第二十七章 反比例函数 单元测试卷 -2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学第二十七章反比例函数单元测试卷，通过基础题、综合题及实际情境题，全面考查反比例函数定义、图像性质及与几何图形、现实问题的结合，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|反比例函数定义（1题）、对称性（2题）、与方程综合（4题）|结合图像辨析（5题），考查几何直观| |填空题|6/24|常数k（13题）、图像象限（14题）、坐标计算（15题）|设置开放题（14题），培养创新意识| |解答题|7/90|图像绘制（19题）、实际应用（24题注意力指数）、几何综合（25题菱形与双曲线）|注重模型构建（7题分期付款），提升运算能力与应用意识|

第二十七章 单元测试 班级：________　　　姓名：________　　　分数：________一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．) 1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是( C ) A．y＝4x B.＝3 C．y＝－ D．y＝x2－1 2．对于反比例函数y＝的图象的对称性叙述错误的是( D ) A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于直线y＝－x对称 D．关于x轴对称 3．已知y与x2成反比例，且当x＝－2时，y＝2，那么当x＝4时，y的值为( C ) A．－2 B．2 C. D．－4 4．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则反比例函数y＝的图象所在的象限是( C ) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 5．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A(2，2)，B(－2，－2)两点，当y＝x的函数值大于y＝的函数值时，x的取值范围是( D ) A．x＞2 B．x＜－2 C．－2＜x＜0或0＜x＜2 D．－2＜x＜0或x＞2 6．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线y＝上，如果x1＜x2，而且x1x2＞0，则以下不等式一定成立的是( B ) A．y1＋y2＞0 B．y1－y2＞0 C．y1·y2＜0 D.＜0 7．今年，某公司推出的一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9 688元的新手机，前期付款2 000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y(单位：元)与付款月数x(x为正整数)之间的函数关系式是( C ) A．y＝＋2 000 B．y＝－2 000 C．y＝ D．y＝ 8．在同一直角坐标系中，函数y＝和y＝kx－k(k≠0)的图象可能是( A ) A B C D 9．如图，A，B是双曲线y＝(k＞0)上的点，A，B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝3.则k的值为( B ) A．2 B．1.5 C．4 D．6 第9题图第10题第11题图 10．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，正方形ADEF的面积为9，且BF＝AF，则k的值为( C ) A．15 B. C. D．17 11．如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋8于A，B两点，若反比例函数y＝(x＞0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是( D ) A．2≤k≤12 B．2≤k≤7 C．7≤k≤12 D．2≤k≤16 12．如图，已知函数y1＝(x>0)，y2＝(x<0)，点A在y轴的正半轴上，过点A作BC∥x轴，交两个函数的图象于点B和点C，有下列说法： ①若点A的纵坐标为2，则点C的横坐标为－1； ②若2AC＝AB，则k＝； ③若AC＝AB，则y1，y2的图象关于y轴对称； ④当x<－2时，则y2的取值范围为y2<1. 其中结论正确的是( C ) A．①② B．②④ C．①③ D．①③④ 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分．) 13．反比例函数y＝－中常数k为－. 14．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的解析式：y＝－(答案不唯一)． 15．已知点A(a，4)，B(－2，2)都在双曲线y＝上，则a＝－1. 16．如图，点M(2，m)是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点，则k的值为4. 第16题图　　　　第17题图 17．如图，点A在双曲线y＝(x＞0)上，点B在双曲线y＝(x＞0)上，且AB∥x轴，BC∥y轴，点C在x轴上，则△ABC的面积为1.5. 18．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标为.反比例函数y＝(常数k>0，x>0)的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是5或22.5. 三、解答题(本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．) 19．(14分)作出反比例函数y＝－的图象，并结合图象回答： (1)当x＝2时，y的值； (2)当1＜x≤4时，y的取值范围； (3)当1≤y＜4时，x的取值范围． 解：如图所示， (1)把x＝2代入，得y＝－2. (2)当1＜x≤4时，y的取值范围为－4＜y≤－1. (3)当1≤y＜4时，x的取值范围为－4≤x＜－1. 20．(11分)如图，在平面直角坐标系中，过点A(－2，0)作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝. (1)求反比例函数的解析式； (2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P，Q各位于哪个象限？并简要说明理由． 解：(1)由题意得B， ∴k＝－2×＝－3， ∴反比例函数的解析式为y＝－. (2)结论：点P在第二象限，点Q在第四象限， 理由略． 21.(11分)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与双曲线y＝在第一象限交于点A(m，3)，与x轴交于点B. (1)求双曲线所对应的函数解析式； (2)若点P在x轴上，且△ABP的面积为3，求点P的坐标． 解：(1)将点A坐标代入一次函数解析式得 m＋2＝3，解得m＝2， ∴点A坐标为(2，3)，∴k＝2×3＝6， ∴双曲线所对应的函数解析式为y＝. (2)易知点B坐标为(－4，0)． 设点P坐标为(n，0)，则BP＝|n＋4|， ∴×|n＋4|×3＝3，解得n＝－2或－6. ∴点P的坐标为(－2，0)或(－6，0)． 22．(12分)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B，C在x轴负半轴上，反比例函数y＝(x<0)的图象经过点D(－1，4)，交AB于点P. (1)求该反比例函数的解析式； (2)点Q在反比例函数y＝(x<0)的图象上，且S△OCQ＝S△BCP，求点Q的坐标． 解：(1)反比例函数的解析式为y＝－(x<0)． (2)由题意得OC＝1，BC＝CD＝4， ∴OB＝OC＋BC＝1＋4＝5， 当x＝－5时，y＝－＝， ∴P，设Q， ∵S△OCQ＝S△BCP， ∴×1×＝××4×， 解得t＝－，∴点Q的坐标为. 23.(13分)如图，直线l1，l2是紧靠某湖泊的两条相互垂直的公路，曲线段CD是该湖泊环湖观光大道的一部分，现准备修建一条直线型公路AB，用以连接两条公路和环湖观光大道，且直线AB与曲线段CD有且仅有一个公共点P.已知点C到l1，l2的距离分别为8 km和1 km，点P到l1的距离为4 km，点D到l1的距离为0.8 km.若分别以l1，l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，则曲线段CD对应的函数解析式为y＝. (1)求k的值，并指出函数y＝的自变量的取值范围； (2)求直线AB的解析式，并求出公路AB的长度(结果保留根号)． 解：(1)由题意得，点C的坐标为(1，8)， 将其代入y＝，得k＝8， ∴y＝，∴点D的坐标为(10，0.8)， ∴自变量的取值范围为1≤x≤10. (2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 易求得点P的坐标为(2，4)， ∴4＝2k＋b，即b＝4－2k， ∴直线AB的解析式为y＝kx＋4－2k， 联立得kx2＋2(2－k)x－8＝0， ∵k≠0， ∴Δ＝4(2－k)2＋32k＝0，解得k＝－2， ∴直线AB的解析式为y＝－2x＋8， ∴A，B的坐标分别为A(0，8)，B(4，0)， ∴AB＝＝4 km. ∴公路AB的长度为4 km. 24.(14分)心理学家研究发现，一般情况下，一节课40 min中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x(单位：min)的变化规律如下图所示(其中AB，BC均为线段，CD为双曲线的一部分)： (1)求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)开始上课后第5 min时与第30 min时相比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学竞赛题，需要讲19 min，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 解：(1)AB解析式为y1＝2x＋20(0≤x≤10)． 曲线CD的解析式为y2＝(x≥25)． (2)当x1＝5时，y1＝30， 当x2＝30时，y2＝， ∵y1＜y2，∴第30 min注意力更集中． (3)令y1＝2x1＋20＝36，得x1＝8， 令y2＝＝36，得x2＝≈27.8，∵27.8－8＝19.8＞19， ∴老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 25.(15分)如图，已知菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝4，以AC、BD所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，双曲线y＝恰好经过DC的中点，过直线BC上的点P作直线l⊥x轴，交双曲线于点Q. (1)求k的值及直线BC的函数解析式； (2)双曲线y＝与直线BC交于M，N两点，试求线段MN的长； (3)是否存在点P，使以点B，P，Q，D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)易知B(0，－2)，C(4，0)，D(0，2)， ∴DC中点坐标为(2，1)，∴k＝2， ∴直线BC的解析式为y＝x－2. (2)令＝x－2，解得x＝2±2， 当x＝2＋2时，y＝－1，当x＝2－2时，y＝－－1， ∴N(2＋2，－1)，M(2－2，－－1)， ∴MN＝＝2. (3)存在．当PQ＝BD＝4时，以点B，P，Q，D为顶点的四边形是平行四边形． 设P，Q， ①当点Q在点P的上方时，PQ＝－＝4， 解得m＝±2－2， ∴P1(2－2，－3)，P2(－2－2，－－3)； ②当点Q在P的下方时，PQ＝－＝4， 解得m＝6±2， ∴P3(2＋6，＋1)，P4(－2＋6，－＋1)． 综上所述，存在以点B，P，Q，D四点为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为(2－2，－3)，(－2－2，－－3)，(2＋6，＋1)或(－2＋6，－＋1)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 单元测试 班级：________　　　姓名：________　　　分数：________一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．) 1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是( ) A．y＝4x B.＝3 C．y＝－ D．y＝x2－1 2．对于反比例函数y＝的图象的对称性叙述错误的是( ) A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于直线y＝－x对称 D．关于x轴对称 3．已知y与x2成反比例，且当x＝－2时，y＝2，那么当x＝4时，y的值为( ) A．－2 B．2 C. D．－4 4．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则反比例函数y＝的图象所在的象限是( ) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 5．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A(2，2)，B(－2，－2)两点，当y＝x的函数值大于y＝的函数值时，x的取值范围是( ) A．x＞2 B．x＜－2 C．－2＜x＜0或0＜x＜2 D．－2＜x＜0或x＞2 6．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线y＝上，如果x1＜x2，而且x1x2＞0，则以下不等式一定成立的是( ) A．y1＋y2＞0 B．y1－y2＞0 C．y1·y2＜0 D.＜0 7．今年，某公司推出的一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9 688元的新手机，前期付款2 000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y(单位：元)与付款月数x(x为正整数)之间的函数关系式是( ) A．y＝＋2 000 B．y＝－2 000 C．y＝ D．y＝ 8．在同一直角坐标系中，函数y＝和y＝kx－k(k≠0)的图象可能是( ) A B C D 9．如图，A，B是双曲线y＝(k＞0)上的点，A，B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝3.则k的值为( ) A．2 B．1.5 C．4 D．6 第9题图第10题第11题图 10．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，正方形ADEF的面积为9，且BF＝AF，则k的值为( ) A．15 B. C. D．17 11．如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋8于A，B两点，若反比例函数y＝(x＞0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是( ) A．2≤k≤12 B．2≤k≤7 C．7≤k≤12 D．2≤k≤16 12．如图，已知函数y1＝(x>0)，y2＝(x<0)，点A在y轴的正半轴上，过点A作BC∥x轴，交两个函数的图象于点B和点C，有下列说法： ①若点A的纵坐标为2，则点C的横坐标为－1； ②若2AC＝AB，则k＝； ③若AC＝AB，则y1，y2的图象关于y轴对称； ④当x<－2时，则y2的取值范围为y2<1. 其中结论正确的是( ) A．①② B．②④ C．①③ D．①③④ 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分．) 13．反比例函数y＝－中常数k为____________. 14．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的解析式：____________． 15．已知点A(a，4)，B(－2，2)都在双曲线y＝上，则a＝_______. 16．如图，点M(2，m)是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点，则k的值为4. 第16题图　　　　第17题图 17．如图，点A在双曲线y＝(x＞0)上，点B在双曲线y＝(x＞0)上，且AB∥x轴，BC∥y轴，点C在x轴上，则△ABC的面积为____________. 18．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标为.反比例函数y＝(常数k>0，x>0)的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是____________. 三、解答题(本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．) 19．(14分)作出反比例函数y＝－的图象，并结合图象回答： (1)当x＝2时，y的值； (2)当1＜x≤4时，y的取值范围； (3)当1≤y＜4时，x的取值范围． 20．(11分)如图，在平面直角坐标系中，过点A(－2，0)作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝. (1)求反比例函数的解析式； (2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P，Q各位于哪个象限？并简要说明理由． 21.(11分)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与双曲线y＝在第一象限交于点A(m，3)，与x轴交于点B. (1)求双曲线所对应的函数解析式； (2)若点P在x轴上，且△ABP的面积为3，求点P的坐标． 22．(12分)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B，C在x轴负半轴上，反比例函数y＝(x<0)的图象经过点D(－1，4)，交AB于点P. (1)求该反比例函数的解析式； (2)点Q在反比例函数y＝(x<0)的图象上，且S△OCQ＝S△BCP，求点Q的坐标． 23.(13分)如图，直线l1，l2是紧靠某湖泊的两条相互垂直的公路，曲线段CD是该湖泊环湖观光大道的一部分，现准备修建一条直线型公路AB，用以连接两条公路和环湖观光大道，且直线AB与曲线段CD有且仅有一个公共点P.已知点C到l1，l2的距离分别为8 km和1 km，点P到l1的距离为4 km，点D到l1的距离为0.8 km.若分别以l1，l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，则曲线段CD对应的函数解析式为y＝. (1)求k的值，并指出函数y＝的自变量的取值范围； (2)求直线AB的解析式，并求出公路AB的长度(结果保留根号)． 24.(14分)心理学家研究发现，一般情况下，一节课40 min中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x(单位：min)的变化规律如下图所示(其中AB，BC均为线段，CD为双曲线的一部分)： (1)求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)开始上课后第5 min时与第30 min时相比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学竞赛题，需要讲19 min，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 25.(15分)如图，已知菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝4，以AC、BD所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，双曲线y＝恰好经过DC的中点，过直线BC上的点P作直线l⊥x轴，交双曲线于点Q. (1)求k的值及直线BC的函数解析式； (2)双曲线y＝与直线BC交于M，N两点，试求线段MN的长； (3)是否存在点P，使以点B，P，Q，D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $