第二章一元二次方程基础卷2025-2026学年浙教版数学八年级下册

**基本信息** 2025年八年级数学一元二次方程基础卷，以选择（30分）、填空（18分）、解答（72分）呈现，覆盖概念、解法及应用，融入《哪吒之魔童闹海》票房、工程问题等现实情境，通过赵爽弦图、花拉子米几何法渗透数学文化，体现应用意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、配方法、根的判别式|第7题结合春节档票房考增长率，第10题用赵爽弦图解几何法| |填空题|6/18|整数根、根与系数关系|第14题以地毯条纹考面积，第16题借花拉子米几何法溯源| |解答题|7/72|方程求解、实际应用|第19题探究花圃面积最值，第22题结合玩偶销售考利润模型，第23题通过配方法培养推理意识|

2025年八年级数学下学期单元测试卷 第2章 一元二次方程 单元测试（基础卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列方程中，一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，， 3．用配方法解方程，应在方程两边同时加上（    ） A．9 B．6 C．36 D．3 4．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 5．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 6．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 7．2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如果，那么的值为（    ） A．3或2 B．或2 C．或2 D．3或 9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（   ） A．210 B．100 C．78 D．45 10．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 12．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为 ． 14．如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为 米． （题14图） （题16图） 15．已知关于x的方程的两根为，其中，，则的取值范围是 ． 16．阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近．他关于的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外作边长为x和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2阴影部分每个正方形的边长为 ，中间小正方形的边长x为 ． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分） 17．解方程： (1) (2) 18．已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为2，求的值． (2)当时，求证：方程有两个实数根． 19．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)若花圃的面积为，求花圃的一边的长； (2)花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 20．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 21．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 22．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 23．阅读下面的例题： 求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 2025年八年级数学下学期单元测试卷 第2章 一元二次方程 单元测试（基础卷） 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B A C B C B C 8．C 解：∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选：C． 9．B 解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和， A、若和为210，则，解得或（舍去），即前20行的点数之和为，故A不符合题意； B、若和为100，则，解得，不是整数，即不存在前行的点数之和为100，故B符合题意； C、若和为78，则，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故C不符合题意； D、若和为45，则，解得或（舍去），即前9行的点数之和为45，故D不符合题意； 故选：B． 10．C 本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 11． 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 12．2033 本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据进行求解即可． 解；∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．或 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据整数，是正整数，可得出或，然后分情况求出c的值，再验证即可得出答案． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和， ∴， ∵， ∴， 即可得出：，， ∵整数，是正整数， ∴或， 根据题意可知：， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 综上：或． 故答案为：或． 14．/ 本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形的特点找到数量关系列方程。设条纹的宽度为米，根据等量关系：配色条纹所占面积是整个地毯面积的，列出方程求解即可． 解：设条纹的宽度为米， 依题意得 ， 解得：(不符合，舍去)，， 答：配色条纹宽度为米． 15． 本题主要考查了不等式的性质，一元二次方程根与系数的关系，先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，从而把用， 表示出来，最后利用不等式的基本性质求出答案即可． 解：∵关于x的方程的两根为， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 16． 1 本题考查解一元二次方程的几何解法，解题的关键是要读懂题目意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 根据已知数学模型，同理可得阴影部分的边长为，先计算出大正方形的面积等于中间部分面积加上4个阴影部分小正方形面积，可得大正方形的边长，从而得到结论． ， ， 解得， 图2阴影部分每个正方形的边长为，中间小正方形的边长x为1． 故答案为：；1． 三、解答题 17．(1)， (2)， 18．(1) (2)见解析 本题主要考查一元二次方程根的定义及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可得，然后代入求解即可； （2）首先由得到，然后由判别式即可证明． （1）把代入，得， ， ． （2）证明： ， ， 方程有两个实数根． 19．(1)10米 (2)不能，理由见解析 本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解； （2）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解． （1）解：设的长为米，则米 由题意可得：， 解得：，， ，即：， ， ∴的长为10米； （2）花圃的面积不能达到．理由如下： 设的长为米， 由题意可得：， 化简得， △， 方程无解， 花圃的面积不能达到． 20．(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 （1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． （1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 21．(1)2秒或4秒 (2)不能，理由见解析 一元二次方程的实际应用，根据题意，正确表示出线段长度及，利用三角形面积公式列出方程求解，是解答本题的关键． （1）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； （2）设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断． （1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于10平方厘米． 22．(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 23． （1）解：． ， ， 的最小值是2． （2）． ， ， 有最大值，最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $