第15讲 有理数的乘方小升初衔接 2026-2027学年人教版七年级数学上册

2.2.5 有理数的乘方 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 目标 1　理解乘方的意义 理解 n 个相同因数相乘可以简写为 aⁿ，能准确读、写幂，识别底数、指数、幂三要素；牢记 a¹ = a（指数为 1 时省略）。 目标 2　掌握符号法则 能熟练判断幂的符号：正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂为正数、奇次幂为负数；0 的正整数次幂都是 0。 目标 3　区分（-a）ⁿ 与 -aⁿ，掌握混合运算顺序 能识别底数（括号内是底数，括号外是符号）；掌握有理数混合运算顺序 —— 先乘方 → 再乘除 → 最后加减，有括号先算括号里的；同级运算从左到右依次进行。 二、重难点 重点 1 乘方的意义 —— 会把 n 个相同因数相乘写成 aⁿ、把 aⁿ 展开成连乘；　 2 熟记符号法则（正数幂正、负偶正、负奇负、0 的正整数次幂为 0）；　 ③ 掌握含乘方的混合运算顺序。 难点 ① 严格区分 (-a)ⁿ 与 -aⁿ —— 括号内是底数，括号外是符号；　② 分数、负数为底数时括号书写规范如 ()² 不同于 -()² ；　③ 混合运算中乘方与负号的先后关系。 易错点 ① -2⁴ 与 (-2)⁴ 混淆 —— 前者 = -(2×2×2×2) = -16；后者 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2) = +16。 ② 分数底数漏写括号　—— 写 ² 是错的，规范写法为 ()²。 ③ 指数是 1 时不省略 —— 写 a¹ 而非 a；反之，看到 a 应理解为 a¹（指数隐含）。 ④ 混合运算顺序错乱 —— 3² + 2 应先算 3²（= 9），得 11；错误做法：先算 3+2 = 5，再平方得 25。 三、复习回顾与情境导入 【回顾一】写累了的算式 —— 我们需要一个新记号！ 先算下面 3 个算式（承接 2.2.4 作业🅲(3) 的手算）： 1. 2 × 2 × 2 × 2 = ＿＿＿　（4 个 2 相乘） 1. (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = ＿＿＿　（5 个 -2 相乘，负号 5 个 → 负） 1. × × = ＿＿＿　（3 个 相乘） 💭 观察：这些算式 因数相同、写起来又长又累。要是有 100 个 2 相乘，你愿意抄 100 遍吗？ 💡 数学家的智慧：发明一个新记号 —— 把 4 个 2 相乘简写成 2⁴，把 100 个 2 相乘简写成 2¹⁰⁰。这就是本节课要学的 乘方！ 【回顾二】几何里的老朋友 —— a² 与 a³ 其实你在小学几何里早就见过乘方了： 图形 公式 乘方记号 读法 边长 a 的正方形 棱长 a 的正方体 💡 结论：平方来自面积、立方来自体积；这节课我们要把这个上标记号推广到 任意 n 次方。 【情境导入】细胞分裂 —— 乘方的暴涨速度 生物课上老师说：某种细胞每 20 分钟 分裂一次，1 个变 2 个、2 个变 4 个、4 个变 8 个…… 👉 请你算：从 1 个细胞开始，2 小时后 一共有多少个细胞？ 时刻 分裂次数 连乘式 细胞数（个） 0 分钟 0 次 1 ＿ 20 分钟 1 次 2 ＿ 40 分钟 2 次 2 × 2 ＿ 60 分钟 3 次 2 × 2 × 2 ＿ 80 分钟 4 次 2 × 2 × 2 × 2 ＿ 100 分钟 5 次 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ＿ 120 分钟 6 次 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ＿＿＿＿ 💡 领悟：乘方不是花哨的记号 —— 它是面对指数级增长最简洁的表达方式（细胞分裂、复利、人口、病毒传播、连锁反应……全都要用它）。 四、探究：乘方的定义与符号法则 探究一　乘方的定义与三要素 🌟 定义：一般地，n 个相同的因数 a 相乘，即 a × a × a × ⋯ × a（共 n 个 a），记作 aⁿ；这种运算叫做 乘方，乘方的结果叫做 幂。 名称 位置（在 aⁿ 中） 含义 底数 下方的 a 相乘的那个相同因数（也就是 被乘方的数） 指数 右上角的 n 底数 a 相乘的 次数（几个 a 相乘） 幂 整个 aⁿ 乘方运算的 结果，读作 「a 的 n 次幂」 或 「a 的 n 次方」 ⚠️ 特别约定：a¹ = a（1 个 a 相乘就是它本身，指数为 1 时通常省略不写）；反过来看到 a，可以理解为 a¹。 📝 读写练习：请把下面 5 个式子读一遍并写出底数与指数： 式子 读作 底数 指数 2⁵ ＿＿＿ ＿ ＿ (-3)⁴ ＿＿＿ ＿ ＿ ()³ ＿＿＿ ＿ ＿ -5²　（陷阱！） ＿＿＿ ＿ ＿ 7¹　（= 7） ＿＿＿ ＿ ＿ 探究二　符号法则 —— 4 类情形观察表 请你逐个计算并观察结果的符号，然后自己归纳规律： 类型 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 2ⁿ ＿ ＿ ＿ ＿ 0ⁿ ＿ ＿ ＿ ＿ (-2)ⁿ ＿ ＿ ＿ ＿ 符号规律（观察上一行） ＿ ＿ ＿ ＿ 💡 归纳（请你填空）： 1. ① 正数的任何次幂都是 ＿＿＿ 1. ② 0 的任何 正整数 次幂都是 ＿＿＿ 1. ③ 负数的 偶数 次幂是 ＿＿＿ 1. ④ 负数的 奇数 次幂是 ＿＿＿ 🎯 口诀（背熟！）：正正、零零、负偶正、负奇负 探究三　★ 核心难点：(-a)ⁿ 与 -aⁿ 的区分 👀 请你观察下面两个式子的差别： (-2)⁴ -2⁴ 底数是 -2（整个括号） 指数 4 作用于 -2 整体 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = ＿＿＿　（4 个负号相乘 → 正） 底数是 2（只有 2！） 指数 4 只作用于 2，负号在平方之后加上 = -(2 × 2 × 2 × 2) = -(2⁴) = ＿＿＿　（4 个正数相乘 → 正，再取相反数） 🎯 口诀（写进笔记本！）：「括号内是底数，括号外是符号」 换句话说：只有把负号圈进括号，它才是底数的一部分；否则负号是运算符（相反数），要最后再作用。 📝 辨析练习：下面 5 个式子，请指出底数并计算： 式子 底数 展开 结果 (-3)² ＿ ＿＿＿ ＿ -3² ＿ ＿＿＿ ＿ ()² ＿ ＿ ＿ -()² ＿ ＿ ＿ (-1)¹⁰⁰ ＿ ＿＿＿ ＿ 五、例题精讲 例1　乘方直接计算（会算 → 手要快） 计算下列各式： 1. 4³ 1. (-3)⁴ 1. ()² 1. -2⁵ 1. (-1)²⁰²⁶　 例2　符号辨析（不算数、只判号） 下面 5 个式子，请你 不用具体计算，直接判断结果的符号（+/-/0）： 1. (-7)²⁰²⁶ 1. (-7)²⁰²⁵ 1. -7²⁰²⁶　 1. 0²⁰²⁶ 1. (-)¹⁰¹ 六、当堂检测（≈ 12 分钟） (一) 基础填空（每空 3 分，共 12 分） 1. 在 (-5)⁷ 中，底数是 ＿＿，指数是 ＿＿，读作 ＿＿＿＿＿；结果的符号是 ＿＿。 2. -3⁴ 中，底数是 ＿＿，指数是 ＿＿；结果 = ＿＿＿。 3. 5 个 -3 相乘写成乘方形式为 ＿＿＿＿；6 个 相乘写成乘方形式为 ＿＿。 4. (-1)²⁰²⁶ + (-1)²⁰²⁵ = ＿＿　 (二) 辨析选择（每题 4 分，共 8 分） 1. 下列各组数中，相等的是（　　） A. -3² 与 (-3)²　　B. -3² 与 -(3)²　　C. (-3)³ 与 -3³　　D. 以上都相等 2. 若 a < 0，则下列一定为负数的是（　　） A. a²　　B. -a²　　C. a³　　D. (-a)³ (三) 计算（每题 5 分，共 20 分） 1. (-2)³ × (-) + 5 1. (-3)² - 2² × () - 5 1. (-)² × () + (-2)³ 1. [(-2)² - (-3)²] ÷ (-1)²⁰²⁶ (四) 生活应用（10 分） 题目：拉面师傅表演拉面 —— 把一根面从中间对折拉长成 2 根，再对折拉长成 4 根，再对折拉长成 8 根……对折 10 次 后一共有多少根面？ 　解：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　答：对折 10 次后共 ＿＿＿＿ 根面。 七、本节思维导图 有理数的乘方 aⁿ │ ┌─────────────────────┼─────────────────────┐ │ │ │ 定义 符号法则 混合运算顺序 │ │ │ ┌───┴───┐ ┌───┴───┐ ┌───┴───┐ 底数 指数 正数幂 负数幂 乘方 → 乘除 → 加减 a n → 正 │ 有括号先算括号 │ ┌───────┴───────┐ │ │ 偶次幂 → 正 奇次幂 → 负 ★ 核心口诀 ★ 「括号内是底数，括号外是符号」 ★ 符号口诀 ★ 「正正、零零、负偶正、负奇负」 一句话总结 乘方 = 相同因数的连乘的简写；先圈底数、再看指数奇偶、最后按 乘方 → 乘除 → 加减 的顺序算。 八、分层作业（🅰 → 🅱 → 🅲） 🅰　基础（人人必做） 一、判断题（对的打 ✔，错的打 ✘） 1. (1) -2⁴ = 16　　　（　　） 1. (2) (-2)⁴ = 16　　　（　　） 1. (3) (-1)²⁰²⁶ = -1　　　（　　） 1. (4) 0³ = 0　　　（　　） 1. (5) 一个数的平方一定是正数　　　（　　） 1. (6) 一个数的立方与这个数同号　　　（　　） 二、填空题 1. 5 个 -2 相乘的乘方形式是 ＿＿＿＿，结果 = ＿＿。 2. (-)³ = ＿；(-)² = ＿。 3. 若 aⁿ = 25 且 a < 0，则 a = ＿＿，n = ＿＿　（负偶正）。 4. 用乘方表示：地球到太阳的距离约 1.5 亿千米 = 1.5 × ＿＿＿ 千米。（引入科学计数法思路） 三、计算题 (1) (-4)² 　解：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　　＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿ (2) -4² 　解：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　　＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿ (3) ()⁴ 　解：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　　＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿ (4) (-1)⁹⁹ + (-1)¹⁰⁰ 　解：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　　＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿ 🅱　进阶（学有余力） 一、简算大比拼 ⚡ 题目：计算 (-1) + (-1)² + (-1)³ + (-1)⁴ + ⋯ + (-1)²⁰²⁵ + (-1)²⁰²⁶ 　解：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　答：原式 = ＿＿＿＿ 二、定义新运算 规定新运算 a ▲ b = aᵇ + bᵃ。例如：2 ▲ 3 = 2³ + 3² = 8 + 9 = 17。 请计算：3 ▲ 2 = 🅲　拓展（挑战自己） (1) 大小比较 · 别被表象骗！ 比较大小：(-2)⁴、-2⁴、(-2)³、-2³、(-2)²、-2²，从小到大排序。 (2) 逆向思维 · 已知幂求底 已知 aⁿ = 64（其中 a、n 都是整数），请写出 所有可能的 (a, n) 组合（提示：至少 5 组）。 　请写出所有组合： 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (3) ★ 章节预告 · 挑战 2.3.1 混合运算综合题 预习任务：下一节我们将学习 有理数的加减乘除乘方混合运算。请你先尝试计算下面这道综合题，看看你能不能按正确顺序独立完成： 　　　计算：-3² + (-2)³ × () - 12 ÷ (2² - 1) 　解：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　答：＿＿＿＿＿ 九、学习反思 1. 我能准确说出乘方的定义（n 个相同因数相乘 = aⁿ） ☐ 是　☐ 否 2. 我能熟练背诵符号口诀：正正、零零、负偶正、负奇负 ☐ 是　☐ 否 3. 我能分清 (-a)ⁿ 与 -aⁿ 的底数不同 ☐ 是　☐ 否 4. 我知道 -3² 的底数是 3（不是 -3） ☐ 是　☐ 否 5. 我掌握了混合运算顺序：乘方 → 乘除 → 加减 ☐ 是　☐ 否 6. 我理解为什么要发明「乘方」这个记号（简写连乘） ☐ 是　☐ 否 💭 本节课我最大的收获：__________________________________________________ 💭 我还想搞明白的问题：__________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.5 有理数的乘方 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 目标 1　理解乘方的意义 理解 n 个相同因数相乘可以简写为 aⁿ，能准确读、写幂，识别底数、指数、幂三要素；牢记 a¹ = a（指数为 1 时省略）。 目标 2　掌握符号法则 能熟练判断幂的符号：正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂为正数、奇次幂为负数；0 的正整数次幂都是 0。 目标 3　区分（-a）ⁿ 与 -aⁿ，掌握混合运算顺序 能识别底数（括号内是底数，括号外是符号）；掌握有理数混合运算顺序 —— 先乘方 → 再乘除 → 最后加减，有括号先算括号里的；同级运算从左到右依次进行。 二、重难点 重点 ① 乘方的意义 —— 会把 n 个相同因数相乘写成 aⁿ、把 aⁿ 展开成连乘；　② 熟记符号法则（正数幂正、负偶正、负奇负、0 的正整数次幂为 0）；　③ 掌握含乘方的混合运算顺序。 难点 ① 严格区分 (-a)ⁿ 与 -aⁿ —— 括号内是底数，括号外是符号；　② 分数、负数为底数时括号书写规范（如 ()² 不同于 -()² ）；　③ 混合运算中乘方与负号的先后关系。 易错点 ① -2⁴ 与 (-2)⁴ 混淆 —— 前者 = -(2×2×2×2) = -16；后者 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2) = +16。 ② 分数底数漏写括号　—— 写 ² 是错的，规范写法为 ()²。 ③ 指数是 1 时不省略 —— 写 a¹ 而非 a；反之，看到 a 应理解为 a¹（指数隐含）。 ④ 混合运算顺序错乱 —— 3² + 2 应先算 3²（= 9），得 11；错误做法：先算 3+2 = 5，再平方得 25。 三、复习回顾与情境导入 【回顾一】写累了的算式 —— 我们需要一个新记号！ 先算下面 3 个算式（承接 2.2.4 作业🅲(3) 的手算）： 1. 2 × 2 × 2 × 2 = 16　（4 个 2 相乘） 1. (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = -32　（5 个 -2 相乘，负号 5 个 → 负） 1. × × = 　（3 个 相乘） 💭 观察：这些算式 因数相同、写起来又长又累。要是有 100 个 2 相乘，你愿意抄 100 遍吗？ 💡 数学家的智慧：发明一个新记号 —— 把 4 个 2 相乘简写成 2⁴，把 100 个 2 相乘简写成 2¹⁰⁰。这就是本节课要学的 乘方！ 【回顾二】几何里的老朋友 —— a² 与 a³ 其实你在小学几何里早就见过乘方了： 图形 公式 乘方记号 读法 边长 a 的正方形 面积 = a × a a² a 的平方（或 a 的 2 次方） 棱长 a 的正方体 体积 = a × a × a a³ a 的立方（或 a 的 3 次方） 💡 结论：平方来自面积、立方来自体积；这节课我们要把这个上标记号推广到 任意 n 次方。 【情境导入】细胞分裂 —— 乘方的暴涨速度 生物课上老师说：某种细胞每 20 分钟 分裂一次，1 个变 2 个、2 个变 4 个、4 个变 8 个…… 👉 请你算：从 1 个细胞开始，2 小时后 一共有多少个细胞？ 时刻 分裂次数 连乘式 细胞数（个） 0 分钟 0 次 1 1 20 分钟 1 次 2 2 40 分钟 2 次 2 × 2 4 60 分钟 3 次 2 × 2 × 2 8 80 分钟 4 次 2 × 2 × 2 × 2 16 100 分钟 5 次 2 × 2 × 2 × 2 × 2 32 120 分钟 6 次 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2⁶ = 64 🎯 答：2 小时（= 6 个 20 分钟） → 分裂 6 次 → 一共 2⁶ = 64 个细胞。 💡 追问：如果不停分裂，10 小时（= 30 次）后有多少个？ 答：2³⁰ = 1 073 741 824 ≈ 10.7 亿个 —— 远超地球总人口！这就是乘方 指数爆炸 的威力。 💡 领悟：乘方不是花哨的记号 —— 它是面对指数级增长最简洁的表达方式（细胞分裂、复利、人口、病毒传播、连锁反应……全都要用它）。 四、探究：乘方的定义与符号法则 探究一　乘方的定义与三要素 🌟 定义：一般地，n 个相同的因数 a 相乘，即 a × a × a × ⋯ × a（共 n 个 a），记作 aⁿ；这种运算叫做 乘方，乘方的结果叫做 幂。 名称 位置（在 aⁿ 中） 含义 底数 下方的 a 相乘的那个相同因数（也就是 被乘方的数） 指数 右上角的 n 底数 a 相乘的 次数（几个 a 相乘） 幂 整个 aⁿ 乘方运算的 结果，读作 「a 的 n 次幂」 或 「a 的 n 次方」 ⚠️ 特别约定：a¹ = a（1 个 a 相乘就是它本身，指数为 1 时通常省略不写）；反过来看到 a，可以理解为 a¹。 📝 读写练习：请把下面 5 个式子读一遍并写出底数与指数： 式子 读作 底数 指数 2⁵ 2 的 5 次方（幂） 2 5 (-3)⁴ 负 3 的 4 次方 -3 4 ()³ 负三分之二的 3 次方 - 3 -5²　（陷阱！） 5 的 2 次方的相反数 5（不是 -5） 2 7¹　（= 7） 7 的 1 次方（就是 7 本身） 7 1 ⚠️ 教学重点：第 4 行 -5² —— 学生 99% 会把底数说成 -5，这里必须在课堂上停下来讲透：只有 5 被平方，负号是在平方之后加上的，所以底数是 5。这也是探究三的核心！ 探究二　符号法则 —— 4 类情形观察表 请你逐个计算并观察结果的符号，然后自己归纳规律： 类型 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 2ⁿ 2 4 8 16 0ⁿ 0 0 0 0 (-2)ⁿ -2 +4 -8 +16 符号规律（观察上一行） 负 正 负 正 💡 归纳（请你填空）： 1. ① 正数的任何次幂都是 正数 1. ② 0 的任何 正整数 次幂都是 0 1. ③ 负数的 偶数 次幂是 正数 1. ④ 负数的 奇数 次幂是 负数 🎯 口诀（背熟！）：正正、零零、负偶正、负奇负 🔗 承前启后：2.2.4 探究二我们已经通过「负号个数 5 行观察表」得出 负号偶数个 → 正、奇数个 → 负；本节符号法则是它的 特殊情形（所有因数都相同的连乘）。学生若在这里卡壳，可回顾上节内容。 探究三　★ 核心难点：(-a)ⁿ 与 -aⁿ 的区分 👀 请你观察下面两个式子的差别： (-2)⁴ -2⁴ 底数是 -2（整个括号） 指数 4 作用于 -2 整体 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = +16　（4 个负号相乘 → 正） 底数是 2（只有 2！） 指数 4 只作用于 2，负号在平方之后加上 = -(2 × 2 × 2 × 2) = -(2⁴) = -16　（4 个正数相乘 → 正，再取相反数） 🎯 口诀（写进笔记本！）：「括号内是底数，括号外是符号」 换句话说：只有把负号圈进括号，它才是底数的一部分；否则负号是运算符（相反数），要最后再作用。 📝 辨析练习：下面 5 个式子，请指出底数并计算： 式子 底数 展开 结果 (-3)² -3 (-3)×(-3) +9 -3² 3 -(3×3) -9 ()² - (-)×(-) + -()² -(×) - (-1)¹⁰⁰ -1 100 个 (-1) 相乘 +1（偶次幂） 💡 学生画像：最高频错误 —— (-1)¹⁰⁰ 写成 -1（学生只看到负号就写负）。反问：底数是什么？是 -1；负数偶次幂 → 正；答 +1。 💡 板书建议：在黑板上红色粉笔圈出括号，让学生亲眼看见 「括号内」 与 「括号外」。 五、例题精讲 例1　乘方直接计算（会算 → 手要快） 计算下列各式： 1. 4³ 1. (-3)⁴ 1. ()² 1. -2⁵ 1. (-1)²⁰²⁶　（注意指数是偶数） (1) 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 (2) (-3)⁴　底数 = -3，负偶 → 正 　　= (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = 9 × 9 = 81 (3) ()²　底数 = ，负偶 → 正 　　= × = + = (4) -2⁵　⚠️ 底数是 2（不是 -2），先算 2⁵ 再取相反数 　　= -(2 × 2 × 2 × 2 × 2) = -32　→　答：-32 (5) (-1)²⁰²⁶　底数 -1，指数 2026 是偶数 → 正 　　= +1　（口诀：负偶正、负奇负；(-1)ⁿ 只看指数奇偶） 💡 一句话：(-1)ⁿ 是符号计算的万能工具 —— 指数偶 → +1，指数奇 → -1。它会在中考、奥赛中反复出现。 例2　符号辨析（不算数、只判号） 下面 5 个式子，请你 不用具体计算，直接判断结果的符号（+/-/0）： 1. (-7)²⁰²⁶ 1. (-7)²⁰²⁵ 1. -7²⁰²⁶　★（注意底数） 1. 0²⁰²⁶ 1. (-)¹⁰¹ (1) (-7)²⁰²⁶　底数 -7，指数 2026 偶 → 正 (2) (-7)²⁰²⁵　底数 -7，指数 2025 奇 → 负 (3) -7²⁰²⁶　★ 底数是 7（不是 -7）！7 的任何次幂 = 正，再加负号 → 负 (4) 0²⁰²⁶　0 的任何正整数次幂 = 0 (5) ()¹⁰¹　底数是 （分数底），指数 101 奇 → 负 💡 训练目标：符号判断 = 30 秒内完成，靠的不是心算而是 三步法： 　① 圈底数（有括号看括号；无括号只看那个数） 　② 看底数是正/负/零 　③ 看指数奇/偶（负底才用此步） 六、当堂检测（≈ 12 分钟） (一) 基础填空（每空 3 分，共 12 分） 1. 在 (-5)⁷ 中，底数是 -5，指数是 7，读作 「-5 的 7 次方（幂）」；结果的符号是 负。 2. -3⁴ 中，底数是 3，指数是 4；结果 = -81。 3. 5 个 -3 相乘写成乘方形式为 (-3)⁵；6 个 相乘写成乘方形式为 ()⁶。 4. (-1)²⁰²⁶ + (-1)²⁰²⁵ = 0　（一个正、一个负，相加抵消） (二) 辨析选择（每题 4 分，共 8 分） 1. 下列各组数中，相等的是（　　） A. -3² 与 (-3)²　　B. -3² 与 -(3)²　　C. (-3)³ 与 -3³　　D. 以上都相等 答案：B、C（多选，或写 A 错、B 对、C 对、D 错） 解析： A：-3² = -9，(-3)² = +9　→　不相等 B：-3² = -9，-(3)² = -9　→　相等 ✅ C：(-3)³ = -27，-3³ = -(3³) = -27　→　相等 ✅ D：既然 A 不成立，故错 💡 规律：(-a)ⁿ = -aⁿ 当且仅当指数 n 是奇数；n 为偶数时 (-a)ⁿ = +aⁿ ≠ -aⁿ。 2. 若 a < 0，则下列一定为负数的是（　　） A. a²　　B. -a²　　C. a³　　D. (-a)³ 答案：B、C（多选题；单选优先答 C） 解析：设 a = -2（举反例最快）： A：a² = 4 → 正 B：-a² = -(a²) = -4 → 负 ✅ C：a³ = -8 → 负 ✅（负奇负） D：(-a)³ = (-(-2))³ = 2³ = 8 → 正 💡 训练目标：学会用 代特值法 快速验证符号题（比如遇到抽象字母，用 a = -2 试一下）。 (三) 计算（每题 5 分，共 20 分） 1. (-2)³ × (-) + 5 1. (-3)² - 2² × () - 5 1. (-)² × () + (-2)³ 1. [(-2)² - (-3)²] ÷ (-1)²⁰²⁶ (1) 解：(-2)³ = -8；原式 = -8 × (-) + 5 = 2 + 5 = 7 (2) 解：(-3)² = 9；2² = 4；原式 = 9 - 4 × (-) - 5 = 9 + 2 - 5 = 6 (3) 解：()² = +；(-2)³ = -8 　　原式 = × () + (-8) = -1 + (-8) = -9 (4) 解：(-2)² = 4；(-3)² = 9；(-1)²⁰²⁶ = 1；原式 = (4 - 9) ÷ 1 = -5 ÷ 1 = -5 (四) 生活应用（10 分） 题目：拉面师傅表演拉面 —— 把一根面从中间对折拉长成 2 根，再对折拉长成 4 根，再对折拉长成 8 根……对折 10 次 后一共有多少根面？ 解：每对折 1 次，根数变为原来的 2 倍。对折 n 次后有 2ⁿ 根。 对折 10 次 → 2¹⁰ = 1024 根。 💡 拓展追问：如果拉面师傅有一根 1 米长 的面，拉 10 次后每根多细？ 答：1 米 ÷ 1024 ≈ 0.98 毫米（差不多头发丝的 10 倍粗）—— 龙须面！ 七、本节思维导图 有理数的乘方 aⁿ │ ┌─────────────────────┼─────────────────────┐ │ │ │ 定义 符号法则 混合运算顺序 │ │ │ ┌───┴───┐ ┌───┴───┐ ┌───┴───┐ 底数 指数 正数幂 负数幂 乘方 → 乘除 → 加减 a n → 正 │ 有括号先算括号 │ ┌───────┴───────┐ │ │ 偶次幂 → 正 奇次幂 → 负 ★ 核心口诀 ★ 「括号内是底数，括号外是符号」 ★ 符号口诀 ★ 「正正、零零、负偶正、负奇负」 一句话总结 乘方 = 相同因数的连乘的简写；先圈底数、再看指数奇偶、最后按 乘方 → 乘除 → 加减 的顺序算。 八、分层作业（🅰 → 🅱 → 🅲） 🅰　基础（人人必做） 一、判断题（对的打 ✔，错的打 ✘） 1. (1) -2⁴ = 16　✘（应为 -16，底数是 2 不是 -2） 1. (2) (-2)⁴ = 16　✔ 1. (3) (-1)²⁰²⁶ = -1　✘（偶次幂 = +1） 1. (4) 0³ = 0　✔（0 的正整数次幂 = 0） 1. (5) 一个数的平方一定是正数　✘（0 的平方 = 0，反例） 1. (6) 一个数的立方与这个数同号　✔（负³ 负、正³ 正、0³ = 0） 二、填空题 1. 5 个 -2 相乘的乘方形式是 (-2)⁵，结果 = -32。 2. (-)³ = -；(-)² = +。 3. 若 aⁿ = 25 且 a < 0，则 a = -5，n = 2　（负偶正）。 4. 用乘方表示：地球到太阳的距离约 1.5 亿千米 = 1.5 × 10⁸ 千米。（引入科学计数法思路） 三、计算题 (1) (-4)² = (-4)×(-4) = 16 (2) -4² 底数是 4；= -(4×4) = -16 (3) ()⁴ 负偶 → 正；= + = + (4) (-1)⁹⁹ + (-1)¹⁰⁰ (-1)⁹⁹ = -1（奇）；(-1)¹⁰⁰ = +1（偶）；原式 = -1 + 1 = 0 🅱　进阶（学有余力） 一、简算大比拼 ⚡ 题目：计算 (-1) + (-1)² + (-1)³ + (-1)⁴ + ⋯ + (-1)²⁰²⁵ + (-1)²⁰²⁶ 思路：(-1) 的奇次幂 = -1、偶次幂 = +1；两两配对相加 = 0。 原式 = [(-1) + (+1)] + [(-1) + (+1)] + ⋯ 从 1 到 2026 共 2026 项，恰好 1013 对，每对和为 0。 答案：原式 = 0 💡 变式：如果只算到 2025（奇数项），结果 = -1（多出末项 -1）。看清项数奇偶是关键！ 二、定义新运算 规定新运算 a ▲ b = aᵇ + bᵃ。例如：2 ▲ 3 = 2³ + 3² = 8 + 9 = 17。 请计算：3 ▲ 2 = (1) 3 ▲ 2 = 3² + 2³ = 9 + 8 = 17 🅲　拓展（挑战自己） (1) 大小比较 · 别被表象骗！ 比较大小：(-2)⁴、-2⁴、(-2)³、-2³、(-2)²、-2²，从小到大排序。 先算各值： (-2)⁴ = +16；　-2⁴ = -16 (-2)³ = -8；　-2³ = -8　（相等！） (-2)² = +4；　-2² = -4 排序：-2⁴ < (-2)³ = -2³ < -2² < (-2)² < (-2)⁴　即 -16 < -8 = -8 < -4 < +4 < +16 💡 规律：(-a)ⁿ 与 -aⁿ 在 n 为奇数 时相等（都是负）；在 n 为偶数 时互为相反数（一正一负）。 (2) 逆向思维 · 已知幂求底 已知 aⁿ = 64（其中 a、n 都是整数），请写出 所有可能的 (a, n) 组合（提示：至少 5 组）。 解：64 = 2⁶ = 4³ = 8² = 64¹ 正底组：(2, 6)、(4, 3)、(8, 2)、(64, 1) 考虑负底：偶次幂 → 正 负底组：(-2, 6)、(-8, 2)　　（(-4)³ = -64 ≠ 64，故不取） 共 6 组：(2, 6)、(4, 3)、(8, 2)、(64, 1)、(-2, 6)、(-8, 2) 💡 训练目标：从结果反推过程——这是初中代数最重要的思维方式之一，为方程与因式分解铺垫。 (3) ★ 章节预告 · 挑战 2.3.1 混合运算综合题 预习任务：下一节我们将学习 有理数的加减乘除乘方混合运算。请你先尝试计算下面这道综合题，看看你能不能按正确顺序独立完成： 　　　计算：-3² + (-2)³ × () - 12 ÷ (2² - 1) 解（示范作答）： ① 先算乘方：-3² = -9；(-2)³ = -8；2² = 4 ② 再算括号内：2² - 1 = 4 - 1 = 3 ③ 代回原式 = -9 + (-8) × () - 12 ÷ 3 ④ 再算乘除：(-8) × () = +4；　12 ÷ 3 = 4 ⑤ 最后加减：-9 + 4 - 4 = -9 💡 章节预告：2.3.1 会把加、减、乘、除、乘方 5 种运算 彻底串起来——本节课先乘方、后乘除、末加减、括号先 是永远的通用顺序，下一节就是它的实战演练。 🎯 承前启后：这道题实际上已经就是 2.3.1 的原型题！先做出来的同学在下一节会有很强的优越感。 九、学习反思 1. 我能准确说出乘方的定义（n 个相同因数相乘 = aⁿ） ☐ 是　☐ 否 2. 我能熟练背诵符号口诀：正正、零零、负偶正、负奇负 ☐ 是　☐ 否 3. 我能分清 (-a)ⁿ 与 -aⁿ 的底数不同 ☐ 是　☐ 否 4. 我知道 -3² 的底数是 3（不是 -3） ☐ 是　☐ 否 5. 我掌握了混合运算顺序：乘方 → 乘除 → 加减 ☐ 是　☐ 否 6. 我理解为什么要发明「乘方」这个记号（简写连乘） ☐ 是　☐ 否 💭 本节课我最大的收获：__________________________________________________ 💭 我还想搞明白的问题：__________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $