专题1.1 认识特殊的平行四边形（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦特殊平行四边形的认识，以平行四边形为基础，系统梳理矩形、菱形、正方形的定义、从属关系及对称性，通过先总后分的结构搭建知识框架，为后续性质与判定学习奠定基础。 资料突出大单元教学理念，通过“从一般到特殊”的探究过程培养逻辑归纳能力，结合生活实例（如千斤顶）和多样题型（边角计算、证明等）提升几何直观与应用意识，课中助力教师系统授课，课后便于学生复习强化、查漏补缺。

专题1.1 认识特殊的平行四边形 教学目标 1.准确掌握矩形、菱形、正方形的定义，明确三种图形均为特殊的平行四边形，理清平行四边形、矩形、菱形、正方形四类图形的从属包含关系，构建完整的四边形知识体系。 2.初步感知矩形、菱形、正方形区别于一般平行四边形的独特几何特征，了解三种特殊平行四边形的轴对称、中心对称性质，能直观区分四类图形的外形与属性差异。 3.能够结合生活实例识别特殊平行四边形，初步运用图形定义进行简单的图形判断、辨析，为后续学习特殊平行四边形的性质与判定奠定基础。 4.经历观察对比、动手操作、类比归纳、抽象概括的探究过程，从一般平行四边形出发，通过改变边、角条件，推导得出矩形、菱形、正方形的定义，掌握 “从一般到特殊” 的几何图形研究方法。 5.通过小组讨论、图形分类、关系梳理等课堂活动，提升几何直观能力、逻辑归纳能力和语言表达能力，树立数形结合、分类讨论的数学思想。 教学重难点 1.重点 （1）矩形、菱形、正方形核心定义的理解与记忆，精准把握三种图形的本质特征。 （2）平行四边形、矩形、菱形、正方形四者的从属关系与逻辑关联，明确特殊图形与一般图形的异同点。 （3）特殊平行四边形的对称性辨析，能准确区分四类图形的对称特性。 2.难点 （1）深度理解正方形的双重特殊性：正方形既是特殊的矩形、也是特殊的菱形，兼具矩形和菱形的全部几何特征，突破单一图形认知局限。 （2）系统梳理四类图形的包含关系，精准区分易混淆概念，规避 “矩形是正方形、菱形是平行四边形但平行四边形不是菱形” 等常见认知误区。 （3）灵活运用 “一般到特殊” 的数学思想，自主分析图形边、角的变化对图形类型的影响，建立结构化的几何知识体系。 知识点01 认识特殊的平行四边形（新教材独有） （核心改动：新增1.1总起课时，意在先整体建立“平行四边形→菱形/矩形→正方形”从属关系，先总后分，搭建单元知识框架，落实大单元教学理念。） 1.菱形的定义:有一组邻边目等的平行四边形叫作菱形。 即：如下图，在▱ABCD中，若AB=BC，则▱ABCD为菱形。 2.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 即：如下图，在▱ABCD中，若∠ABC=90°，则▱ABCD为矩形。 3.正方形的定义:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 即：如下图，在▱ABCD中，若AB=BC，且∠ABC=90°，则▱ABCD为正方形。 4. 菱形、矩形、正方形的关系： 5.菱形、矩形、正方形都具有轴对称性；其中菱形和矩形都各有2条对称轴；正方形有4条对称轴。 6.菱形、矩形、正方形都具有中心对称性；他们的对称中心是两条对角线的交点。 八下复习知识：平行四边形的性质与判定 1）平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等（且平行），对角相等（且邻角互补）。 2）平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角线互相平分。 1）平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 2）平行四边形的判定定理2：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 3）平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4）平行四边形的判定定理4：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）。 【即学即练】 1．（2026·河南平顶山·三模）如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形为菱形，，， ， ，， 与地面平行，与地面的夹角为． 2．（25-26八年级下·广西桂林·期末）如图，在菱形中，垂直平分，垂足为，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在菱形中，，∴， ∵垂直平分，∴，， 在中，， ∴菱形的面积． 3．（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为_____________． 【答案】/度 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底，∴平行四边形的高是矩形宽的一半． 在中，，取中点，连接，则， ∴，则为等边三角形，∴，则． 4．（25-26八年级下·四川广安·期末）如图，在矩形中，连接，过点作于点，，分别是，的中点，连接，，．若，，则的周长为__________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，，∴． 在中，．∵点M，N是的中点，∴是的中位线， ∴．∵，∴． 在中，点M是的中点，∴．同理，得， ∴的周长为． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，P是正方形内一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数为________．    【答案】/度 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，． ∵是等边三角形，∴，，∴，， ∴，∴． 6．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】D 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形，（2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，（3）处可填是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，无法判定两角是不是直角，故该选项符合题意；故选：D． 7．（2026·浙江·模拟预测）已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． (1)给出 的证明；(2)若，求的度数． 【答案】（1）见解析(2) 【详解】 (1)证明：连接， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：∵,且，，， ∴, ∴． 题型01 菱形定义下的边角计算 【典例1】（2026·江苏盐城·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形为菱形，∴，, ∴， ∴，∵，∴，∴． 【典例2】（25-26八年级下·山西阳泉·期末）数学兴趣小组的同学们打算为校园内的一块菱形空地设计一个小型花园（如图），要在对角线上修建一条人行步道，步道上选取点作为灌溉点．已知菱形空地的周长为米，总面积为平方米，为了提前规划水管长度，需要计算出喷头到和的距离和的总长度．即______． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ， 菱形空地的周长为米，， 菱形空地的总面积为平方米，， 则，． 【变式1】（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，在菱形中，，则________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【答案】 【详解】解：∵是菱形的对角线，，∴， ∵，∴． 【变式3】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，四边形是菱形，，，则菱形的周长为（     ） A．10 B．20 C．24 D．34 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形，∴,∴， ∵，∴，，；∴是等边三角形， ∴，∴菱形的周长为． 【变式4】（25-26八年级下·山东菏泽·阶段检测）如图，在中，，，为的中点，则菱形的周长为______． 【答案】 【详解】解：在中，， 为的中点，，菱形的周长． 题型02 矩形定义下的边角计算 【典例1】（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，，连接，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：连接， ∵矩形，∴， ∵，∴，∴， ∴，，∴，∴， ∴为等腰直角三角形，∴，∴， 又∵，∴，∴. 【典例2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，，，的平分线与的延长线相交于点，与相交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：矩形，，，， ，，平分，， 为等腰直角三角形，，，， ，是等腰直角三角形，，． 【变式1】（2021·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∵矩形纸片沿折叠，∴∠DEF=∠GEF， 又∵AD//BC，∴∠DEF=∠EFG，∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64︒， ∵是△EFG的外角，∴=∠GEF+∠EFG=128︒故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，矩形的对角线、相交于点O，点E在上，连接，若，，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD,∠BCD=90°，∴∴，； ，；， ，． 【变式3】（25-26八年级下·广西柳州·期末）如图，点是矩形的边上一点，将沿着对折，点恰好折叠到边上的点处，若，，那么的长为（     ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形，，，∴，，， 根据折叠性质，得，∴，∴， 设，则，根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得，解得，故，故． 【变式4】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．若，为中点，则的长（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，由题意可知，，， ∵为中点，∴，∴，∴， 在中，由勾股定理得：． 题型03 正方形定义下的边角计算 【典例1】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，点为正方形内部一点，连接、、、，，．当时，可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∵点为边的中点，∴， ∵，，∴，， 在和中，，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴． 【典例2】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，正方形的边长为8，E是的中点，垂直平分且分别交于点F，Q，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．4 D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，∵垂直平分，∴， ∵四边形是正方形，∴， 设，则，∵E是的中点，∴， 在中，由勾股定理得：， 即，∴，解得：，即的长为1． 【变式1】（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，在正方形内侧作等边，连接，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，， ∵是等边三角形，∴，， ∴，， ∴，∴． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________． 【答案】/25度 【详解】解：四边形是菱形，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在中，， ． 【变式3】34．（25-26八年级下·重庆涪陵·期末）如图，四边形是边长为4的正方形，E是边的中点，，且，连接，则的长度为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在上取中点，连接， ，，， ∵E是边的中点，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴． 【变式4】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在正方形中，E，F分别为，上的点，连接，，若于点G，，则的长为________． 【答案】2 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∴， ∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴． 题型04 利用菱形的定义进行证明 【典例1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知：如图，在菱形中，于点，于点．求证：(1)．(2)． 【答案】(1)证明：菱形，， 又，． 在和中，，．． (2)证明：菱形，∴，， 设，则．，． 由（1）知，． ．． 【变式1】（重庆市沙坪坝区2025-2026期末调研八年级数学试题）小渝在学习菱形时发现：在菱形中，过点作于点，于点，则．他的证明思路是：利用菱形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小渝的思路将下面证明过程补充完整． 证明：∵四边形是菱形，①，． ，，②③．④ 又，．即． 【答案】①；②；③；④ 【详解】证明：∵四边形是菱形，，． ，，，．， 又，，即． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，点E在菱形的边上．连接，作于点F．(1)若F是中点，求证：．(2)若，则的长为_________． 【答案】(1)证明：如图所示，连接， ∵，且F是中点，∴垂直平分线段， ∴，为等腰三角形，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∴，，∴； （2）解：如图所示，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，∵四边形为菱形，∴，， ∴，， ∴，且， ∴，∴，，， 由勾股定理得， ，， ∴，， ，∴， ∴，即，解得． 【变式3】（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接． (1)若四边形是菱形，求证：是直角三角形：(2)若，求长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形，是的中线，∴，， ∴，∴， ∵， ∴，即，∴是直角三角形． （2）解：取中点，连结，如图所示： ∵是的边的中线，则是的中点，是的中位线， ∴，，∴， 是的中点，，在和中， ，∴． 题型05 利用矩形的定义进行证明 【典例1】（重庆市忠县2026年八年级期末数学试题）如图，在矩形中，点E，F分别在，边上，已知对角线恰为线段的垂直平分线． (1)证明：；(2)若，，求矩形的周长． 【答案】(1)证明：如图所示，设交于点O， ∵对角线恰为线段的垂直平分线，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴，∴； （2）解：∵四边形是矩形，∴，， ∴，；∵，∴，∴， ∴，∴； ∵对角线恰为线段的垂直平分线，∴， 由（1）得，∴， ∴矩形的周长． 【变式1】（2026·湖北·中考真题）如图，在矩形中，，，分别是边，，的中点．求证：． 【答案】证明：点是的中点，， 点，分别是边，的中点，，， 四边形是矩形，，，， 在和中，，． 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，四边形为矩形． (1)在线段上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求（1）中的面积． 【答案】(1)点为所求． （2）解：设，则，由作图已知，点在线段的垂直平分线上， ，在矩形中，，，即， ，即，． 【变式3】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点，在边上找一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 【答案】 (1) （2）解：设，∵四边形是矩形，，，． ，，，． 在中，由勾股定理得：，． 在中，由勾股定理得，即，解得，∴的长为． 题型06 利用正方形的定义进行证明 【典例1】44．（22-23八年级下·湖南张家界·期中）已知：四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、． (1)求证：；(2)证明：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，∴， 在和中，，∴； （2）解：∵∴， ∴． 【变式1】（2026·陕西·校考三模）如图，在正方形中，是边上的一点，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接． 求证：． 【答案】证明见解析． 【详解】证明：连接，四边形是正方形，，， 点关于直线的对称点为，∴△ABE≌△AFE， ，，， 在和中，，，∴Rt△AFG≌Rt△ADG(HL)，． 【变式2】（2025·贵州·模拟预测）如图， 已知正方形， 点E 是边上一点， 过点B 作 交的延长线于点M， 连接， 过点A 作 交于点N． 求证：．    【答案】详见解析 【详解】证明： 四边形是正方形，，， ，，， ，， ，， ，， 【变式3】（2025年辽宁省大连地区中考数学二模试卷）如图，在正方形中，点为上一点，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是正方形，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴，即． 题型07 特殊平行四边形之间的关系 【典例1】（25-26九年级上·成都·校考期末）在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（     ） A．①处应添加对角相等 B．②处应添加对角线互相垂直 C．③处应添加有一组邻边相等 D．④处应添加有一个角是直角 【答案】A 【详解】解：A、“对角相等”是平行四边形的固有性质，不能作为判定它是矩形的条件， 故A箭头处应添加的条件填写错误，符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故C箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意． 【变式1】（2026·陕西渭南·二模）已知在四边形中，，，，如果添加一个条件，可使得四边形为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：，，四边形是平行四边形． ，平行四边形是矩形． 当添加条件时，一组邻边相等的矩形是正方形，即四边形为正方形． 【变式2】（25-26八年级下·山东聊城·期中）在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具，他先将该学具摆成如图所示的菱形，接着又将该学具摆成如图所示的正方形．在图形变化的前后，下列几何量没有发生变化的是________（边长、内角度数、面积、对角线长度） 【答案】边长 【详解】解：由菱形到正方形，几何量没有发生变化的是边长． 【变式3】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“?”处的图形名称是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 【答案】C 【详解】解：根据题意，得 故选：C． 题型08 特殊平行四边形的定义与坐标运算 【典例1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长为（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【详解】解：、两点的坐标分别是，，，， 四边形为菱形，，， ，菱形的周长为． 【变式1】（25-26八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，、分别是边和的中点，沿折叠正方形，折叠后点的对应点是，且点落在线段上，则点的坐标是________． 【答案】/ 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标是，∴，，， ∵、分别是边和的中点，∴点D，E在直线上，，，， ∵点落在线段上，∴的横坐标为2，由折叠的性质可知：， ∴在中，∴， ∴点的纵坐标为，∴ 则点的坐标是． 【变式2】（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，菱形在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形，∴对角线、互相平分，即与的中点坐标相同， ∵，，∴中点为，即，设点坐标为， ∵，与的中点坐标相同，∴，， 解得，，∴点坐标为． 【变式3】（25-26八年级下·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ， ∵四边形是矩形，是矩形的对角线，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵顶点的坐标分别为，，，∴, ∴，∴， ∵点在第四象限，∴点的坐标为． 题型09 特殊平行四边形的定义与一次函数 【典例1】（25-26八年级下·广西柳州·期末）如图，直线与轴，轴的交点分别为点，，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点C作轴于点N，正方形， ∴，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵直线与轴，轴的交点分别为点，，∴，． ∴．∴，∴， ∵点C在第二象限，∴． 【变式1】（25-26八年级下·重庆开州·期末）已知正方形在平面直角坐标系中位置如图所示，点的坐标是，则直线的函数解析式为_________． 【答案】 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，，，， 四边形是正方形，，，， 又，， 在和中：，，，， 在轴左侧、轴上方，，设直线的解析式为， 把、代入得：，两式相减：，得， 把代入：，，， 直线的函数解析式为． 【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，菱形的顶点A坐标是，点B在直线上，则点C的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：由题意得，原点，，， ∵四边形是菱形，，如图，设点的坐标为， 由勾股定理得：，整理得， 解得（点在第一象限，舍去），，即，设， ∵四边形是菱形，设与交于点，∴点是与的中点， 由中点坐标公式可得：，， 代入坐标得：，，解得，，∴． 题型10 利用对称性（中心对称、轴对称）性解决相关问题 【典例1】（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数解析式是__________． 【答案】 【详解】解：∵原点，顶点，∴的中点坐标为． ∵矩形是中心对称图形，过矩形对称中心（对角线交点）的直线可以把矩形面积分成相等的两部分， ∴ 直线过对称中心．将坐标代入解析式： ，解得． ∴直线的函数解析式为． 【典例2】（2023·广东广州·中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为___________．    【答案】 【详解】解：如图，连接交于一点F，连接， ∵四边形是正方形，∴点A与点C关于对称， ∴，∴，此时最小， ∵正方形的边长为4，∴， ∵点E在上，且，∴， 即的最小值为；故答案为：．    【变式1】（25-26八年级下·四川泸州·期中）点是菱形的对角线上的动点，，，是中点， 的最小值（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，， 由菱形的对角线互是它的对称轴，可得、关于对称，则， ，当点，点，点三点共线时，有最小值为， ，且四边形是菱形，， ，是等边三角形，,，， 在中，，故的最小值为．故选：A． 【变式2】如图，正方形边长为6，、是边的三等分点，点是对角线上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【详解】解∶作点关于的对称点，连接，交于，连接，如下图：    则得长度即为所求．由题可知会落在上，、是边的三等分点， ，， ∴在中，的最小值是．故答案为：． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，O为矩形的对称中心，，，，交于点E，连接，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∵四边形为矩形，，， ∴，，，∴， ∵O为矩形的对称中心，∴O为矩形对角线的交点，∴， ∵，O为的中点，∴E为的中点，∴，是的中位线， ∴，∴四边形的周长为：． 【变式4】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，直线的解析式为． (1)求点的坐标；(2)保持菱形的位置不变，将直线向左移动个单位，当该直线把菱形面积恰好平分时，____________． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，∴ ∵四边形是菱形，∴，∴， ∵直线的解析式为∴解得：，即：， 当时，，解得：，即：； （2）解：∵将直线向左移动个单位，∴平移后的解析式为：， ∵由（1）得，∴菱形的对称中心的坐标为， ∵平移后的直线把菱形面积恰好平分，∴直线经过菱形的对称中心， ∴，∴. 1.（25-26九年级上·河南郑州·期末）在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 【答案】C 【详解】A项：一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴①处可填是正确的，故该选项不符合题意； B项：有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴②处可填是正确的，故该选项不符合题意； C项：有一个角是直角的菱形是正方形，∴无法判定两角是否为直角，故该选项符合题意； D项：一组邻边相等的矩形是正方形，∴④处可填是正确的，故该选项不符合题意，故选：C． 2．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵菱形中，，∴，由折叠知，垂直平分， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴， ∴．故选：B． 3. （25-26九年级上·山东青岛·期末如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图，设，则有， 在中，，在中，， 在中，， ∵，即，在中，， 即，解得，∴．故选：C． 4．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长与直线b交于点M，∵，∴． ∵四边形是矩形，∴，∴，∴．故选：D． 5．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．14 B．20 C．15 D．10 【答案】D 【详解】解：四边形为矩形，，，． 由折叠可知，，，，． 又，∴，∴． 设，则，在中，， 即，解得：，∴，∴． 6．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图1，将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，测得，．拉动这个木框架，使它成为正方形，如图2，则此时的长为（     ） A．6 B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：如图1，由题意，可知，四边形是菱形， ，是等边三角形，， 如图2，四边形是正方形，，， ． 7．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在原点处，顶点在轴上，已知OC=BC，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：延长交轴于点， OC=BC，∴平行四边形为菱形，又轴，轴轴，轴， 点的坐标为，，，在中，， 菱形中，，，即． 8．（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为_________． 【答案】 【详解】解：过点作于点， 四边形为正方形，，变形后四边形满足为菱形， 设，则，，， 四边形的面积为：；正方形的面积为：； 四边形的面积与原正方形面积之比为． 9．（25-26八年级下·福建龙岩·期末）如图，在正方形中，，，的面积为______． 【答案】18 【详解】解：延长，过点C作于点F，如图所示： 则，∵四边形为正方形，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 10．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在菱形中，点是边上一点，，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， ，，且，， ，，故答案为：． 11．（2026·吉林·中考真题）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，连接、．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形，∴，， 在和中，∴． 12．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，在菱形中，点分别在边上，且． (1)求证：；(2)设与交于点，则___________°． 【答案】(1)证明：四边形为菱形，， ∵，，即． 在和中，，； （2）解：∵，∴， ∵菱形，∴，， ． 13．（2026·河北沧州·三模）如图，在菱形 中， ， ，垂足分别为 ， ，连接 ．(1)求证： ；(2)连接 ，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形，∴，． ∵，，∴，∴，∴； (2)证明：∵四边形是菱形，， ，，∴， 又∵，∴垂直平分，即． 14．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，四边形为矩形（） (1)请利用圆规在边上寻找一点，使得平分；（只限使用一次，并保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，．若，且平分，求的长． 【答案】(1)如图所示， （2）解：如图所示， ∵四边形为矩形，∴，， ∵平分，∴， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，由（1）可知， 又∵，∴，∴，∴． 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，已知正方形的边长为，点、分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点落在处，点恰好落在边上的点处，如果四边形的面积为，那么的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接交于点，过点作， 四边形是正方形，，，， ，，，四边形是矩形， ，，由折叠可知，，， ，，，， 在和中，，，， 设，则，，四边形的面积为， ，即，整理可得：， ，， 由折叠可知，在中，， ，整理得：，解得：，的长度为． 2．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）如图，正方形的边长为8，E是的中点，垂直平分且分别交、于点F，Q，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【详解】解：如图，连接，∵垂直平分，∴， ∵四边形是正方形，∴， 设，则，∵E是的中点，∴， 在中，由勾股定理得：， 即，∴，解得：，即的长为1． 3．（2026·广东广州·一模）如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，∴，，， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵是等边三角形，∴，，由勾股定理可得，， ∴，∴． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形中，，，点E为上一个动点，以为边在直线的右侧作正方形，若，则的长为________． 【答案】3 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，交于点， ∵矩形，∴，又， ∴四边形和都是矩形，∴，设的长为， ∵正方形，∴，，∴， ∴，∴，∴，， ∴，，在中， 由勾股定理得，即，解得或（舍去），∴的长为3． 5．（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数表达式是___________ 【答案】 【详解】解：如图，连接、，设交点为D，∵四边形是矩形，点B的坐标为，又， ∴矩形的中心D为的中点，则点D的坐标为， ∵直线把矩形的面积分成相等的两部分， ∴直线一定经过点，∴，∴，∴． 6．（2026·河北石家庄·二模）如图是某种装饰瓷砖的图案，其中正八边形的四个顶点分别在正方形的各边上，四边形的四个顶点是正八边形的四个顶点．经测量可知，，则四边形与正方形的面积之比为________． 【答案】 【详解】解：设，则，，连接、， 在正八边形中，，， ∴，， ∴，， 同理可得：，，∴四边形是正方形， ∵在正方形中，，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴正方形的面积， ∵正方形的面积， ∴四边形与正方形的面积之比． 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）菱形中，点是边的中点，交直线于点．若，，则菱形的边长为__________． 【答案】或/或 【详解】解：设菱形的边长为，∴，， 点是的中点，，，， ，为平行线与之间的距离，即． 分两种情况讨论：情况1：点在线段上，过点作，交直线于点． ，，四边形是平行四边形， ，，， 又，为直角三角形，， 在中，由勾股定理，得；； ；，． 情况2：点在的延长线上， 在中，由勾股定理，得 ；；；，． 8.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，菱形中，，，点C在x轴正半轴上．(1)求点D的坐标；(2)平面内有一点，求经过P点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)若一次函数的图象与平行四边形的边有且只有2个交点，求k的取值范围． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵，，∴， 四边形是菱形，∴，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为，点的坐标是． （2）解：，，对角线，的交点坐标为，即， ∵当直线过对角线交点时，直线平分面积，∴所求直线过点与点， 设该直线解析式为，∴，解得，所求直线的解析式为； （3）解：，一次函数的图象一定经过点， 当的图象经过点时，，解得； 当的图象经过点时，，解得； 结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点． 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 认识特殊的平行四边形 教学目标 1.准确掌握矩形、菱形、正方形的定义，明确三种图形均为特殊的平行四边形，理清平行四边形、矩形、菱形、正方形四类图形的从属包含关系，构建完整的四边形知识体系。 2.初步感知矩形、菱形、正方形区别于一般平行四边形的独特几何特征，了解三种特殊平行四边形的轴对称、中心对称性质，能直观区分四类图形的外形与属性差异。 3.能够结合生活实例识别特殊平行四边形，初步运用图形定义进行简单的图形判断、辨析，为后续学习特殊平行四边形的性质与判定奠定基础。 4.经历观察对比、动手操作、类比归纳、抽象概括的探究过程，从一般平行四边形出发，通过改变边、角条件，推导得出矩形、菱形、正方形的定义，掌握 “从一般到特殊” 的几何图形研究方法。 5.通过小组讨论、图形分类、关系梳理等课堂活动，提升几何直观能力、逻辑归纳能力和语言表达能力，树立数形结合、分类讨论的数学思想。 教学重难点 1.重点 （1）矩形、菱形、正方形核心定义的理解与记忆，精准把握三种图形的本质特征。 （2）平行四边形、矩形、菱形、正方形四者的从属关系与逻辑关联，明确特殊图形与一般图形的异同点。 （3）特殊平行四边形的对称性辨析，能准确区分四类图形的对称特性。 2.难点 （1）深度理解正方形的双重特殊性：正方形既是特殊的矩形、也是特殊的菱形，兼具矩形和菱形的全部几何特征，突破单一图形认知局限。 （2）系统梳理四类图形的包含关系，精准区分易混淆概念，规避 “矩形是正方形、菱形是平行四边形但平行四边形不是菱形” 等常见认知误区。 （3）灵活运用 “一般到特殊” 的数学思想，自主分析图形边、角的变化对图形类型的影响，建立结构化的几何知识体系。 知识点01 认识特殊的平行四边形（新教材独有） （核心改动：新增1.1总起课时，意在先整体建立“平行四边形→菱形/矩形→正方形”从属关系，先总后分，搭建单元知识框架，落实大单元教学理念。） 1.菱形的定义:有一组邻边目等的平行四边形叫作菱形。 即：如下图，在▱ABCD中，若AB=BC，则▱ABCD为菱形。 2.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 即：如下图，在▱ABCD中，若∠ABC=90°，则▱ABCD为矩形。 3.正方形的定义:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 即：如下图，在▱ABCD中，若AB=BC，且∠ABC=90°，则▱ABCD为正方形。 4. 菱形、矩形、正方形的关系： 5.菱形、矩形、正方形都具有轴对称性；其中菱形和矩形都各有2条对称轴；正方形有4条对称轴。 6.菱形、矩形、正方形都具有中心对称性；他们的对称中心是两条对角线的交点。 八下复习知识：平行四边形的性质与判定 1）平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等（且平行），对角相等（且邻角互补）。 2）平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角线互相平分。 1）平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 2）平行四边形的判定定理2：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 3）平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4）平行四边形的判定定理4：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）。 【即学即练】 1．（2026·河南平顶山·三模）如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西桂林·期末）如图，在菱形中，垂直平分，垂足为，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为_____________． 4．（25-26八年级下·四川广安·期末）如图，在矩形中，连接，过点作于点，，分别是，的中点，连接，，．若，，则的周长为__________． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，P是正方形内一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数为________．    6．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 7．（2026·浙江·模拟预测）已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． (1)给出 的证明；(2)若，求的度数． 题型01 菱形定义下的边角计算 【典例1】（2026·江苏盐城·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·山西阳泉·期末）数学兴趣小组的同学们打算为校园内的一块菱形空地设计一个小型花园（如图），要在对角线上修建一条人行步道，步道上选取点作为灌溉点．已知菱形空地的周长为米，总面积为平方米，为了提前规划水管长度，需要计算出喷头到和的距离和的总长度．即______． 【变式1】（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，在菱形中，，则________． 【变式2】（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【变式3】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，四边形是菱形，，，则菱形的周长为（     ） A．10 B．20 C．24 D．34 【变式4】（25-26八年级下·山东菏泽·阶段检测）如图，在中，，，为的中点，则菱形的周长为______． 题型02 矩形定义下的边角计算 【典例1】（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，，连接，则的度数为______． 【典例2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，，，的平分线与的延长线相交于点，与相交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2021·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，矩形的对角线、相交于点O，点E在上，连接，若，，则的度数为________． 【变式3】（25-26八年级下·广西柳州·期末）如图，点是矩形的边上一点，将沿着对折，点恰好折叠到边上的点处，若，，那么的长为（     ） A．7 B．6 C．5 D．3 【变式4】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．若，为中点，则的长（    ） A． B． C． D．4 题型03 正方形定义下的边角计算 【典例1】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，点为正方形内部一点，连接、、、，，．当时，可表示为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，正方形的边长为8，E是的中点，垂直平分且分别交于点F，Q，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．4 D． 【变式1】（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，在正方形内侧作等边，连接，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________． 【变式3】（25-26八年级下·重庆涪陵·期末）如图，四边形是边长为4的正方形，E是边的中点，，且，连接，则的长度为（     ） A．3 B． C． D． 【变式4】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在正方形中，E，F分别为，上的点，连接，，若于点G，，则的长为________． 题型04 利用菱形的定义进行证明 【典例1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知：如图，在菱形中，于点，于点．求证：(1)．(2)． 【变式1】（重庆市沙坪坝区2025-2026期末调研八年级数学试题）小渝在学习菱形时发现：在菱形中，过点作于点，于点，则．他的证明思路是：利用菱形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小渝的思路将下面证明过程补充完整． 证明：∵四边形是菱形，①，． ，，②③．④ 又，．即． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，点E在菱形的边上．连接，作于点F．(1)若F是中点，求证：．(2)若，则的长为_________． 【变式3】（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接． (1)若四边形是菱形，求证：是直角三角形：(2)若，求长． 题型05 利用矩形的定义进行证明 【典例1】（重庆市忠县2026年八年级期末数学试题）如图，在矩形中，点E，F分别在，边上，已知对角线恰为线段的垂直平分线． (1)证明：；(2)若，，求矩形的周长． 【变式1】（2026·湖北·中考真题）如图，在矩形中，，，分别是边，，的中点．求证：． 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，四边形为矩形． (1)在线段上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求（1）中的面积． 【变式3】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点，在边上找一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 题型06 利用正方形的定义进行证明 【典例1】（22-23八年级下·湖南张家界·期中）已知：四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、． (1)求证：；(2)证明：． 【变式1】（2026·陕西·校考三模）如图，在正方形中，是边上的一点，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接． 求证：． 【变式2】（2025·贵州·模拟预测）如图， 已知正方形， 点E 是边上一点， 过点B 作 交的延长线于点M， 连接， 过点A 作 交于点N． 求证：．    【变式3】（2025年辽宁省大连地区中考数学二模试卷）如图，在正方形中，点为上一点，连接，，．求证：． 题型07 特殊平行四边形之间的关系 【典例1】（25-26九年级上·成都·校考期末）在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（     ） A．①处应添加对角相等 B．②处应添加对角线互相垂直 C．③处应添加有一组邻边相等 D．④处应添加有一个角是直角 【变式1】（2026·陕西渭南·二模）已知在四边形中，，，，如果添加一个条件，可使得四边形为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可） 【变式2】（25-26八年级下·山东聊城·期中）在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具，他先将该学具摆成如图所示的菱形，接着又将该学具摆成如图所示的正方形．在图形变化的前后，下列几何量没有发生变化的是________（边长、内角度数、面积、对角线长度） 【变式3】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“?”处的图形名称是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 题型08 特殊平行四边形的定义与坐标运算 【典例1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长为（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式1】（25-26八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，、分别是边和的中点，沿折叠正方形，折叠后点的对应点是，且点落在线段上，则点的坐标是________． 【变式2】（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，菱形在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 题型09 特殊平行四边形的定义与一次函数 【典例1】（25-26八年级下·广西柳州·期末）如图，直线与轴，轴的交点分别为点，，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·重庆开州·期末）已知正方形在平面直角坐标系中位置如图所示，点的坐标是，则直线的函数解析式为_________． 【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，菱形的顶点A坐标是，点B在直线上，则点C的坐标为_________． 题型10 利用对称性（中心对称、轴对称）性解决相关问题 【典例1】（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数解析式是__________． 【典例2】（2023·广东广州·中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为___________．    【变式1】（25-26八年级下·四川泸州·期中）点是菱形的对角线上的动点，，，是中点， 的最小值（    ） A． B．2 C．4 D．8 【变式2】如图，正方形边长为6，、是边的三等分点，点是对角线上的动点，则的最小值是 ．    【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，O为矩形的对称中心，，，，交于点E，连接，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，直线的解析式为． (1)求点的坐标；(2)保持菱形的位置不变，将直线向左移动个单位，当该直线把菱形面积恰好平分时，____________． 1.（25-26九年级上·河南郑州·期末）在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 2．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 3. （25-26九年级上·山东青岛·期末如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．14 B．20 C．15 D．10 6．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图1，将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，测得，．拉动这个木框架，使它成为正方形，如图2，则此时的长为（     ） A．6 B． C． D．3 7．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在原点处，顶点在轴上，已知OC=BC，点的坐标为，则点的坐标为______． 8．（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为_________． 9．（25-26八年级下·福建龙岩·期末）如图，在正方形中，，，的面积为______． 10．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在菱形中，点是边上一点，，连接，若，则的度数为______． 11．（2026·吉林·中考真题）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，连接、．求证：． 12．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，在菱形中，点分别在边上，且． (1)求证：；(2)设与交于点，则___________°． 13．（2026·河北沧州·三模）如图，在菱形 中， ， ，垂足分别为 ， ，连接 ．(1)求证： ；(2)连接 ，求证：． 14．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，四边形为矩形（） (1)请利用圆规在边上寻找一点，使得平分；（只限使用一次，并保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，．若，且平分，求的长． 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，已知正方形的边长为，点、分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点落在处，点恰好落在边上的点处，如果四边形的面积为，那么的长是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）如图，正方形的边长为8，E是的中点，垂直平分且分别交、于点F，Q，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 3．（2026·广东广州·一模）如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形中，，，点E为上一个动点，以为边在直线的右侧作正方形，若，则的长为________． 5．（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数表达式是___________ 6．（2026·河北石家庄·二模）如图是某种装饰瓷砖的图案，其中正八边形的四个顶点分别在正方形的各边上，四边形的四个顶点是正八边形的四个顶点．经测量可知，，则四边形与正方形的面积之比为________． 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）菱形中，点是边的中点，交直线于点．若，，则菱形的边长为__________． 8.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，菱形中，，，点C在x轴正半轴上．(1)求点D的坐标；(2)平面内有一点，求经过P点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)若一次函数的图象与平行四边形的边有且只有2个交点，求k的取值范围． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $