第五单元 比的认识 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版六年级上册（新教材）

第五单元 比的认识 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、比的意义与各部分名称 2 1. 比的定义 2 2. 比的读写与各部分名称 2 3. 比值的特征 2 4. 比的两种类型 2 5. 重要注意 2 二、比与除法、分数的关系 3 1. 对应关系表 3 2. 字母表达式 3 3. 核心区别 3 三、比的基本性质 3 1. 性质内容 3 2. 最简整数比 3 四、化简比的方法 3 1. 整数比化简 3 2. 分数比化简 3 3. 小数比化简 4 4. 化简比与求比值的区别 4 五、比的应用 —— 按比分配 4 1. 题型含义 4 2. 基础题型：已知总量和比，求各部分量 4 方法一：归一法 4 方法二：分数法 4 3. 拓展题型 4 六、易错点总结 4 考点讲练 5 考点一：比的意义与求比值 5 考点二：比的基本性质与化简比 7 考点三：比与除法、分数的关系 8 考点四：按比分配基础应用 10 考点五：稍复杂的比的应用 12 综合训练 13 知识梳理 一、比的意义与各部分名称 1. 比的定义 两个数相除又叫做两个数的比，用来表示两个数量之间的倍比关系。 2. 比的读写与各部分名称 写法：3 比 2 记作 ，符号 “” 叫做比号。 名称：比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项；比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 示例：在 中，6 是前项，4 是后项，1.5 是比值。 3. 比值的特征 比值是一个数，可以用整数、小数或分数表示； 比值没有单位，只表示两个量的倍比关系。 4. 比的两种类型 同类量的比：两个单位相同的量相比，结果表示倍比关系，如人数比、长度比； 不同类量的比：两个单位不同的量相比，结果会产生一个新的量，如路程与时间的比表示速度。 5. 重要注意 比的后项不能为 0（对应除法中除数不能为 0）。体育比赛中的 “2:0” 是计分形式，不属于数学意义上的比。 二、比与除法、分数的关系 1. 对应关系表 比 前项 比号（） 后项 比值 表示两个量的关系 除法 被除数 除号（） 除数 商 一种运算 分数 分子 分数线（） 分母 分数值 一种数 2. 字母表达式 用字母表示三者关系： 3. 核心区别 比强调两个数量的关系； 除法是一种运算过程； 分数是一类数的表达形式。 三、比的基本性质 1. 性质内容 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。这是化简比的核心依据。 2. 最简整数比 比的前项和后项都是整数，并且只有公因数 1（互质），这样的比叫做最简整数比。化简比的最终结果必须是最简整数比。 四、化简比的方法 1. 整数比化简 前项和后项同时除以它们的最大公因数。 例： 2. 分数比化简 前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，先转化为整数比，再继续化简。 例： 3. 小数比化简 前项和后项同时扩大相同的倍数（10 倍、100 倍……），先转化为整数比，再继续化简。 例： 4. 化简比与求比值的区别 求比值：前项 ÷ 后项，结果是一个数（整数、小数、分数均可）； 化简比：根据比的基本性质变形，结果仍然是一个比，必须写成 的形式。 五、比的应用 —— 按比分配 1. 题型含义 把一个总数量按照一定的比分成若干部分，求每部分的数量，叫做按比分配。 2. 基础题型：已知总量和比，求各部分量 两种通用解题方法： 方法一：归一法 ① 计算总份数； ② 总量 ÷ 总份数 = 每份对应的数量； ③ 每份数量 × 各部分份数 = 各部分的量。 方法二：分数法 ① 计算总份数； ② 求出各部分占总量的几分之几； ③ 总量 × 各部分对应分率 = 各部分的量。 3. 拓展题型 已知其中一个部分量和比，求总量或另一个部分量； 已知两个量的差和比，求总量或各部分量； 连比问题：通过统一中间量的份数，把两个比合成一个连比，再按比分配。 六、易错点总结 写比时颠倒前后项顺序：比具有顺序性，“甲与乙的比” 甲为前项，“乙与甲的比” 乙为前项。 混淆化简比和求比值：化简比结果是比（），求比值结果是一个数。 应用比的基本性质时，遗漏 “0 除外” 的前提条件。 按比分配时算错总份数，或误将比的两项直接当作具体数量。 同类量相比时，忽略单位统一，直接用不同单位的数值写比。 考点讲练 考点一：比的意义与求比值 【典例精讲】 填空。 （1）男生有 25 人，女生有 20 人，男生人数和女生人数的比是（ ），女生人数和总人数的比是（ ）。 （2）求比值：（ ），（ ）。 【分析】 （1）写比需注意前后项顺序，求总人数后再写女生与总人数的比，结果化为最简； （2）求比值用前项除以后项，按除法规则计算。 【详解】 （1）男生：女生 ； 总人数：（人），女生：总人数 。 （2）； 。 【答案】（1）； （2）； 【变式训练】 判断下列说法是否正确，对的画 “√”，错的画 “×”。 （1）比的后项不能为 0。（ ） （2）小明身高 1 米，爸爸身高 175 厘米，小明和爸爸的身高比是。（ ） 【分析】 （1）结合比与除法的关系判断； （2）同类量相比必须先统一单位，再写比。 【详解】 （1）比的后项对应除法中的除数，除数不能为 0，因此比的后项不能为 0，说法正确。 （2）1 米 = 100 厘米，身高比应为，单位不统一直接写比错误。 【答案】（1）√；（2）× 【变式训练】 下列说法中，错误的是（ ）。 A. 两个数相除又叫做两个数的比 B. 比值可以用分数、小数或整数表示 C. 比的前项和后项同时乘一个数，比值不变 【分析】 根据比的定义、比值的表示形式、比的基本性质逐一判断。 【详解】 A 选项符合比的定义，正确； B 选项比值是一个数，可用整数、小数、分数表示，正确； C 选项缺少 “0 除外” 的前提，若同时乘 0，比的后项为 0 无意义，说法错误。 【答案】C 【变式训练】 一辆汽车 3 小时行驶 180 千米，这辆汽车行驶的路程和时间的比是（ ），比值是（ ），这个比值表示的是（ ）。 【分析】 路程和时间的比，路程为前项、时间为后项；比值是路程除以时间的商，对应行程问题中的速度。 【详解】 路程：时间 ； 比值：； 这个比值表示汽车每小时行驶的路程，即汽车的速度。 【答案】；；汽车的速度 考点二：比的基本性质与化简比 【典例精讲】 化简下面各比。 （1） （2） （3） 【分析】 根据比的类型选择对应化简方法：整数比除以最大公因数；分数比乘分母最小公倍数化整数比；小数比扩倍为整数比再化简。 【详解】 （1）24 和 36 的最大公因数是 12 （2）分母 6 和 3 的最小公倍数是 6 （3）同时扩大 100 倍化为整数比 【答案】（1）；（2）；（3） 【变式训练】 判断下列说法是否正确，对的画 “√”，错的画 “×”。 （1）比的前项乘 3，后项除以 3，比值不变。（ ） （2）化简成最简整数比是 4。（ ） 【分析】 （1）根据比的基本性质，前后项必须同时乘或除以相同的数（0 除外），比值才不变； （2）化简比的结果是一个比，4 是比值，不是化简后的比。 【详解】 （1）前项乘 3、后项除以 3，比值会扩大 9 倍，不符合比的基本性质，说法错误。 （2）化简后是，4 是比值，说法错误。 【答案】（1）×；（2）× 【变式训练】 把 10 克盐放入 100 克水中，盐和盐水的最简整数比是（ ）。 A. B. C. 【分析】 盐水质量 = 盐的质量 + 水的质量，先求盐水总质量，再写比并化简。 【详解】 盐水质量：（克） 盐：盐水 【答案】B 【变式训练】 化简比： 【分析】 可以把小数化成分数，也可以把分数化成小数，统一形式后再按规则化简。 【详解】 方法一：统一为小数 方法二：统一为分数 【答案】 考点三：比与除法、分数的关系 【典例精讲】 填空： （填小数） 【分析】 根据比、分数、除法的对应关系，结合分数的基本性质和比的基本性质逐步推导。 【详解】 的分母 4 变为 8 乘了 2，分子 3 也乘 2 得 6，对应 ； 分子 3 变为 15 乘了 5，分母 4 也乘 5 得 20，对应 ； 。 【答案】；； 【变式训练】 如果 ，那么是的（ ），是的（ ）。 A. B. C. 无法确定 【分析】 比的前项对应分数的分子，后项对应分母， 等价于 ，据此推导。 【详解】 ，因此是的； ，因此是的。 【答案】A；B 【变式训练】 比的前项扩大到原来的 2 倍，后项不变，比值（ ）。 A. 扩大到原来的 2 倍 B. 缩小到原来的 C. 不变 【分析】 结合除法中商的变化规律：被除数扩大几倍，除数不变，商就扩大几倍；比中前项对应被除数，后项对应除数。 【详解】 举例验证：的比值是 1.5，前项扩大 2 倍后变为，比值是 3，3 是 1.5 的 2 倍，因此比值扩大到原来的 2 倍。 【答案】A 【变式训练】 判断题：既可以看作分数，也可以看作一个比，还可以看作比值。（ ） 【分析】 分数本身是一类数，也可以表示两个数的比，还可以是比的计算结果。 【详解】 作为分数表示五分之二；作为比表示；作为比值表示比的计算结果，说法正确。 【答案】√ 考点四：按比分配基础应用 【典例精讲】 学校把 120 本课外书按分给四年级和五年级，两个年级各分得多少本？ 【分析】 标准按比分配问题，总份数对应总数量，可用归一法或分数法求解。 【详解】 方法一：归一法 总份数： 每份数量：（本） 四年级：（本） 五年级：（本） 方法二：分数法 四年级占总数的，五年级占 四年级：（本） 五年级：（本） 答：四年级分得 45 本，五年级分得 75 本。 【答案】四年级 45 本，五年级 75 本 【变式训练】 一个三角形三个内角的度数比是，这个三角形最大的角是多少度？它是什么三角形？ 【分析】 三角形内角和为 180°，按比分配求出最大角的度数，再根据角度判断三角形类型。 【详解】 总份数： 最大角：（度） 有一个角是 90° 的三角形是直角三角形。 答：最大的角是 90 度，它是直角三角形。 【答案】90 度；直角三角形 【变式训练】 果园里桃树和梨树的棵数比是，梨树有 140 棵，桃树有多少棵？ 【分析】 已知一个部分量和比，先求出每份对应的数量，再乘桃树对应的份数。 【详解】 每份棵数：（棵） 桃树：（棵） 答：桃树有 80 棵。 【答案】80 棵 【变式训练】 用一根长 48 厘米的铁丝围成一个长方形，长和宽的比是，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【分析】 长方形周长包含 2 条长和 2 条宽，先求出一组长与宽的和，再按比分配求长和宽，最后计算面积。 【详解】 长 + 宽：（厘米） 总份数： 每份长度：（厘米） 长：（厘米） 宽：（厘米） 面积：（平方厘米） 答：这个长方形的面积是 135 平方厘米。 【答案】135 平方厘米 考点五：稍复杂的比的应用 【典例精讲】 甲、乙两数的比是，乙数比甲数多 24。甲、乙两数各是多少？ 【分析】 已知两数的差和比，先计算份数差，用数量差除以份数差得到每份的量，再分别乘各自份数。 【详解】 份数差： 每份数量： 甲数： 乙数： 答：甲数是 36，乙数是 60。 【答案】甲数 36，乙数 60 【变式训练】 幼儿园大班和中班的人数比是，中班比大班少 8 人。大班和中班一共有多少人？ 【分析】 先通过人数差和份数差求出每份人数，再计算总份数，乘每份人数得到总人数。 【详解】 份数差： 每份人数：（人） 总份数： 总人数：（人） 答：大班和中班一共有 72 人。 【答案】72 人 【变式训练】 一批货物，第一天运走的和剩下的比是，第二天又运走 30 吨，这时运走的和剩下的比是。这批货物一共有多少吨？ 【分析】 货物总量不变，把总量看作单位 “1”，分别算出第一天和两天后运走的量占总量的分率，分率差对应 30 吨，用除法求总量。 【详解】 第一天运走的占总量： 两天后运走的占总量： 30 吨对应的分率： 总量：（吨） 答：这批货物一共有 630 吨。 【答案】630 吨 【变式训练】 甲、乙、丙三个数的和是 140，甲乙，乙丙。甲、乙、丙三个数各是多少？ 【分析】 两个比中都有乙数，先统一乙数的份数（3 和 4 的最小公倍数是 12），得到三个数的连比，再按比分配。 【详解】 甲乙 乙丙 甲乙丙 总份数： 每份： 甲： 乙： 丙： 答：甲数是 32，乙数是 48，丙数是 60。 【答案】甲 32，乙 48，丙 60 综合训练 1．如果把8∶3的后项加上12，要使比值不变，那么它的前项应该（    ）。 A．加上12 B．加上32 C．乘4 D．乘6 【答案】B 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。先求出后项加上12后的数值，计算后项扩大到原来的几倍，再根据性质求出前项应变化的数值，最后与选项进行对照。 【详解】 即后项乘5，前项也应乘5前项变为： 前项应该加上： 所以前项应该加上32或乘5。 2．小康调了四杯糖水，最甜的是（    ）。 A．糖占糖水的12% B．糖与水的比是1∶10 C．300克糖水含30克糖 D．糖占糖水的 【答案】A 【分析】根据含糖率＝糖的质量÷糖水的质量，分别求出这四杯糖水的含糖率，含糖率最高的就最甜。 【详解】A．糖占糖水的，即含糖率为； B．糖与水的比是，则糖水总份数为，含糖率为； C．克糖水含克糖，含糖率为；。 D．糖占糖水的，即含糖率为； 因为， 所以最甜的是糖占糖水的12%。 3．在100克盐水中，盐有20克。盐和水的质量比是（    ）。 A．1∶4 B．1∶5 C．1∶6 D．1∶7 【答案】A 【分析】盐水是由盐和水两部分组成的。已知盐水和盐的质量，先用盐水的质量减去盐的质量，求出水的质量；然后根据比的意义写出盐与水的质量比；最后根据比的基本性质，将比化成最简单的整数比即可。据此解答。 【详解】（克） 20∶80 ＝（20÷20）∶（80÷20） ＝1∶4 即盐和水的质量比是1∶4。 4．豆豆用纯果汁和水配制了4种不同浓度的饮料，分别存入4个瓶子。请根据4个瓶子上的标签数据分析一下，下面说法不正确的是（    ）。 A．④的浓度最高 B．②浓度最低 C．①和③的口味相同 D．如果在②中加入40g果汁，口味和④相同 【答案】B 【分析】根据果汁与水的比值，来判断浓度的高低；口味相同即浓度相同。分别计算四个瓶子中果汁和水的比值，再对比选项的描述是否正确。 【详解】① ② ③ ④ 逐个分析选项： A．0.6＞0.4＞0.2，是四个比值里最大的，因此④浓度最高，说法正确； B．0.6＞0.4＞0.2，是四个比值里最小的，因此①和③浓度最低，说法错误； C．①和③的果汁水比都是，浓度完全相同，因此口味相同，说法正确。 D．在②中加入40g果汁后，果汁变为，水仍为，此时果汁水比为，和④的相等，浓度相同即口味相同，因此这个说法正确。 5．煮米饭时，米和水的比为时米饭有点稀，米和水的比为时米饭有点干，如果想煮软硬适中的米饭，米和水的比可以是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，米和水的比为时米饭偏稀，说明水相对较多；米和水的比为时米饭偏干，说明水相对较少。因此，软硬适中的米饭，其米和水的比值应介于和的比值之间。各比转化为比值（分数），通过比较数值大小来确定符合要求的选项。 【详解】米和水的比为时，比值为：；米和水的比为时，比值为：。因为，且时偏稀（水多），时偏干（水少），所以软硬适中的米水比值应大于且小于。 A．，比值为。因为，，，即，水相对更多，米饭会更稀，此选项错误。 B．，比值为。因为，，，即，水相对更多，米饭会更稀，此选项错误。 C．，比值为。因为，，，即，比值在合适范围内，此选项正确。 D．，比值为。因为，水相对更少，米饭会更干，此选项错误。 因此米和水的比可以是。 6．在“未来杯”人工智能机器人算力大赛中，夸父号、共工号、精卫号和盘古号四款机器人参与了算力测评，评委会将90分记为“0”分，高于90分记正数，低于90分记负数，四款机器人最终得分如下表。关于评分结果分析正确的是（    ）。 名称 夸父号 共工号 精卫号 盘古号 得分 ﹢6 ﹣6 ﹣2 0 A．盘古号实际上没有得分 B．最高分与最低分的比是7∶8 C．共工号和夸父号的平均分是90分 D．共工号比精卫号多4分 【答案】C 【分析】根据题意明确基准分是分，正数表示高于分，负数表示低于分，表示等于分。分别计算出四款机器人的实际得分，再逐项分析选项即可得出正确答案。 【详解】根据题意，基准分为分，高于分记为正，低于分记为负。 四款机器人的实际得分分别为： 夸父号：（分） 共工号：（分） 精卫号：（分） 盘古号：（分） 逐项分析如下： A.盘古号记为，表示实际得分为分，不是没有得分，此选项错误； B.最高分是夸父号分，最低分是共工号分，最高分与最低分的比是，不是，此选项错误； C.共工号和夸父号的平均分是（分），此选项正确； D.共工号分，精卫号分，84＜88，共工号比精卫号少分，此选项错误。 7．____________÷15＝＝____________%＝24∶____________＝____________（填小数）。 【答案】 6 40 60 0.4 【分析】根据分数与除法的关系，分数的分子相当于除法的被除数，分母相当于除法的除数。 根据分数与比的关系，分数的分子相当于比的前项，分母相当于比的后项。 分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 把分数化成小数，用分子除以分母；把小数化成百分数，小数点向右移动两位，添上百分号。 【详解】 8．如图，梯形中甲、乙、丙三个三角形的面积比是( )，如果梯形的面积是18平方厘米，那么图中甲的面积是( )平方厘米。 【答案】 4∶3∶3 7.2 【分析】（1）通过观察所给的图形，可知梯形是由甲、乙、丙3个三角形组成的，所以甲、乙、丙3个三角形的高都是梯形的高，因此3个三角形的高相等，根据三角形的面积公式S＝底×高÷2，由此可知，面积比就是底的比。 （2）已知梯形的面积，甲、乙、丙的面积比（1）中已经求得，把最简比看作各个三角形所占的份数，求得总份数，用梯形的面积除以总份数，计算出每一份是多少，然后再乘甲占的份数，即可求得甲的面积。 【详解】（1）设梯形的高为h，甲、乙、丙三个三角形的面积比是： 4h∶3h∶3h （2）求甲的面积： 18÷（4＋3＋3） ＝18÷10 ＝1.8（平方厘米/份） 1.8×4＝7.2（平方厘米） 9．一个三角形三个内角的度数比是2∶4∶3，这个三角形是( )三角形。 【答案】锐角 【分析】三角形内角和是180°，利用三个内角度数比2∶4∶3，从而求得最大的内角；小于90°时为锐角三角形；等于90°时为直角三角形；大于90°且小于180°时为钝角三角形。 【详解】比的总份数为2＋4＋3＝9（份） 最大内角： 180÷9×4 ＝20×4 ＝80° 80°＜90°，故这个三角形是锐角三角形。 10．两款同容积桶装老醋，甲桶醋酸和水的比为1∶9，乙桶醋酸和水的比为2∶11。两桶醋中，( )桶老醋更酸一些。 【答案】乙 【分析】要判断哪桶老醋更酸，实质是比较两桶醋中醋酸占总醋量的分率（即浓度）的大小。根据“醋酸和水的比”，分别求出醋酸占总量（醋酸加水）的几分之几，再通过通分比较两个分数的大小，分率大的则更酸。 【详解】1÷（1＋9）＝1÷10＝ 2÷（2＋11）＝2÷13＝ ，所以＞， 即乙桶老醋更酸一些。 11．用一根长80厘米的铁丝围成一个长方体的框架，长、宽、高的比是2∶3∶5，这个长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 240 【分析】通过按比例分配，计算出长方体框架的4条长、4条宽、4条高的长度，再分别除以4，计算出一条长、宽、高的长度；根据，计算出体积。 【详解】长： （厘米） 宽： （厘米） 高： （厘米） （立方厘米） 12．蚌埠市马拉松比赛于2026年4月26日开赛，马拉松比赛分为全程马拉松42.195千米和半程马拉松21.0975千米两个组别，全程马拉松和半程马拉松参赛人数比是1∶5，全程马拉松比半程马拉松少8000名参赛选手，共有( )名参赛选手。 【答案】12000 【分析】把全程参赛人数看作1份，半程参赛人数对应5份，两者的份数差对应8000人的实际人数差，先求出单份对应的参赛人数，再乘总份数得到全体参赛总人数。 【详解】份数差：5－1＝4（份） 每份参赛人数：8000÷4＝2000（名） 总份数：1＋5＝6（份） 总参赛人数：2000×6＝12000（名） 13．在昆渝铁路某段建设中，甲、乙两个工程队工作总量的比为3∶4。若甲队需修建21千米，则乙队需修建( )千米。 【答案】28 【分析】先求出1份对应的数量，再根据另一个量所占的份数，求出它所对应的数量。 【详解】21÷3×4 ＝7×4 ＝28（千米） 14．甲、乙、丙、丁四人到书店买书，已知甲带的钱数是乙的，乙带的钱数是丙的，丁比甲多带3元，四人带的钱全是一元的硬币，平均每人30多元，则乙带了( )元。 【答案】45 【分析】根据题目给出的钱数比例关系，算出甲、乙、丙三人钱数的连比，结合丁的钱数，解设四人钱数的关联表达式。 根据“平均每人30多元”计算出四人总钱数的取值范围，代入四人钱数总和的表达式，得到关于未知数的不等式，结合整数约束求解。 【详解】甲是乙的， 乙是丙的， 乙在两个比里分别是5份、3份，5和3最小公倍数是15，统一乙为15份。 所以， 设每份钱为元，则甲、乙、丙、丁的钱数分别为： 四人总钱数为，化简得 平均每人三十多元，4个人总钱范围： 至之间，即，所以 ，太小； ，太小； ，，，符合； ，，超出上限，不行。 所以每份（元） 乙是15份：（元） 【点睛】本题考查比的有关知识，先化连比统一中间量，用份数搭建四人钱数的数量桥梁。结合平均数锁定取值范围，再用枚举法求出唯一符合条件的答案。 15．一个三角形三个内角度数的比是1∶2∶3，这个三角形是( )三角形，最小的角的度数是( )。 【答案】 直角 30° 【分析】已知三角形的内角和是180°，三个内角的度数的比是，用内角和除以总份数份，求出一份数；然后分别用一份数乘对应的份数，分别求出3个角的度数；最后根据三角形的分类，确定这个三角形的类型。 【详解】 因为有一个角是， 所以这个三角形是直角三角形，最小的角的度数是。 16．参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1∶3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是________分。 【答案】88 【分析】平均成绩的计算本质是总分数除以总人数，因此可以通过男女生人数比设定份数，简化总人数的计算。 因为女生和男生人数比是1∶3，所以可设女生人数为1份，男生人数为3份，进而得到总人数的份数。根据“总分数＝平均成绩×总人数”，分别计算全体参赛学生的总分数、男生的总分数，再用全体总分数减去男生总分数得到女生总分数。 用女生总分数除以女生人数的份数，即可得到女生的平均成绩。 【详解】82×（1＋3） ＝82×4 ＝328（分） 80×3＝240（分） 328－240＝88（分） 88÷1＝88（分） 即女生平均成绩就是88分。 17．把下面各比化成最简整数比。 54∶36    0.85∶1     【答案】3∶2；17∶20；2∶1 【分析】比的基本性质：将比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此各比化成最简整数比。 【详解】（1）54∶36 ＝（54÷18）∶（36÷18） ＝3∶2 （2）0.85∶1 ＝（0.85×100）∶（1×100） ＝85∶100 ＝（85÷5）∶（100÷5） ＝17∶20 （3） ＝ ＝10∶5 ＝（10÷5）∶（5÷5） ＝2∶1 18．求出下列各比的比值。（写出主要过程） 15∶105       0.09∶0.1                【答案】；0.9；；7.5 【分析】用比的前项除以后项，得到的商就是比值；如果比的两项单位不同，需要先统一单位再计算。 【详解】（1）15∶105 ＝15÷105 ＝ ＝ （2）0.09∶0.1 ＝0.09÷0.1 ＝0.9 （3）∶ ＝÷ ＝× ＝ （4）m∶20cm ＝150cm∶20cm ＝150∶20 ＝150÷20 ＝7.5 19．甲、乙两地间的铁路长540千米。一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的相遇时客车和货车各行驶了多少千米？ 【答案】客车324千米；货车216千米 【分析】已知货车的速度是客车的，即货车与客车的速度比是2∶3。因为两车同时出发相向而行，相遇时所用时间相同，根据“时间一定，路程比等于速度比”，可知货车与客车行驶的路程比也是2∶3。将总路程540千米按照2∶3的比例进行分配，先求出一份的路程，再分别求出货车和客车行驶的路程。 【详解】因为货车的速度是客车的，所以货车速度∶客车速度＝2∶3。 因为相遇时两车行驶时间相同，所以货车行驶路程∶客车行驶路程＝2∶3。 一份的路程： 540÷（2＋3） ＝540÷5 ＝108（千米） 货车行驶的路程：108×2＝216（千米） 客车行驶的路程：108×3＝324（千米） 答：相遇时客车行驶了324千米，货车行驶了216千米。 20．某校兴趣社团设立了书法社、少儿编程社和舞蹈社，其中书法社有75名学生，书法社和少儿编程社学生人数的比是5∶6，舞蹈社的学生人数占兴趣社团学生总人数的。该校兴趣社团一共有多少名学生？ 【答案】225名 【分析】根据书法社的人数和书法社与少儿编程社的人数比，求出少儿编程社的人数，进而求出这两个社团的总人数。其次，把兴趣社团学生总人数看作单位“1”，已知舞蹈社人数占总人数的，则书法社和少儿编程社的人数占总人数的。最后，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，用除法计算出兴趣社团的总人数。 【详解】（75＋75÷5×6）÷（1－） ＝（75＋90）÷ ＝165÷ ＝165× ＝225（名） 答：该校兴趣社团一共有225名学生。 21．甲、乙两车从相距400千米的两地相向而行，2.5小时后相遇。已知甲乙两车的速度之比是3∶5，甲、乙两车的速度各是多少？（用方程解决问题） 【答案】甲：60千米/时；乙：100千米/时 【分析】已知甲乙两车速度之比是3∶5，利用比的意义，设甲车速度为千米/时，乙车速度为千米/时，根据速度和×相遇时间＝总路程，代入数量关系列出方程求出的值，再分别计算两车速度。 【详解】解：设甲车速度为千米/时，乙车速度为千米/时。 甲车速度：（千米/时） 乙车速度：（千米/时） 答：甲车速度是千米/时，乙车速度是千米/时。 22．在“电商赋能振乡村”活动中，某主播帮助农户线上销售20吨土豆，第一次售出总量的，第二次售出的数量与第一次售出的数量比是3∶4。还剩多少吨没售完？ 【答案】6吨 【分析】把线上销售土豆的总量看作单位“1”，单位“1”已知，用售出土豆的总量×，求出第一次售出土豆的量；再用第二次售出与第一次售出的数量比是3∶4，即第二次售出的量是第一次的，把第一次售出的土豆看作单位“1”，用第一次售出量×，求出第二次售出土豆的量，再用线上土豆销售总量－第一次售出的量－第二次售出的量即可。 【详解】20×＝8（吨） 8×＝6（吨） 20－8－6＝6（吨） 答：还剩6吨没售完。 23．一辆快车和一辆慢车同时从甲乙两城相对开出，经过4小时相遇。相遇后，快车又行驶了2.5小时就到达了乙城，已知快车比慢车每小时多行18千米。甲乙两城相距多少千米？ 【答案】312 千米 【分析】根据题意，对于同一段路程（相遇点到乙城），慢车行驶了4小时，快车行驶了2.5小时。路程一定时，速度与时间成反比，据此可求出快车与慢车的速度比，然后根据已知快车比慢车每小时多行18千米，结合速度比，利用差倍问题思路求出快车速度，最后根据路程＝快车速度×时间列式解答 【详解】快车速度 ： 慢车速度 ＝40∶25＝8∶5 快车速度为： （千米/时） 48×（4＋2.5） ＝48×6.5 ＝312（千米） 答：甲乙两城相距312千米。 24．在“庆六一”文艺汇演中，六年级有75人参加合唱团，占六年级人数的。参加舞蹈队的人数与六年级学生人数的比是1∶15，参加舞蹈队的有多少人？ 【答案】20人 【分析】把六年级总人数看作单位“1”。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出六年级总人数。再将舞蹈队人数与六年级总人数的比转化为分数，即舞蹈队人数占六年级总人数的，利用求一个数的几分之几是多少，用乘法求出舞蹈队人数。 【详解】 （人） 答：参加舞蹈队的有20人。 25．为了保证采光通风，某小区规定：南北朝向的前后楼房，前楼高度与楼间距的比要达到。小亮家的楼房与南面前楼的距离是52米，前楼共12层，每层按3米计算，两楼之间的距离是否达到了这个要求？请说明理由。 【答案】 达到了要求；理由：前楼高36米，按规定楼间距为46.8米，实际楼间距为52米，52米＞46.8米，所以达到了要求。 【分析】先根据层数和每层高度求出前楼的总高度，再依据规定的前楼高度与楼间距的比，计算出为了保证采光通风所需要的最小楼间距，最后将计算出的要求楼间距与实际楼间距进行比较。若实际楼间距大于或等于要求楼间距，则说明达到了要求。 【详解】前楼的高度：（米） 符合要求的楼间距：（米） 比较实际楼间距与要求楼间距： 答：两楼之间的距离达到了这个要求。因为前楼高36米，按规定楼间距为46.8米，实际楼间距为52米，52米＞46.8米，所以达到了要求。 26．港珠澳大桥全长55千米，甲、乙两车同时从港珠澳大桥的两端相向开出，经过0.5小时相遇，甲、乙两车的速度比是，甲、乙两车的速度各是多少？ 【答案】44千米/时；66千米/时 【分析】先根据路程÷相遇时间＝速度和，求出甲、乙两车的速度和，根据甲、乙两车的速度比是2∶3，令甲的速度是2份，乙的速度是3份，求出总份数，再用速度和除以对应份数，求出1份是多少，利用按比例分配的方法，求出甲、乙两车各自的速度。 【详解】55÷0.5＝110（千米/时） 110÷（2＋3） ＝110÷5 ＝22（千米/时） 22×2＝44（千米/时） 22×3＝66（千米/时） 答：甲车的速度是44千米/时，乙车的速度是66千米/时。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 比的认识 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、比的意义与各部分名称 2 1. 比的定义 2 2. 比的读写与各部分名称 2 3. 比值的特征 2 4. 比的两种类型 2 5. 重要注意 2 二、比与除法、分数的关系 3 1. 对应关系表 3 2. 字母表达式 3 3. 核心区别 3 三、比的基本性质 3 1. 性质内容 3 2. 最简整数比 3 四、化简比的方法 3 1. 整数比化简 3 2. 分数比化简 3 3. 小数比化简 4 4. 化简比与求比值的区别 4 五、比的应用 —— 按比分配 4 1. 题型含义 4 2. 基础题型：已知总量和比，求各部分量 4 方法一：归一法 4 方法二：分数法 4 3. 拓展题型 4 六、易错点总结 4 考点讲练 5 考点一：比的意义与求比值 5 考点二：比的基本性质与化简比 6 考点三：比与除法、分数的关系 6 考点四：按比分配基础应用 7 考点五：稍复杂的比的应用 8 综合训练 8 知识梳理 一、比的意义与各部分名称 1. 比的定义 两个数相除又叫做两个数的比，用来表示两个数量之间的倍比关系。 2. 比的读写与各部分名称 写法：3 比 2 记作 ，符号 “” 叫做比号。 名称：比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项；比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 示例：在 中，6 是前项，4 是后项，1.5 是比值。 3. 比值的特征 比值是一个数，可以用整数、小数或分数表示； 比值没有单位，只表示两个量的倍比关系。 4. 比的两种类型 同类量的比：两个单位相同的量相比，结果表示倍比关系，如人数比、长度比； 不同类量的比：两个单位不同的量相比，结果会产生一个新的量，如路程与时间的比表示速度。 5. 重要注意 比的后项不能为 0（对应除法中除数不能为 0）。体育比赛中的 “2:0” 是计分形式，不属于数学意义上的比。 二、比与除法、分数的关系 1. 对应关系表 比 前项 比号（） 后项 比值 表示两个量的关系 除法 被除数 除号（） 除数 商 一种运算 分数 分子 分数线（） 分母 分数值 一种数 2. 字母表达式 用字母表示三者关系： 3. 核心区别 比强调两个数量的关系； 除法是一种运算过程； 分数是一类数的表达形式。 三、比的基本性质 1. 性质内容 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。这是化简比的核心依据。 2. 最简整数比 比的前项和后项都是整数，并且只有公因数 1（互质），这样的比叫做最简整数比。化简比的最终结果必须是最简整数比。 四、化简比的方法 1. 整数比化简 前项和后项同时除以它们的最大公因数。 例： 2. 分数比化简 前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，先转化为整数比，再继续化简。 例： 3. 小数比化简 前项和后项同时扩大相同的倍数（10 倍、100 倍……），先转化为整数比，再继续化简。 例： 4. 化简比与求比值的区别 求比值：前项 ÷ 后项，结果是一个数（整数、小数、分数均可）； 化简比：根据比的基本性质变形，结果仍然是一个比，必须写成 的形式。 五、比的应用 —— 按比分配 1. 题型含义 把一个总数量按照一定的比分成若干部分，求每部分的数量，叫做按比分配。 2. 基础题型：已知总量和比，求各部分量 两种通用解题方法： 方法一：归一法 ① 计算总份数； ② 总量 ÷ 总份数 = 每份对应的数量； ③ 每份数量 × 各部分份数 = 各部分的量。 方法二：分数法 ① 计算总份数； ② 求出各部分占总量的几分之几； ③ 总量 × 各部分对应分率 = 各部分的量。 3. 拓展题型 已知其中一个部分量和比，求总量或另一个部分量； 已知两个量的差和比，求总量或各部分量； 连比问题：通过统一中间量的份数，把两个比合成一个连比，再按比分配。 六、易错点总结 写比时颠倒前后项顺序：比具有顺序性，“甲与乙的比” 甲为前项，“乙与甲的比” 乙为前项。 混淆化简比和求比值：化简比结果是比（），求比值结果是一个数。 应用比的基本性质时，遗漏 “0 除外” 的前提条件。 按比分配时算错总份数，或误将比的两项直接当作具体数量。 同类量相比时，忽略单位统一，直接用不同单位的数值写比。 考点讲练 考点一：比的意义与求比值 【典例精讲】 填空。 （1）男生有 25 人，女生有 20 人，男生人数和女生人数的比是（ ），女生人数和总人数的比是（ ）。 （2）求比值：（ ），（ ）。 【变式训练】 判断下列说法是否正确，对的画 “√”，错的画 “×”。 （1）比的后项不能为 0。（ ） （2）小明身高 1 米，爸爸身高 175 厘米，小明和爸爸的身高比是。（ ） 【变式训练】 下列说法中，错误的是（ ）。 A. 两个数相除又叫做两个数的比 B. 比值可以用分数、小数或整数表示 C. 比的前项和后项同时乘一个数，比值不变 【变式训练】 一辆汽车 3 小时行驶 180 千米，这辆汽车行驶的路程和时间的比是（ ），比值是（ ），这个比值表示的是（ ）。 考点二：比的基本性质与化简比 【典例精讲】 化简下面各比。 （1） （2） （3） 【变式训练】 判断下列说法是否正确，对的画 “√”，错的画 “×”。 （1）比的前项乘 3，后项除以 3，比值不变。（ ） （2）化简成最简整数比是 4。（ ） 【变式训练】 把 10 克盐放入 100 克水中，盐和盐水的最简整数比是（ ）。 A. B. C. 【变式训练】 化简比： 考点三：比与除法、分数的关系 【典例精讲】 填空： （填小数） 【变式训练】 如果 ，那么是的（ ），是的（ ）。 A. B. C. 无法确定 【变式训练】 比的前项扩大到原来的 2 倍，后项不变，比值（ ）。 A. 扩大到原来的 2 倍 B. 缩小到原来的 C. 不变 【变式训练】 判断题：既可以看作分数，也可以看作一个比，还可以看作比值。（ ） 考点四：按比分配基础应用 【典例精讲】 学校把 120 本课外书按分给四年级和五年级，两个年级各分得多少本？ 【变式训练】 一个三角形三个内角的度数比是，这个三角形最大的角是多少度？它是什么三角形？ 【变式训练】 果园里桃树和梨树的棵数比是，梨树有 140 棵，桃树有多少棵？ 【变式训练】 用一根长 48 厘米的铁丝围成一个长方形，长和宽的比是，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 考点五：稍复杂的比的应用 【典例精讲】 甲、乙两数的比是，乙数比甲数多 24。甲、乙两数各是多少？ 【变式训练】 幼儿园大班和中班的人数比是，中班比大班少 8 人。大班和中班一共有多少人？ 【变式训练】 一批货物，第一天运走的和剩下的比是，第二天又运走 30 吨，这时运走的和剩下的比是。这批货物一共有多少吨？ 【变式训练】 甲、乙、丙三个数的和是 140，甲乙，乙丙。甲、乙、丙三个数各是多少？ 综合训练 1．如果把8∶3的后项加上12，要使比值不变，那么它的前项应该（    ）。 A．加上12 B．加上32 C．乘4 D．乘6 2．小康调了四杯糖水，最甜的是（    ）。 A．糖占糖水的12% B．糖与水的比是1∶10 C．300克糖水含30克糖 D．糖占糖水的 3．在100克盐水中，盐有20克。盐和水的质量比是（    ）。 A．1∶4 B．1∶5 C．1∶6 D．1∶7 4．豆豆用纯果汁和水配制了4种不同浓度的饮料，分别存入4个瓶子。请根据4个瓶子上的标签数据分析一下，下面说法不正确的是（    ）。 A．④的浓度最高 B．②浓度最低 C．①和③的口味相同 D．如果在②中加入40g果汁，口味和④相同 5．煮米饭时，米和水的比为时米饭有点稀，米和水的比为时米饭有点干，如果想煮软硬适中的米饭，米和水的比可以是（    ）。 A． B． C． D． 6．在“未来杯”人工智能机器人算力大赛中，夸父号、共工号、精卫号和盘古号四款机器人参与了算力测评，评委会将90分记为“0”分，高于90分记正数，低于90分记负数，四款机器人最终得分如下表。关于评分结果分析正确的是（    ）。 名称 夸父号 共工号 精卫号 盘古号 得分 ﹢6 ﹣6 ﹣2 0 A．盘古号实际上没有得分 B．最高分与最低分的比是7∶8 C．共工号和夸父号的平均分是90分 D．共工号比精卫号多4分 7．____________÷15＝＝____________%＝24∶____________＝____________（填小数）。 8．如图，梯形中甲、乙、丙三个三角形的面积比是( )，如果梯形的面积是18平方厘米，那么图中甲的面积是( )平方厘米。 9．一个三角形三个内角的度数比是2∶4∶3，这个三角形是( )三角形。 10．两款同容积桶装老醋，甲桶醋酸和水的比为1∶9，乙桶醋酸和水的比为2∶11。两桶醋中，( )桶老醋更酸一些。 11．用一根长80厘米的铁丝围成一个长方体的框架，长、宽、高的比是2∶3∶5，这个长方体的体积是( )立方厘米。 12．蚌埠市马拉松比赛于2026年4月26日开赛，马拉松比赛分为全程马拉松42.195千米和半程马拉松21.0975千米两个组别，全程马拉松和半程马拉松参赛人数比是1∶5，全程马拉松比半程马拉松少8000名参赛选手，共有( )名参赛选手。 13．在昆渝铁路某段建设中，甲、乙两个工程队工作总量的比为3∶4。若甲队需修建21千米，则乙队需修建( )千米。 14．甲、乙、丙、丁四人到书店买书，已知甲带的钱数是乙的，乙带的钱数是丙的，丁比甲多带3元，四人带的钱全是一元的硬币，平均每人30多元，则乙带了( )元。 15．一个三角形三个内角度数的比是1∶2∶3，这个三角形是( )三角形，最小的角的度数是( )。 16．参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1∶3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是________分。 17．把下面各比化成最简整数比。 54∶36    0.85∶1     18．求出下列各比的比值。（写出主要过程） 15∶105       0.09∶0.1                19．甲、乙两地间的铁路长540千米。一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的相遇时客车和货车各行驶了多少千米？ 20．某校兴趣社团设立了书法社、少儿编程社和舞蹈社，其中书法社有75名学生，书法社和少儿编程社学生人数的比是5∶6，舞蹈社的学生人数占兴趣社团学生总人数的。该校兴趣社团一共有多少名学生？ 21．甲、乙两车从相距400千米的两地相向而行，2.5小时后相遇。已知甲乙两车的速度之比是3∶5，甲、乙两车的速度各是多少？（用方程解决问题） 22．在“电商赋能振乡村”活动中，某主播帮助农户线上销售20吨土豆，第一次售出总量的，第二次售出的数量与第一次售出的数量比是3∶4。还剩多少吨没售完？ 23．一辆快车和一辆慢车同时从甲乙两城相对开出，经过4小时相遇。相遇后，快车又行驶了2.5小时就到达了乙城，已知快车比慢车每小时多行18千米。甲乙两城相距多少千米？ 24．在“庆六一”文艺汇演中，六年级有75人参加合唱团，占六年级人数的。参加舞蹈队的人数与六年级学生人数的比是1∶15，参加舞蹈队的有多少人？ 25．为了保证采光通风，某小区规定：南北朝向的前后楼房，前楼高度与楼间距的比要达到。小亮家的楼房与南面前楼的距离是52米，前楼共12层，每层按3米计算，两楼之间的距离是否达到了这个要求？请说明理由。 26．港珠澳大桥全长55千米，甲、乙两车同时从港珠澳大桥的两端相向开出，经过0.5小时相遇，甲、乙两车的速度比是，甲、乙两车的速度各是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $