第七单元 倍数与因数 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版五年级上册（新教材）

第七单元 倍数与因数 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、倍数与因数的意义 2 1. 研究范围 2 2. 核心定义 2 3. 相互依存性 2 4. 找因数的方法 2 5. 找倍数的方法 2 6. 因数与倍数的特征 2 二、2、5、3 的倍数的特征 3 1. 2 的倍数的特征 3 2. 5 的倍数的特征 3 3. 同时是 2 和 5 的倍数的特征 3 4. 3 的倍数的特征 3 5. 奇数与偶数 3 三、质数与合数 3 1. 分类标准 3 2. 核心定义 3 3. 关键结论 3 4. 100 以内的质数表 4 5. 分解质因数 4 四、易错点总结 4 考点讲练 4 考点一：倍数与因数的意义及找法 4 考点二：2、5、3 的倍数的特征 5 考点三：质数与合数、分解质因数 6 综合训练 7 知识梳理 一、倍数与因数的意义 1. 研究范围 倍数与因数的研究范围是非零自然数（正整数：1、2、3、4……），不包括 0、小数和分数。 2. 核心定义 在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 示例：，我们说 12 是 3 和 4 的倍数，3 和 4 是 12 的因数。 3. 相互依存性 倍数和因数是相互依存的关系，不能单独说某一个数是倍数或因数，必须说明 “谁是谁的倍数”“谁是谁的因数”。 4. 找因数的方法 有序列乘法算式，一对一对地找：从 1 开始，看哪两个整数相乘等于这个数，这两个数就是它的因数。 · 示例：找 18 的因数 ，，，因此 18 的因数有 1、2、3、6、9、18。 5. 找倍数的方法 用这个数依次乘 1、2、3、4…… 所得的积都是这个数的倍数。 示例：找 3 的倍数：，，…… 因此 3 的倍数有 3、6、9、12…… 6. 因数与倍数的特征 一个数的因数个数是有限的：最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的：最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数最大的因数和最小的倍数相等，都是它本身。 二、2、5、3 的倍数的特征 1. 2 的倍数的特征 个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 2. 5 的倍数的特征 个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 3. 同时是 2 和 5 的倍数的特征 个位上必须是0。 4. 3 的倍数的特征 一个数各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 示例：123，各数位数字和是，6 是 3 的倍数，因此 123 是 3 的倍数。 5. 奇数与偶数 自然数按是否是 2 的倍数，可以分为两类： 偶数：是 2 的倍数的数叫做偶数，最小的非 0 偶数是 2。 奇数：不是 2 的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是 1。 三、质数与合数 1. 分类标准 一个自然数（0 除外），按因数的个数可以分为三类：质数、合数、1。 2. 核心定义 质数（素数）：只有 1 和它本身两个因数的数。 合数：除了 1 和它本身，还有其他因数的数。 1：既不是质数，也不是合数。 3. 关键结论 最小的质数是2，2 也是唯一的偶质数；最小的合数是4。 质数不一定都是奇数（如 2 是质数但为偶数），合数不一定都是偶数（如 9 是合数但为奇数）。 4. 100 以内的质数表 共 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 5. 分解质因数 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 方法：短除法，从最小的质数开始除，直到商是质数为止，最后把所有除数和商写成连乘的形式。 标准格式：，例：。 四、易错点总结 忽略 “非零自然数” 的研究范围，误认为小数之间也存在倍数与因数关系。 混淆依存关系，单独说某个数是倍数或因数，表述不完整。 找因数时无序列举，出现遗漏或重复；误以为一个数的因数个数是无限的。 混淆 3 的倍数特征与 2、5 的倍数特征，错误地通过个位数字判断 3 的倍数。 误认为 “所有奇数都是质数，所有偶数都是合数”，忽略 2 是偶质数、9 是奇合数等特例。 误认为 1 是质数，牢记 1 既不是质数也不是合数。 分解质因数时，因数中出现合数，或格式错误（写成算式形式而非等式）。 考点讲练 考点一：倍数与因数的意义及找法 【典例精讲】 判断下列说法是否正确，对的画 “√”，错的画 “×”。 （1）因为，所以 18 是倍数，6 和 3 是因数。（ ） （2）5 既是 5 的因数，也是 5 的倍数。（ ） （3）一个数的因数一定比它的倍数小。（ ） （4）因为，所以 0.8 是 0.2 的倍数。（ ） 【变式训练】 下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（ ）。 A. 8 和 4 B. 4 和 8 C. 2 和 0.5 【变式训练】 写出 24 的所有因数。 【变式训练】 写出 50 以内 7 的所有倍数。 考点二：2、5、3 的倍数的特征 【典例精讲】 在 12、25、30、48、75、90、105 这些数中： （1）是 2 的倍数的有（ ）； （2）是 5 的倍数的有（ ）； （3）是 3 的倍数的有（ ）； （4）同时是 2、3、5 的倍数的有（ ）。 【变式训练】 填空题。 （1）非 0 自然数中，最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ）。 （2）三个连续偶数的和是 36，这三个偶数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 【变式训练】 一个两位数，同时是 2 和 5 的倍数，它的十位数字是 6，这个两位数是多少？ 【变式训练】 三位数□4□，同时是 2、3、5 的倍数，这个三位数最小是多少？最大是多少？ 考点三：质数与合数、分解质因数 【典例精讲】 把下面各数分别填入相应的类别里。 1、2、9、15、17、24、31、49、57、91 质数： 合数： 既不是质数也不是合数： 【变式训练】 判断下列说法是否正确，对的画 “√”，错的画 “×”。 （1）所有的质数都是奇数。（ ） （2）所有的合数都是偶数。（ ） （3）1 既不是质数，也不是合数。（ ） （4）两个质数的和一定是合数。（ ） 【变式训练】 在括号里填上合适的质数。 【变式训练】 用短除法把 36 分解质因数。 综合训练 1．（    ）组中的两个数是因数和倍数的关系。 A．9和12 B．5和20 C．3和13 D．4和6 2．两个不同的质数的乘积一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．偶数 D．奇数 3．下面的四组数中，三个数全是质数的一组是（    ）。 A．1，5，7 B．2，51，57 C．17，37，47 D．19，29，49 4．下表是实验小学六年级每个班学生一分钟仰卧起坐总个数统计情况（□表示被盖住的一个数字）。四个班一分钟仰卧起坐的总个数一定是（    ）。 班级 一班 二班 三班 四班 个数/个 7□9 846 □72 9□8 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法判断 5．运动会，五（1）班学生参加入场式和团体操表演。入场时的队形如下图，团体操表演时变换了队形。下面四个团体操表演的队形中，（    ）可能是五（1）班。 A． B． C． D． 6．乘法日是指月和日的乘积恰好等于年份末尾两位数的日期。例如，3月8日是2024年的乘法日。因为3×8＝24，2024年一共有（    ）个乘法日。 A．5 B．7 C．10 D．12 7．小英写出了一个既是2和5的倍数，又是3的倍数的数。她写的这个数可能是( )。（写出一种可能性） 8．著名的哥德巴赫猜想认为，任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。请你照样子把式子补充完整：如：12＝5＋7，18＝( )＋( )，符合哥德巴赫猜想。 9．在计数器上用3颗珠子表示三位数，这些三位数一定都是3的倍数，这是因为( )，这些三位数中最小的是( )。 10．在1、2、3、4、24、53、87这七个数中，( )既是质数又是偶数，( )既是奇数又是合数。 11．“河图洛书”是中国古代数学的重要源头，河图上用黑白点表示数字——白点为奇数，黑点为偶数。任取一个白点代表的数和一个黑点代表的数，它们的和一定是( )，它们的积一定是( )。（填“奇数”或“偶数”） 12．57至少加上( )才能既是2的倍数，又是5的倍数。 13．学校举办“数字寻宝”活动，号码牌从1到20依次排列。请你帮小侦探找出：既是合数又是奇数的号码牌有( )个，既是偶数又是质数的号码牌是( )。 14．从0，5，7，8中任选三个不重复的数，组成既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数是( )，组成既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( )。 15．如果一个数恰好等于它所有不包含自身的因数之和，这个数就叫做“完美数”，如数字6有四个因数1、2、3、6，除本身外，6＝1＋2＋3，所以6就是完美数，那么在数字9、12、15、28中，( )是完美数。 16．用6个珠子在计数器上拨出一个三位数。能拨出的最小的6的倍数是( )；能拨出的最小的15的倍数是( )。 17．将下面各数分解质因数。 21     28     40      72      108 40＝2×2×2×5 72＝2×2×2×3×3 108＝2×2×3×3×3 18．把下列各数写成质数相乘的形式。 32    49    75 19．奶奶在家里的花坛里栽种了两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 20．蛋糕店里想把123块小蛋糕进行分装，如果每5块装一盒，能正好装完吗？如果不能，为了充分利用盒子，至少还要再做几个这样的蛋糕就能正好装完了？ 21．小刚到蛋糕店买甜品。甜甜圈4元一个，三明治10元一个。她买了一些甜甜圈和三明治，付给营业员50元，找回了11元。不计算，判断营业员找回的钱数是否正确，并说一说你的理由。 22．为落实“乡村振兴”战略中农产品标准化流通的要求，某蜂蜜养殖合作社收获了56瓶天然蜂蜜，现需对其进行规格化装箱以便运往各地商超，有三种包装箱规格（如下图）。选择哪种包装箱可恰好装完所有蜂蜜且每箱都装满？请说明理由。 23．截至2025年8月，我国北斗卫星导航系统在轨运行卫星总数为45颗，包括北斗二号和北斗三号卫星。已知北斗二号卫星数量是奇数，那么北斗三号卫星数量是奇数还是偶数？为什么？ 24．粽子是中国传统节日—端午节的食物之一。昊昊在超市买了5个同样的粽子（单价是整数），付给营业员100元，营业员找回36元。请判断：营业员找给昊昊的钱对吗？请说明理由。 25．体育老师新买了3个足球，可是他不小心把发票弄上了墨水，只能看到总价是··5元，经了解每个足球的售价是60多元，请你推算出每个足球多少元？一共花了多少元？ 26．小刚到文具店购买学习用品。他购买了一些笔记本和笔袋（笔记本和笔袋都有购买，但数量未知），付给售货员阿姨100元，找回了13元。小刚说：“阿姨，您把账算错了。”小刚是如何判断出售货员阿姨算错的？请说明理由。 笔记本  5元/本 笔  袋  10元/个 签字笔  2元/支 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 倍数与因数 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、倍数与因数的意义 2 1. 研究范围 2 2. 核心定义 2 3. 相互依存性 2 4. 找因数的方法 2 5. 找倍数的方法 2 6. 因数与倍数的特征 2 二、2、5、3 的倍数的特征 3 1. 2 的倍数的特征 3 2. 5 的倍数的特征 3 3. 同时是 2 和 5 的倍数的特征 3 4. 3 的倍数的特征 3 5. 奇数与偶数 3 三、质数与合数 3 1. 分类标准 3 2. 核心定义 3 3. 关键结论 3 4. 100 以内的质数表 4 5. 分解质因数 4 四、易错点总结 4 考点讲练 4 考点一：倍数与因数的意义及找法 4 考点二：2、5、3 的倍数的特征 6 考点三：质数与合数、分解质因数 8 综合训练 10 知识梳理 一、倍数与因数的意义 1. 研究范围 倍数与因数的研究范围是非零自然数（正整数：1、2、3、4……），不包括 0、小数和分数。 2. 核心定义 在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 示例：，我们说 12 是 3 和 4 的倍数，3 和 4 是 12 的因数。 3. 相互依存性 倍数和因数是相互依存的关系，不能单独说某一个数是倍数或因数，必须说明 “谁是谁的倍数”“谁是谁的因数”。 4. 找因数的方法 有序列乘法算式，一对一对地找：从 1 开始，看哪两个整数相乘等于这个数，这两个数就是它的因数。 · 示例：找 18 的因数 ，，，因此 18 的因数有 1、2、3、6、9、18。 5. 找倍数的方法 用这个数依次乘 1、2、3、4…… 所得的积都是这个数的倍数。 示例：找 3 的倍数：，，…… 因此 3 的倍数有 3、6、9、12…… 6. 因数与倍数的特征 一个数的因数个数是有限的：最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的：最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数最大的因数和最小的倍数相等，都是它本身。 二、2、5、3 的倍数的特征 1. 2 的倍数的特征 个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 2. 5 的倍数的特征 个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 3. 同时是 2 和 5 的倍数的特征 个位上必须是0。 4. 3 的倍数的特征 一个数各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 示例：123，各数位数字和是，6 是 3 的倍数，因此 123 是 3 的倍数。 5. 奇数与偶数 自然数按是否是 2 的倍数，可以分为两类： 偶数：是 2 的倍数的数叫做偶数，最小的非 0 偶数是 2。 奇数：不是 2 的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是 1。 三、质数与合数 1. 分类标准 一个自然数（0 除外），按因数的个数可以分为三类：质数、合数、1。 2. 核心定义 质数（素数）：只有 1 和它本身两个因数的数。 合数：除了 1 和它本身，还有其他因数的数。 1：既不是质数，也不是合数。 3. 关键结论 最小的质数是2，2 也是唯一的偶质数；最小的合数是4。 质数不一定都是奇数（如 2 是质数但为偶数），合数不一定都是偶数（如 9 是合数但为奇数）。 4. 100 以内的质数表 共 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 5. 分解质因数 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 方法：短除法，从最小的质数开始除，直到商是质数为止，最后把所有除数和商写成连乘的形式。 标准格式：，例：。 四、易错点总结 忽略 “非零自然数” 的研究范围，误认为小数之间也存在倍数与因数关系。 混淆依存关系，单独说某个数是倍数或因数，表述不完整。 找因数时无序列举，出现遗漏或重复；误以为一个数的因数个数是无限的。 混淆 3 的倍数特征与 2、5 的倍数特征，错误地通过个位数字判断 3 的倍数。 误认为 “所有奇数都是质数，所有偶数都是合数”，忽略 2 是偶质数、9 是奇合数等特例。 误认为 1 是质数，牢记 1 既不是质数也不是合数。 分解质因数时，因数中出现合数，或格式错误（写成算式形式而非等式）。 考点讲练 考点一：倍数与因数的意义及找法 【典例精讲】 判断下列说法是否正确，对的画 “√”，错的画 “×”。 （1）因为，所以 18 是倍数，6 和 3 是因数。（ ） （2）5 既是 5 的因数，也是 5 的倍数。（ ） （3）一个数的因数一定比它的倍数小。（ ） （4）因为，所以 0.8 是 0.2 的倍数。（ ） 【分析】 根据倍数与因数的定义、依存关系、研究范围和基本特征逐一判断。 【详解】 （1）倍数和因数相互依存，必须说明谁是谁的倍数、谁是谁的因数，不能单独说，说法错误。 （2）一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身，因此 5 既是自己的因数也是自己的倍数，说法正确。 （3）一个数本身既是自己的因数也是自己的倍数，此时因数和倍数相等，说法错误。 （4）倍数与因数只在非零自然数范围内研究，小数不适用，说法错误。 【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）× 【变式训练】 下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（ ）。 A. 8 和 4 B. 4 和 8 C. 2 和 0.5 【分析】 根据倍数的定义，在整数除法中被除数是除数的倍数，且必须是自然数范围内。 【详解】 A 选项：，商是整数无余数，8 是 4 的倍数，符合要求； B 选项：，商不是整数，4 不是 8 的倍数； C 选项：0.5 是小数，不在倍数因数的研究范围内。 【答案】A 【变式训练】 写出 24 的所有因数。 【分析】 按从小到大的顺序，一对一对列乘法算式找因数，做到不重复、不遗漏。 【详解】 ，，， 因此 24 的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 【答案】1、2、3、4、6、8、12、24 【变式训练】 写出 50 以内 7 的所有倍数。 【分析】 用 7 依次乘 1、2、3……，直到乘积超过 50 为止，列出所有符合条件的倍数。 【详解】 ，，，，，， ，停止列举。 50 以内 7 的倍数有：7、14、21、28、35、42、49。 【答案】7、14、21、28、35、42、49 考点二：2、5、3 的倍数的特征 【典例精讲】 在 12、25、30、48、75、90、105 这些数中： （1）是 2 的倍数的有（ ）； （2）是 5 的倍数的有（ ）； （3）是 3 的倍数的有（ ）； （4）同时是 2、3、5 的倍数的有（ ）。 【分析】 分别根据 2、5、3 的倍数特征逐一判断；同时是 2、3、5 的倍数需要满足个位是 0，且各数位数字和是 3 的倍数。 【详解】 （1）2 的倍数看个位：个位是 0、2、4、6、8 的数，有 12、30、48、90； （2）5 的倍数看个位：个位是 0 或 5 的数，有 25、30、75、90、105； （3）3 的倍数算数字和： ，，，，，， 数字和是 3 的倍数的有 12、30、48、75、90、105； （4）同时满足个位是 0，且是 3 的倍数，有 30、90。 【答案】 （1）12、30、48、90 （2）25、30、75、90、105 （3）12、30、48、75、90、105 （4）30、90 【变式训练】 填空题。 （1）非 0 自然数中，最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ）。 （2）三个连续偶数的和是 36，这三个偶数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 【分析】 （1）根据奇数、偶数的定义判断最小值； （2）三个连续偶数的和是中间数的 3 倍，用和除以 3 得到中间数，再推出前后两个数。 【详解】 （1）最小的奇数是 1，最小的偶数是 2。 （2）中间的偶数： 前一个偶数： 后一个偶数： 三个数分别是 10、12、14。 【答案】（1）1；2 （2）10；12；14 【变式训练】 一个两位数，同时是 2 和 5 的倍数，它的十位数字是 6，这个两位数是多少？ 【分析】 同时是 2 和 5 的倍数，个位上必须是 0，结合十位是 6，即可确定这个数。 【详解】 同时是 2 和 5 的倍数，个位数字一定是 0； 十位数字是 6，因此这个两位数是 60。 答：这个两位数是 60。 【答案】60 【变式训练】 三位数□4□，同时是 2、3、5 的倍数，这个三位数最小是多少？最大是多少？ 【分析】 同时是 2 和 5 的倍数，个位必须是 0；再根据 3 的倍数特征，确定百位上的数字，找出最小和最大值。 【详解】 第一步：同时是 2 和 5 的倍数，个位只能填 0，这个数变为□40； 第二步：是 3 的倍数，需满足百位数字 + 4 + 0 的和是 3 的倍数； ，，，6、9、12 都是 3 的倍数，因此百位可以填 2、5、8； 最小的三位数：百位填 2，是 240； 最大的三位数：百位填 8，是 840。 答：最小是 240，最大是 840。 【答案】最小 240，最大 840 考点三：质数与合数、分解质因数 【典例精讲】 把下面各数分别填入相应的类别里。 1、2、9、15、17、24、31、49、57、91 质数： 合数： 既不是质数也不是合数： 【分析】 根据因数的个数判断：只有 2 个因数的是质数，有 3 个及以上因数的是合数，1 既不是质数也不是合数。 【详解】 质数：只有 1 和本身两个因数，有 2、17、31； 合数：除了 1 和本身还有其他因数，有 9、15、24、49、57、91； 既不是质数也不是合数：1。 【答案】 质数：2、17、31 合数：9、15、24、49、57、91 既不是质数也不是合数：1 【变式训练】 判断下列说法是否正确，对的画 “√”，错的画 “×”。 （1）所有的质数都是奇数。（ ） （2）所有的合数都是偶数。（ ） （3）1 既不是质数，也不是合数。（ ） （4）两个质数的和一定是合数。（ ） 【分析】 结合质数、合数、奇数、偶数的定义，通过举反例的方式判断正误。 【详解】 （1）2 是质数但它是偶数，不是所有质数都是奇数，说法错误； （2）9 是合数但它是奇数，不是所有合数都是偶数，说法错误； （3）1 只有 1 个因数，既不是质数也不是合数，说法正确； （4）例如，5 是质数，因此两个质数的和不一定是合数，说法错误。 【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）× 【变式训练】 在括号里填上合适的质数。 【分析】 第一题将 15 拆成两个质数相乘，第二题将 20 拆成两个质数相加，从最小的质数开始尝试。 【详解】 ，3 和 5 都是质数； ，两组加数均为质数。 【答案】3、5；3、17、7、13 【变式训练】 用短除法把 36 分解质因数。 【分析】 用短除法，从最小的质数 2 开始除，直到商是质数为止，最后把所有除数和商写成连乘形式。 【详解】 短除法过程： 先用 2 除 36，商 18； 再用 2 除 18，商 9； 再用 3 除 9，商 3； 3 是质数，停止计算。 分解质因数结果： 【答案】 综合训练 1．（    ）组中的两个数是因数和倍数的关系。 A．9和12 B．5和20 C．3和13 D．4和6 【答案】B 【分析】如果整数除以整数（），商是整数且没有余数，我们就说是的倍数，是的因数。 【详解】A．9和12都是整数，，商是整数但是有余数，所以9和12不是因数和倍数的关系，此选项错误； B．5和20都是整数，，商是整数且没有余数，所以20是5的倍数，5是20的因数，这两个数存在因数和倍数的关系，此选项正确； C．3和13都是整数，，商是整数但是有余数，所以3和13不是因数和倍数的关系，此选项错误； D．4和6都是整数，，商是整数但是有余数，所以4和6不是因数和倍数的关系，此选项错误。 2．两个不同的质数的乘积一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．偶数 D．奇数 【答案】B 【分析】质数只有和它本身两个因数，而两个不同质数的乘积除了和它本身外，还有这两个质数作为因数，因此因数个数至少为个，符合合数的定义。同时需考虑质数中包含唯一的偶数，通过举例判断积的奇偶性是否确定。 【详解】（1）设这两个不同的质数分别为和。 它们的乘积为。 的因数至少有、、、这个。 因为因数个数多于个，所以一定是合数，B选项是正确，A选项是错误的。 （2）因为质数中只有是偶数，其余质数均为奇数。 若这两个质数中包含，例如：，积是偶数；若这两个质数中不包含，例如，积是奇数。 所以积不一定是偶数，也不一定是奇数，C、D选项是错误的。 所以两个不同的质数的乘积一定是合数。 只有B选项正确的。 3．下面的四组数中，三个数全是质数的一组是（    ）。 A．1，5，7 B．2，51，57 C．17，37，47 D．19，29，49 【答案】C 【分析】质数是指只有1和它本身两个因数的自然数；合数是指除了1和它本身还有别的因数的自然数；1既不是质数也不是合数。 【详解】A．1既不是质数也不是合数，5是质数，7是质数，不全为质数，此选项错误； B．2是质数，51的因数有1、3、17、51，是合数，57的因数有1、3、19、57，是合数，不全为质数，此选项错误； C．17只有因数1和17，是质数；37只有因数1和37，是质数；47只有因数1和47，是质数，三个数均为质数，此选项正确； D．19是质数，29是质数，49的因数有1、7、49，是合数，不全为质数，此选项错误。 4．下表是实验小学六年级每个班学生一分钟仰卧起坐总个数统计情况（□表示被盖住的一个数字）。四个班一分钟仰卧起坐的总个数一定是（    ）。 班级 一班 二班 三班 四班 个数/个 7□9 846 □72 9□8 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法判断 【答案】C 【分析】先用加法求出四个班总个数的个位数字是几，再结合2、3、5的倍数特征进行判断。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】四个班总个数的个位数字之和为：9＋6＋2＋8＝25 因为25的个位是5，所以四个班一分钟仰卧起坐的总个数一定是5的倍数。 5．运动会，五（1）班学生参加入场式和团体操表演。入场时的队形如下图，团体操表演时变换了队形。下面四个团体操表演的队形中，（    ）可能是五（1）班。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干中的图片，先不看最前面1人，后面是两行，两行的人数是相等的，就是2的倍数，是偶数，再加上前面的1人，可知五（1）班的人数是奇数。 【详解】A． 总人数：6×5＝30（人），30是偶数。 B．总人数：6×5＋2＝30＋2＝32（人），32是偶数。 C．总人数：5×5＋3＝5＋3＝28（人），28是偶数。 D．总人数：7×4＋3＝28＋3＝31（人），31是奇数。 6．乘法日是指月和日的乘积恰好等于年份末尾两位数的日期。例如，3月8日是2024年的乘法日。因为3×8＝24，2024年一共有（    ）个乘法日。 A．5 B．7 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据题意可知，2024年的乘法日需满足：月份数×日数＝24，其中月份数为1~12的整数，日数为1~31的整数。依次列举乘积为24的正整数组合，判断是否符合取值要求，并统计数量。 【详解】1和24：对应1月24日，符合要求 2和12：对应2月12日，符合要求 3和8：对应3月8日，符合要求 4和6：对应4月6日，符合要求 6和4：对应6月4日，符合要求 8和3：对应8月3日，符合要求 12和2：对应12月2日，符合要求 24和1的组合中，24大于12，不符合月份取值要求，排除。 因此，符合要求的组合共有7个。 7．小英写出了一个既是2和5的倍数，又是3的倍数的数。她写的这个数可能是( )。（写出一种可能性） 【答案】 【分析】既是2的倍数又是5的倍数，说明个位上是0；又是3的倍数，说明各位上的数字之和是3的倍数。满足这两个条件的数有30、60、90……从中写出一个即可。 【详解】2的倍数的个位是0，2，4，6，8； 5的倍数的个位是0或5。 既是2的倍数又是5的倍数，个位数字必须是0。 3的倍数特征： 各位上的数字之和是3的倍数的数是3的倍数。 寻找符合条件的数：个位是0的数有10，20，30…… 验证各位数字之和： 10：，不是3的倍数； 20：，不是3的倍数； 30：，3是3的倍数，符合条件。 结论： 这个数可能是30。（答案不唯一） 8．著名的哥德巴赫猜想认为，任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。请你照样子把式子补充完整：如：12＝5＋7，18＝( )＋( )，符合哥德巴赫猜想。 【答案】 【分析】根据质数的定义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，找出小于18的所有质数，然后通过尝试计算，找到和为18的两个质数即可。1既不是质数也不是合数。 【详解】小于18的质数有：2、3、5、7、11、13、17。 其中一个质数是2，则另一个数是18－2＝16，16是合数，不符合； 若其中一个质数是3，则另一个数是18－3＝15，15是合数，不符合； 若其中一个质数是5，则另一个数是18－5＝13，13是质数，符合题意； 若其中一个质数是7，则另一个数是18－7＝11，11是质数，符合题意。 所以18＝5＋13或7＋11。 9．在计数器上用3颗珠子表示三位数，这些三位数一定都是3的倍数，这是因为( )，这些三位数中最小的是( )。 【答案】 各个数位上数字的和是的倍数 【分析】的倍数的特点：各个数位上数字的和是的倍数；为了使数字最小，应使百位的珠子数尽可能少（即颗），其余珠子放在低位（个位）。 【详解】都是的倍数，这是因为各个数位上数字的和是的倍数； 这些三位数中最小的是。 10．在1、2、3、4、24、53、87这七个数中，( )既是质数又是偶数，( )既是奇数又是合数。 【答案】 2 87 【分析】质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；合数：除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；偶数：是2的倍数的数叫偶数；奇数：不是2的倍数的数叫奇数。据此解答即可。 【详解】在1、2、3、4、24、53、87这七个数中，2既是质数又是偶数，87既是奇数又是合数。 11．“河图洛书”是中国古代数学的重要源头，河图上用黑白点表示数字——白点为奇数，黑点为偶数。任取一个白点代表的数和一个黑点代表的数，它们的和一定是( )，它们的积一定是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】 奇数 偶数 【分析】根据偶数、奇数的意义，自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数 。一个白点代表的数是奇数。一个黑点代表的数是偶数，把这两个数相加，根据奇数、偶数的定义，判断这两个数的和的奇偶性。把这两个数相乘，根据偶数的定义，判断这两个数的积的奇偶性。 【详解】（1）奇数＋偶数＝奇数，它们的和一定是奇数。 （2），因为偶数中有因数2，它们的积中就有因数2，就是2的倍数，所以它们的积一定是偶数。 12．57至少加上( )才能既是2的倍数，又是5的倍数。 【答案】3 【分析】既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上必须是0。要求至少加上多少，即寻找大于57且个位是0的最小整数，再计算它与57的差。 【详解】既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上是0。 大于57且个位上是0的最小数是60。 所以至少加上3。 13．学校举办“数字寻宝”活动，号码牌从1到20依次排列。请你帮小侦探找出：既是合数又是奇数的号码牌有( )个，既是偶数又是质数的号码牌是( )。 【答案】 2 2 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数； 在整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数。 【详解】根据分析可知：1到20中，既是合数又是奇数的有：9、15；既是偶数又是质数的是2。所以既是合数又是奇数的号码牌有2个，既是偶数又是质数的号码牌是2。 14．从0，5，7，8中任选三个不重复的数，组成既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数是( )，组成既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】 【分析】同时是2和5的倍数，个位数字必须是0，要使三位数最小，百位数字应选剩余非零数字中最小的，十位数字选剩下数字中最小的。 同时是3和5的倍数，个位数字是0或5 ，且各位数字之和是3的倍数，要使三位数最大，应优先考虑百位数字大的组合，并通过计算各位数字之和验证是否符合3的倍数特征。 【详解】根据2和5的倍数特征，该数的个位数字必须是0，剩余可选数字为5、7、8。要使三位数最小，百位数字不能为0 ，且应尽可能小，故百位选5；十位数字在剩下的7和8中选较小的，故十位选7，组成的数是570，所以组成既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数是570。 既是3的倍数，又是5的倍数： 情况一：个位是0，剩余两个数字之和必须是3的倍数，在5、7、8中选两个数字：5＋7＝12，12是3的倍数，最大数为750；7＋8＝15，15是3的倍数，最大数是870。 情况二：个位是5，剩余两个数字之和加上5必须是3的倍数，在0、7、8中选两个数字：0＋7＋5＝12，12是3的倍数，最大数为705。 符合条件的数有750、870、705，870＞750＞705 ，所以组成既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是870。 15．如果一个数恰好等于它所有不包含自身的因数之和，这个数就叫做“完美数”，如数字6有四个因数1、2、3、6，除本身外，6＝1＋2＋3，所以6就是完美数，那么在数字9、12、15、28中，( )是完美数。 【答案】28 【分析】9的因数有1、3、9；12的因数有1、2、3、4、6、12；15的因数有1、3、5、15；28的因数有1、2、4、7、14、28。 根据完美数的定义，我们分别计算每个数不包含自身的因数和。 【详解】数字9：不包含自身的因数是1、3，和为1＋3＝4≠9，不是完美数。 数字12：不包含自身的因数是1、2、3、4、6，和为1＋2＋3＋4＋6＝16≠12，不是完美数。 数字15：不包含自身的因数是1、3、5，和为1＋3＋5＝9≠15，不是完美数。 数字28：不包含自身的因数是1、2、4、7、14，和为1＋2＋4＋7＋14＝28，符合完美数的定义。 那么在数字9、12、15、28中，28是完美数。 16．用6个珠子在计数器上拨出一个三位数。能拨出的最小的6的倍数是( )；能拨出的最小的15的倍数是( )。 【答案】 102 105 【分析】因为6的因数有2和3，因此最小的6的倍数各位的数字之和为3的倍数，且个位上是偶数，满足这个条件最小的三位数是102；若要拨出15的倍数，还需同时满足这个三位数是5的倍数，即个位为0或5，要使这个三位数最小，先让百位取1，再让个位取5，所以这个三位数最小是105。 【详解】分析可知，用6个珠子在计数器上拨出一个三位数。能拨出的最小的6的倍数是102；能拨出的最小的15的倍数是105。 17．将下面各数分解质因数。 21     28     40      72      108 【答案】21＝3×7 28＝2×2×7 40＝2×2×2×5 72＝2×2×2×3×3 108＝2×2×3×3×3 【分析】分解质因数，即把一个合数写成几个质数相乘的形式。 【详解】 21＝3×7 28＝2×2×7 40＝2×2×2×5 72＝2×2×2×3×3 108＝2×2×3×3×3 18．把下列各数写成质数相乘的形式。 32    49    75 【答案】；； 【分析】要将数分解为质数相乘的形式（分解质因数）需不断用质数去除该数，直到所有因数都是质数为止。 【详解】从最小的质数2开始除： 32÷2＝16，16÷2＝8，8÷2＝4，4÷2＝2，2是质数，因此，32＝2×2×2×2×2； 49尝试用质数7除：49÷7＝7，7是质数。因此，49＝7×7； 75先用质数5除： 75÷5＝15，15继续用5除得3（3是质数）因此，75＝3×5×5。 19．奶奶在家里的花坛里栽种了两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【答案】2株、18株，或者5株、15株 【分析】先写出20以内的质数，根据两种花的总数是20株，求出另一种花的数量，验证哪一组是一个质数一个合数，且合数是质数的倍数即可。 【详解】20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19。 质数取2，20－2＝18，18是合数，且是2的倍数，2和18可以； 质数取3，20－3＝17，17不是合数，排除； 质数取5，20－5＝15，15是合数，且是5的倍数，5和15可以； 质数取7，20－7＝13，13不是合数，排除； 当质数取11，13，17，19时，质数大于合数，无法满足合数是质数的倍数，排除。 答：这两种花可能2株、18株，或者5株、15株。 20．蛋糕店里想把123块小蛋糕进行分装，如果每5块装一盒，能正好装完吗？如果不能，为了充分利用盒子，至少还要再做几个这样的蛋糕就能正好装完了？ 【答案】 不能正好装完，至少还要再做2个这样的蛋糕 【分析】5的倍数特征是个位为0或5，可通过123的个位特征判断能否正好装完。 若不能正好装完，先计算123除以5的余数，因为要正好装完需要总数是大于123的最小5的倍数，所以用5减去余数即可得到至少还要做的蛋糕数量。 【详解】能正好每5块装完，说明总蛋糕数是5的倍数。5的倍数特征是个位为0或5，123的个位是3，不符合特征，因此不能正好装完； 答：不能正好装完，至少还要再做2个这样的蛋糕就能正好装完了。 21．小刚到蛋糕店买甜品。甜甜圈4元一个，三明治10元一个。她买了一些甜甜圈和三明治，付给营业员50元，找回了11元。不计算，判断营业员找回的钱数是否正确，并说一说你的理由。 【答案】不正确； 甜甜圈是4元，4是偶数，所以买多少个甜甜圈的钱数都是偶数。 三明治10元，10是偶数，所以买多少个三明治的钱数都是偶数。 因此买甜甜圈的钱数与买三明治的钱数和一定是偶数，付给营业员的钱数是偶数，买甜甜圈和三明治的钱数是偶数，找回的钱是偶数。由于找回的11元，11是奇数，所以不正确。 【分析】奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数；奇数±偶数＝奇数；奇数×奇数＝奇数，偶数×奇数＝偶数，据此分析解答。 【详解】略 22．为落实“乡村振兴”战略中农产品标准化流通的要求，某蜂蜜养殖合作社收获了56瓶天然蜂蜜，现需对其进行规格化装箱以便运往各地商超，有三种包装箱规格（如下图）。选择哪种包装箱可恰好装完所有蜂蜜且每箱都装满？请说明理由。 【答案】②号；只有②号包装箱可以恰好装完。 【分析】56瓶恰好装完，且每箱都装满，这意味着蜂蜜的总瓶数56必须是所选包装箱每箱装瓶数的倍数，即56除以每箱装的瓶数没有余数。 【详解】56÷3＝18（箱）……2（瓶） 56÷4＝14（箱） 56÷5＝11（箱）……1（瓶） 答：选择②号包装箱，只有②号包装箱可以恰好装完。 23．截至2025年8月，我国北斗卫星导航系统在轨运行卫星总数为45颗，包括北斗二号和北斗三号卫星。已知北斗二号卫星数量是奇数，那么北斗三号卫星数量是奇数还是偶数？为什么？ 【答案】偶数；根据奇数减奇数的差是偶数的规律，可得北斗三号卫星数量是偶数 【分析】加减法的奇偶运算规律为：奇数减奇数的差是偶数，奇数加偶数的和是奇数。已知总和为奇数、其中一个加数为奇数，依据奇偶运算规律即可推出另一个加数的奇偶性。 【详解】在轨卫星总数量＝北斗二号卫星数量＋北斗三号卫星数量 则北斗三号卫星数量＝总数量－北斗二号卫星数量 已知总数量45是奇数，北斗二号卫星数量是奇数 根据奇数减奇数的差是偶数的规律，可得北斗三号卫星数量是偶数 答：北斗三号卫星数量是偶数。 24．粽子是中国传统节日—端午节的食物之一。昊昊在超市买了5个同样的粽子（单价是整数），付给营业员100元，营业员找回36元。请判断：营业员找给昊昊的钱对吗？请说明理由。 【答案】营业员找给昊昊的钱不对；理由：因为粽子的数量是5个，单价是整数元，总价一定是5的倍数，而昊昊买粽子总花费为100－36＝64（元），64不是5的倍数所以找回的钱错误。 【分析】个位上是0和5的数是5的倍数，通过“单价是整数”和“数量是5”这两个条件判断总花费是5的倍数。100减去找回的钱得到花费的钱，看算得花费的钱是否是5的倍数，如果不是5的倍数，则判断找回的钱错误。 【详解】买粽子实际花费的钱数为：（元） 因为买了5个同样的粽子，且单价是整数，总花费应该是5的倍数。5的倍数的特征是个位上是0或5的数。64的个位上是4，所以64不是5的倍数。所以营业员找给昊昊的钱不对。 答：营业员找给昊昊的钱不对。 25．体育老师新买了3个足球，可是他不小心把发票弄上了墨水，只能看到总价是··5元，经了解每个足球的售价是60多元，请你推算出每个足球多少元？一共花了多少元？ 【答案】65元；195元 【分析】已知体育老师买了3个足球，每个足球的售价是60多元，总价是··5元，根据“总价＝单价×数量”可知，总价一定是3的倍数，单价一定是整数，则每个足球的售价最少是61元，最多是69元，由此求出总价的范围，再根据总价的个位数字“5”，以及3的倍数特征（各位上数字相加的和是3的倍数）来判断一共花的钱数，最后根据“单价＝总价÷数量”求出每个足球的价格。 【详解】分析可知，每个足球的售价最少是61元，最多是69元。 61×3＝183（元） 69×3＝207（元） 在183~207之间个位数字是5的数有185、195、205。 1＋8＋5＝14，14不是3的倍数，不符合题意； 1＋9＋5＝15，15是3的倍数，符合题意； 2＋0＋5＝7，7不是3的倍数，不符合题意。 所以，一共花了195元。 195÷3＝65（元） 答：每个足球65元，一共花了195元。 26．小刚到文具店购买学习用品。他购买了一些笔记本和笔袋（笔记本和笔袋都有购买，但数量未知），付给售货员阿姨100元，找回了13元。小刚说：“阿姨，您把账算错了。”小刚是如何判断出售货员阿姨算错的？请说明理由。 笔记本  5元/本 笔  袋  10元/个 签字笔  2元/支 【答案】 算错了，因为花费的钱数不是的倍数 【分析】笔记本单价元，无论买多少本，总价都是的倍数。笔袋单价元，是的倍数，无论买多少个，总价也都是的倍数。两个的倍数相加，和一定是的倍数。计算出的实际花费金额是否符合的倍数的特征（个位上是或）。若不符合，则说明账目算错。 【详解】（元） 因为笔记本和笔袋的单价都是的倍数，且两种商品都有购买，所以购买笔记本和笔袋的总钱数一定是的倍数，不是的倍数。 答：售货员算错了，因为花费的钱数不是的倍数。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $