甘肃省环县第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

环县一中2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：湘教版选择性必修第二册。 参考公式：回归直线方程：y=bx十a 洳 ）x:- 和 其中= x-9- =1 =1 a=y-bx 2(x-)(y-） 样本相关系数r可 y:-nay 1 K √含-√含-√含-含i-时 n(ad-bc)2 尊 (a+6)(c+d)(aFc)(bFd):n-a+b+c+d a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Ta 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知向量x=(-1,2,1),y=(一2，a,b),若x∥y,则a-b= A.6 B.8 C.2 D.-2 2.抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差， 则X的所有可能取值为 A,0≤X≤5，X∈N B.-5≤X≤0，X∈Z C.1≤X≤6，X∈N D.-5≤X≤5，X∈Z 3.利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查2×2列联表计算得X= 4.623,那么认为X与Y有关系，这个结论错误的可能性不超过 A.0.005 B.0.05 C.0.001 D.0.01 4若随机变量X~B(4,号)，则P(X>3)= A器 C.8 1 D. 【高二期末考试·数学卷第1页（共4页）】 6393B ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 5.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表），若已求得一元线性回归 方程y=ax十0.34，则下列选项中正确的是 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A.a=0.2 B.x与y的样本是负相关 C当2=8时，y的预估值为2.2 D.去掉样本点(3,1)后，x与y的样本相关系数r不会改变 6.已知随机变量X满足E(2X+3)=7,D(2X十3)=16，则下列选项正确的是 A.E(X)=2,D(X)=4 B.E(X)=2,D(X)=8 CB0=子，D(x0=8 D.EX0=子，D(X0- 2 7.当x=1时，函数f(x)=alnx十取得最小值2，则∫(2)= A合 R司 C.-1 D.1 8.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著 作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数 分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数a,n(n≥2)，若存在一个整数x,使得n整 除x2一a,则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽 取一个整数a,记事件A=“a与12互质”，B=“a是12的二次非剩余”，则P(B|A)= A是 B号 c D品 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a,b,c成等差数列，则 X -1 0 1 a b Aa= B6=号 C.c-a-1 D.P(1X1-1)= 3 10.为了解目前全市高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育 成绩XN(70,100),其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是 (附：若X~N(4,d2),则P(u-o≤X≤4十)≈0.683，P(μ-2o≤X≤μ十2o)≈0.954) A.该校学生体育成绩的方差为10 B.该校学生体育成绩的期望为70 C.该校学生体育成绩的及格率不到85% D.该校学生体育成绩的优秀率超过4% 11.如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M,N 分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM=BN=a(0<a<√2)，则下列结论中正确 的有 A.3a∈(0W2),使M=C范 B线段MN存在最小值，最小值为号 D C.直线MN与平面ABEF所成的角恒为45° D.Va∈(0，√2)，都存在过MN且与平面BEC平行的平面 【高二期末考试·数学卷第2页（共4页）】 6393B Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设随机变量X服从两点分布，若P(X=1)一P(X=0)=0.2,则P(X=1)= 13.已知向量p以{a,b,c}为基底时的坐标为(3,4,5)，则p以(d,b+c,b-c}为基底时的坐标 是 14已知函数f(a)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(一1)=3，且f(x)十x(x)<0, 则不等式(3x2一4x)f(3x2-4x)>一3的解集为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%、5%、4%的人患了流感，假设这三 个地区的人口数之比为5：3：2，现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率， 16.(本小题满分15分) 某网红冰淇淋公司计划在A市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对 该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记x表示在5个区域开 设分店的个数，y表示这x个分店的年收人之和 x(个) 1 3 y(千万元) 1 1.6 2 2.4 ()该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归直线 方程； (2)如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如 下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二 分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋.完成下面的2×2列联 表，并判断是否有99.9%的把握认为两个店的顾客购买率有差异 买 不买 总计 分店 分店二 总计 【高二期末考试·数学卷第3页（共4页）】 6393B Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 17.(本小题满分15分) 如图，四棱锥P一ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AD=1,BC=3,∠ABC= 45°，△PCD为等边三角形，平面PBC⊥平面PCD,PB=v13,M为CD的中点. (1)证明：PM⊥平面ABCD; (2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值. 18.(本小题满分17分) 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目 进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目 的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的 (1)求选手乙正确作答2个题目的概率； (2)求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望； (3)从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知函数x)=号女lnx一告x-司a (1)当a=0时，求f(x)的单调区间； (②)当a<0时，若函数F()=的最小值为好h号-日，证明：曲线y=f在1，f1D》 处的切线平行于x轴； (3)若函数G(x)=e十f(x)在(0，十o∞)上有两个极值点，求实数a的取值范围. 【高二期末考试·数学卷第4页（共4页）】 6393B Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效百环县一中2025~2026学年度第二学期期末考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B D D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD BC AD 1.C 因为x/,所以二号吕-石所以a=4,6=2,所以a-62 2.D第一枚的最小值为1，第二枚的最大值为6，差为-5：第一枚的最大值为6，第二枚的最小值为1，差为5. 故X的取值范围是一5≤X≤5，X∈Z,故选D. 3.B由3.841<4.623<6.635，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为X与Y有关系. 4.DP(X>≥3)=PX=3)+P(X=4)=C(号P1-子)+（号）=号，放选D 5.D=1+2+3+4+5=3,y0.5+0.9士1+1.1+1.5=1，所以样本点的中心坐标为(3,1)， 5 将它代入y=ax+0.34得3a+0.34=1,解得a=0.22,故A错误： 因为a>0,所以x与y的样本是正相关，故B错误； 当x=8时，y的预估值为y=0.22×8+0.34=2.1,故C错误； 由相关系数公式可知，去掉样本点(3,1)后，x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确.故选D. 6.AE(2X+3)=2E(X)+3=7,得E(X)=2,D(2X+3)=4D(X)=16,得D(X)=4,故选A. 7B因为函数x定义蚊为0，+∞)，所以依题可知，1)=2，f1)=0,而了)-号-名.所以6=2a 6=0,即a=2,6=2,所以了)=兰是.因此函数)在〔0，D上递减，在1，十∞)止递增，1=1时取最 小值，满足题意，即有了2)=1一号=放选B 8.C在1到20中与12互质的有1,5,7,11,13,17,19，即A={1,5,7,11,13,17,19.由二次剩余的定义，假设 a是12的二次非剩余，则2=整数的整数x不存在，当a=1时，x=1;当a=13时=5，当a=5,7,11, 17,19时，x不存在，即A∩B={5,7,11,17,19}.由事件A有7种情况，事件A∩B有5种情况，所以P(BA) 9.BD由题意得：a,6c成等差数列，2b=a+c由分布列的性质得a十6+c=3动=1，∴b=子，P(X=D =PX=1D+PX=-1)=1-P(X=0)=1-号-子.故BD正确；因为题目中未给出a与c的关系，本题 我们只知道a十c=号，故无法求出a与c的值，放AC错误 10.BC 11.AD因为四边形ABCD正方形，故CB⊥AB,而平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF= AB,CBC平面ABCD,故CB⊥平面ABEF,而BEC平面ABEF,故CB⊥BE.设MC=AAC,则BN=ABF, 【高二期末考试·数学卷参考答案第1页（共4页）】 6393B 种号∈0.1D,由题设可得本-流++甙-C++以晾-（成-商+应+A(+面 (以-1BC+x2.对于A,当X=号即a=号时，不=-C+配=C应，故A正确；对于B,M =(以-1)+=2天-2以+1=2(a-支）》'+3，放M≥号，当且仅当X=即a-号时等号成立，故 1号，散B错误：对于C,平面ABF的法向量为C且M·之=(A-1DC=X-1,故 os成，心=A-一，此值不是常数，故直线MN与平面ABEF所成的角不恒为定值，放C错 √/22-2A+1 误；对于D,由M衣-(A-1)式+入B龙，故M亦，武，B配为共面向量，而MN过平面BCE,故MN∥平面 BCE,故D正确.故选AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.0.6随机变量X服从两点分布，P(X=1)一P(X=0)=0.2, 根据两点分布概率性质可知PX=I)一P(X=0=0.2 ,解得P(X=1)=0.6, 1P(X=1)+P(X=0)=1 1.(3,号，-) 由题意可知p=3a+4b+5c,设p=a+y(b+c)+x(b一c)=m+(y+之)b+(y-)c,所 x=3 x=3 =4解得y立则p=3a十号（叶c)-合(c),则p以a,b十cb一c为基底时的坐标 y-2=5 =一 2 是(3，号，) 14.(号，1）令g(x)=z(x),因为f(x)+x<0,所以g(x)=fx)+xf(x)<0,即g()在R 上单调递减，又f(-1)=3,所以g(-1)=一3，因此不等式(3x2-4x)f(3x2-4x)>-3等价于g(3x2-4x) >g(-1D,所以3x2-4x<-1,解得号<x<1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.解：(1)记事件A:选取的这个人患了流感，记事件B:此人来自甲地区，事件C:此人来自乙地区，事件D:此 人来自丙地区，则2=BUCUD,且B、C、D彼此互斥， 由题意可得P(B)=0.5,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(A|B)=0.06,P(A|C)=0.05,P(AD)=0.04, …4分 由全概率公式可得P(A)=P(B)·P(A|B)+P(C)·P(A|C)+P(D)·P(A|D) =0.5×0.06十0.3X0.05+0.2X0.04=0.053.…8分 (②由条件质序公式可得P(BA)第-PBAD-,8-器 P(A 0.053531 13分 16.解：10元=1+2+3+4+5=3，=1+1.6+2+2.4+3=2， 5 则2(-)(%-)=2+0.4十0+0.4+2=4.8， 2(x-7)2=4十1十0叶1十4=10，…- …2分 所以= 2x-0%-48=048d=-iz=2-0.48X8=-0.50, 10 …5分 2(x- 所以y关于x的回归直线方程为y=0.48.x十0.56.… …6分 【高二期末考试·数学卷参考答案第2页（共4页）】 6393B (2)提出统计假设：两个店的顾客购买率无差异. 7分 由题意，得出列联表如下表： 买 不买 总计 分店一 180 120 300 分店二 150 50 200 总计 330 170 500 10分 则X=500X180X50-120X1502 ≈12.032>10.828， 300×200×330×170 14分 故有99.9%的把握认为两个店的顾客购买率有差异.… 15分 17.(1)证明：因为△PCD为等边三角形，M为CD的中点， 所以PM⊥CD. …1分 过A作AE⊥BC,垂足为E, 因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AD=1,BC=3,∠ABC=45°， 所以BE=AE=2,则CD=PC=2,…2分 由PB=I3得BC2+PC2=PB,所以BC⊥PC.… …3分 因为平面PBC⊥平面PCD,且平面PBC∩平面PCD=PC, 所以BC⊥平面PCD.…4分 因为PMC平面PCD,所以BC⊥PM…5分 又BC∩CD=C,BC,CDC平面ABCD,所以PM⊥平面ABCD.…6分 (2)解：由(1)可知，BC,CD,PM两两垂直，以M为原点，过M且平行于 4之 BC的直线为x轴，MC,MP所在直线分别为y轴、之轴，建立如图所示的 空间直角坐标系， 则M(0,0,0),A(1,-1,0),B(3,1,0),P(0,0,√5)，AB=(2,2,0),AP (-1,1,W5).…8分 设平面PAB的法向量为m=(x,y,), |AB·m=2x+2y=0, 则币m十y十5=0.令1=5，则m=w5-5,2,…1分 由(1)可知，x轴⊥平面PCD,不妨取平面PCD的法向量为n=(1,0,0), 12分 则am是- 10 14分 放平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为僵。 …15分 18.解：(1)设事件A为“选手乙正确作答2个题目”，则P(A)=C×0.3×0.72=0.441, 所以选手乙正确作答2个题目的概率为0.441.…3分 (2)设选手甲正确作答的题目个数为Y,则Y的所有可能取值为0,1,2,3. 4分 所uPv=0答-高PY=1DC-0Pr=)-e-器rP=)是- …6分 C 所以Y的分布列为： Y 0 1 2 3 ò 21 120 40 40 品 …8分 所以数学期望E=0X+1X名+2×器+3×名器 10分 (3)设选手乙正确作答的题目个数为X,则X一B(3,0.7),…11分 数学期望E(X)=3×0.7=2.1,D(X)=3×0.7×0.3=0.63, 13分 D)=0-器'×汤+1-)'×0+2-0×器+3-0'×7=0.4a, 15分 由E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),可以认为选手甲晋级的可能性更大. 17分 【高二期末考试·数学卷参考答案第3页（共4页）】 6393B 19.D解：当a=0时，f）=x1n2+号2-寺父=nx-10,…1分 当x∈(0，e)时，f(x)0,当x∈(e,十∞)时，f(x)>0,…2分 所以f(x)的单调递减区间为(0，e),单调递增区间为(e,十o∞). 3分 2证明：)=9nx是青则F)立+是， 6x2 …4分 3 令F（(x）=0,得x=-20, …5分 当xe0,-号a时，F)<0,当xe(-号a,+o)时，F>0, 所以P()在(0，一多o)上单调递减，在（一多a,十o0)上单调递增，…6分 所以F(eo=r-号a)=3n(-号a）寸， 7分 由题意可知，号n(一多a）一号=}h号一号解得a=-1.…8分 所以)=子hx一告：+方，则： 又f(x)=x2nx-x2+x,则f(1)=12×n1-12+1=0, 所以曲线y=)在1，D)处的切线方程为y=高： …9分 故曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线平行于x轴.…10分 (3)解：G(x)=e十x21nx-2-ax在(0，十o∞)上有两个零点，即方程号+xlnx-x=a在(0，十o∞)上有2 个根.…1们分 设g)=号+h-,则g()=E6D+nr 22 令)=(D+1n,则')=[-1++1>0，所以h(在(0，十o)上单调递增， 即g(x)在(0，十◇∞)上单调递增，…13分 又g'(1)=0,则当x∈(0,1)时，g'(x)<0,当x∈(1，十∞)时，g(x)>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十0∞)上单调递增，…14分 则g(x)mn=g(1)=e-1,当x→0时，g(x)→十o∞，当x→十∞时，g(x)→十o∞，…15分 由题意可知，直线y=a与曲线g(x)有两个交点，则a>e-1, 故实数a的取值范围为(e一1，十∞).…17分 【高二期末考试·数学卷参考答案第4页（共4页）】 6393B