精品解析：广东广州市天河区2025-2026学年第二学期学业水平调研高二数学

天河区2025学年第二学期学业水平调研 高二数学 本试卷19小题，满分为150分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从8名男运动员和4名女运动员中选出一男一女参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有（ ） A. 12种 B. 32种 C. 66种 D. 132种 2. 下列求函数的导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 袋中有个红球，个白球，若从袋中任取个球，则其中恰有个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ） （附：若，则，．） A. 0.0456 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3174 5. 随机变量的分布列为．若的均值为，则（ ） A. B. C. D. 6. 某地的中学生中有70%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，90%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，如果已知该同学爱好滑雪，那么该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在1，2，3，4，5，6这6个数中选4个数随机填入如图所示的方格表中，每个小方格只填一个数，且所填数各不相同，则每行、每列所填数之积都是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知，则（ ） A. B. ， C. D. 10. 已知变量，的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为，则（ ） 1 2 3 4 5 5 9 12 15 19 （参考公式：样本相关系数．） A. B. 样本中变量与正相关 C. 当时，的预测值为22.2 D. 将的每个数据都加上2，的每个数据都乘以2，样本相关系数不变 11. 已知函数，以下结论正确的是（ ） A. 在区间单调递增 B. 有最小值，且最小值不大于0 C. 存在实数，当时， D. 若，则方程有一个负实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的二项展开式中，的系数为__________． 13. 已知函数在处取得极小值，则__________． 14. 甲、乙进行一场台球比赛，每一局甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．两人约定：若一人比另一人多获胜2局，则比赛结束，该人获胜．比赛局数为4局的概率是__________．甲获得比赛胜利（不清楚比赛局数）的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． （1）求和； （2）若，求数列的前项和． 16. 某校开展学生科普读物阅读推广活动，为了解学生的阅读情况，现抽取名学生进行问卷调查，得到学生阅读科普书目的情况，经统计绘制成如下频率分布直方图．现规定阅读书目数不低于的同学获优秀奖． （1）若抽取的名学生中有名男生，其中名男生未获优秀奖，请完成下列列联表．根据小概率值的独立性检验，能否认为是否获奖与性别有关． 性别 是否获奖 合计 获优秀奖 未获优秀奖 男生 女生 合计 （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现从全校中随机抽取名学生，记被抽取的3名学生中的获优秀奖的人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差． 参考公式及数据： 17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若平面，直线与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积． 18. 已知双曲线的渐近线方程，上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2． （1）求双曲线的标准方程； （2）若点在第一象限，点为的左顶点，点为的右焦点． （i）求证：； （ii）延长线段与的右支相交于点，求的最小值． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的极值点个数； （3）若存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天河区2025学年第二学期学业水平调研 高二数学 本试卷19小题，满分为150分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从8名男运动员和4名女运动员中选出一男一女参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有（ ） A. 12种 B. 32种 C. 66种 D. 132种 【答案】B 【解析】 【分析】依据分步乘法计数原理，分别计算选取男、女运动员的选法数，二者相乘即可得到总选法数. 【详解】根据分步乘法计数原理，第一步：从8名男运动员中选取1名，共有种选法； 第二步：从4名女运动员中选取1名，共有种选法； 因此不同的选法总共有种. 2. 下列求函数的导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本初等函数求导公式与复合函数求导法则对各选项逐一验证. 【详解】选项A：，A正确； 选项B：根据余弦函数求导公式，，B错误； 选项C：为常数，常数的导数为0，即，C错误； 选项D：令，由复合函数求导法则，，D错误. 3. 袋中有个红球，个白球，若从袋中任取个球，则其中恰有个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据古典概型概率公式，结合超几何分布的计数逻辑，计算符合条件的取法数与总取法数的比值即可． 【详解】袋中共有个球，从袋中任取个球，取法有种， 若取出的个球中恰有个红球，则剩余个为白球，取法有种， 所以所求概率为． 4. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ） （附：若，则，．） A. 0.0456 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3174 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性，结合给定的一倍标准差区间和两倍标准差区间的概率，计算目标区间的概率. 【详解】由题意，该正态分布的均值，标准差， 由题设，，结合正态分布曲线的对称性， 则. 5. 随机变量的分布列为．若的均值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合离散型随机变量分布列的概率和为1的性质、数学期望计算公式列方程组求解参数，再计算的值即可. 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质，所有取值对应的概率之和为1， 可得：，代入， 化简得： 根据离散型随机变量数学期望的定义，结合已知，可得：，代入概率表达式，化简得： 联立解得， 因此. 6. 某地的中学生中有70%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，90%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，如果已知该同学爱好滑雪，那么该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过概率的加法公式求出同时爱好滑冰和滑雪的概率，再代入条件概率公式计算所求概率． 【详解】设事件表示“该同学爱好滑冰”，事件表示“该同学爱好滑雪”， 由题意得：，，， 由，得， 解得， 所以． 7. 在1，2，3，4，5，6这6个数中选4个数随机填入如图所示的方格表中，每个小方格只填一个数，且所填数各不相同，则每行、每列所填数之积都是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出6个数中选4个数放入方格表的种数，再分两种情况，得到每行、每列所填数之积都是偶数的个数，从而求出概率 【详解】1，2，3，4，5，6这6个数中选4个数随机填入方格表中，共有个， 每行、每列所填数之积都是偶数， ①当4个方格有3个偶数时满足要求， 从3个奇数中选一个，和3个偶数进行全排列，共有个， ②当4个方格表有2个偶数且分布在对角线上时，满足要求， 从3个偶数中选2个，且放在某一条对角线上，有种选择， 再从3个奇数中选两个，放在剩余的对角线上，有种选择，故此时有个， 综上，共有个， 所以每行、每列所填数之积都是偶数的概率是. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过构造辅助函数，，利用导数判断函数在区间上的单调性，结合单调性比较函数值大小即可判断选项正误 【详解】对AB选项，构造函数，，求导得：， 令，则，所以在上单调递增， 且，，故存在使得， 即在上单调递减，在上单调递增. 因为不能判断与函数的单调区间的位置关系，因此不能判断的大小关系. 即不能确定与的大小关系，故不能确定与的大小， 对CD选项，构造函数，，求导得： ， 令，，求导： ， 当时，，，故，即在上单调递减，， 因此对任意，，即，故在上单调递减， 因为，所以，即，所以， 因此C正确，D错误. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知，则（ ） A. B. ， C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，求出的值，即可判断A；令，求出的值，即可判断B；先求出的二项展开式的通项，进而判断展开式各项系数的正负，从而去掉绝对值符号，令，可求出的值，即可判断C；先令，再将式子左右两边同时乘以，从而求出的值，即可判断D. 【详解】已知， 令，可得，故A正确； 令，可得，故B错误； 令，可得. 的展开式的通项为， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以，故C正确； 令，可得， 将上式左右两边同时乘以，可得，故D正确. 10. 已知变量，的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为，则（ ） 1 2 3 4 5 5 9 12 15 19 （参考公式：样本相关系数．） A. B. 样本中变量与正相关 C. 当时，的预测值为22.2 D. 将的每个数据都加上2，的每个数据都乘以2，样本相关系数不变 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出，再根据回归直线必过样本中心点，求出，即可判断A，B；将代入经验回归方程，求出，即可判断C；设，，求出，再代入样本相关系数公式求出，进而得到与的关系，即可判断D. 【详解】因为，， 回归直线必过样本中心点，所以，解得，故A错误； 因为，说明增大时，的预测值也随之增大，所以样本中变量与 正相关，故B正确； 将代入经验回归方程，可得， 即的预测值为22.2，故C正确； 将的每个数据都加上2，的每个数据都乘以2，设，， 则， ， 则，， 代入样本相关系数公式可得 ， 即样本相关系数不变，故D正确. 11. 已知函数，以下结论正确的是（ ） A. 在区间单调递增 B. 有最小值，且最小值不大于0 C. 存在实数，当时， D. 若，则方程有一个负实根 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，分析函数的单调性，可判断A的真假；确定函数的最小值，设辅助函数，可求最小值的最大值，判断B的真假；分析当时，函数值的符号，可判断C的真假；利用函数的单调性及函数零点存在性的判定方法，可判断D的真假. 【详解】对A：因为，所以， 由可得，由可得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在区间单调递增，故A正确； 对B：由函数的单调性可知，有最小值，为，. 设，，则. 由可得，由可得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以有最小值，且最小值不大于0，故B正确； 对C：若，则当时，， 此时不存在实数，当时，，故C错误； 对D：当时，，函数在上单调递减， 在上单调递增，且，且当时，，， 所以唯一存在，使得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的二项展开式中，的系数为__________． 【答案】 6 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，令的指数等于4求出对应参数值，代入计算即可得到系数. 【详解】的二项展开式的第项为通项，其中， 通项公式为：  整理可得：  ， 令的指数为4，即，解得, 将代入系数项，得，故的系数为6. 13. 已知函数在处取得极小值，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求出的值，再检验是否为极小值点即可. 【详解】由，又函数在处取得极小值， 则，解得，或， 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极小值， 故时符合题意； 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极大值， 故时不符合题意. 故答案为：. 14. 甲、乙进行一场台球比赛，每一局甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．两人约定：若一人比另一人多获胜2局，则比赛结束，该人获胜．比赛局数为4局的概率是__________．甲获得比赛胜利（不清楚比赛局数）的概率是__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率公式可求得答案． 【详解】比赛局数为4局说明：前两局比分为，第3、4局甲或乙连胜. 设比赛局数为，则. 因为每两局，比分为的概率为，每两局甲连胜的概率为. 设甲获得比赛胜利的概率为，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． （1）求和； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 由等差数列求和公式得， 化简得， 因为且,所以是常数， 因此是等比数列，设其公比为，则， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列通项公式得， 所以，. 【小问2详解】 因为， 设数列的前项和为，则 所以数列的前项和为. 16. 某校开展学生科普读物阅读推广活动，为了解学生的阅读情况，现抽取名学生进行问卷调查，得到学生阅读科普书目的情况，经统计绘制成如下频率分布直方图．现规定阅读书目数不低于的同学获优秀奖． （1）若抽取的名学生中有名男生，其中名男生未获优秀奖，请完成下列列联表．根据小概率值的独立性检验，能否认为是否获奖与性别有关． 性别 是否获奖 合计 获优秀奖 未获优秀奖 男生 女生 合计 （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现从全校中随机抽取名学生，记被抽取的3名学生中的获优秀奖的人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差． 参考公式及数据： 【答案】（1）列联表 性别 是否获奖 合计 获优秀奖 未获优秀奖 男生 女生 合计 不能认为是否获奖与性别有关. （2）的分布列为： ； 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图得获优总人数，补全列联表，计算卡方后对比临界值得结论； （2）由频率得获优概率，判断服从二项分布，利用二项分布性质求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为，阅读书目数不低于的频率为． 所以名学生中获优秀奖的人数为，未获优秀奖的人数为． 因为男生名，其中名未获优秀奖，所以男生获优秀奖的人数为． 则女生获优秀奖的人数为，女生未获优秀奖的人数为. 列联表如下： 性别 是否获奖 合计 获优秀奖 未获优秀奖 男生 女生 合计 零假设：是否获奖与性别无关. ， 因为，所以根据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断不成立，即不能认为是否获奖与性别有关． 【小问2详解】 由（1）知，从全校中随机抽取名学生，获优秀奖的概率为． 由题意可知，的所有可能取值为，且． ， ，  ， ， 所以的分布列为： 因为， 所以期望， 方差． 17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若平面，直线与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】（1） 取的中点为，连接，. 因为为的中点， 所以是的中位线，所以，， 因为与均为等腰直角三角形，且，， 所以，所以，所以， 且，所以，所以 ， 所以，所以是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）2 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可知，需证明线线平行，取的中点，连接，可证明四边形是平行四边形，可证明； （2）根据线面垂直及线面平行，得出直线与平面所成角等于直线与平面所成角，进而得出那么. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 过做，因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 取的中点为，因为，所以是平行四边形， 所以平面，平面，所以平面， 所以A到平面的距离等于M到平面的距离， 又因为，所以是平行四边形，所以， 所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角， 在中，设， 所以，所以，所以， 所以. 18. 已知双曲线的渐近线方程，上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2． （1）求双曲线的标准方程； （2）若点在第一象限，点为的左顶点，点为的右焦点． （i）求证：； （ii）延长线段与的右支相交于点，求的最小值． 【答案】（1）； （2）（i）证明：由题意得，， 设，则，即， 当时，，故，此时， 此时，故，满足， 当时，， 其中，， ， 所以，又为锐角，， 即，， 综上，； （ii）36 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程和双曲线定义可得方程组，求出，，得到双曲线方程； （2）（i）设，分和两种情况，结合正切二倍角公式得到方程，求出； （ii）设出直线，联立双曲线方程，由根的判别式得到，求出两根之和，两根之积，并得到，换元后得到最小值 【小问1详解】 由题意得，由双曲线定义可得，解得， 故，故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 （i）略； （ii）直线方程为，联立得， 设，其中，故， 所以，解得， 且，， 故， ， ， ， ， 令，则，因为，所以，即， 故， 因为，所以，，所以的最小值为36. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的极值点个数； （3）若存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，的极值点个数为1，当时，的极值点个数为0； （3） 【解析】 【分析】（1）可将代入原函数和其导函数，分别求出和，然后利用点斜式方程书写即可； （2）通过对函数求导，得到，要求的是极值点的个数，我们可以转化为，两个函数图像的交点问题，通过对求导并判断单调区间，从而确定两函数图像的交点； （3）要使对任意成立，即，结合第（2）问，可知，取得最大值且，结合这些我们可将原不等式转化为，然后通过构造函数求解最值，即可完成求解. 【小问1详解】 当时，函数，则， 所以，又， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 因为，则， 因为，所以，所以的极值点满足， 当时，，所以无极值点， 当时，的极值点满足， 令，则， 当时，，则单调递增，所以， 当时，则与恰有一个交点， 当时，则与没有一个交点， 综上，当时，的极值点个数为1，当时，的极值点个数为0； 【小问3详解】 由（2）可知，， 当时，单调递减，且， 所以，即，且， 所以当且仅当时，取得最大值且， 又因为存在，使得对任意恒成立， 则原命题等价于存在，使得， 即得 即， 令， 则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以当时，取得最小值， 则， 故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $