第二章一元二次方程过关卷2025-2026学年浙教版数学八年级下册

**基本信息** 2025学年八年级数学下学期第2章一元二次方程单元过关卷，以真实情境与梯度设计为特色，覆盖方程定义、解法、应用等核心知识，适配期末单元检测，助力数学思维与应用能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|一元二次方程定义（第2题）、根的意义（第3题）|创新定义“特根方程”（第10题），考查逻辑推理| |填空题|6题/18分|配方法步骤（第15题）、根的判别式（第13题）|《代数学》几何法解方程（第16题），体现文化传承| |解答题|7题/72分|实际应用（华为生产问题第21题）、动点几何（第22题）|“完美数”概念结合配方法（第20题），培养创新意识|

2025学年八年级数学下学期单元测试卷 第2章 一元二次方程 单元测试 过关卷 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．方程的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　） A．1，，4 B．1，3，4 C．1，， D．1，3， 2．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．任意实数 B．3或 C．3 D． 4．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 5．某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了，3月份的利润比2月份的利润下降了，则该公司3月份比1月份利润增长了（    ） A． B． C． D． 6．已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 8．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 9．某校在一块矩形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地，中间留出一条宽度相等的人行小道，已知矩形基地的长为41m，宽为20m，农耕基地的面积为，若设人行小道的宽度为m，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程是“特根方程”，且方程的两根、满足，则k的值为2或； ③若关于x的一元二次方程是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 12．一元二次方程化为一般形式时的常数项是 ． 13．若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为 ． 14．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为 ． 15．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图．老师看后，发现有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是 ． 16．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 的长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小聪按此方法解关于x的方程 ，构造图2，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为 ． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若这个方程的两根为，，且满足，求k的值． 19．某养老院有一块面积为平方米的长方形空地，其长是宽的倍． (1)求这块长方形空地的周长． (2)如图，为了合理利用空地，也给养老院的老人一块休闲娱乐赏花的地方，在空地四周留出同样宽的通道后，将空地分割出一个正方形花坛和一个长方形花坛（正方形的边长与长方形的长相等），且长方形花坛的长宽之比为，两个花坛的总面积为平方米，两个花坛之间能否在留出一定宽的通道后，再设计两边（图中画虚线的部分）各放宽度为米的长椅便于老人休息？ 20．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________； (2)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最值． 21．华为为了响应国家绿色能源的号召进行计划生产，计划生产手机零件共计2400个，实际生产每小时多生产10个． (1)若原计划每小时生产50个，求实际生产时间比原计划减少的时间的值； (2)如果实际生产时间比原计划减少4小时，问实际生产速度是否符合要求（实际生产速度不超过每小时85个）？请说明理由． 22．如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 23．某建设单位需要一种如图1所示的三棱柱配件，该配件由3个全等的长方形侧面和2个全等的等边三角形底面的金属板焊接而成．    (1)若该建设单位共需图1所示的配件3800个，有甲、乙两个工厂参与竞标，根据两个工厂的生产水平可知，甲工厂每天生产该配件的数量比乙工厂每天生产该配件的数量多10个，且甲工厂完成任务比乙工厂用时少1天．求甲工厂每天生产该配件的数量． (2)甲工厂凭借优异的生产工艺竞标成功，甲工厂现在需要先生产一批样品，用以检验是否达到生产标准．现有19块完全相同的长方形金属板，以图2的两种方法进行切割（切割后边角料不再利用），其中m块用A方法，其余用B方法，若切割出的侧面和底面恰好全部用完，求m的值． 2025学年八年级数学下学期单元测试卷 第2章 一元二次方程 单元测试 过关卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C D A C C B C 11． 12． 13．有两个不相等的实数根 14． 本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值. 解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 15．丁 本题考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，不能遗漏解是解题的关键． 依次检查配方法解一元二次方程的移项，配方，化简，求解四个步骤，找出错误的步骤． 解：甲的步骤：此步骤为移项，正确； 乙的步骤：此步骤为配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，正确； 丙的步骤：此步骤为化简，正确； 丁的步骤 此步骤为求解 开平方，应得 当时，解得 当时，解得 所以方程的解应为， 丁同学只给出了一个解，遗漏了另一个解，因此步骤错误． 故答案为：丁． 16． 本题考查了利用图形求一元二次方程的解，先把方程化为形如的形式，设，则，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的长方形，得到大正方形的面积，即可求解． 解：由得， 设，则， ∵阴影部分的面积为60， ∴， 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的长方形，得到大正方形的面积为， ∴方程的正数解为． 故答案为：． 17．(1)，； (2)，． 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法． （1）先移项得，再根据直接开平方法即可求出答案； （2）先移项得，再根据配方法即可求出答案． （1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 18．(1)见解析 (2)， 本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，得到，整体代入法列出方程进行求解即可． （1）证明：∵， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，． 19．(1)米 (2)能，理由见解析 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设长方形空地的宽为米，则长为米，根据长方形的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解方程再根据长方形的周长计算方法求解即可． （2）设长方形花坛的宽为米，则长为米，正方形花坛的边长为米，两个花坛的总面积为 平方米，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可求得长方形花坛的宽和正方形花坛的边长，进而可求得两个花坛之间的宽，与长椅的宽度比较大小即可得解． （1）解：设长方形空地的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得， 或（不合题意，舍去）， ， 这块长方形空地的周长为（米）． 答：这块长方形空地的周长为米． （2）解：能．理由如下： 设长方形花坛的宽为米，则长为米，正方形花坛的边长为米， 由题意得， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 长方形花坛的宽为米，正方形花坛的边长为米， 通道宽为（米）， 两个花坛之间的宽为（米）． 两边放长椅宽为米米， 能设计在两边放米宽的长椅． 20．(1) (2)，理由见解析 (3)最大值为 本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）把拆成两个整数的平方即可； （2）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （3）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． （1）由题意得：； （2）当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵，为整数， ∴，也是整数， ∴当时，S为“完美数”； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为． 21．(1)8 (2)符合要求，理由见解析 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是∶ （1）通过原计划与实际生产的速度计算时间差即可； （2）通过时间差建立分式方程，求解实际生产速度，然后验证是否题中限制条件即可． （1）解∶∵原计划每小时生产50个，实际生产每小时多生产10个， ∴实际生产每小时生产个， ∴实际生产时间比原计划减少的时间的值为； （2）解：设实际生产每小时生产x个， 根据题意，得：， 解得或（舍去）， 经检验：符合题意， ∵， ∴， ∴， ∴实际生产速度符合要求． 22．(1)经过2秒或秒； (2)经过1秒或2秒． （1）设经过x秒，MN长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，代入，得到关于x的一元二次方程求解； （2） 设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． （1）解：设经过x秒，长为， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，， 答：经过2秒或秒，长为； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的． 23.(1)200个 (2)11 此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，读懂题意，找出题目中的数量关系是解题的关键． （1）设甲工厂每天生产该配件x个，则乙工厂每天生产该配件个，根据题意列出分式方程求解即可； （2）首先表示出切割出的侧面的数量为个，切割出的底面的数量为个，然后根据题意得到，进而求解即可． （1）设甲工厂每天生产该配件x个，则乙工厂每天生产该配件个． 根据题意，得 整理得， 解得或（舍去）． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲工厂每天生产该配件200个． （2）根据题意可知用A方法切割的长方形金属板为m块，用B方法切割的长方形金属板为块， 则切割出的侧面的数量为个， 切割出的底面的数量为个． ∵每个图1的配件中，侧面与底面数量的比为， ． 解这个方程得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：m的值为11． 学科网（北京）股份有限公司 $