第21讲 反比例关系 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

3.1.3 反比例关系 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 目标 1　认识反比例关系的两种表达形式 能识别 xy = k（k ≠ 0） 与 y = （k ≠ 0） 是同一件事的两种写法；理解 k 是「守恒量」 —— 无论 x、y 怎么变，它们的乘积始终不变。 目标 2　掌握反比例识别的「变·恒·断」三步法 能对一个陌生情境执行 变（找变量）→ 恒（找守恒量）→ 断（判乘积/比值/差/和） 三步，快速判断是否为反比例关系；能对 差恒定、和恒定、比值恒定 三大反直觉陷阱不上当。 目标 3　能对 5 类典型情境判断并列出反比例关系式 能对 行程（路程恒定）· 长方形（面积恒定）· 工程（总量恒定）· 购物（预算恒定）· 平均（总量恒定） 5 类典型情境熟练识别反比例。 二、重点 · 难点 重点 ① 反比例关系的两种等价表达 xy=k ⇔ y = （k≠0）；　② 「变·恒·断」三步识别法；　③ 5 类典型情境（行程/长方形/工程/购物/平均）的乘积恒定；　④ 反比例函数 y = 的初步认识。 难点 ① 三大反直觉陷阱的辨析：差恒定（年龄差、温差）、和恒定（互补时长）、比值恒定（π、密度）都不是反比例；　② 反比例中 k 可正可负（k≠0） 不能漏；　③ 从「一增一减」升级到「乘积恒定」—— 一增一减是必要非充分条件。 易错点 ① 差恒定误判反比例——「小明比小红大 3 岁」是差 3 恒定，年龄增长时并非乘积恒定； ② 和恒定误判反比例——「两数之和为 10」，一增一减，但 a+b=10 不是 ab=10； ③ 比值恒定误判反比例——「圆周长 C=2πr」比值 2π 恒定，那是 正比例不是反比例； ④ k=0 不成立——xy=0 意味着 x=0 或 y=0，不构成反比例； ⑤ k 为负数也算——xy=−6 依然是反比例（k=−6≠0）； ⑥ 形式陷阱——y = （b≠0）不是纯反比例，只有 y = 才是。 三、复习回顾 【回顾一】§3.1.2 5 类情境速查 —— 铺垫 上一节我们学会了 列代数式的 5 类典型情境。本节将从其中发现一个 特殊的量关系 —— 乘积恒定。请填空回顾： 情境 典型公式 守恒量是什么？ 行程 ________ ________ 长方形 ________ ________ 工程 ________ ________ 购物 ________ ________ 平均 ________ ________ 【回顾二】小学阶段的正比例 —— 唤起旧知 小学高年级我们学过 正比例 —— 两个量的 比值恒定，则它们成正比例。请填空辨识： # 情境 恒定量 正比例？ ① 速度 60 km/h 匀速，路程 s 与时间 t ________ ________ ② 正方形周长 C 与边长 a ________ ________ ③ 圆周长 C 与半径 r ________ ________ ④ 温度 T（°C）与热度 F（°F）：F = 1.8T+32 ________ ________ 【情境导入】长方形面积恒定问题 —— 反比例第一印象 小华想在自家花园铺一块 面积恰好为 12 m² 的矩形花圃。他画了几种设计方案，请你观察长 a 和宽 b 的变化： 长 a（m） 1 2 3 4 6 宽 b（m） ____ ____ ____ ____ ____ a·b（m²） ____ ____ ____ ____ ____ 请观察上表回答：　 (1) a 增大时，b 怎么变？　__________________________________ (2) a·b 是多少？变了没？　__________________________________ (3) 你能用一个式子表达 a 与 b 的关系吗？　__________________________________ 四、新知探究 【探究一】★★★ 反比例识别的「变·恒·断」三步法 —— 本节灵魂 面对一个陌生情境，怎么快速判断 y 与 x 是不是反比例关系？我们提出一套通用三步法： 步骤 动作 要问自己什么？ 第一步 变（找变量） 题目中谁在变？找出两个变量 x 与 y。（如果只有一个变量或超过两个变量，本方法暂不适用。） 第二步 恒（找恒量） 题目中什么不变？——是差不变、和不变、比值不变、还是乘积不变？找出「守恒量」k。 第三步 断（下判断） 对照四种关系：和恒→加法　差恒→减法　积恒→反比例　商恒→正比例。只有 积恒 才是反比例！ 案例 1（行程·反比例）：小明骑车从家到学校，路程 60 km，用 v km/h 匀速，用时 t h。 请用「变·恒·断」三步分析 v 与 t 的关系。 1. 变：变量是 ____________________ 1. 恒：恒量是 ____________________ 1. 断：关系式 ____________________ 案例 2（陷阱·正比例）：正方形周长 C 与边长 a 的关系。 1. 变：变量是 ____________________ 1. 恒：恒量是 ____________________ 1. 断：关系式 ____________________ 案例 3（陷阱·差恒定）：小明比小红大 3 岁。若小红 x 岁，小明 y 岁。 1. 变：变量是 ____________________ 1. 恒：恒量是 ____________________ 1. 断：关系式 ____________________ 【探究二】正比例 vs 反比例 —— 一表对比清晰化 初中三年，正比例 与 反比例 是最基础也最容易混淆的两种关系。请填表对比： 项目 正比例 反比例 关系式 ____________________ ____________________ 等价形式 ____________________ ____________________ 恒定量 ____________________ ____________________ 变化方向 ____________________ ____________________ 典型例子 ____________________ ____________________ 【探究三】5 类典型反比例情境模板 初中所有反比例题目，几乎都能归到以下 5 类。请填空掌握守恒结构： 类型 守恒量 k 反比例关系式 典型情境 ① 行程 ________ ________ ________ ② 长方形 ________ ________ ________ ③ 工程 ________ ________ ________ ④ 购物 ________ ________ ________ ⑤ 平均 ________ ________ ________ 五、例题精讲 【例 1】三步法判断（4 小题·速判） 判断下列情境中，y 是否与 x 成反比例？如是，写出比例常数 k。（用「变·恒·断」） (1) 长方形面积 S=24 cm²，长 a cm，宽 b cm。判断 b 与 a。 答：__________________________________________________________________ 　　__________________________________________________________________ (2) 圆的周长 C=2πr。判断 C 与 r。 答：__________________________________________________________________ 　　__________________________________________________________________ (3) 已知 y = − 2。判断 y 与 x。 答：__________________________________________________________________ 　　__________________________________________________________________ (4) 小明比小红大 3 岁，小红 x 岁，小明 y 岁。判断 y 与 x。 答：__________________________________________________________________ 　　__________________________________________________________________ 【例 2】5 类典型情境·各列一（三步法完整过程） (1) 【行程】小华骑车去外婆家路程 60 km，速度 v km/h，用时 t h。请列出 v 与 t 的反比例关系，并求 v=15 时 t 的值。 解：__________________________________________________________________ 　　__________________________________________________________________ (2) 【长方形】某长方形面积恒为 18 m²，长 a m，宽 b m。列出 a 与 b 的关系，并求 a=6 时 b。 解：__________________________________________________________________ 　　__________________________________________________________________ (3) 【工程】做一批零件共 240 个，每小时做 n 个，需 t 小时。列出 n 与 t 的关系，并求 n=12 时 t。 解：__________________________________________________________________ 　　__________________________________________________________________ (4) 【购物】学校预算 1500 元买同一款笔记本，单价 a 元/本，可买 n 本。列出 a 与 n，并求 a=25 时 n。 解：__________________________________________________________________ 　　__________________________________________________________________ (5) 【平均】年级共 240 人，分 m 个班，每班 k 人。列出 m 与 k，并求 m=6 时 k。 