度尼西亚、日本以及菲律宾同时进行。若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍都赛1场），单循环比赛共进行了15场，则该小组参加比赛的队伍共有（  ）。 A．7支 B．6支 C．5支 D．4支 7.列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（  ）。 -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 8.对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ）。 A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 9.如图，在中，，过点A作，垂足为D，，，则的长度（   ）。 A． B． C． D． 10.我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法。以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此。在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）。 A． B． C． D． 二、填空题 11.下列方程是一元二次方程的是 。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 12.已知，是一元二次方程的两个根，则 。 13.已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是_________。 14.关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是 。 15.已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 。 16.对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；若，则_________。 17.如图，在等腰三角形中，，为边上的高，，点P从点A出发，以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点D出发，以的速度向点C运动。当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间为。 （1）当时，的长为________。（用含t的式子表示） （2）当时，若的面积恰好等于，则t的值为________。 三、解答题 18.求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数。 19.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数。 （1）当时，求x的值； （2）当时，求n的值。 20.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元。 （1）若每件商品降价5元，那么每件商品的利润是多少元，每星期的销售量是多少件，每周的利润是多少元； （2）为了让顾客得到更多的实惠，并且商家还想获得6080元的利润，应将每件的销售价降低多少元？ 21.已知a是一元二次方程的一个根，求代数式的值。 22.在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案。 （1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由。 （2）你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案。 23.已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和。 （1）填空：________，________； （2）求，； （3）已知，求的值。 24.已知关于的一元二次方程。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求的值。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $