第四单元 分数的应用 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版六年级上册（新教材）

第四单元 分数的应用 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、分数应用题核心：单位 “1” 的判断与解题原则 2 1. 单位 “1” 的含义 2 2. 单位 “1” 的判断技巧 2 3. 核心解题原则 2 二、基础分数应用题 2 1. 求一个数的几分之几是多少（单位 “1” 已知） 2 2. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数（单位 “1” 未知） 2 三、稍复杂的分数应用题 3 1. 求比一个数多（或少）几分之几的数是多少（单位 “1” 已知） 3 2. 已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数（单位 “1” 未知） 3 四、分数连乘、连除与乘除混合应用 3 1. 连续求一个数的几分之几是多少 3 2. 连续已知几分之几，求最初的单位 “1” 3 3. 乘除混合应用题 3 五、分数和倍、差倍问题 4 1. 题型特征 4 2. 解题方法 4 六、工程问题（分数应用典型题型） 4 1. 核心思路 4 2. 基本公式 4 七、易错点总结 4 考点讲练 4 考点一：基础分数应用题（单位 “1” 的基础应用） 4 考点二：稍复杂的分数应用题（比一个数多 / 少几分之几） 5 考点三：分数连乘与乘除混合应用 6 考点四：分数和倍、差倍问题 7 考点五：工程问题（分数应用典型题型） 7 综合训练 8 知识梳理 一、分数应用题核心：单位 “1” 的判断与解题原则 1. 单位 “1” 的含义 在分数应用题中，被看作整体标准的量称为单位 “1”，它是分率对应的参照总量。所有分率的计算都以单位 “1” 为基准。 2. 单位 “1” 的判断技巧 关键词定位：“的” 字前面的量通常是单位 “1”； “比、占、是、相当于” 后面的量通常是单位 “1”； 例：“男生人数是女生的” 中，女生人数是单位 “1”；“实际产量比计划多” 中，计划产量是单位 “1”。 3. 核心解题原则 单位 “1” 的量已知：用乘法计算，公式为 ； 单位 “1” 的量未知：用除法或方程计算，公式为 。 二、基础分数应用题 1. 求一个数的几分之几是多少（单位 “1” 已知） 题型特征：已知单位 “1” 的总量和对应分率，求分率对应的具体数量。 等量关系： 示例：一本书 120 页，看了，看了的页数为 页。 2. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数（单位 “1” 未知） 题型特征：已知分率和对应的具体数量，求单位 “1” 的总量。 解题方法： ① 算术法：用对应量除以对应分率，直接求出单位 “1” 的量； ② 方程法：设单位 “1” 的量为，根据 “” 列方程求解。 示例：一条路修了 60 米，刚好是全长的，全长为 米。 三、稍复杂的分数应用题 1. 求比一个数多（或少）几分之几的数是多少（单位 “1” 已知） 题型特征：已知单位 “1” 的量，所求量比单位 “1” 多 / 少几分之几。 解题关键：先求出所求量对应的分率（ 或 ），再用乘法计算。 等量关系： 示例：桃树有 80 棵，梨树比桃树多，梨树棵数为 棵。 2. 已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数（单位 “1” 未知） 题型特征：已知比单位 “1” 多 / 少几分之几的具体量，反求单位 “1” 的总量。 解题关键：先求出已知量对应的分率，再用除法或方程求单位 “1”。 等量关系： 示例：今年产粮 120 吨，比去年增产，去年产量为 吨。 四、分数连乘、连除与乘除混合应用 1. 连续求一个数的几分之几是多少 题型特征：题目包含多个单位 “1”，每一步的单位 “1” 依次变化且均为已知。 解题方法：分步确定每个分率对应的单位 “1”，依次用乘法计算。 2. 连续已知几分之几，求最初的单位 “1” 题型特征：已知最终的对应量，经过两次分率转换，求最初的总量。 解题方法：从后往前倒推，依次用除法，也可列连除算式一步计算。 3. 乘除混合应用题 解题核心：每一步先判断单位 “1” 是否已知，确定用乘法还是除法，分步计算，避免混淆单位 “1”。 五、分数和倍、差倍问题 1. 题型特征 已知两个数量的和（或差），以及其中一个量是另一个量的几分之几，求两个数量分别是多少。 2. 解题方法 设单位 “1” 的量为，用含的式子表示另一个量； 根据 “和” 或 “差” 的等量关系列方程求解。 六、工程问题（分数应用典型题型） 1. 核心思路 把工作总量看作单位 “1”，用单位时间内完成的工作量占总量的几分之一表示工作效率。 2. 基本公式 工作效率 = 1 ÷ 单独完成工作的时间 合作工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率和 七、易错点总结 单位 “1” 判断错误，导致乘除法用反，是本单元最常见错误。 分率与具体量不对应：误用总量和不对应的分率相除、相乘。 “比多比少” 问题中分率加减混淆：多几分之几用 1 加，少几分之几用 1 减。 多个单位 “1” 的题目中，混淆每一步的参照标准，导致计算错误。 工程问题中误用具体长度计算，忘记将工作总量设为单位 “1”。 考点讲练 考点一：基础分数应用题（单位 “1” 的基础应用） 【典例精讲】 果园里有苹果树 240 棵，梨树的棵数是苹果树的。梨树有多少棵？ 【变式训练 】 小明看一本故事书，已经看了 72 页，正好是全书的。这本书一共有多少页？ 【变式训练 】 学校食堂运来大米 150 千克，面粉的质量是大米的，同时又是玉米的。玉米有多少千克？ 【变式训练 】 判断题：甲数的等于乙数的（甲、乙均不为 0），则甲数大于乙数。（ ） 考点二：稍复杂的分数应用题（比一个数多 / 少几分之几） 【典例精讲】 某超市十月份营业额是 140 万元，九月份营业额比十月份少。九月份营业额是多少万元？ 【变式训练 】 一款手机现价 1800 元，比原价降低了。这款手机原价多少元？ 【变式训练 】 某工厂一月份生产零件 300 个，二月份比一月份增产，三月份比二月份减产。三月份生产零件多少个？ 【变式训练 】 一件商品先涨价，再降价，现价和原价相比（ ）。 A. 现价高 B. 原价高 C. 价格不变 考点三：分数连乘与乘除混合应用 【典例精讲】 六年级有学生 180 人，一班人数占全年级的，一班的女生人数占一班总人数的。一班有女生多少人？ 【变式训练 】 书店运来一批书，第一天卖出总数的，第二天卖出第一天的，第二天卖出 40 本。这批书一共有多少本？ 【变式训练 】 修路队修一条路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，还剩 120 米没修。这条路全长多少米？ 【变式训练 】 有三根绳子，甲绳长 40 米，乙绳的长度是甲绳的，同时是丙绳的。丙绳比甲绳长多少米？ 考点四：分数和倍、差倍问题 【典例精讲】 学校美术组和航模组一共有 56 人，美术组人数是航模组的。美术组和航模组各有多少人？ 【变式训练 】 爸爸的体重比小明重 24 千克，小明的体重是爸爸的。爸爸和小明的体重各是多少千克？ 【变式训练 】 一套桌椅的售价是 240 元，椅子的价格是桌子的。桌子和椅子的单价各是多少元？ 【变式训练 】 果园里桃树比梨树多 30 棵，梨树的棵数是桃树的。桃树和梨树一共有多少棵？ 考点五：工程问题（分数应用典型题型） 【典例精讲】 加工一批零件，师傅单独做需要 8 小时完成，徒弟单独做需要 12 小时完成。师徒两人合作，几小时可以完成这批零件？ 【变式训练 】 修一条公路，甲队单独修 20 天完成，乙队单独修 30 天完成。两队合作修了 5 天，还剩几分之几没修？ 【变式训练 】 一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。甲队先做 2 天，剩下的由乙队单独做，还需要几天完成？ 【变式训练 】 一个水池有两个进水管，单开甲管 6 小时可以注满空池，单开乙管 4 小时可以注满空池。两管同时打开，几小时可以注满水池的？ 综合训练 1．a和b互为倒数，（    ）。 A．105 B． C．1 D． 2．一个旅游景点去年全年接待游客约196万人，上半年接待游客是全年的，第三季度游客数量是上半年的，第三季度接待游客（    ）万人。 A．84 B．63 C．98 D．42 3．一块布长3米，剪去它的，剩下多少米？列式是（    ）。 A． B． C． D． 4．若一根绳子的是60米，则这根绳子的是（    ）米。 A．30 B．32 C．45 D．200 5．《论语·为政》中有关于年龄的代称，其中“耳顺之年”是指60岁，“知命之年”所指年龄是“耳顺之年”所指年龄的“而立之年”所指年龄是“知命之年”所指年龄的，则“而立之年”是指（    ）岁。 A．50 B．45 C．30 D．25 6．小华在计算时，把一个数除以5看成了一个数乘5，结果算出来的答案是，那么正确的答案是（    ）。 A． B． C． D． 7．一个球从高处落下，每次接触地面后弹起的高度是前一次下落高度的，如果这个球从5米的高度落下，第三次弹起的高度是( )米。 8．我国古代名著《庄子》中有一句话：“一尺之棰（chuí），日取一半，万世不竭”。意思是一根一尺长的木棍，第一天截取它的一半，第二天截取剩下的一半，第三天再截取剩下的一半……这样取下去，永远取不完。请问：第三天取的长度是这根木棍的( )。 9．我国古代有很多关于年龄的代称，其中花甲之年是指60岁，知命之年所指的年龄是花甲之年的，束发之年所指的年龄是知命之年的，那么束发之年是指( )岁。 10．在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团获得40枚金牌，获得的银牌数量是金牌的，铜牌数量是银牌的。中国体育代表团获得铜牌( )枚。 11．赶秋节，又称秋社节、交秋节，是湘西苗族欢庆丰收的节日，也是湘西苗族现存最古老的传统庆典社交活动之一。赶秋节当天，吹唢呐的演员有120人，打花鼓的演员人数是吹唢呐的，舞狮的演员人数是打花鼓的。舞狮的演员有( )人。 12．学校美术兴趣组有100人，书法兴趣组的人数是美术兴趣组的，航模兴趣组的人数比书法兴趣组多，学校航模兴趣组的人数比书法兴趣组的人数多( )人。 13．小公园里有杨树20棵，柳树棵数是杨树的，槐树的棵数是柳树的。槐树有( )棵。 14．成人体内血液约是体重的，血液中约含有的水。李叔叔的体重是78千克，他的血液中约含有( )千克的水。 15．工程队修一条水渠需要15天，( )天能修这水渠的。 16．一艘轮船从甲港开往乙港，前3小时行96千米，以后每小时行的路程是原来的倍，按照这样的速度又行了2小时到达乙港。那么这艘轮船的平均速度是( )千米时。 17．直接写出得数。 （1）        （2）        （3）    （4）61×38≈ （5）            （6）5.6÷0.4＝        （7）        （8） 18．计算下列各题（能简算的要简算）。                                                 19．端午食粽是我国传承千年的传统民俗，为感受非遗饮食文化，学校组织开展包粽子实践活动。全校同学一共要包600个粽子。高年级同学包了总数的，中年级包了余下粽子数量的，剩下的粽子都由低年级同学完成。请问，中年级包了多少个粽子？ 20．鞋店运来600双运动鞋，第一周卖了总数的，第二周卖了剩余的，两周后还剩多少双运动鞋？ 21．希望小学的学生参观博物馆，四年级去了210人，五年级去的人数是四年级的，六年级去的人数是五年级的。六年级去了多少人？ 22．某小学五年级的同学们共同绘制了一幅临渭民俗长画卷。五（1）班同学绘制了8米，占画卷总长度的。五（2）班绘制的画卷长度占总长度的，五（2）班绘制了多少米？ 23．在惠州的传统美食中，“东江盐焗鸡”是一道非常受欢迎的菜肴。根据传统配方，香料包的重量是鸡肉重量的，酱汁的量是香料包重量的，如果要按照这个比例制作一份东江盐焗鸡，有鸡肉400克，需要多少克的酱汁？ 24．王老师做事认真有规律，她每天睡觉前都会查看自己当天手机使用时间的分类统计。上周星期六，社交时间是32分钟，占当天手机使用总时间的，阅读占当天手机使用总时间的。王老师当天用手机阅读的时间是多少分钟？ 25．《论语·为政》中有年龄代称，耳顺之年是指60岁，知命之年所指年龄是耳顺之年所指年龄的，弱冠之年所指年龄是知命之年所指年龄的，弱冠之年是指多少岁？ 26．红红每天看书大约40分，小小每天看书的时间大约是红红每天看书时间的，小小每天看书的时间大约又是丁丁每天看书时间的。丁丁每天看书大约用了多少分？ 27．学校航模社团有80人，书法社团人数是航模社团人数的，武术社团人数是书法社团人数的。武术社团有多少人？ 28．某校六年级参加英语演讲比赛的学生有48人，五年级参加英语演讲比赛的人数是六年级的，是四年级的。该校四年级参加英语演讲比赛的学生有多少人？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 分数的应用 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、分数应用题核心：单位 “1” 的判断与解题原则 2 1. 单位 “1” 的含义 2 2. 单位 “1” 的判断技巧 2 3. 核心解题原则 2 二、基础分数应用题 2 1. 求一个数的几分之几是多少（单位 “1” 已知） 2 2. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数（单位 “1” 未知） 2 三、稍复杂的分数应用题 3 1. 求比一个数多（或少）几分之几的数是多少（单位 “1” 已知） 3 2. 已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数（单位 “1” 未知） 3 四、分数连乘、连除与乘除混合应用 3 1. 连续求一个数的几分之几是多少 3 2. 连续已知几分之几，求最初的单位 “1” 3 3. 乘除混合应用题 3 五、分数和倍、差倍问题 4 1. 题型特征 4 2. 解题方法 4 六、工程问题（分数应用典型题型） 4 1. 核心思路 4 2. 基本公式 4 七、易错点总结 4 考点讲练 4 考点一：基础分数应用题（单位 “1” 的基础应用） 4 考点二：稍复杂的分数应用题（比一个数多 / 少几分之几） 6 考点三：分数连乘与乘除混合应用 8 考点四：分数和倍、差倍问题 9 考点五：工程问题（分数应用典型题型） 11 综合训练 13 知识梳理 一、分数应用题核心：单位 “1” 的判断与解题原则 1. 单位 “1” 的含义 在分数应用题中，被看作整体标准的量称为单位 “1”，它是分率对应的参照总量。所有分率的计算都以单位 “1” 为基准。 2. 单位 “1” 的判断技巧 关键词定位：“的” 字前面的量通常是单位 “1”； “比、占、是、相当于” 后面的量通常是单位 “1”； 例：“男生人数是女生的” 中，女生人数是单位 “1”；“实际产量比计划多” 中，计划产量是单位 “1”。 3. 核心解题原则 单位 “1” 的量已知：用乘法计算，公式为 ； 单位 “1” 的量未知：用除法或方程计算，公式为 。 二、基础分数应用题 1. 求一个数的几分之几是多少（单位 “1” 已知） 题型特征：已知单位 “1” 的总量和对应分率，求分率对应的具体数量。 等量关系： 示例：一本书 120 页，看了，看了的页数为 页。 2. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数（单位 “1” 未知） 题型特征：已知分率和对应的具体数量，求单位 “1” 的总量。 解题方法： ① 算术法：用对应量除以对应分率，直接求出单位 “1” 的量； ② 方程法：设单位 “1” 的量为，根据 “” 列方程求解。 示例：一条路修了 60 米，刚好是全长的，全长为 米。 三、稍复杂的分数应用题 1. 求比一个数多（或少）几分之几的数是多少（单位 “1” 已知） 题型特征：已知单位 “1” 的量，所求量比单位 “1” 多 / 少几分之几。 解题关键：先求出所求量对应的分率（ 或 ），再用乘法计算。 等量关系： 示例：桃树有 80 棵，梨树比桃树多，梨树棵数为 棵。 2. 已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数（单位 “1” 未知） 题型特征：已知比单位 “1” 多 / 少几分之几的具体量，反求单位 “1” 的总量。 解题关键：先求出已知量对应的分率，再用除法或方程求单位 “1”。 等量关系： 示例：今年产粮 120 吨，比去年增产，去年产量为 吨。 四、分数连乘、连除与乘除混合应用 1. 连续求一个数的几分之几是多少 题型特征：题目包含多个单位 “1”，每一步的单位 “1” 依次变化且均为已知。 解题方法：分步确定每个分率对应的单位 “1”，依次用乘法计算。 2. 连续已知几分之几，求最初的单位 “1” 题型特征：已知最终的对应量，经过两次分率转换，求最初的总量。 解题方法：从后往前倒推，依次用除法，也可列连除算式一步计算。 3. 乘除混合应用题 解题核心：每一步先判断单位 “1” 是否已知，确定用乘法还是除法，分步计算，避免混淆单位 “1”。 五、分数和倍、差倍问题 1. 题型特征 已知两个数量的和（或差），以及其中一个量是另一个量的几分之几，求两个数量分别是多少。 2. 解题方法 设单位 “1” 的量为，用含的式子表示另一个量； 根据 “和” 或 “差” 的等量关系列方程求解。 六、工程问题（分数应用典型题型） 1. 核心思路 把工作总量看作单位 “1”，用单位时间内完成的工作量占总量的几分之一表示工作效率。 2. 基本公式 工作效率 = 1 ÷ 单独完成工作的时间 合作工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率和 七、易错点总结 单位 “1” 判断错误，导致乘除法用反，是本单元最常见错误。 分率与具体量不对应：误用总量和不对应的分率相除、相乘。 “比多比少” 问题中分率加减混淆：多几分之几用 1 加，少几分之几用 1 减。 多个单位 “1” 的题目中，混淆每一步的参照标准，导致计算错误。 工程问题中误用具体长度计算，忘记将工作总量设为单位 “1”。 考点讲练 考点一：基础分数应用题（单位 “1” 的基础应用） 【典例精讲】 果园里有苹果树 240 棵，梨树的棵数是苹果树的。梨树有多少棵？ 【分析】 单位 “1” 是苹果树的棵数，已知为 240 棵，求梨树的棵数就是求 240 的是多少，用乘法计算。 【详解】 （棵） 答：梨树有 200 棵。 【答案】200 棵 【变式训练 】 小明看一本故事书，已经看了 72 页，正好是全书的。这本书一共有多少页？ 【分析】 单位 “1” 是全书的页数，未知。已知对应量 72 页和对应分率，用对应量除以对应分率即可求出单位 “1”。 【详解】 （页） 答：这本书一共有 162 页。 【答案】162 页 【变式训练 】 学校食堂运来大米 150 千克，面粉的质量是大米的，同时又是玉米的。玉米有多少千克？ 【分析】 先根据大米的质量（单位 1 已知）求出面粉的质量，再根据面粉和玉米的关系（玉米是单位 1，未知）求出玉米的质量。 【详解】 面粉质量：（千克） 玉米质量：（千克） 答：玉米有 100 千克。 【答案】100 千克 【变式训练 】 判断题：甲数的等于乙数的（甲、乙均不为 0），则甲数大于乙数。（ ） 【分析】 可以设等式结果为 1，分别求出甲数和乙数再比较大小；也可根据 “积相等，一个因数越小，另一个因数越大” 直接判断。 【详解】 设，则甲数，乙数。 ，因此甲数大于乙数，说法正确。 【答案】√ 考点二：稍复杂的分数应用题（比一个数多 / 少几分之几） 【典例精讲】 某超市十月份营业额是 140 万元，九月份营业额比十月份少。九月份营业额是多少万元？ 【分析】 单位 “1” 是十月份营业额，已知。九月份比十月份少，则九月份对应的分率是，用乘法计算。 【详解】 （万元） 答：九月份营业额是 120 万元。 【答案】120 万元 【变式训练 】 一款手机现价 1800 元，比原价降低了。这款手机原价多少元？ 【分析】 单位 “1” 是原价，未知。现价比原价降低，现价对应的分率是，用对应量除以对应分率求原价。 【详解】 （元） 答：这款手机原价 2000 元。 【答案】2000 元 【变式训练 】 某工厂一月份生产零件 300 个，二月份比一月份增产，三月份比二月份减产。三月份生产零件多少个？ 【分析】 第一步单位 1 是一月份产量（已知），先求二月份产量；第二步单位 1 是二月份产量（已求出），再求三月份产量。 【详解】 二月份产量：（个） 三月份产量：（个） 答：三月份生产零件 300 个。 【答案】300 个 【变式训练 】 一件商品先涨价，再降价，现价和原价相比（ ）。 A. 现价高 B. 原价高 C. 价格不变 【分析】 两次价格变化的单位 “1” 不同：涨价的单位 1 是原价，降价的单位 1 是涨价后的价格，通过计算比较即可。 【详解】 设原价为 100 元。 涨价后：（元） 降价后：（元） 99＜100，原价更高。 【答案】B 考点三：分数连乘与乘除混合应用 【典例精讲】 六年级有学生 180 人，一班人数占全年级的，一班的女生人数占一班总人数的。一班有女生多少人？ 【分析】 连续求一个数的几分之几是多少，第一步单位 1 是全年级人数，第二步单位 1 是一班人数，均为已知，依次用乘法计算。 【详解】 一班人数：（人） 一班女生人数：（人） 综合算式：（人） 答：一班有女生 18 人。 【答案】18 人 【变式训练 】 书店运来一批书，第一天卖出总数的，第二天卖出第一天的，第二天卖出 40 本。这批书一共有多少本？ 【分析】 已知第二天卖出的数量，先根据第二天和第一天的关系求出第一天卖出的数量，再根据第一天和总数的关系求出总数量，两次单位 1 均未知，用除法。 【详解】 第一天卖出：（本） 总数量：（本） 答：这批书一共有 240 本。 【答案】240 本 【变式训练 】 修路队修一条路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，还剩 120 米没修。这条路全长多少米？ 【分析】 先把余下的长度看作单位 1，求出余下的长度；再把全长看作单位 1，求出全长。注意第二周的单位 1 是余下的长度，不是全长。 【详解】 余下的长度：（米） 全长：（米） 答：这条路全长 300 米。 【答案】300 米 【变式训练 】 有三根绳子，甲绳长 40 米，乙绳的长度是甲绳的，同时是丙绳的。丙绳比甲绳长多少米？ 【分析】 先求乙绳长度，再求丙绳长度，最后用丙绳长度减甲绳长度得到差值。 【详解】 乙绳长度：（米） 丙绳长度：（米） 丙绳比甲绳长：（米） 答：丙绳比甲绳长 8 米。 【答案】8 米 考点四：分数和倍、差倍问题 【典例精讲】 学校美术组和航模组一共有 56 人，美术组人数是航模组的。美术组和航模组各有多少人？ 【分析】 和倍问题，单位 “1” 是航模组人数，设为，美术组为，根据总人数列方程求解。 【详解】 解：设航模组有人，则美术组有人。 美术组：（人） 答：航模组有 32 人，美术组有 24 人。 【答案】航模组 32 人，美术组 24 人 【变式训练 】 爸爸的体重比小明重 24 千克，小明的体重是爸爸的。爸爸和小明的体重各是多少千克？ 【分析】 差倍问题，单位 “1” 是爸爸的体重，设为，小明体重为，根据体重差列方程求解。 【详解】 解：设爸爸体重千克，小明体重千克。 小明：（千克） 答：爸爸体重 40 千克，小明体重 16 千克。 【答案】爸爸 40 千克，小明 16 千克 【变式训练 】 一套桌椅的售价是 240 元，椅子的价格是桌子的。桌子和椅子的单价各是多少元？ 【分析】 和倍问题，单位 1 是桌子的价格，设为，椅子价格为，根据总价列方程求解。 【详解】 解：设桌子单价元，椅子单价元。 椅子：（元） 答：桌子单价 150 元，椅子单价 90 元。 【答案】桌子 150 元，椅子 90 元 【变式训练 】 果园里桃树比梨树多 30 棵，梨树的棵数是桃树的。桃树和梨树一共有多少棵？ 【分析】 先根据差倍关系求出桃树和梨树各自的数量，再相加得到总棵数。 【详解】 解：设桃树有棵，梨树有棵。 梨树：（棵） 一共：（棵） 答：桃树和梨树一共有 150 棵。 【答案】150 棵 考点五：工程问题（分数应用典型题型） 【典例精讲】 加工一批零件，师傅单独做需要 8 小时完成，徒弟单独做需要 12 小时完成。师徒两人合作，几小时可以完成这批零件？ 【分析】 把这批零件的工作总量看作单位 “1”，分别求出师傅和徒弟的工作效率，再用工作总量除以效率和得到合作时间。 【详解】 师傅效率： 徒弟效率： 合作时间： （小时） 答：4.8 小时可以完成。 【答案】4.8 小时（或小时） 【变式训练 】 修一条公路，甲队单独修 20 天完成，乙队单独修 30 天完成。两队合作修了 5 天，还剩几分之几没修？ 【分析】 先求出两队合作 5 天完成的工作量，再用总量 1 减去已完成的工作量，得到剩余的分率。 【详解】 甲效率：，乙效率： 5 天完成： 剩余： 答：还剩没修。 【答案】 【变式训练 】 一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。甲队先做 2 天，剩下的由乙队单独做，还需要几天完成？ 【分析】 先计算甲队 2 天完成的工作量，再求出剩余工作量，最后用剩余工作量除以乙队效率，得到乙队还需要的时间。 【详解】 甲 2 天完成： 剩余工作量： 乙还需时间：（天） 答：还需要 12 天完成。 【答案】12 天 【变式训练 】 一个水池有两个进水管，单开甲管 6 小时可以注满空池，单开乙管 4 小时可以注满空池。两管同时打开，几小时可以注满水池的？ 【分析】 本次工作总量是，先求出两管的效率和，再用工作量除以效率和得到注水时间。 【详解】 甲效率：，乙效率： 效率和： 时间：（小时） 答：2 小时可以注满水池的。 【答案】2 小时 综合训练 1．a和b互为倒数，（    ）。 A．105 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，将除法转化为乘法，先约分再计算，将ab的乘积代入其中计算即可。 【详解】a和b互为倒数，所以ab＝1 ＝ ＝ ＝ 将ab＝1代入其中得： ＝＝105 综上，a和b互为倒数，＝105。 2．一个旅游景点去年全年接待游客约196万人，上半年接待游客是全年的，第三季度游客数量是上半年的，第三季度接待游客（    ）万人。 A．84 B．63 C．98 D．42 【答案】B 【分析】把全年接待游客数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用全年游客数乘求出上半年游客数；然后把上半年游客数看作单位“1”，再用上半年游客数乘求出第三季度游客数。 【详解】 （万人） 3．一块布长3米，剪去它的，剩下多少米？列式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将这块布的长度看作单位“1”，剩下的占总长的1－，用乘法计算。 【详解】3×（1－） ＝3× ＝（米） 列式为：3×（1－） 4．若一根绳子的是60米，则这根绳子的是（    ）米。 A．30 B．32 C．45 D．200 【答案】B 【分析】已知绳子的是60米，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法”，已知总长度再根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”计算即可。 【详解】绳子的总长度： 这根绳子的是32米。 5．《论语·为政》中有关于年龄的代称，其中“耳顺之年”是指60岁，“知命之年”所指年龄是“耳顺之年”所指年龄的“而立之年”所指年龄是“知命之年”所指年龄的，则“而立之年”是指（    ）岁。 A．50 B．45 C．30 D．25 【答案】C 【分析】求“知命之年”是把“耳顺之年”看作单位“1”，求“而立之年”是把“知命之年”看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，即可求解。 【详解】 ＝30（岁） 则“而立之年”是指30岁。 6．小华在计算时，把一个数除以5看成了一个数乘5，结果算出来的答案是，那么正确的答案是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘法与除法的关系可得被除数为：÷5，接下来再用被除数除以除数可得，计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 故答案为：A。 【点睛】解答本题的关键是要掌握分数除法的运算方法。 7．一个球从高处落下，每次接触地面后弹起的高度是前一次下落高度的，如果这个球从5米的高度落下，第三次弹起的高度是( )米。 【答案】 0.625/ 【分析】先将第一次下落高度看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，第一次弹起的高度＝第一次下落的高度×对应分率；再将第一次弹起的高度看作单位“1”，第二次弹起的高度＝第一次弹起的高度×对应分率；最后将第二次弹起的高度看作单位“1”，第三次弹起的高度＝第二次弹起的高度×对应分率。 【详解】 （米） 8．我国古代名著《庄子》中有一句话：“一尺之棰（chuí），日取一半，万世不竭”。意思是一根一尺长的木棍，第一天截取它的一半，第二天截取剩下的一半，第三天再截取剩下的一半……这样取下去，永远取不完。请问：第三天取的长度是这根木棍的( )。 【答案】 【分析】第一天取一半，即这根木棍的；第二天取剩下的一半，即这根木棍的的一半，是这根木棍的；第三天取剩下的一半，即这根木棍的的一半，是这根木棍的。 【详解】×× ＝× ＝ 即第三天取的长度是这根木棍的。 9．我国古代有很多关于年龄的代称，其中花甲之年是指60岁，知命之年所指的年龄是花甲之年的，束发之年所指的年龄是知命之年的，那么束发之年是指( )岁。 【答案】15 【分析】用花甲所指的年龄乘，即可计算出知命之年所指的年龄，再乘，即可计算出束发之年是指多少岁。 【详解】 ＝50 ＝15（岁） 所以，束发之年是指15岁。 10．在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团获得40枚金牌，获得的银牌数量是金牌的，铜牌数量是银牌的。中国体育代表团获得铜牌( )枚。 【答案】24 【分析】先求银牌数量时，把金牌数量看作单位“1”，已知金牌是40枚，银牌数量是金牌的，单位“1”已知，用乘法计算银牌数量。再求铜牌数量，把银牌数量看作单位“1”，铜牌数量是银牌的，单位“1”（银牌数量）已经求出，继续用乘法计算铜牌数量。 【详解】铜牌数量：40×× ＝27× ＝24（枚） 11．赶秋节，又称秋社节、交秋节，是湘西苗族欢庆丰收的节日，也是湘西苗族现存最古老的传统庆典社交活动之一。赶秋节当天，吹唢呐的演员有120人，打花鼓的演员人数是吹唢呐的，舞狮的演员人数是打花鼓的。舞狮的演员有( )人。 【答案】135 【分析】先以吹唢呐120人为单位“1”，用吹唢呐的演员人数乘，算出打花鼓人数，再将算出的打花鼓人数当作新单位“1”，用打花鼓的人数乘，求出舞狮的演员人数。 【详解】120×＝90（人） 90×＝135（人） 所以，舞狮的演员有135人。 12．学校美术兴趣组有100人，书法兴趣组的人数是美术兴趣组的，航模兴趣组的人数比书法兴趣组多，学校航模兴趣组的人数比书法兴趣组的人数多( )人。 【答案】10 【分析】已知书法兴趣组的人数是美术兴趣组的，把美术兴趣组的人数看作单位“1”，单位“1”已知，用美术兴趣组的人数乘算出书法兴趣组的人数； 已知航模兴趣组的人数比书法兴趣组多，是把书法兴趣组的人数看作单位“1”，单位“1”已知，用书法兴趣组的人数乘，求出航模兴趣组的人数比书法兴趣组多的人数。 【详解】100×× ＝40× ＝10（人） 13．小公园里有杨树20棵，柳树棵数是杨树的，槐树的棵数是柳树的。槐树有( )棵。 【答案】12 【分析】把杨树的棵数看作单位“1”，用杨树的棵数乘柳树棵数占杨树棵数的分率可求出柳树的棵数；把柳树的棵数看作单位“1”，用柳树的棵数乘槐树棵数占柳树棵数的分率可求出槐树的棵数。 【详解】20×× ＝16× ＝12（棵） 14．成人体内血液约是体重的，血液中约含有的水。李叔叔的体重是78千克，他的血液中约含有( )千克的水。 【答案】2.88 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，先用李叔叔的体重乘成人体内血液约占体重的分率，求出李叔叔体内血液的重量是多少；然后用李叔叔体内血液的重量乘血液中含有水的分率，即可求出他的血液中约含有多少千克水。 【详解】78×× ＝6× ＝2.88（千克） 即他的血液中约含有2.88千克水。 15．工程队修一条水渠需要15天，( )天能修这水渠的。 【答案】 【分析】由题意可知，把个这条水渠的工程量看作单位“1”，根据，用1除以15得到工作效率，再根据，用除以工作效率即可得解。 【详解】 （天） 工程队修一条水渠需要15天，天能修这水渠的。 16．一艘轮船从甲港开往乙港，前3小时行96千米，以后每小时行的路程是原来的倍，按照这样的速度又行了2小时到达乙港。那么这艘轮船的平均速度是( )千米时。 【答案】33.6 【分析】根据速度路程时间，求出前3小时的速度，再乘，求出以后的速度，再根据路程速度时间，求出又行了2小时的路程，再根据平均速度路程和时间和，即可解答。 【详解】（96＋96÷3××2）÷（3＋2） ＝（96＋32××2）÷（3＋2） ＝（96＋72）÷（3＋2） ＝168÷5 ＝33.6（千米时） 这艘轮船的平均速度是33.6千米时。 17．直接写出得数。 （1）        （2）        （3）    （4）61×38≈ （5）            （6）5.6÷0.4＝        （7）        （8） 【答案】 （1）；（2）；（3）；（4）2400； （5）0.027；（6）14；（7）3.5；（8） 【解析】略 18．计算下列各题（能简算的要简算）。                                                 【答案】                      【分析】（1）把所有分数通分乘分母为12的分数，然后从左往右依次计算即可； （2）先把除以通过分数除法的意义换成乘法，然后进行约分计算即可； （3）把分数全部换成小数，然后先算括号内，再计算括号外； （4）把除以用分数除法的意义换成乘法，再提取公因数进行简便计算； （5）把括号内进行通分计算即可； （6）先把除以换成乘法，然后再添括号进行简便计算即可。 【详解】 19．端午食粽是我国传承千年的传统民俗，为感受非遗饮食文化，学校组织开展包粽子实践活动。全校同学一共要包600个粽子。高年级同学包了总数的，中年级包了余下粽子数量的，剩下的粽子都由低年级同学完成。请问，中年级包了多少个粽子？ 【答案】180 个 【分析】全校粽子总数是第一个单位“1”，高年级包完后余下的粽子数量是第二个单位“1”。首先根据高年级包了总数的，求出剩下的粽子占总数的几分之几（或求出剩下的具体数量）；然后根据中年级包了余下粽子数量的，利用分数乘法计算中年级包的数量。 【详解】 答：中年级包了180个粽子。 20．鞋店运来600双运动鞋，第一周卖了总数的，第二周卖了剩余的，两周后还剩多少双运动鞋？ 【答案】270双 【分析】第一周卖了总数的，此时单位“1”是运动鞋的总数600双；第二周卖了剩余的，此时单位“1”变成了第一周卖完后剩下的数量。要求两周后还剩多少双，可以先分别求出第一周后剩下的占总数的几分之几，以及第二周后剩下的占第一周剩余的几分之几，最后用总数连续乘这两个分率即可得出结果。 【详解】 （双） 答：两周后还剩270双运动鞋。 21．希望小学的学生参观博物馆，四年级去了210人，五年级去的人数是四年级的，六年级去的人数是五年级的。六年级去了多少人？ 【答案】 144 人 【分析】首先把四年级人数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用四年级人数乘，求出五年级人数。然后把五年级人数看作单位“1”，再用五年级人数乘求出六年级人数。也可以列综合算式直接计算。 【详解】 ＝180 （人） 答：六年级去了 144 人。 22．某小学五年级的同学们共同绘制了一幅临渭民俗长画卷。五（1）班同学绘制了8米，占画卷总长度的。五（2）班绘制的画卷长度占总长度的，五（2）班绘制了多少米？ 【答案】9米 【分析】把画卷的总长度看作单位“1”，已知五（1）班绘制的长度是8米，对应的分率是总长度的，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，用除法求出画卷的总长度。已知五（2）班绘制的长度占总长度的，根据“求一个数的几分之几是多少”，用乘法计算出五（2）班绘制的长度。 【详解】8÷× ＝8×× ＝36× ＝9（米） 答：五（2）班绘制了9米。 23．在惠州的传统美食中，“东江盐焗鸡”是一道非常受欢迎的菜肴。根据传统配方，香料包的重量是鸡肉重量的，酱汁的量是香料包重量的，如果要按照这个比例制作一份东江盐焗鸡，有鸡肉400克，需要多少克的酱汁？ 【答案】 120克 【分析】根据题意，香料包的重量是鸡肉重量的，酱汁的重量是香料包重量的。已知鸡肉重量为400克，需要求酱汁的重量。可以先计算香料包的重量，再根据香料包重量计算酱汁的重量。 【详解】 （克） 答：需要120克的酱汁。 24．王老师做事认真有规律，她每天睡觉前都会查看自己当天手机使用时间的分类统计。上周星期六，社交时间是32分钟，占当天手机使用总时间的，阅读占当天手机使用总时间的。王老师当天用手机阅读的时间是多少分钟？ 【答案】48分钟 【分析】已知社交时间是32分钟，占当天手机使用总时间的，则把当天手机使用时间看作单位“1”，根据分数除法的意义，用社交时间除以，即可求出当天手机使用总时间；又已知阅读占当天手机使用总时间的，根据分数乘法的意义，则用当天手机使用总时间乘，即可求出阅读时间。 【详解】 （分） 答：王老师当天用手机阅读的时间是48分钟。 25．《论语·为政》中有年龄代称，耳顺之年是指60岁，知命之年所指年龄是耳顺之年所指年龄的，弱冠之年所指年龄是知命之年所指年龄的，弱冠之年是指多少岁？ 【答案】20岁 【分析】把耳顺之年所指年龄看作单位“1”，知命之年所指年龄是耳顺之年所指年龄的，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”代入数据计算，即可求出知命之年所指的年龄；然后把知命之年所指年龄看作单位“1”，弱冠之年所指年龄是知命之年所指年龄的，同理用乘法代入数据计算，即可求出弱冠之年所指的年龄。据此解答。 【详解】 ＝20（岁） 答：弱冠之年是指20岁。 26．红红每天看书大约40分，小小每天看书的时间大约是红红每天看书时间的，小小每天看书的时间大约又是丁丁每天看书时间的。丁丁每天看书大约用了多少分？ 【答案】56分 【分析】先把红红每天看书时间看作单位“1”，根据“小小每天看书的时间大约是红红每天看书时间的”，用乘法算出小小每天看书的时间；再把丁丁每天看书时间看作单位“1”，根据“小小每天看书的时间大约又是丁丁每天看书时间的”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法算出丁丁每天看书的时间。 【详解】 （分） 答：丁丁每天看书大约用了56分。 27．学校航模社团有80人，书法社团人数是航模社团人数的，武术社团人数是书法社团人数的。武术社团有多少人？ 【答案】40人 【分析】由题意可知，把航模社团人数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用航模社团人数乘可得书法社团人数，把书法社团人数看作单位“1”，同样用乘法计算即可得解。 【详解】 （人） 答：武术社团有40人。 28．某校六年级参加英语演讲比赛的学生有48人，五年级参加英语演讲比赛的人数是六年级的，是四年级的。该校四年级参加英语演讲比赛的学生有多少人？ 【答案】35人 【分析】已知五年级参加英语演讲比赛的人数是六年级的，把六年级参赛的人数看作单位“1”，单位“1”已知，用六年级参赛的人数乘，求出五年级参赛的人数； 已知五年级参加英语演讲比赛的人数是四年级的，把四年级参赛的人数看作单位“1”，单位“1”未知，用五年级参赛的人数除以，求出四年级参赛的人数。 【详解】48×÷ ＝40÷ ＝40× ＝35（人） 答：该校四年级参加英语演讲比赛的学生有35人。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $