精品解析：广东省广州市天河区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2024学年第二学期天河区期末考试 高二数学 本试卷19小题，满分为150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知离散型随机变量的方差为1，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质即可求解. 【详解】因为离散型随机变量的方差为1，所以. 故选：D. 2. 已知两个等差数列及，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则（ ） A. 45 B. 50 C. 54 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出两数列的公差及其最小公倍数，即为新数列的公差，再找出首先，最后根据等差数列的通项公式计算可得； 【详解】等差数列2，6，10，，190，…的公差为4， 2，8，14，，200，…的公差为6， 2与6的最小公倍数为12， 两个等差数列的公共项为2，14，26，38，50，，则公共项为，． 故选：B. 3. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB：根据基本初等函数的导函数运算求解；对于CD：根据复合函数的导函数运算求解. 【详解】对于选项A：若，则，故A错误； 对于选项B：若，则，故B错误； 对于选项C：若，则，故C正确； 对于选项D：若，则，故D错误； 故选：C. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 0 B. 10 C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】先求得展开式的通项公式，分别求和的项，结合题意即可求得答案. 【详解】由题意得展开式的通项公式为， 令，， 令，，所以的系数为0. 故选：A. 5. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，即可求解. 【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，这样的数有个， 若五位数的个位不为零，而个位仅有2，4两种选择，万位有3种选择，这样的数有， 所以五位的偶数有. 故选：C. 6. 为了解性别（变量x）与体育锻炼（变量y）是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取50名学生，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示（单位：人），根据数据计算，并依据小概率值的独立性检验，附：，，下列结论不正确的是（ ） 锻炼 合计 不经常 经常 女生 15 5 20 男生 10 m n 合计 25 25 50 A. B. 若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率为 C. 变量x与变量y独立，此推断犯错误的概率不超过0.005 D. 变量x与变量y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005 【答案】C 【解析】 【分析】AB选项，根据表中数据得到，概率为；CD选项，计算出卡方，与7.879比较后的结论. 【详解】A选项，根据表中数据可知，A正确； B选项，若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率为，B正确； CD选项，，， 故变量x与变量y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005，C错误，D正确. 故选：C 7. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于的位置的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知向左移动3次，向右移动2次，结合独立充分性实验的概率公式运算求解. 【详解】若移动5次质点位于的位置，则向左移动3次，向右移动2次， 所以质点位于的位置的概率为. 故选：B. 8. 已知函数，若且满足，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，利用的单调性可得，再根据的单调性可得结论. 【详解】因为，所以，所以， 令，求导可得， 当，可得，所以在上单调递增，所以， 由，可得， 当，所以在上单调递减，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，所以，所以A错误； 对于B中，根据正态分布密度曲线图像，可得时， 随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以， 所以B正确； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像， 可得， ， 即，所以C错误； 对于D中，因为， 所以， 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间，所以D正确； 故选：BD. 10. 已知函数，下列正确的是（ ） A. 当时，的图象关于点对称 B. 当时，恒成立 C. 若函数在上有两个不同的极值点，则 D. 若函数上有两个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇偶性可判断A；利用导数判断单调性可判断B；求导得在有两个不等的实数解，求解可判断C；由题意可得在上还需有一个交点，据此判断即可. 【详解】对于A，若时，，定义域为，又， 所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故A错误； 对于B，若时，则，求导得对恒成立，所以在上单调递增， 又，所以恒成立； 对于C，由，可得， 令，可得， 若函数在上有两个不同的极值点，则在有两个不等的实数解， 所以，解得， 所以若函数在上有两个不同的极值点，则，故C正确； 对于D，因为，所以是函数的一个零点， 若函数在上有两个零点，则函数在上还需有一个零点， 由，可得， 令，令， 令，求导得， 令，可得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又， 又， 所以，使， 所以当时，，当时，，当，， 所以以当时，，当时，，当，， 又时，，当时，，当，， 所以当时，与有一个大于0的交点， 所以函数在上有两个零点，则，故D正确. 故选：BCD. 11. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是20 B. 第2022行的第1011个数最大 C. 210在杨辉三角中共出现了6次 D. 记第行的第个数为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据题目所给的杨辉三角，得出每一行每一个数的表示，将第6行第4个数代入即可；选项B：根据组合数的性质，即可找到第2022行中的最大数；选项C：列举出值为210的组合数即可；选项D：使用二项式定理进行转化即可. 【详解】选项A：由题目所给的杨辉三角可知，从第1行起，第行的第个数可表示为，故第6行从左到右第4个数是，故选项A正确； 选项B：第2022行的第个数可表示为，由组合数的性质可知，最大，因此，，故第2022行的第1012个数最大，选项B错误； 选项C：210在杨辉三角中出现的情况有（第10行的第5个数），（第10行的第7个数），（第210行的第2个数），（第210行的第210个数），（第21行的第3个数），（第21行的第20个数），共6次，故选项C正确； 选项D：第行的第个数，因此，令，则，即，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 【答案】48 【解析】 【分析】根据题意结合组合数公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：48. 13. 记为等比数列的前项和，若，则公比______． 【答案】1或 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由题意可得，求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得，所以， 又，所以，所以， 所以，解得或. 故答案为：或. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的两个人．第一次传球由甲手中传出，第n次传球后，球在甲手中的概率记为，请写出与关系式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到两者的关系式即可 【详解】. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台． （1）若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到A品牌的条件下，第二次抽到B品牌的概率； （2）若从中随机抽取2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列和期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）法一：求得，利用条件概率公式求解即可；法二：，利用条件概率公式求解即可. （2）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，进而求得数学期望. 【小问1详解】 由题意得，设事件：第一次抽到品牌；设事件：第二次抽到品牌 法一：，． 每次不放回抽取，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率． 法二：． 【小问2详解】 设挑选2台电脑中品牌的台数为，则的可能取值为根据古典概型的知识可得的分布列为 ， 用表格表示的分布列，如图所示 0 1 2 ． 16. 已知数列的首项为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求满足条件最大整数． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）利用累加法可求得数列的通项公式； （2）根据，可求得，进而解不等式可求解. 【小问1详解】 当时，， 将以上等式两边分别累加，可得， ， 当时，也符合上式．． 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 的最大值为8. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分解因式，进而分，可确定单调性； （2）由题意可求得，进而证明，令，利用导数可证结论 【小问1详解】 ， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，令，得， 时，在单调递增； 时，在单调递减； 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． 【小问2详解】 由（1）可得，当时，， 即证，即证， 令，则， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， ，即， 18. 为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额W（单位：万元）数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 3 4 5 销售额W 4 9 14 18 （1）当时，根据表中样本数据，计算相关系数r，并推断它们的相关程度（保留两位小数）； （2）根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为，销售额W的方差为52.4，求的值，并计算广告支出为5（万元）时销售额的残差； （3）收集更多变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的与的假设（直接写出结果）． 附：相关系数，回归系数，参考数据：． 【答案】（1），相关性很强 （2），0.8 （3）满足一元线性回归模型的的假设，不满足一元线性回归模型的的假设． 【解析】 【分析】（1）求出和，求出即可求解； （2）根据销售额的方差52.4列方程求解，求出和，求出，求出销售量关于广告支出的回归直线方程即可求解； （3）根据残差图的性质即可求解. 【小问1详解】 由题知， 0 1 2 1 5 7 ， ， ， 相关系数， 接近于1，可以推断两个变量正线性相关，且相关性很强； 【小问2详解】 因为销售额的方差52.4， 即， 所以， 化为， 解得（舍去）， 所以， 因为回归直线方程为经过样本中心点， 把代入得， 销售量关于广告支出的回归直线方程为， 当时，代入得预测值， 而观测值，所以广告支出为5（万元）时销售额度的残差：（万元）； 【小问3详解】 由残差图，模型误差满足一元线性回归模型的的假设， 不满足一元线性回归模型的的假设． 19. 牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是函数的零点，即．选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为，若，则直线与轴的交点的横坐标记为，再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点的横坐标记为，重复以上过程，得的近似值序列：，也称为牛顿数列，根据已有精确度，当时，则为近似解． （1）设，当时，试用牛顿法求方程满足精确度的近似解（保留两位小数）； （2）设的两个零点分别为，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，求数列通项公式； （3）设，若，函数的最小值为，证明：． 【答案】（1）； （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据牛顿法，利用导数依次求出即可得解； （2）先利用导数求出与之间的关系，从而可得的表达式，然后根据韦达定理以及对数的运算性质，化简可得，最后利用等比数列的通项公式即可求解； （3）求出函数和，利用导数求解函数的最小值，结合求出与的关系；根据结论，构造函数，利用导数求解函数在上的单调性即可推理得证. 【小问1详解】 因为函数， 所以， 所以函数在处切线的斜率为， 因为，即切点为， 所以函数在处的切线方程为，即， 由得，且， 函数在处切线的斜率为， 因为，即切点为 所以函数在处的切线方程为，即， 由得，且， 故用牛顿法求方程满足精度的近似解为； 【小问2详解】 因为，则， 可得， 过点作曲线的切线， 令，得， 则， 又因为是函数的两个零点， 所以，且 所以， 所以 ， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以； 【小问3详解】 因为函数， 且 所以函数在上单调递增， 由 得， 所以①，且②， 设， 所以函数在处切线， 当时，， 所以， 所以， 求导得， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 由①②代入得， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数最小值为， 令， 求导得， 令，求导得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 所以当时，恒成立，即函数在上单调递减， 而，因此， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值解题.第三问解题关键是利用导数求解函数的最小值，结合并求出与的关系；根据结论，构造函数，利用导数求解函数在上的单调性即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期天河区期末考试 高二数学 本试卷19小题，满分为150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知离散型随机变量方差为1，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知两个等差数列及，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则（ ） A. 45 B. 50 C. 54 D. 60 3. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 0 B. 10 C. D. 20 5. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 6. 为了解性别（变量x）与体育锻炼（变量y）是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取50名学生，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示（单位：人），根据数据计算，并依据小概率值的独立性检验，附：，，下列结论不正确的是（ ） 锻炼 合计 不经常 经常 女生 15 5 20 男生 10 m n 合计 25 25 50 A B. 若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率为 C. 变量x与变量y独立，此推断犯错误概率不超过0.005 D. 变量x与变量y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005 7. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于的位置的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若且满足，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系不能确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（ ） （参考数据：，，） A. B C. D. 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 10. 已知函数，下列正确的是（ ） A. 当时，的图象关于点对称 B 当时，恒成立 C. 若函数在上有两个不同的极值点，则 D. 若函数在上有两个零点，则 11. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是20 B. 第2022行的第1011个数最大 C. 210在杨辉三角中共出现了6次 D. 记第行的第个数为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 13. 记为等比数列的前项和，若，则公比______． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的两个人．第一次传球由甲手中传出，第n次传球后，球在甲手中的概率记为，请写出与关系式______． 三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台． （1）若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到A品牌的条件下，第二次抽到B品牌的概率； （2）若从中随机抽取2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列和期望． 16. 已知数列的首项为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求满足条件的最大整数． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 18. 为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额W（单位：万元）数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 3 4 5 销售额W 4 9 14 18 （1）当时，根据表中样本数据，计算相关系数r，并推断它们的相关程度（保留两位小数）； （2）根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为，销售额W的方差为52.4，求的值，并计算广告支出为5（万元）时销售额的残差； （3）收集更多变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的与的假设（直接写出结果）． 附：相关系数，回归系数，参考数据：． 19. 牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是函数的零点，即．选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为，若，则直线与轴的交点的横坐标记为，再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点的横坐标记为，重复以上过程，得的近似值序列：，也称为牛顿数列，根据已有精确度，当时，则为近似解． （1）设，当时，试用牛顿法求方程满足精确度的近似解（保留两位小数）； （2）设的两个零点分别为，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，求数列通项公式； （3）设，若，函数的最小值为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $