第二单元 三角形的再认识 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版五年级上册（新教材）

第二单元 三角形的再认识 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、三角形的内角和 1 1. 核心定理 1 2. 常用拓展规律 2 二、三角形三边的关系 2 1. 核心定理 2 2. 快速判断方法 2 3. 第三边的取值范围 2 三、多边形的内角和 2 1. 公式推导思路 2 2. 内角和计算公式 3 3. 正多边形的内角 3 4. 边数与内角和的变化规律 3 四、易错点总结 3 考点讲练 3 考点一：三角形的内角和 3 考点二：三角形的三边关系 4 考点三：多边形的内角和 5 综合训练 6 知识梳理 一、三角形的内角和 1. 核心定理 三角形的内角和等于 180°。 验证方法：可以通过剪拼法（将三个内角剪下拼成一个平角）、折叠法（三个角折叠汇聚成平角）或测量计算法进行验证。 结论具有普遍性：任意三角形，无论形状、大小如何，内角和都是固定的 180°。 2. 常用拓展规律 直角三角形的两个锐角之和等于 90°（两角互余）。 等腰三角形两个底角大小相等，已知任意一个内角，可结合内角和求出另外两个角的度数。 钝角三角形中，两个锐角之和小于 90°。 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 二、三角形三边的关系 1. 核心定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 这是三条线段能否围成三角形的判断依据，也是三角形最基本的边的性质。 2. 快速判断方法 判断三条线段能否围成三角形，只需计算较短两条边的长度和，若和大于最长边，则可以围成三角形；反之则不能。 原理：若较短两边之和都大于最长边，其余两组两边之和必然也大于第三边。 3. 第三边的取值范围 已知三角形两条边的长度，第三条边的长度满足： 若要求取整厘米数，最长为 “和减 1”，最短为 “差加 1”。 三、多边形的内角和 1. 公式推导思路 从 n 边形的一个顶点出发，向所有不相邻的顶点作对角线，可以把 n 边形分割成个三角形。每个三角形的内角和为 180°，因此 n 边形的内角和就是这 (n-2) 个三角形内角和的总和。 2. 内角和计算公式 （n≥3，且 n 为正整数） 常见多边形内角和： 三角形（n=3）：(3-2)×180° = 180° 四边形（n=4）：(4-2)×180° = 360° 五边形（n=5）：(5-2)×180° = 540° 六边形（n=6）：(6-2)×180° = 720° 3. 正多边形的内角 正多边形的所有边长度相等，所有内角度数相等。 正 n 边形每个内角的度数： 例：正四边形（正方形）每个内角 = (4-2)×180°÷4 = 90° 4. 边数与内角和的变化规律 多边形每增加 1 条边，内角和就增加 180°；每减少 1 条边，内角和就减少 180°。 四、易错点总结 计算三角形内角度数时，记错内角和数值，或遗漏某个角的度数，导致计算错误。 判断三边关系时，仅验证任意一组两边之和大于第三边，未用 “较短两边之和与最长边比较” 的方法，出现判断失误。 等腰三角形求边长或周长时，未分类讨论，也未用三边关系验证结果的合理性，造成错解。 多边形内角和公式记忆错误，误写为 “n×180°”，混淆分割出的三角形个数。 误以为多边形边数每增加 1，内角和增加 360°，实际仅增加 180°。 求正多边形内角度数时，错误地用内角和直接除以 2，未除以边数 n。 考点讲练 考点一：三角形的内角和 【典例精讲】一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是( )°。一把直角三角尺的一个角是30°，那么另一个锐角是( )°。 【变式训练】一个等腰三角形，其中两条边的长度分别为3厘米和6厘米，这个三角形的周长是( )厘米，若它的顶角是40°，底角是( )。 【变式训练】在三角形ABC中，∠A＝55°，∠B＝70°，∠C＝( )°，按角分，这是个( )三角形，按边分，这是个( )三角形。 【变式训练】求（1）中和（2）中的度数。 （1） （2） 考点二：三角形的三边关系 【典例精讲】一个三角形三条边的长度都是整厘米数，其中两条边分别是15cm和30cm，第三条边最短是( )cm，最长是( )cm。 【变式训练】一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边长分别是7厘米和9厘米。第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【变式训练】一个三角形最小的角是45°，这个三角形按照角分可能是( )三角形，也可能是( )三角形，不可能是( )三角形；一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和12厘米，那么这个三角形的周长是( )厘米。 【变式训练】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”风筝是中国古代劳动人民发明的。在深圳风筝节上，有一个等腰三角形风筝，其中两条边分别长1.2米和2.4米。这个等腰三角形风筝的周长是多少米？ 考点三：多边形的内角和 【典例精讲】求下面四边形的四个内角∠1，∠2，∠3和∠4的度数和。 【变式训练】淘气在探究五边形内角和时，把五边形分成5个三角形，如下图，得到这个五边形的内角和是900°，他算得对吗？请写出你的思考过程。 【变式训练】请你用适当的方法来验证八边形的内角和是1080°。（先在下图中分一分，再列式计算验证） 把一个八边形分成了6个三角形。 八边形的内角和是180°×6＝1080°。 【变式训练】如图，有一个六边形，从A点开始将图形切割成数个三角形，求出这个六边形的内角和是多少？ 综合训练 1．在三角形ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 2．校园跳格子游戏的直角三角形区域中，两个锐角的度数分别为m和n，且m的度数是n的2倍。下列算式中，表示120°角的是（    ）。 A．m＋n－m＋2 B．m＋n＋m÷2 C．2n＋m÷2 D．2n－m＋2 3．乐乐在探究七边形的内角和时，采用了图中的分割方法，下面算式（    ）符合他的探究过程。 A．180°×7 B．180°×7－180° C．180°×7＋180° D．180°×7－360° 4．一个多边形的内角和是，这是一个（    ）边形。 A．六 B．七 C．八 D．以上都可能 5．乐乐准备了4个盒子，每个盒子里面放了三根小棒，盒子的高度和小棒的长度如下图，盒子里的小棒一定不能围成三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 6．鹏鹏用三根小棒围一个三角形，其中两根小棒的长度分别是4cm和6cm，那么第三根小棒的长度可能是（    ）cm。 A．1 B．2 C．7 D．11 7．一个等腰三角形的两条边分别是5cm和14cm，这个三角形的周长是( )cm。 8．等腰三角形的一个底角是80°，它的顶角是( )°；两根木条分别长14cm和7cm，再添一根木条就可以钉成一个周长( )cm的等腰三角形。 9．一个等腰三角形的两条边长分别是10分米和5分米，这个等腰三角形的周长是( )分米。 10．用下面4根小棒中的3根搭三角形，可以用( )、( )和④，还可以用( )、( )和④。（填序号） 11．按照下图的方法将三角形进行折叠，那么∠2＝______°。 12．蜜蜂是大自然的杰出建筑师，它们建造的蜂巢由许多大小完全相同的正六边形房间组成。请你算一算，蜜蜂的每个“小房间”（正六边形）的内角和是( )。 13．如图，长方形内有一个等边三角形，已知1＝13°，则2＝( )°。 14．如图：在一个等边三角形中，如果沿虚线剪去∠1，那么在剩下的四边形中，∠2＋∠3＝( )°，∠5＋∠4＝( )°。 15．如图，∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 16．如图所示，已知，，那么( )°。 17．计算图中1、2和3的度数。 18．求下面图中各角的度数。 19．计算下列各未知角的度数。 20．空间站舱内实验区温度保持恒温23℃。科研人员制作一块三角形的观测挡板，测得这块挡板的两个内角分别是48度和65度，第三个内角是多少度？这个三角形按角分是什么三角形？ 21．【安全警示】在活动过程中，班长要在路口摆放一个三角形的交通警示牌，提醒大家注意来往车辆。已知这个警示牌是一个等腰三角形，并且量得它的顶角是100°。请问： 这个警示牌的一个底角是多少度？ 22．莉莉在活动中制作了一张书签（如下图）。莉莉想到自己在数学课上学习了“三角形的内角和是180°”，那么这张书签的内角和是多少度呢？你能想办法帮莉莉探究出这张书签的内角和吗？请写出你的想法和探究过程。 23．我国潍坊（又称鸢都）作为世界风筝之都，是世界风筝文化交流的中心。小红为参加风筝节，特意做了一个风筝，风筝的造型是等腰三角形，其中一个顶角是46度，风筝的底角是多少度？ 24．“又是一年三月三，风筝飞满天。”放风筝是民间传统游戏之一。爸爸给明明制作了一个等腰三角形风筝，它的一个底角是64°，则它的顶角是多少？ 25．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，纸鸢就是风筝。爸爸给花花买了一个等腰三角形的风筝。它的其中两条边的长度分别是35厘米和52厘米。花花想给风筝围上一圈花边（接头处忽略不计），最多需要多少厘米的花边？最少需要多少厘米的花边？ 26．一根铁丝正好可以围成一个边长是26厘米的等边三角形，如果将这根铁丝改围成一个腰比底长3厘米的等腰三角形，那么围成的这个等腰三角形的底是多少厘米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 三角形的再认识 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、三角形的内角和 1 1. 核心定理 1 2. 常用拓展规律 2 二、三角形三边的关系 2 1. 核心定理 2 2. 快速判断方法 2 3. 第三边的取值范围 2 三、多边形的内角和 2 1. 公式推导思路 2 2. 内角和计算公式 3 3. 正多边形的内角 3 4. 边数与内角和的变化规律 3 四、易错点总结 3 考点讲练 3 考点一：三角形的内角和 3 考点二：三角形的三边关系 6 考点三：多边形的内角和 7 综合训练 10 知识梳理 一、三角形的内角和 1. 核心定理 三角形的内角和等于 180°。 验证方法：可以通过剪拼法（将三个内角剪下拼成一个平角）、折叠法（三个角折叠汇聚成平角）或测量计算法进行验证。 结论具有普遍性：任意三角形，无论形状、大小如何，内角和都是固定的 180°。 2. 常用拓展规律 直角三角形的两个锐角之和等于 90°（两角互余）。 等腰三角形两个底角大小相等，已知任意一个内角，可结合内角和求出另外两个角的度数。 钝角三角形中，两个锐角之和小于 90°。 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 二、三角形三边的关系 1. 核心定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 这是三条线段能否围成三角形的判断依据，也是三角形最基本的边的性质。 2. 快速判断方法 判断三条线段能否围成三角形，只需计算较短两条边的长度和，若和大于最长边，则可以围成三角形；反之则不能。 原理：若较短两边之和都大于最长边，其余两组两边之和必然也大于第三边。 3. 第三边的取值范围 已知三角形两条边的长度，第三条边的长度满足： 若要求取整厘米数，最长为 “和减 1”，最短为 “差加 1”。 三、多边形的内角和 1. 公式推导思路 从 n 边形的一个顶点出发，向所有不相邻的顶点作对角线，可以把 n 边形分割成个三角形。每个三角形的内角和为 180°，因此 n 边形的内角和就是这 (n-2) 个三角形内角和的总和。 2. 内角和计算公式 （n≥3，且 n 为正整数） 常见多边形内角和： 三角形（n=3）：(3-2)×180° = 180° 四边形（n=4）：(4-2)×180° = 360° 五边形（n=5）：(5-2)×180° = 540° 六边形（n=6）：(6-2)×180° = 720° 3. 正多边形的内角 正多边形的所有边长度相等，所有内角度数相等。 正 n 边形每个内角的度数： 例：正四边形（正方形）每个内角 = (4-2)×180°÷4 = 90° 4. 边数与内角和的变化规律 多边形每增加 1 条边，内角和就增加 180°；每减少 1 条边，内角和就减少 180°。 四、易错点总结 计算三角形内角度数时，记错内角和数值，或遗漏某个角的度数，导致计算错误。 判断三边关系时，仅验证任意一组两边之和大于第三边，未用 “较短两边之和与最长边比较” 的方法，出现判断失误。 等腰三角形求边长或周长时，未分类讨论，也未用三边关系验证结果的合理性，造成错解。 多边形内角和公式记忆错误，误写为 “n×180°”，混淆分割出的三角形个数。 误以为多边形边数每增加 1，内角和增加 360°，实际仅增加 180°。 求正多边形内角度数时，错误地用内角和直接除以 2，未除以边数 n。 考点讲练 考点一：三角形的内角和 【典例精讲】一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是( )°。一把直角三角尺的一个角是30°，那么另一个锐角是( )°。 【答案】 50 60 【分析】（1）三角形的内角和是180°，等腰三角形的顶角是，它的两个底角相等，所以求它的一个底角用即可； （2）直角三角形中两个锐角的和是，一把直角三角尺的一个角是30°，那么另一个锐角用可求得。 【详解】（1）求一个底角的度数： （2）求另一个锐角的度数：。 【变式训练】一个等腰三角形，其中两条边的长度分别为3厘米和6厘米，这个三角形的周长是( )厘米，若它的顶角是40°，底角是( )。 【答案】 15 70° 【分析】等腰三角形的特点，两条腰相等，两个底角相等，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出三角形的周长，2条腰长＋底边长，底角＝（180°－顶角）÷2。 【详解】如果腰是3厘米，3＋3＝6（厘米），6＝6，与第三边相等，不符合两边之和大于第三边，不符合； 如果腰是6厘米，6＋6＝12（厘米），6－6＝0（厘米），0＜6＜12，符合。 因此，三角形的周长： 6＋6＋3＝15（厘米） （180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 【变式训练】在三角形ABC中，∠A＝55°，∠B＝70°，∠C＝( )°，按角分，这是个( )三角形，按边分，这是个( )三角形。 【答案】 55 锐角 等腰 【分析】根据题意，明确三角形内角和为180°，用180°减去∠A和∠B，即可求出∠C的度数；判断三角形的类型，若最大角大于90°，则为钝角三角形，若最大角等于90°，则为直角三角形，若最大角小于90°，则为锐角三角形；按边分类，三条边都相等的三角形是等边三角形，两条边相等，两个底角相等的三角形是等腰三角形；据此解答。 【详解】180°－55°－70° ＝125°－70° ＝55° 55°、70°、55°是锐角，55°＝55°。 所以，在三角形ABC中，∠A＝55°，∠B＝70°，∠C＝55°，按角分，这是个锐角三角形，按边分，这是个等腰三角形。 【变式训练】求（1）中和（2）中的度数。 （1） （2） 【答案】（1）55° （2）130° 【分析】已知三角形的三个内角和是180°； （1）一个角是直角，是90°，用三角形内角和减去两个已知角的度数即可求出∠1的度数； （2）用三角形内角和减去两个已知角的度数即可求出∠2的度数。 【详解】（1）∠1＝180°－（90°＋35°） ＝180°－125° ＝55° （2）∠2＝180°－（20°＋30°） ＝180°－50° ＝130° 考点二：三角形的三边关系 【典例精讲】一个三角形三条边的长度都是整厘米数，其中两条边分别是15cm和30cm，第三条边最短是( )cm，最长是( )cm。 【答案】 16 44 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求解。所以第三条边的取值范围为：两边之差第三条边两边之和。 【详解】3015＝15（cm） 15＋1＝16（cm） 30＋15＝45（cm） 451＝44（cm） 所以第三条边最短是16cm，最长是44cm。 【变式训练】一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边长分别是7厘米和9厘米。第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【答案】 15 3 【分析】根据三角形的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来求解。 【详解】7＋9＝16（厘米） 9－7＝2（厘米） 第三条边大于2厘米小于16厘米，三条边都是整厘米数，所以 最长是：16－1＝15（厘米） 最短是：2＋1＝3（厘米） 【变式训练】一个三角形最小的角是45°，这个三角形按照角分可能是( )三角形，也可能是( )三角形，不可能是( )三角形；一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和12厘米，那么这个三角形的周长是( )厘米。 【答案】 锐角 直角 钝角 30 【分析】三角形的内角和为180°，已知最小的角是45°，因此剩下两个角的和是：，且第二小的角不小于45°，因此最大角＝第二小的角≤90°；若最大角＜90°，就是锐角三角形；若最大角＝90°，就是直角三角形；最大角＞90°，那第二小的角就会小于45°，和题干矛盾，因此不可能是钝角三角形；据此解答。 根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”：如果腰长是6厘米，，不满足三边关系，不能构成三角形；因此腰长只能是12厘米，底为6厘米，据此计算。 【详解】根据分析可得： 一个三角形最小的角是45°，这个三角形按照角分可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，不可能是钝角三角形； （厘米） 因此，一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和12厘米，那么这个三角形的周长是30厘米。 【变式训练】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”风筝是中国古代劳动人民发明的。在深圳风筝节上，有一个等腰三角形风筝，其中两条边分别长1.2米和2.4米。这个等腰三角形风筝的周长是多少米？ 【答案】6米 【分析】先根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断哪条边是腰、哪条边是底，再计算周长。如果假设腰长为1.2米，那么两条腰的和为1.2＋1.2＝2.4米，不满足三角形三边关系；因此只能是腰长为2.4米，底边长为1.2米，再将三条边的长度相加即可得到周长。 【详解】若腰长为1.2米，1.2＋1.2＝2.4，不满足“两边之和大于第三边”，舍去； 若腰长为2.4米，2.4＋2.4＞1.2，2.4＋1.2＞2.4，符合三边关系。 2.4＋2.4＋1.2＝6（米） 答：这个等腰三角形风筝的周长是6米。 考点三：多边形的内角和 【典例精讲】求下面四边形的四个内角∠1，∠2，∠3和∠4的度数和。 【答案】360° 【分析】三角形的内角和是180°。如下图，四边形可以分成两个三角形。所以题图中的四边形四个内角的度数和是三角形内角和的2倍。 【详解】180°×2＝360° 答：四边形的四个内角∠1，∠2，∠3和∠4的度数和为360°。 【变式训练】淘气在探究五边形内角和时，把五边形分成5个三角形，如下图，得到这个五边形的内角和是900°，他算得对吗？请写出你的思考过程。 【答案】算得不对； 我的思考过程：这5个三角形在五边形中心处的角加起来是一个360°的周角，这部分并不是五边形的内角，需要减去，因此五边形的内角和是900°－360°＝540°。 【分析】这5个三角形在五边形中心处的角加起来是一个360°的周角，这部分并不是五边形的内角，需要减去。 【详解】五边形的内角和是900°－360°＝540°，他算得不对，因为这5个三角形在五边形中心处的角加起来是一个360°的周角，这部分并不是五边形的内角。 【变式训练】请你用适当的方法来验证八边形的内角和是1080°。（先在下图中分一分，再列式计算验证） 【答案】 把一个八边形分成了6个三角形。 八边形的内角和是180°×6＝1080°。 【分析】先将八边形分割成几个三角形，一个三角形的内角和是180°，可以被分割成几个三角形，则八边形的内角和就等于几个180°，依此解答。 【详解】略 【变式训练】如图，有一个六边形，从A点开始将图形切割成数个三角形，求出这个六边形的内角和是多少？ 【答案】720° 【分析】三角形的内角和是180° ，从A点分割这个六边形，一共可以分出4个三角形，这个六边形的所有内角和，正好等于这4个三角形的内角和总和。 【详解】4×180°＝720° 答：这个六边形的内角和是720°。 综合训练 1．在三角形ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 【答案】B 【分析】三角形内角和是，即。已知，可以通过等量代换将三个角的和转化为两个的和，从而求出的度数。根据的度数判断三角形的形状。 【详解】因为三角形的内角和是，所以 又因为，所以 即，，。 有一个角是直角的三角形是直角三角形，所以这个三角形是直角三角形。 2．校园跳格子游戏的直角三角形区域中，两个锐角的度数分别为m和n，且m的度数是n的2倍。下列算式中，表示120°角的是（    ）。 A．m＋n－m＋2 B．m＋n＋m÷2 C．2n＋m÷2 D．2n－m＋2 【答案】B 【分析】首先根据直角三角形的性质，得出两个锐角之和为，即。再结合已知条件是的倍，求出和的具体度数。最后将和的值代入各选项的算式中进行计算，找出结果为的选项。 【详解】因为该区域是直角三角形，三角形内角和是，直角是，所以两个锐角的度数之和为：，即。 又因为的度数是的倍，即，所以，解得，。则。 A．，不等于，此选项错误； B．，等于，此选项正确； C．，不等于，此选项错误； D．，不等于，此选项错误。 表示120°角的是（m＋n＋m÷2）。 3．乐乐在探究七边形的内角和时，采用了图中的分割方法，下面算式（    ）符合他的探究过程。 A．180°×7 B．180°×7－180° C．180°×7＋180° D．180°×7－360° 【答案】D 【分析】上图把七边形分成了7个小三角形，用7个小三角形内角和减去中间的周角360°，即等于七边形的内角和。 【详解】图中把七边形分成了7个小三角形，每个三角形的内角和是180°，7个三角形内角和一共是，这个结果中包含了一个中间的周角，求七边形内角和要减去360°，所以这题计算七边形的内角和的算式是180°×7－360°。 4．一个多边形的内角和是，这是一个（    ）边形。 A．六 B．七 C．八 D．以上都可能 【答案】B 【分析】多边形内角和公式是内角和＝（边数－2）×180°，先用内角和除以180，再加2求出边数。 【详解】900÷180＝5 5＋2＝7 所以，这是个七边形。 5．乐乐准备了4个盒子，每个盒子里面放了三根小棒，盒子的高度和小棒的长度如下图，盒子里的小棒一定不能围成三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边； 根据三角形边的关系，任意求出两边的和或差与第三边比较即可。 【详解】A．5＋4＝9，9＞6，可以围成三角形； B．5＋3＝8，8＞6，两边之和可能是8cm，可能围成三角形； C．4＋4＝8，8＞7，可以围成三角形； D．两个短边之和最大是6cm，6＝6，一定不能围成三角形。 6．鹏鹏用三根小棒围一个三角形，其中两根小棒的长度分别是4cm和6cm，那么第三根小棒的长度可能是（    ）cm。 A．1 B．2 C．7 D．11 【答案】C 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。先根据已知两边长度计算出第三边的取值范围，再对照选项进行选择。 【详解】4＋6＝10（cm） 6－4＝2（cm） 所以第三根小棒的长度范围是大于2cm且小于10cm。 因为1＜2＜7＜10＜11，所以第三根小棒的长度可能是7 cm。 7．一个等腰三角形的两条边分别是5cm和14cm，这个三角形的周长是( )cm。 【答案】 33 【分析】等腰三角形两条腰长度相等，因此分两种情况讨论，再结合三角形三边关系：任意两边之和大于第三边判断，再计算周长即可。 【详解】情况1：腰长为5cm，底边长为14cm，此时5＋5＝10cm＜14cm，不满足三边关系，无法围成三角形，排除这种情况。 情况2：腰长为14cm，底边长为5cm，此时14＋5＞14，满足三边关系，可以围成三角形。 计算周长： 14＋14＋5 ＝28＋5 ＝33（cm） 这个三角形的周长是33cm。 8．等腰三角形的一个底角是80°，它的顶角是( )°；两根木条分别长14cm和7cm，再添一根木条就可以钉成一个周长( )cm的等腰三角形。 【答案】 【分析】等腰三角形的特征是有两个腰相等，有两个底角相等。在没有说明这个木条的长是腰还是底边的时候有两种情况，再根据三角形的三边关系，判断三角形是否存在。 【详解】 当7cm是腰长时，此时三边长分别为7cm、7cm、14cm。 7＋7＝14（cm） 两边之和等于第三边，不能构成三角形，所以这种情况不成立。 当14cm是腰时，此时三边长分别为14cm、14cm、7cm。 14＋7＝21（cm） 大于第三边14cm。满足三角形三边关系，可以构成等腰三角形。 周长：14＋14＋7＝35（cm） 9．一个等腰三角形的两条边长分别是10分米和5分米，这个等腰三角形的周长是( )分米。 【答案】 25 【分析】等腰三角形有两条边相等，已知两条边分别是10分米和5分米，需要分两种情况讨论：一种是腰长为5分米，另一种是腰长为10分米。然后根据“三角形任意两边之和大于第三边”来判断哪种情况能组成三角形，最后计算周长。 【详解】若腰长为5分米，底边长10分米：5＋5＝10，不满足三边关系，无法围成三角形，排除这种情况。 若腰长为10分米，底边长5分米：10＋5＞10、10＋10＞5，满足三边关系，可以围成三角形。 周长为：10＋10＋5 ＝20＋5 ＝25（分米） 这个等腰三角形的周长是25分米。 10．用下面4根小棒中的3根搭三角形，可以用( )、( )和④，还可以用( )、( )和④。（填序号） 【答案】 【分析】三角形三边关系定理：任意两条边的长度相加，和必须大于第三条边的长度。 【详解】第一组：、、，，，不满足三边关系，不能搭三角形。 第二组：、、，，、，、，，全部满足，可以搭三角形。 第三组：、、，，、，、，，全部满足，可以搭三角形。 可以用、和，还可以用、和。 11．按照下图的方法将三角形进行折叠，那么∠2＝______°。 【答案】70 【分析】根据三角形内角和等于180°，用180°－90°－55°＝35°，求出∠1的度数，∠1与四边形的一个内角组成一个平角，平角等于180°，用180°－∠1，求出四边形一个内角的度数，再根据四边形内角和等于360°，用360°－90°－55°－四边形一个内角的度数，即可求出∠2的度数。 【详解】180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° ∠1＝35° 180°－35°＝145° 360°－90°－55°－145° ＝270°－55°－145° ＝215°－145° ＝70° 将三角形进行折叠，∠2＝70°。 12．蜜蜂是大自然的杰出建筑师，它们建造的蜂巢由许多大小完全相同的正六边形房间组成。请你算一算，蜜蜂的每个“小房间”（正六边形）的内角和是( )。 【答案】720°/720度 【分析】根据题意，蜜蜂的每个“小房间”是一个正六边形，如图，六边形可以分成4个三角形，三角形的内角和是180°，所以六边形的内角和为180°×4＝720°，据此解答即可。 【详解】蜜蜂是大自然的杰出建筑师，它们建造的蜂巢由许多大小完全相同的正六边形房间组成。蜜蜂的每个“小房间”（正六边形）的内角和是720°。 13．如图，长方形内有一个等边三角形，已知1＝13°，则2＝( )°。 【答案】17 【分析】根据长方形的四个内角都为90°，等边三角形的三个内角都为60°，根据已知条件∠1＝13°，由角的和差关系即可求出∠2的度数。 【详解】 14．如图：在一个等边三角形中，如果沿虚线剪去∠1，那么在剩下的四边形中，∠2＋∠3＝( )°，∠5＋∠4＝( )°。 【答案】 120 240 【分析】等边三角形的三个角相等，都等于60°，三角形内角和等于180°，所以∠2＋∠3＝180°－∠1。四边形内角和等于360°，∠4＋∠5＝360°－∠2－∠3，据此即可解答。 【详解】∠2＋∠3＝180°－60°＝120° ∠5＋∠4＝360°－∠2－∠3＝360°－（∠2＋∠3）＝360°－120°＝240° 15．如图，∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 45 60 45 40 【分析】明确三角形的内角和是180°，等边三角形三个角相等，等腰三角形的两个底角相等。 第一个三角形，已经知道两个角是30°和105°，所以∠1就是180°减去30°，再减去105°。 第二个三角形，三条边都是5，所以是等边三角形，三个角相等，每个角都是180°÷3＝60°。 第三个三角形，是直角三角形，直角是90°，两条直角边都是5，所以是等腰直角三角形，∠3就是（180°－90°）÷2。 第四个三角形，两条腰都是6.5，所以是等腰三角形，底角是70°，∠4是顶角，就是180°－70°×2。 【详解】∠1＝180°－30°－105°＝150°－105°＝45° ∠2＝180°÷3＝60° ∠3＝（180°－90°）÷2＝90°÷2＝45° ∠4＝180°－70°×2＝180°－140°＝40° 16．如图所示，已知，，那么( )°。 【答案】45 【分析】先根据平角＝180°、∠2的度数求出三角形的一个内角，再根据三角形内角和为180°， 减去刚刚求出的度数、∠1的度数，求得∠3的度数。 【详解】180°－（180°－∠2）－∠1 ＝180°－180°＋∠2－∠1 ＝115°－70° ＝45° 17．计算图中1、2和3的度数。 【答案】∠1＝60° ∠2＝30° ∠3＝20° 【分析】由图可知，左下角有直角符号，这是一个直角梯形，已知三角形内角和为180°，∠1＝180°－90°－30°计算即可，∠1＋∠2＝90°，∠2＝90°－∠1，计算即可；在另一个三角形中，∠3＝180°－130°－∠2，计算即可。 【详解】∠1＝180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° ∠2＝90°－60°＝30° ∠3＝180°－130°－30° ＝50°－30° ＝20° 18．求下面图中各角的度数。 【答案】∠2＝40°；∠1＝65°； ∠3＝106°；∠4＝74°；∠5＝69° 【分析】第一个图：∠2和140°组成一个平角，平角＝180°，用180°减去140°就是∠2的度数；三角形内角和是180°，用180°减去∠2，再减去75°就是∠1的度数。 第二个图：三角形内角和是180°，用180°减去37°，再减去37°就是∠3的度数；∠3和∠4组成一个平角，平角＝180°，用180°减去∠3的度数就是∠4的度数；再用180°减去∠4，再减去37°就是∠5的度数。 【详解】∠2＝180°－140°＝40° ∠1＝180°－40°－75° ＝140°－75° ＝65° ∠3＝180°－37°－37° ＝143°－37° ＝106° ∠4＝180°－106°＝74° ∠5＝180°－74°－37° ＝106°－37° ＝69° 19．计算下列各未知角的度数。 【答案】（1）35°；（2）61°；（3）120° 【分析】（1）三角形的内角和是180°。看图可知，直角三角形中有一个角是直角，直角是90°，其中一个角是55°，用180°减去三角形中已知两个角的度数，即可求出第三个角的度数； （2）由图可知，三角形的两条边长度相等，那么这个三角形为等腰三角形，等腰三角形的两个底角的度数相等。一个顶角的度数为58°，用180°减去顶角的度数，再除以2即可求出底角的度数； （3）四边形的内角和是360°。看图可知，有一个角是直角，直角是90°，其中一个角是46°，一个角是104°，用360°减去四边形中已知三个角的度数，即可求出第四个角的度数。 【详解】（1）180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° （2）（180°－58°）÷2 ＝122°÷2 ＝61° （3）360°－90°－104°－46° ＝270°－104°－46° ＝166°－46° ＝120° 20．空间站舱内实验区温度保持恒温23℃。科研人员制作一块三角形的观测挡板，测得这块挡板的两个内角分别是48度和65度，第三个内角是多少度？这个三角形按角分是什么三角形？ 【答案】 67度；锐角三角形 【分析】根据三角形内角和定理，三角形的三个内角和等于度。已知其中两个内角的度数，用度减去这两个角的度数，即可求出第三个内角的度数。然后根据三个内角的大小判断三角形的类型：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【详解】 （度） 因为度、度、度都小于度，即三个角都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 答：第三个内角是度，这个三角形是锐角三角形。 21．【安全警示】在活动过程中，班长要在路口摆放一个三角形的交通警示牌，提醒大家注意来往车辆。已知这个警示牌是一个等腰三角形，并且量得它的顶角是100°。请问： 这个警示牌的一个底角是多少度？ 【答案】 40° 【分析】三角形内角和等于180°以及等腰三角形两个底角相等的特征。已知顶角是100°，先用内角和减去顶角得到两个底角的度数之和，再除以2，即可求出一个底角的度数。 【详解】（180°－100°）÷2 ＝80°÷2 ＝40° 答：这个警示牌的一个底角是40°。 22．莉莉在活动中制作了一张书签（如下图）。莉莉想到自己在数学课上学习了“三角形的内角和是180°”，那么这张书签的内角和是多少度呢？你能想办法帮莉莉探究出这张书签的内角和吗？请写出你的想法和探究过程。 【答案】360度 沿着四边形的一条对角线，将四边形分割成2个三角形，四边形的内角和就是这两个三角形的内角和相加。如图所示：一个三角形内角和是180度，这个四边形的四个内角之和就是这两个三角形的所有内角之和，所以四边形的内角和为360度。 【分析】沿着四边形的一条对角线，将四边形分割成2个三角形，四边形的内角和就是这两个三角形的内角和相加。 【详解】180×2＝360（度） 答：这张书签的内角和是360度。过程略 23．我国潍坊（又称鸢都）作为世界风筝之都，是世界风筝文化交流的中心。小红为参加风筝节，特意做了一个风筝，风筝的造型是等腰三角形，其中一个顶角是46度，风筝的底角是多少度？ 【答案】67度 【分析】三角形内角和等于180度，且等腰三角形的两个底角相等。已知顶角是46度，先用180度减去顶角的度数求出两个底角的度数和，再除以2即可求出一个底角的度数。 【详解】（180－46）÷2 ＝134÷2 ＝67（度） 答：风筝的底角是67度。 24．“又是一年三月三，风筝飞满天。”放风筝是民间传统游戏之一。爸爸给明明制作了一个等腰三角形风筝，它的一个底角是64°，则它的顶角是多少？ 【答案】52° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，一个三角形的内角和是180°，用180°减去两个底角的度数，就能求出顶角的度数。 【详解】180°－64°×2 ＝180°－128° ＝52° 答：它的顶角是52°。 25．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，纸鸢就是风筝。爸爸给花花买了一个等腰三角形的风筝。它的其中两条边的长度分别是35厘米和52厘米。花花想给风筝围上一圈花边（接头处忽略不计），最多需要多少厘米的花边？最少需要多少厘米的花边？ 【答案】139厘米；122厘米 【分析】等腰三角形有两条边相等。已知两条边分别是35厘米和52厘米，则第三条边可能是35厘米，也可能是52厘米。 根据“三角形任意两边之和大于第三边”，验证两种情况是否能组成三角形。分别计算两种情况下的周长（即花边长度）。 比较两个周长，得出最大值和最小值。 【详解】当腰长为35厘米，底边长为52厘米时，三条边分别为35、35、52厘米。 （厘米） ，符合三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形。 （厘米） 当腰长为52厘米，底边长为35厘米时，三条边分别为52、52、35厘米。 （厘米） ，符合三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形。 （厘米） 答：最多需要139厘米的花边，最少需要122厘米的花边。 26．一根铁丝正好可以围成一个边长是26厘米的等边三角形，如果将这根铁丝改围成一个腰比底长3厘米的等腰三角形，那么围成的这个等腰三角形的底是多少厘米？ 【答案】 24厘米 【分析】首先根据等边三角形边长求出铁丝总长度；其次分析等腰三角形腰与底的关系，腰比底长3厘米，有两条腰，一共多出6厘米，如果把两条腰都缩短3厘米，三条边就全部和底边一样长，即底边长度（铁丝总长度），据此作答。 【详解】根据分析可知，铁丝总长度为：（厘米）； 等腰三角形的底长为： （厘米） 答：围成的这个等腰三角形的底是24厘米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $