1.3 用反比例函数解决问题 课件 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用反比例函数解决跨学科问题”，以杠杆原理情境导入，承接反比例函数概念，通过跨学科公式构建函数模型，形成从概念理解到实际应用的学习支架。 其亮点在于融合物理杠杆、压强、电学，化学气体密度等多学科实例，以数学眼光观察现实问题，通过函数表达式推导和性质分析培养数学思维，用函数模型表达解决过程体现数学语言。总结闭环流程助学生系统掌握，学生提升应用能力，教师获得丰富教学资源。

第2课时　用反比例函数解决生活实际问题 1.3 第一章　反比例函数 探究与应用 (教材典题)小丽要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑. (1)完成录入的时间t(min)与录入文字的平均速度n(字/min)有怎样的函数关系? 活动　用反比例函数解决生活实际问题 例 1 解:由n·t=24 000,得t=.完成录入的时间t是录入文字的平均速度n的反比例函数. (2)小丽平均每分钟至少应录入多少个字,才能保证在3 h内完成录入任务? 解:把t=120代入n·t=24 000,得n==.根据反比例函数的性质,t随n的增大而减小,因此小丽平均每分钟录入的字数不小于时,才能在3 h内完成录入任务,由≈133.3知,小丽平均每分钟至少应录入134个字. 变式 小王驾驶汽车从甲地走高速公路前往乙地办事,以80千米/时的平均速度用6小时到达目的地,之后他按原路返回甲地. (1)求行驶时间t(时)关于汽车的平均速度v(千米/时)的函数表达式; 解:由题意得t==, 故行驶时间t(时)关于汽车的平均速度v(千米/时)的函数表达式为t=. (2)根据规定:在高速公路上行驶时,最高车速不得超过120千米/时,最低车速不得低于60千米/时.求小王返程行驶时间t的取值范围. 解:对于函数t=,k=480>0,t随v的减小而增大, 当v=120时,t=4, 当v=60时,t=8,所以4≤t≤8. 故小王返程行驶时间t的取值范围为4≤t≤8. 记 关键 应用反比例函数解决问题,首先要分析问题情境,建立函数模型.建立函数模型就是寻找一个能代表题中含义的相等关系,它与列方程解应用题是一脉相承的. (教材典题)某箱包厂计划生产一批双肩包,已知双肩包的成本y(元/个)由材料成本和加工成本两部分组成.其中材料成本保持不变,加工成本与加工数量x(个)成反比例函数关系.经测算,生产1000个双肩包,成本是40元/个;生产2000个双肩包,成本是35元/个. 例 2 (1)求y(元/个)关于x(个)的函数表达式; 解:设每个双肩包的材料成本为a元,则y关于x的函数表达式为y=a+. 根据题意,得解得 所求函数表达式为y=30+. (2)若要把成本控制在32元/个,应生产多少个双肩包? 解:把y=32代入y=30+, 得32=30+. 解得x=5000. 经检验,x=5000是原方程的解. 所以应生产5000个双肩包. 变式 某小超市计划购进甲、乙两种商品,其中甲商品每件的进价为20元,乙商品每件的进价由基础价与浮动价两部分组成,其中基础价固定不变,浮动价与购进乙商品件数成反比例函数关系,现购进乙商品x件,乙商品每件的进价为y元.在购进过程中,可以获得如下信息: x/件 10 50 y/元 70 38 (1)求y关于x的函数表达式; 解:设基础价为m元,则y关于x的函数表达式为y=m+(m,k为常数,且m≠0,k≠0), 由题意得 解得 ∴y关于x的函数表达式为y=30+. x/件 10 50 y/元 70 38 (2)若乙商品每件的进价是甲商品的2倍,求x的值. 解:根据题意,得30+=40, 解得x=40, 经检验,x=40是原方程的根且满足题意, ∴x的值是40. x/件 10 50 y/元 70 38 记 关键 常见的反比例函数关系有: (1)面积一定时,矩形的长与宽成反比例; (2)面积一定时,三角形的一边长与这条边上的高成反比例; (3)体积一定时,柱(锥)体的底面积与高成反比例; (4)工作总量一定时,工作效率与工作时间成反比例; (5)总价一定时,单价与商品的数量成反比例. 课堂总结与反思 |总结| 课堂练习 知识点 构建反比例函数模型解决问题 1.一辆汽车从A地开往B地，两地的距离为300千米，汽车的速 度与行驶时间之间的函数关系式为 ，那么 自变量 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 15 2.小宇的家与学校相距3千米,他每天骑自行车上学，从家到学校 所需时间（分）与骑车速度 （千米/分）成反比例关系.一天早 上，由于起床晚了，为了不迟到，需要不超过15分钟赶到学校， 那么他骑车的速度至少是____千米/分. 0.2 16 3.[2025南师大附中江宁分校一模] 研究发现：老花镜的镜片度 数（度）与镜片焦距 是反比例函数关系，则下表中所缺 数据为_____. 镜片度数 度 … 10 25 50 … 镜片焦距 … 1000 __ 200 … 400 17 4.区政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量 为 ，某运输公司承担了运送土石方的任务. （1）运输公司平均每天的运送速度（ 天）与完成运送任 务所需时间 （天）之间具有怎样的函数关系？ 解：，，即运输公司平均每天的运送速度 （天）与完成运送任务所需时间 （天）之间的函数关系为 反比例函数关系，函数关系式为 . 18 （2）这个运输公司共有100辆卡车，每天可运送土石方 ， 公司完成全部运输任务需要多长时间？ 解：当时， （天）， 答：公司完成全部运输任务需要100天. 19 5.在环境科学领域的一定条件下，某污染区域的净化时间 与 净化设备的功率 存在着某种函数关系，部分对应值如下 表所示： 净化设备的功率 … 90 60 45 36 … 净化时间 … 2 3 4 5 … （1）请根据表中给出的数据，求与 之间的函数表达式； 解：由表格中的数据可知，， . 20 （2）若要求净化时间不超过 ，则净化设备的功率至少需要 多少千瓦？ 解：当时， . 由题意可知随 的增大而减小， 当时， . 答：若要求净化时间不超过 ，则净化设备的功率至少需要 . 21 6.（教材例3变式） 某工厂生产的一种机器零件，其每个零件 的生产成本（元）与生产数量 （个）之间近似满足反比例函 数关系. （1）已知生产100个零件时，每个零件的生产成本为50元，求 关于 的函数表达式； 22 解：设关于的函数表达式为 . 当时，， ， 关于的函数表达式为 . 23 （2）若要将每个零件的生产成本控制在30元以内（不包含30 元），那么至少需要生产多少个零件？ 解：将代入，得 ， 解得 ， , . 又 为零件的生产数量，应为正整数， 至少为167，故至少需要生产167个零件. 24 能力提升综合练 图1-3-8 7.某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的 剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量 （毫克）与时间 （时）之间的函数关系如图1-3 -8所示，当每毫升血液中的含药量不少于0.5毫 克时治疗有效，则服药一次治疗疾病的有效时 间为______小时. 7.875 25 8.（教材例3变式） 某企业生产一种必需商品，经过长期市场 调查后发现：商品的月总产量稳定在600件.商品的月销量 （件） 由基本销售量与浮动销售量两部分组成，其中基本销售量保持 不变，浮动销售量与售价（元/件） 成反比例，且可 以得到如下信息： 售价 （元/件） 5 8 商品的月销售量 件 580 400 26 （1）求关于 的函数表达式； 解：设 . 由表格可知：当时，，当时， ， 解得 即关于的函数表达式是 . 27 （2）若生产出的商品正好销售完，求售价 （元/件）； 解：令，则，解得 . 售价为4.8元/件. 28 （3）当售价 （元/件）为多少时，月销售额最大，最大是多少？ 解：设月销售额为 元. 由题意可得， ， 随 的增大而增大. ， 当时，取得最大值，此时 . 答：当售价 为10元/件时，月销售额最大，最大是3400元. 29 素养发展创新练 图1-3-9 9. 模型观念 [2025扬州期末] 小明 家饮水机中原有水的温度为 ，通电开机 后，饮水机自动开始加热，此过程中水温 与开机时间 （分）满足一次函数关系， 当加热到 时自动停止加热，随后水温开 始下降，此过程中水温与开机时间 （分） 30 成反比例关系，当水温降至 时，饮水机又自动开始加 热……重复上述程序（如图1-3-9所示），根据图中提供的信息， 解答下列问题：#1 （1）当时，求水温关于开机时间 （分）的函 数表达式； 解：由图象可知，当时，与 是一次函数关系. 设，将， 代入，得 解得 当时，水温关于开机时间 （分）的函数表达 式为 . 32 （2）求图中 的值； 解：在第一次水温下降过程中，设水温关于开机时间 （分）的函数表达式为 . 将代入，得，解得 . 反比例函数的表达式为 . 令，则，解得 . 33 （3）有一天，小明在上午（水温 ）开机通电后去上 学，中午放学回到家时间刚好是 ，请问此时饮水机内水 的温度为多少摄氏度？并求出在 这段时间内， 水温共有几次达到 . 34 解：由（2）知 ，结合图象，可知每40分钟图象重复出现 一次， 经历时间为245分钟， , , 当时， . 此时饮水机内水的温度为；在 这段时间 内，水温共有6次达到 . 35 $第1课时　用反比例函数解决跨学科问题 1.3 第一章　反比例函数 探究与应用 根据杠杆原理的知识,可以用较小的力撬起很重的物体.某人用一根撬棒移除重1200 N的重物,如图1-3-1,杠杆的阻力臂为0.5 m,当动力臂l分别为2 m,1.6 m,1 m时,此人分别要使出多大的力才能撬起重物且使杠杆保持平衡? 活动　用反比例函数模型解决跨学科问题 情境问题 图1-3-1 解:在这个问题中,阻力为1200 N,阻力臂为0.5 m.根据杠杆原理,当杠杆平衡时,动力F(N)×动力臂l(m)=阻力×阻力臂,即F·l=1200 ×0.5.所以F=. 对每一个l(l>0)的值,F都有唯一确定的值与它对应,F是l的反比例函数. 把函数表达式中l的值分别用2,1.6,1代入,就可以得到此人要使出的力分别为300 N,375 N,600 N. 理解应用 (教材典题)在压力不变的情况下,某物体所受到的压强p(Pa)与受力面积S(m2)成反比例函数关系,其图象如图1-3-2所示. (1)求p(Pa)关于S(m2)的函数表达式; 解:设函数表达式为p=. 由图象可知,当S=0.1 m2时,p=1000 Pa, 所以1000=.解得k=100. 所求函数表达式为p=. 图1-3-2 例 (2)要使该物体所受到的压强p不超过250 Pa,它的受力面积最小为多少? 解:根据题意,把p=250 Pa代人p=, 得S=100÷250=0.4(m2). 根据反比例函数的性质,p随S的增大而减小,所以要使该物体所受到的压强不超过250 Pa,其受力面积最小为0.4 m2. 图1-3-2 变式 小明新买了一盏亮度可调节的台灯,他发现调节的原理是:当电压U一定时,通过调节电阻控制电流的变化,从而改变灯光的明暗.台灯的电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)满足反比例函数关系,其图象如图1-3-3所示. 图1-3-3 (1)I关于R的函数表达式为　　　　;当R=2000 Ω时, I=　　　　A.  I= 0.11 图1-3-3 (2)若该台灯工作的最小电流为0.04 A,最大电流为0.25 A,求该台灯的电阻R的取值范围. 解:当I=0.04时,R==5500, 当I=0.25时,R==880, ∴该台灯的电阻R的取值范围为880 Ω≤R≤5500 Ω. 图1-3-3 课堂总结与反思 |总结| 课堂练习 知识点 用反比例函数解决跨学科问题 1.在某一电路中，保持电压不变，电流与电阻 成反比 例函数关系，当电阻时，电流，则与 之间的 函数表达式为( ) C A. B. C. D. 10 图1-3-1 2.[2025盐城大丰区月考] 在一个可以改变容 积的密闭容器内，装有一定质量 的某种气 体，当改变容积时，气体的密度 也随之 改变.与在一定范围内满足 ，它的图 象如图1-3-1所示，则该气体的质量 为 ( ) D A. B. C. D. 11 图1-3-2 3.（教材练习T1变式） “杠杆原理”在实 际生产和生活中有着广泛的运用，即：阻 力×阻力臂=动力×动力臂，其中阻力 与阻力臂 之间的函数关系图象 如图1-3-2.在同一杠杆中若想使动力 不 超过，则动力臂 至少需要( ) B A. B. C. D. 12 图1-3-3 4.[2025南京秦淮区一模] 在压力不变的情 况下，某物体承受的压强（单位： ） 与它的受力面积（单位： ）是反比例 函数关系，其函数图象如图1-3-3所示.当 时，____ . 50 13 5.[2025徐州铜山区一模] 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电 池时，电流（单位：A）与电阻（单位： ）是反比例函数关 系.部分数据如下表，则 ____. … 4 6 8 … … 9 6 … 4.5 14 6.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原 理”.杠杆平衡时，阻力阻力臂=动力 动力臂.几位同学玩撬石 头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和 ,设 动力臂为,动力为 . （1）求动力关于动力臂 的函数表达式； 解：由题意知 ， 动力关于动力臂的函数表达式为 . 15 （2）若小明只有 的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍 才能撬动这块大石头？ 解：当时，，则 , 他该选择动力臂为 的撬棍才能撬动这块大石头. 16 （3）现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，求动力 所要 满足的条件. 解：当时， , 若想撬动石头，动力需满足 . 17 图1-3-4 7.某燃气公司计划在地下修建一个容积 为为定值，单位： 的圆柱形天 然气储存室，储存室的底面积 （单位：）与其深度（单位： ） 是反比例函数关系，它的图象如图1-3-4 所示. 18 （1）写出这一函数的表达式； 解：设 . 把代入，得 , , . 19 （2）受地形条件限制，储存室的深度 需要满足 ，求储存室的底面积 的取值范围. 解：当时， , 当时， . 随 的增大而减小, 当时， . 20 能力提升综合练 图1-3-5 8.二氧化氯固体溶于水可制得二氧化氯消毒液. 有甲、乙、丙、丁四瓶二氧化氯消毒液，如图 1-3-5，在平面直角坐标系中， 轴表示消毒液 的质量， 轴表示二氧化氯的浓度（瓶中二氧 化氯固体的质量与消毒液的质量的比值），其 B A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 中描述甲、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 则这四瓶消毒液中含二氧化氯固体质量最多的是( ) 21 图1-3-6 9.图1-3-6①是某电路图，滑动变阻 器为，电源电压为 ，电功率为 ，关于 的函数图象如 图②所示.嘉嘉通过两次调节电阻， 发现当从增加到 时， 25 电功率减少了，则当 时，的值为____ . 22 图1-3-7 10.电灭蚊器的电阻随温度 变化的 大致图象如图1-3-7所示，通电后温度由室温 上升到 时，电阻与温度成反比例函 数关系，且在温度达到 时，电阻下降到 最小值，随后电阻随温度升高而增加，电阻与温度 之间的函数关系式为 . 23 （1）当时，求与 之间的关系式； 解：当时，设 . 函数的图象过点 , , 当时，与之间的关系式为 . 24 （2）电灭蚊器在使用过程中，温度 在什么范围内时，电 阻不超过 ？ 解：在 中, 令，得 . 在中，令，得 . 温度在时，电阻不超过 . 25 $