解：__________________________________________________________________ 　　__________________________________________________________________ 【例 3】★★★ 章节链接战 —— 书店打折·预算恒定 题目： 某社区书店举办庆典，为社区图书馆购书。总预算 M = 1.5×10⁴ 元（保持预算不变）。 1. (1) 若每本图书单价 a=25 元，能买多少本？ 1. (2) 若书店打八折（单价降为 0.8a 元），能买多少本？ 1. (3) 折后比原来多买了多少本？ 1. (4) 用变·恒·断三步法说明：本题中「买书数量 n」与「单价 a」是什么关系？ 六、当堂检测（15 分钟） Part 1　三步法判断（6 题·速判） 1. (1) 路程 60 km 匀速，速度 v 与时间 t 的关系 → __________________________ 1. (2) 圆的面积 A 与半径 r 的平方 r² 的关系（A=πr²） → __________________________ 1. (3) 妈妈今年 y 岁，比小明大 30 岁，小明 x 岁 → __________________________ 1. (4) 总工作量 100 单位，每天做 n 个，共 t 天 → __________________________ 1. (5) 两个数的和恒为 10，一个数 x，另一个数 y → __________________________ 1. (6) 某商店进货 300 件商品，每包 a 件，共 b 包 → __________________________ Part 2　列反比例关系式（2 题） 某工厂订单 W = 480 件，每小时生产 n 件，需 t 小时。列出 n 与 t 的反比例式，并求 n=24 时 t。 答：__________________________________________________________________ 班级共 48 名同学参加大扫除，分 m 组，每组 k 人。列 m 与 k 的关系，并求 m=6 时 k。 答：__________________________________________________________________ Part 3　正反比例辨析（3 题·辨陷阱） 一辆汽车匀速行驶 100 km，油耗 8 L/100km 恒定，行驶 s km 耗油 y L：判断 y 与 s。 答：__________________________________________________________________ 小李骑车速度 v km/h，10 min 后骑行 s km：判断 s 与 v。 答：__________________________________________________________________ 一根长绳截成两段，长 a m 与短 b m 满足 a + b = 5 m：判断 a 与 b。 答：__________________________________________________________________ Part 4　★★★ 变换视角问题：25% 的秘密 题目： 小明每天骑自行车匀速上学。某天他把速度 提高 25%（家到学校距离不变）。请问用时减少百分之几？（保留 3 位有效数字） 1. (1) 用「变·恒·断」写出速度 v 与时间 t 的关系式：　________________________________ 1. (2) 若原速度为 v，新速度 v' = 1.25v。原时间为 t，新时间 t' = ?　________________________________ 1. (3) 时间减少百分之几？　________________________________ 1. (4) 商业启示：速度提高 25%，时间只减少 20%，比例不对称。为什么？　________________________________ 七、思维导图 · 三大黄金口诀 §3.1.3 反比例关系 · 一图掌握 §3.1.3 反比例关系（灵魂：变·恒·断三步法） │ ┌─────────┬───────────┼──────────┬──────────┐ │ │ │ │ │ ① 定义 ② 三步法 ③ 5 类情境 ④ 正反对比 ⑤ 函数铺垫 │ │ │ │ │ xy = k 变→变量 行程 正比例 双曲线 k ≠ 0 恒→守恒量 长方形 比值恒 y=k/x y=k/x 断→积/比/差/和 工程 y = kx →八年级§9 │ └─────┐ 购物 │ 物理·电学 等价形式 积恒才反比 平均 同增同减 化学·气体 三大黄金口诀（请背下来！） ① 积恒反比，比恒正比。 ② 差恒和恒都不是，别把陷阱当宝贝。 ③ k 不为零是灵魂，正负都行别忘记。 八、作业分层 🅰　基础层（判 5 + 三步法 3） 🅰-1　判断反比例（6 题） 1. (1) 长方形面积 12 恒定，长 a 与宽 b。 → ____________________________ 1. (2) y = 3x + 5。 → ____________________________ 1. (3) 班级 40 人恒定，男生 x 人，女生 y 人。 → ____________________________ 1. (4) 工作总量 100，效率 n，时间 t。 → ____________________________ 1. (5) 温差 T = T₁ − T₂ = 5°C 恒定。 → ____________________________ 🅰-2　三步法应用（2 题） 某工厂加工 500 件产品，每天做 n 件，需 t 天。列出 n·t 关系并求 n=25 时 t。 答：__________________________________________________________________ 某长方形花坛面积 24 m²，长 a m 宽 b m。列出关系，求 a=6 时 b。 答：__________________________________________________________________ 🅱　提高层（情境 4 + 综合 3） 🅱-1　5 类情境·反比例列式（4 题） 1. (1) 【行程】火车匀速通过 300 km 的铁路，速度 v km/h，用时 t h。列出 v 与 t 的关系。 → ____________________________ 1. (2) 【工程】某订单 720 件，每小时做 n 件，用时 t h。列出 n 与 t 的关系。 → ____________________________ 1. (3) 【购物】学校预算 2400 元买同一款椅子，单价 a 元，数量 n 把。列出 a 与 n 的关系。 → ____________________________ 1. (4) 【平均】学校 360 名同学参加合唱比赛，分 m 组，每组 k 人。列出 m 与 k 的关系。 → ____________________________ 🅱-2　综合应用（3 题） (1) 某长方形绿化带面积恒为 60 m²，长 a 由 6 m 增至 10 m，宽 b 如何变化？ 解：__________________________________________________________________ (2) ★★ 某车间原本 6 人 8 天完成任务。若增至 12 人，需要多少天？（人效恒定） 解：__________________________________________________________________ (3) ★★ 一段路程原速度 40 km/h 用时 3 h。若速度提高至 50 km/h，用时变为多少？ 解：__________________________________________________________________ 🅲　挑战层（反比例函数铺 + 温度换算 + 章节链接总决战） 🅲-1　★★★ 章节链接总决战 —— 反比例 + 科学记数法 + 有效数字 + 列代数式 某市图书馆采购中心一年预算 M = 1.2×10⁶ 元，分配给 k 家书店（每家均分）。每家书店拿到 M/k 元后， 1. · 用其中 60% 采购图书（单价 a 元/本）； 1. · 用其中 30% 采购电子设备（单价 b 元/台）； 1. · 剩余 10% 作为运营费。 （1）请用含 M、k、a、b 的代数式表示： 1. ① 每家书店拿到的预算； 1. ② 每家书店采购的图书数量 n₁； 1. ③ 每家书店采购的电子设备数量 n₂。 （2）若 k = 4、a = 20 元、b = 500 元，代入求 n₁ 和 n₂（保留 3 位有效数字，用科学记数法）。 （3）用变·恒·断说明：若预算不变（M 恒定），书店数 k 与每家书店拿到的预算成什么关系？ 九、学习反思（请学生诚实作答） 反思问题 我的回答 1. 我能用一句话解释「反比例关系」是什么吗？（提示：守恒量是什么？） ________________________________ 2. 我掌握「变·恒·断」三步法了吗？遇到陌生情境能自动执行吗？ ________________________________ 3. 我能区分「差恒定」「和恒定」「比值恒定」「乘积恒定」四种关系吗？只有哪一种是反比例？ ________________________________ 4. 我对 5 类典型情境（行程/长方形/工程/购物/平均）是「一见就会」还是「需要想想」？ ________________________________ 5. 我能感性理解反比例函数 y=k/x 的图像是「双曲线」吗？为什么两支不相交？ ________________________________ 6. 本节我最容易犯的错是什么？下次遇到我如何提醒自己？ ________________________________ ───────────────────────────────────────── 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.3 反比例关系 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 目标 1　认识反比例关系的两种表达形式 能识别 xy = k（k ≠ 0） 与 y = （k ≠ 0） 是同一件事的两种写法；理解 k 是「守恒量」 —— 无论 x、y 怎么变，它们的乘积始终不变。 目标 2　掌握反比例识别的「变·恒·断」三步法 能对一个陌生情境执行 变（找变量）→ 恒（找守恒量）→ 断（判乘积/比值/差/和） 三步，快速判断是否为反比例关系；能对 差恒定、和恒定、比值恒定 三大反直觉陷阱不上当。 目标 3　能对 5 类典型情境判断并列出反比例关系式 能对 行程（路程恒定）· 长方形（面积恒定）· 工程（总量恒定）· 购物（预算恒定）· 平均（总量恒定） 5 类典型情境熟练识别反比例。 二、重点 · 难点 重点 ① 反比例关系的两种等价表达 xy=k ⇔ y = （k≠0）；　② 「变·恒·断」三步识别法；　③ 5 类典型情境（行程/长方形/工程/购物/平均）的乘积恒定；　④ 反比例函数 y = 的初步认识。 难点 ① 三大反直觉陷阱的辨析：差恒定（年龄差、温差）、和恒定（互补时长）、比值恒定（π、密度）都不是反比例；　② 反比例中 k 可正可负（k≠0） 不能漏；　③ 从「一增一减」升级到「乘积恒定」—— 一增一减是必要非充分条件。 易错点 ① 差恒定误判反比例——「小明比小红大 3 岁」是差 3 恒定，年龄增长时并非乘积恒定； ② 和恒定误判反比例——「两数之和为 10」，一增一减，但 a+b=10 不是 ab=10； ③ 比值恒定误判反比例——「圆周长 C=2πr」比值 2π 恒定，那是 正比例不是反比例； ④ k=0 不成立——xy=0 意味着 x=0 或 y=0，不构成反比例； ⑤ k 为负数也算——xy=−6 依然是反比例（k=−6≠0）； ⑥ 形式陷阱——y = （b≠0）不是纯反比例，只有 y = 才是。 【教师锦囊·三步验反比例】 遇到任何情境，问自己 3 个问题：　① 变量是谁？ 找出 x、y 两个变量；　② 什么恒定？ 是差、和、比值、还是乘积？　③ 只有乘积恒定才是反比例。 差恒定、和恒定、比值恒定都不是。 这三步答完，本节 80% 的错都不会犯。 三、复习回顾 【回顾一】§3.1.2 5 类情境速查 —— 铺垫 上一节我们学会了 列代数式的 5 类典型情境。本节将从其中发现一个 特殊的量关系 —— 乘积恒定。请填空回顾： 情境 典型公式 守恒量是什么？ 行程 路程 = 速度 × 时间　s = v·t 路程 s 恒定 → v 与 t 反比 长方形 面积 = 长 × 宽　S = a·b 面积 S 恒定 → a 与 b 反比 工程 总量 = 效率 × 时间　W = n·t 总量 W 恒定 → n 与 t 反比 购物 总价 = 单价 × 数量　M = a·n 预算 M 恒定 → a 与 n 反比 平均 总量 = 组数 × 每组量　N = m·k 总人数 N 恒定 → m 与 k 反比 【教师锦囊·一句话总结】 5 类情境的共同点：都有一个 守恒量（s / S / W / M / N），当它 恒定 时，两个变量的 乘积恒等于它 —— 这就是反比例的本质。 【回顾二】小学阶段的正比例 —— 唤起旧知 小学高年级我们学过 正比例 —— 两个量的 比值恒定，则它们成正比例。请填空辨识： # 情境 恒定量 正比例？ ① 速度 60 km/h 匀速，路程 s 与时间 t 速度 60（比值） 是（=60） ② 正方形周长 C 与边长 a 4（比值） 是（=4） ③ 圆周长 C 与半径 r 2π（比值） 是（=2π） ④ 温度 T（°C）与热度 F（°F）：F = 1.8T+32 无恒比 否（有常数项 +32） 【教师锦囊·比值 vs 乘积】 正比例：　 = k（比值恒定，同增同减）；　反比例：　x·y = k（乘积恒定，一增一减）。 请学生把这两个式子在草稿本正反面各写 3 遍。 【情境导入】长方形面积恒定问题 —— 反比例第一印象 小华想在自家花园铺一块 面积恰好为 12 m² 的矩形花圃。他画了几种设计方案，请你观察长 a 和宽 b 的变化： 长 a（m） 1 2 3 4 6 宽 b（m） 12 6 4 3 2 a·b（m²） 12 12 12 12 12 请观察上表回答：　 (1) a 增大时，b 怎么变？　b 减小（一增一减）。 (2) a·b 是多少？变了没？　a·b = 12，恒定不变（守恒量）。 (3) 你能用一个式子表达 a 与 b 的关系吗？　a·b = 12，或 b = 。 【教师锦囊·揭示定义】 上表就是 反比例关系 的第一个直观例子 —— 面积（乘积）恒定 12。一般地：如果两个变量 x 与 y 满足 xy = k（k 是非零常数），那么 y 与 x 就成 反比例关系；等价地写为 y =。这里的 k 叫 比例常数（本节的守恒量）。 → 板书重点：　xy = k（k≠0）　⇔　y = （k≠0） 四、新知探究 【探究一】★★★ 反比例识别的「变·恒·断」三步法 —— 本节灵魂 面对一个陌生情境，怎么快速判断 y 与 x 是不是反比例关系？我们提出一套通用三步法： 步骤 动作 要问自己什么？ 第一步 变（找变量） 题目中谁在变？找出两个变量 x 与 y。（如果只有一个变量或超过两个变量，本方法暂不适用。） 第二步 恒（找恒量） 题目中什么不变？——是差不变、和不变、比值不变、还是乘积不变？找出「守恒量」k。 第三步 断（下判断） 对照四种关系：和恒→加法　差恒→减法　积恒→反比例　商恒→正比例。只有 积恒 才是反比例！ 案例 1（行程·反比例）：小明骑车从家到学校，路程 60 km，用 v km/h 匀速，用时 t h。 请用「变·恒·断」三步分析 v 与 t 的关系。 1. 变：变量是 v（速度）和 t（时间） 1. 恒：恒量是 路程 s = 60（乘积恒定） 1. 断：关系式 v·t = 60，即 v 与 t 成反比例（k = 60） 【三步法演示】 变：v 与 t；　恒：s = 60（路程守恒）；　断：v·t = 60 → 积恒 → 反比例，比例常数 k = 60。 等价形式： v = ，或 t = 。这两个式子和 v·t = 60 讲的是同一件事。 案例 2（陷阱·正比例）：正方形周长 C 与边长 a 的关系。 1. 变：变量是 C 和 a 1. 恒：恒量是 比值 = 4（比值恒定） 1. 断：关系式 C = 4a → 比值恒 → 正比例（不是反比例！） 【第一大陷阱：比值恒 vs 乘积恒】 学生看到「C 与 a 都在变」就以为是反比例。错！　 正确判断：4 是 的比值（当 a=1 时 C=4，a=2 时 C=8，比值都是 4），不是 C·a 的乘积。这是正比例。 → 让学生列表验证：a=1时C=4（=4）；a=2时C=8（=4）；a=3时C=12（=4）。这才叫比值恒定。 案例 3（陷阱·差恒定）：小明比小红大 3 岁。若小红 x 岁，小明 y 岁。 1. 变：变量是 x 和 y 1. 恒：恒量是 差 y − x = 3（差恒定） 1. 断：关系式 y = x + 3 → 差恒 → 既不是正比例，也不是反比例 【第二大陷阱：差恒 vs 积恒】 学生看到「x 变大 y 也变大」就以为是正比例；看到「一年前小红 5 小明 8，一年后小红 6 小明 9」，可能瞎猜反比例。都错！　 正确判断：y − x = 3 是 差恒定，不是比值也不是乘积。既非正比例，也非反比例。 → 板书对比表：　和恒 → a+b=k（加法）　差恒 → a−b=k（减法）　积恒 → ab=k（反比例）　商恒 → =k（正比例）。 【探究二】正比例 vs 反比例 —— 一表对比清晰化 初中三年，正比例 与 反比例 是最基础也最容易混淆的两种关系。请填表对比： 项目 正比例 反比例 关系式 y = kx（k≠0） y = （k≠0） 等价形式 = k xy = k 恒定量 比值恒定 = k 乘积恒定 x·y = k 变化方向 同增同减（k>0 时） 一增一减 典型例子 s = vt（v 定，s 与 t 正比） s = vt（s 定，v 与 t 反比） 【教师锦囊·三大黄金口诀】　① 积恒反比，比恒正比。　② 差恒和恒都不是。　③ k≠0 是灵魂，正负都可以。 → 请学生大声齐读 3 遍：「积恒反比，比恒正比；差恒和恒都不是；k 不为零，正负都行。」 【探究三】5 类典型反比例情境模板 初中所有反比例题目，几乎都能归到以下 5 类。请填空掌握守恒结构： 类型 守恒量 k 反比例关系式 典型情境 ① 行程 路程 s v·t = s，或 v = 路程固定，速度快则时间短 ② 长方形 面积 S a·b = S，或 b = 面积固定，长长则宽短 ③ 工程 总工程量 W n·t = W，或 n = 工程量固定，人多则天数少 ④ 购物 预算 M a·n = M，或 n = 预算固定，单价高则数量少 ⑤ 平均 总量 N m·k = N，或 k = 总数固定，班多则每班人少 【教师锦囊·「守恒量」是灵魂】 反比例情境的判断核心：不看变量的变化方向（一增一减是必要非充分），看有没有一个第三方守恒量 k —— 路程/面积/工程量/预算/总数，哪一个不变，就是 k。 找到 k，反比例就成立。 五、例题精讲 【例 1】三步法判断（4小题·速判） 判断下列情境中，y 是否与 x 成反比例？如是，写出比例常数 k。（用「变·恒·断」） (1) 长方形面积 S=24 cm²，长 a cm，宽 b cm。判断 b 与 a。 答： 是。变：a,b；恒：S=24（积恒）；断：ab=24 → 反比例，k=24。 (2) 圆的周长 C=2πr。判断 C 与 r。 答： 否。变：C,r；恒：2π（比值恒）；断：C=2πr → 正比例，不是反比例。 (3) 已知 y = − 2。判断 y 与 x。 答： 否。y+2 = → 只有 y+2 与 x 反比例，y 本身不是纯 形式。★★ (4) 小明比小红大 3 岁，小红 x 岁，小明 y 岁。判断 y 与 x。 答： 否。变：x,y；恒：差 3；断：y−x=3 → 差恒定 → 不是反比例（是一次函数）。 【例 2】5 类典型情境·各列一（三步法完整过程） (1) 【行程】小华骑车去外婆家路程 60 km，速度 v km/h，用时 t h。请列出 v 与 t 的反比例关系，并求 v=15 时 t 的值。 解： 变：v, t；　恒：s=60（路程守恒）；　断：v·t=60。当 v=15，t==4 h。 (2) 【长方形】某长方形面积恒为 18 m²，长 a m，宽 b m。列出 a 与 b 的关系，并求 a=6 时 b。 解： 变：a, b；　恒：S=18；　断：a·b=18。当 a=6，b==3 m。 (3) 【工程】做一批零件共 240 个，每小时做 n 个，需 t 小时。列出 n 与 t 的关系，并求 n=12 时 t。 解： 变：n, t；　恒：W=240；　断：n·t=240。当 n=12，t==20 h。 (4) 【购物】学校预算 1500 元买同一款笔记本，单价 a 元/本，可买 n 本。列出 a 与 n，并求 a=25 时 n。 解： 变：a, n；　恒：M=1500；　断：a·n=1500。当 a=25，n==60 本。 (5) 【平均】年级共 240 人，分 m 个班，每班 k 人。列出 m 与 k，并求 m=6 时 k。 解： 变：m, k；　恒：N=240；　断：m·k=240。当 m=6，k==40 人。 【例 3】★★★ 章节链接战 —— 书店打折·预算恒定 题目： 某社区书店举办庆典，为社区图书馆购书。总预算 M = 1.5×10⁴ 元（保持预算不变）。 1. (1) 若每本图书单价 a=25 元，能买多少本？ 1. (2) 若书店打八折（单价降为 0.8a 元），能买多少本？ 1. (3) 折后比原来多买了多少本？ 1. (4) 用变·恒·断三步法说明：本题中「买书数量 n」与「单价 a」是什么关系？ 【解】 (1) 预算恒定 M=1.5×10⁴，a·n = M。当 a=25 时，n = 1.5×10⁴ ÷ 25 = 600 本。 (2) 打八折后 a' = 0.8×25 = 20 元/本。n' = 1.5×10⁴ ÷ 20 = 750 本。 (3) 多买 = 750 − 600 = 150 本。 (4) 变·恒·断：　变：n 和 a；　恒：M=1.5×10⁴（预算守恒）；　断：a·n=M → n 与 a 成反比例（k = 1.5×10⁴）。 → 章节链接：本题串起了代数式书写规范 · 列代数式· 反比例识别 · 科学记数法 4章节内容。 六、当堂检测（15 分钟） Part 1　三步法判断（6 题·速判） 1. (1) 路程 60 km 匀速，速度 v 与时间 t 的关系 → 反比例（k=60） 1. (2) 圆的面积 A 与半径 r 的平方 r² 的关系（A=πr²） → 正比例（k=π） 1. (3) 妈妈今年 y 岁，比小明大 30 岁，小明 x 岁 → 都不是（差恒定 y−x=30） 1. (4) 总工作量 100 单位，每天做 n 个，共 t 天 → 反比例（k=100） 1. (5) 两个数的和恒为 10，一个数 x，另一个数 y → 都不是（和恒定 x+y=10） 1. (6) 某商店进货 300 件商品，每包 a 件，共 b 包 → 反比例（k=300） Part 2　列反比例关系式（3 题） 某工厂订单 W = 480 件，每小时生产 n 件，需 t 小时。列出 n 与 t 的反比例式，并求 n=24 时 t。 答： n·t = 480；t = = 20 小时。 班级共 48 名同学参加大扫除，分 m 组，每组 k 人。列 m 与 k 的关系，并求 m=6 时 k。 答： m·k = 48（反比例，k恒=48）；k = = 8 人。 Part 3　正反比例辨析（3 题·辨陷阱） 一辆汽车匀速行驶 100 km，油耗 8 L/100km 恒定，行驶 s km 耗油 y L：判断 y 与 s。 答： 变：y, s；恒：=0.08 L/km（比值恒）；断：y = 0.08s → 正比例，不是反比例。 小李骑车速度 v km/h，10 min 后骑行 s km：判断 s 与 v。 答： 10 min = h 恒定；s = v × → 比值恒（=）→ 正比例。 一根长绳截成两段，长 a m 与短 b m 满足 a + b = 5 m：判断 a 与 b。 答： 和恒 a+b=5 → 一次关系 b=5−a，既非正比例也非反比例。★★ Part 4　★★★ 变换视角问题：25% 的秘密 题目： 小明每天骑自行车匀速上学。某天他把速度 提高 25%（家到学校距离不变）。请问用时减少百分之几？（保留 3 位有效数字） 1. (1) 用「变·恒·断」写出速度 v 与时间 t 的关系式：　v·t = s（路程 s 恒定）→ v 与 t 成反比例。 1. (2) 若原速度为 v，新速度 v' = 1.25v。原时间为 t，新时间 t' = ?　v'·t' = v·t → 1.25v · t' = v · t → t' = = 0.8t。 1. (3) 时间减少百分之几？　 = 0.2 = 20.0%。 1. (4) 商业启示：速度提高 25%，时间只减少 20%，比例不对称。为什么？　 反比例关系下，涨幅 p% 对应减幅为 × 100%。这不是「等量互换」，是反比例的特点。 【综合解答】 家到学校距离 s 恒定，v·t = s。原来：v·t = s；提速后：1.25v · t' = s。 两式相除：　1.25v · t' = v · t　⇒　t' = = 0.8t 时间减少量：t − 0.8t = 0.2t　⇒ 减幅 = = 0.20 = 20.0%。 ★ 关键洞察： 速度 ×1.25，时间 × = 时间×0.8。反比例关系里，变量的倍数是「互为倒数」而不是「互为反向」的。 请将这个洞察写在错题本第一页。 七、思维导图 · 三大黄金口诀 §3.1.3 反比例关系 · 一图掌握 §3.1.3 反比例关系（灵魂：变·恒·断三步法） │ ┌─────────┬───────────┼──────────┬──────────┐ │ │ │ │ │ ① 定义 ② 三步法 ③ 5 类情境 ④ 正反对比 ⑤ 函数铺垫 │ │ │ │ │ xy = k 变→变量 行程 正比例 双曲线 k ≠ 0 恒→守恒量 长方形 比值恒 y=k/x y=k/x 断→积/比/差/和 工程 y = kx →八年级§9 │ └─────┐ 购物 │ 物理·电学 等价形式 积恒才反比 平均 同增同减 化学·气体 三大黄金口诀（请背下来！） ① 积恒反比，比恒正比。 ② 差恒和恒都不是，别把陷阱当宝贝。 ③ k 不为零是灵魂，正负都行别忘记。 【教师锦囊·全节精髓】　反比例关系 = 找到守恒量 + 判断是「积」不是「差/和/比值」。掌握「变·恒·断」三步法，本节 95% 的题都能秒杀。 八、作业分层 🅰　基础层（判 5 + 三步法 3） 🅰-1　判断反比例（6 题） 1. (1) 长方形面积 12 恒定，长 a 与宽 b。 → 反比例，k=12 1. (2) y = 3x + 5。 → 都不是（一次函数） 1. (3) 班级 40 人恒定，男生 x 人，女生 y 人。 → 都不是（和恒 x+y=40） 1. (4) 工作总量 100，效率 n，时间 t。 → 反比例，k=100 1. (5) 温差 T = T₁ − T₂ = 5°C 恒定。 → 都不是（差恒定 T₁−T₂=5） 🅰-2　三步法应用（2 题） 某工厂加工 500 件产品，每天做 n 件，需 t 天。列出 n·t 关系并求 n=25 时 t。 答： n·t=500（反比例，k=500）；t==20 天。 某长方形花坛面积 24 m²，长 a m 宽 b m。列出关系，求 a=6 时 b。 答： a·b=24；b==4 m。 🅱　提高层（情境 4 + 综合 3） 🅱-1　5 类情境·反比例列式（4 题） 1. (1) 【行程】火车匀速通过 300 km 的铁路，速度 v km/h，用时 t h。列出 v 与 t 的关系。 → v·t=300（反比例，k=300） 1. (2) 【工程】某订单 720 件，每小时做 n 件，用时 t h。列出 n 与 t 的关系。 → n·t=720（反比例，k=720） 1. (3) 【购物】学校预算 2400 元买同一款椅子，单价 a 元，数量 n 把。列出 a 与 n 的关系。 → a·n=2400（反比例，k=2400） 1. (4) 【平均】学校 360 名同学参加合唱比赛，分 m 组，每组 k 人。列出 m 与 k 的关系。 → m·k=360（反比例，k恒=360） 🅱-2　综合应用（3 题） (1) 某长方形绿化带面积恒为 60 m²，长 a 由 6 m 增至 10 m，宽 b 如何变化？ 解： a·b=60；a=6 时 b=10 m；a=10 时 b=6 m。宽从 10 m 减少到 6 m，共减少 4 m。 (2) ★★ 某车间原本 6 人 8 天完成任务。若增至 12 人，需要多少天？（人效恒定） 解： 总工作量 W=6×8=48 人·天（守恒量）。设需 t 天，12·t=48 → t = 4 天。人数 ×2，天数变为原来的 —— 反比例特征。 (3) ★★ 一段路程原速度 40 km/h 用时 3 h。若速度提高至 50 km/h，用时变为多少？ 解： s=v·t=40×3=120 km（守恒）。50·t'=120 → t' = 2.4 h（即 2 h 24 min）。 🅲　挑战层（反比例函数铺 + 温度换算 + 章节链接总决战） 🅲-3　★★★ 章节链接总决战 —— 反比例 + 科学记数法 + 有效数字 + 列代数式 某市图书馆采购中心一年预算 M = 1.2×10⁶ 元，分配给 k 家书店（每家均分）。每家书店拿到 元后， · 用其中 60% 采购图书（单价 a 元/本）； · 用其中 30% 采购电子设备（单价 b 元/台）； · 剩余 10% 作为运营费。 （1）请用含 M、k、a、b 的代数式表示： 1. ① 每家书店拿到的预算； 1. ② 每家书店采购的图书数量 n₁； 1. ③ 每家书店采购的电子设备数量 n₂。 （2）若 k = 4、a = 20 元、b = 500 元，代入求 n₁ 和 n₂（保留 3 位有效数字，用科学记数法）。 （3）用变·恒·断说明：若预算不变（M 恒定），书店数 k 与每家书店拿到的预算成什么关系？ 【解答】 (1) ①： ；　②：0.6· · = 0.6；　③：0.3· · = 0.3。 (2) 当 M=1.2×10⁶, k=4, a=20, b=500 时： 　n₁ = = = 9000 = 9.00×10³ 本 　n₂ = = = 180 = 1.80×10² 台 (3) 变·恒·断： 变：k 与每家预算 P= ；　恒：M=1.2×10⁶（总预算守恒）；　断：k·P = M → k 与 P 成反比例关系（k恒=1.2×10⁶）。书店越多，每家分得越少。 ★ 章节链接：　这道题串起了 有理数乘除 · 科学记数法 · 有效数字 · 代数式书写规范 · 列代数式 · 反比例关系 六个章节的核心内容 —— 一道题，见半个学期。 九、学习反思（请学生诚实作答） 反思问题 我的回答 1. 我能用一句话解释「反比例关系」是什么吗？（提示：守恒量是什么？） ________________________________ 2. 我掌握「变·恒·断」三步法了吗？遇到陌生情境能自动执行吗？ ________________________________ 3. 我能区分「差恒定」「和恒定」「比值恒定」「乘积恒定」四种关系吗？只有哪一种是反比例？ ________________________________ 4. 我对 5 类典型情境（行程/长方形/工程/购物/平均）是「一见就会」还是「需要想想」？ ________________________________ 5. 我能感性理解反比例函数 y=k/x 的图像是「双曲线」吗？为什么两支不相交？ ________________________________ 6. 本节我最容易犯的错是什么？下次遇到我如何提醒自己？ ________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $