第24讲 正切函数的图象与性质（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第24讲 正切函数的图象与性质 预习目标 知识回顾 1．熟记正切函数定义域、图像特征，掌握渐近线画法，能规范画出一个周期内正切函数简图。 2．理解正切函数周期性与奇函数特征，牢记单调区间，准确区分正切与正余弦性质差异。 3．会利用正切图像与单调性完成求值、解不等式，结合图像建立数形结合解题思路。 1．掌握正弦、余弦五点作图法与图像平移变换，能规范绘制简图，看懂图像对称、凹凸特征。 2．理解周期函数相关定义，熟记正余弦定义域、值域、奇偶、单调、最值、对称全部核心性质。 3．依托图像运用数形结合解题，对比区分两类函数图像与性质异同，灵活处理各类综合题型。 新知导图 预习精讲 想一想 根据研究正、余弦函数的画图像经验，你认为该如何研究正切函数的图象和性质？ 知识点01 正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 【即学即练】 1．已知函数 的最小正周期为 ，则实数的取值是（     ） A． B． C． D． 2．函数的零点为________． 题型速练 题型01 正切函数的定义域 【例1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【例2】函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 必记结论 1.基础正切函数定义域：； 2.定义域满足，解出的取值范围； 【小试牛刀】 【变式1-1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 题型02 正切函数的值域 【例3】函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【例4】设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 【小试牛刀】 【变式2-1】关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【变式2-2】已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】函数，的值域为___________. 题型03 求正切函数的单调区间 【例5】若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【例6】已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间. 易错点 1.单调区间写成闭区间，渐近线处函数无定义不能取等； 2.认为正切存在递减区间，概念记忆错误； 3.为负数时直接套用基础区间，未变号导致区间完全错误； 4.结果缺少，未写出周期通解。 【小试牛刀】 【变式3-1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为_____________. 【变式3-3】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为___________. 题型04 正切函数单调性的应用 【例7】已知，则，，的大小关系是________． 【例8】关于x的不等式：的解集为______． 必记结论 1.比较正切值大小，先利用周期将角化到同一单调区间； 2.同一递增区间内，角度越大，正切函数值越大； 3.解简单三角不等式，结合正切分段上升图像写出解集并加。 4.结果缺少，未写出周期通解。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知，则它们的大小关系为__________.（用“”连接） 【变式4-2】在内使得成立的的取值范围是___________. 【变式4-3】解不等式的解集为________. 题型05 正切函数的周期性与奇偶性 【例9】函数的最小正周期为___________ . 【例10】已知函数，，则____________. 【小试牛刀】 【变式5-1】已知函数的相邻的两个对称中心之间的距离是，则满足条件的的值为_____． 【变式5-2】函数的图像的相邻两支曲线截直线所得线段长为，则实数__________. 【变式5-3】已知（其中为常数且），如果，则的值为（     ） A． B．3 C． D．5 题型06 正切函数图象的对称性 【例11】若函数（）的最小正周期为6，则图象的对称中心为（     ） A．， B．， C．， D．， 【例12】已知点 为函数 的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 易错点 1.误认为正切存在对称轴，套用正弦余弦对称轴公式； 2.对称中心只写，漏掉这类对称中心； 【小试牛刀】 【变式6-1】已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式6-2】若直线是函数的图象的一条对称轴，则函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】函数图象的一个对称中心为，且，则的值为_____． 题型07 与正切（型）函数有关的值域（最值）问题 【例13】函数的值域为______. 【例14】函数的最大值为________． 【小试牛刀】 【变式7-1】函数，的值域是______． 【变式7-2】若在区间上恒成立，则的取值范围是__________． 【变式7-3】当时，函数的最大值为______． 基础过关 1．函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 2．函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 3．观察正切曲线能使成立的x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则（    ）. A． B． C．1 D． 5．“函数的图象关于点对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．在区间上单调递增 D． 8．（多选）A、B是函数与直线的两个交点，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．的对称中心为 D．在区间上单调递增 9．函数的定义域为___________． 10．若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值______． 11．比较大小： (1)与； (2)与． 12．已知函数，其中为三角形的一个内角，且． (1)求函数的解析式及定义域； (2)求函数的对称中心及单调区间． 能力提升 13．已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 14．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 15．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的值域是 D．函数的单调递减区间是 挑战一刻 16．将角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，在角α的终边上任取一点，点P到原点的距离为，定义：角α的余切，角α的正割，角α的余割，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 17．设，，函数，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，则的取值范围为______. 18．已知点是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的对称中心及在上的减区间； (3)若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 正切函数的图象与性质 预习目标 知识回顾 1．熟记正切函数定义域、图像特征，掌握渐近线画法，能规范画出一个周期内正切函数简图。 2．理解正切函数周期性与奇函数特征，牢记单调区间，准确区分正切与正余弦性质差异。 3．会利用正切图像与单调性完成求值、解不等式，结合图像建立数形结合解题思路。 1．掌握正弦、余弦五点作图法与图像平移变换，能规范绘制简图，看懂图像对称、凹凸特征。 2．理解周期函数相关定义，熟记正余弦定义域、值域、奇偶、单调、最值、对称全部核心性质。 3．依托图像运用数形结合解题，对比区分两类函数图像与性质异同，灵活处理各类综合题型。 新知导图 预习精讲 想一想 根据研究正、余弦函数的画图像经验，你认为该如何研究正切函数的图象和性质？ 知识点01 正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 【即学即练】 1．已知函数 的最小正周期为 ，则实数的取值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得. 2．函数的零点为________． 【答案】 【详解】因为函数的最小正周期为，且函数在上有唯一零点， 所以函数的零点为. 题型速练 题型01 正切函数的定义域 【例1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则，即，所以函数的定义域为． 【例2】函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】令，得，解得，， 所以定义域为：， 必记结论 1.基础正切函数定义域：； 2.定义域满足，解出的取值范围； 【小试牛刀】 【变式1-1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由题意，，， 所以，. 【变式1-2】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，解得，在内，满足上述不等式的的取值范围是， 又的周期为，所以所求函数的定义域为. 【变式1-3】在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，又， ， 所以函数的定义域是. 题型02 正切函数的值域 【例3】函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，， 所以函数，的值域为． 【例4】设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 【答案】/ 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 【小试牛刀】 【变式2-1】关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 故选：B. 【变式2-2】已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由在上单调递增，则单调递减， 所以在同一单调区间上也单调递减， 由在区间上单调递减，则， 所以，， 解得，，又，所以，因此. 【变式2-3】函数，的值域为___________. 【答案】 【详解】令，， 因为函数在上单调递增，当时，，即， 又因为函数在上单调递增， 当时，， 所以，函数，的值域为. 故答案为：. 题型03 求正切函数的单调区间 【例5】若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. 【例6】已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递减区间为，无单调递增区间 【分析】 【详解】（1）由于函数，要使有意义， 则，，解得， 故的定义域为； （2）因为，由， 得，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. 易错点 1.单调区间写成闭区间，渐近线处函数无定义不能取等； 2.认为正切存在递减区间，概念记忆错误； 3.为负数时直接套用基础区间，未变号导致区间完全错误； 4.结果缺少，未写出周期通解。 【小试牛刀】 【变式3-1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以函数的单调递增区间为. 故选:B. 【变式3-2】已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为_____________. 【答案】 【详解】令， 可得：，结合， 令，可得，得，解得， 再令，可得， 所以的单调递增区间为， 故答案为：. 【变式3-3】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为___________. 【答案】 【详解】因为角与角的终边关于轴对称，所以，. 由正切函数的周期性与诱导公式得. 已知，函数在该区间上单调递增. 所以，则. 故的最大值为. 题型04 正切函数单调性的应用 【例7】已知，则，，的大小关系是________． 【答案】 【详解】，又是奇函数，． ． ，． ，且在上是增函数． ，即． 【例8】关于x的不等式：的解集为______． 【答案】 【详解】由可得，即. 因函数在每个区间（）上单调递增. 而在区间内，由可得. 由正切函数的周期性，可得原不等式的解集为. 必记结论 1.比较正切值大小，先利用周期将角化到同一单调区间； 2.同一递增区间内，角度越大，正切函数值越大； 3.解简单三角不等式，结合正切分段上升图像写出解集并加。 4.结果缺少，未写出周期通解。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知，则它们的大小关系为__________.（用“”连接） 【答案】 【详解】正切函数 在区间 上是单调递增函数. ，，因此 ， 所以，即 . 【变式4-2】在内使得成立的的取值范围是___________. 【答案】 【详解】当时，，解得； 当时，，满足题意； 当时，，显然成立， 综上，在内使得成立的的取值范围为 【变式4-3】解不等式的解集为________. 【答案】， 【详解】由题得，， 所以，， 所以，. 所以不等式的解集为，. 题型05 正切函数的周期性与奇偶性 【例9】函数的最小正周期为___________ . 【答案】/ 【详解】函数的最小正周期为. 【例10】已知函数，，则____________. 【答案】 【详解】因为， 所以. 【小试牛刀】 【变式5-1】已知函数的相邻的两个对称中心之间的距离是，则满足条件的的值为_____． 【答案】3 【详解】由题设及正切函数的性质，相邻的两个对称中心的距离为，可得. 【变式5-2】函数的图像的相邻两支曲线截直线所得线段长为，则实数__________. 【答案】4 【详解】 函数相邻两支曲线截平行于轴的直线所得线段的长度，就是正切函数的周期，因此， 所以，解得 . 【变式5-3】已知（其中为常数且），如果，则的值为（     ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【详解】设， 则， 则函数是奇函数； ， 则函数是周期为的周期函数； 由，可得，则， 所以， 则 故选：B . 题型06 正切函数图象的对称性 【例11】若函数（）的最小正周期为6，则图象的对称中心为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】依题意，，所以，所以， 令，解得， 所以对称中心为. 【例12】已知点 为函数 的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于正切函数，其对称中心满足， 因为是的对称中心， 因此将代入得： ， 整理得​， 因为，要求的最小值，则取最小的正整数， 代入得： ，​ 因此的最小值为. 易错点 1.误认为正切存在对称轴，套用正弦余弦对称轴公式； 2.对称中心只写，漏掉这类对称中心； 【小试牛刀】 【变式6-1】已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】正切函数的对称中心为，. 正弦函数的对称中心为，. 因为正切函数与函数对称中心完全相同，所以. 【变式6-2】若直线是函数的图象的一条对称轴，则函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正弦函数的图象的对称轴满足， 已知是的一条对称轴，代入可得： ， 整理得， 又，取，得， 正切函数的图象的对称中心满足， 令， 解得 因此的图象的对称中心为. 【变式6-3】函数图象的一个对称中心为，且，则的值为_____． 【答案】5或8 【详解】因为函数图象的一个对称中心为， 所以，所以，因为， 所以，或. 题型07 与正切（型）函数有关的值域（最值）问题 【例13】函数的值域为______. 【答案】 【详解】设，因为，可得， 因为正切函数在上的值域为， 即函数在的值域为. 故答案为：. 【例14】函数的最大值为________． 【答案】/ 【详解】解：∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为． 故答案为： 【小试牛刀】 【变式7-1】函数，的值域是______． 【答案】 【详解】． ∵，∴． 由函数在上单调递增，所以， 故函数，的值域为． 故答案为：. 【变式7-2】若在区间上恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】 所以 所以 在区间上的最大值为， 因为在区间上恒成立， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【变式7-3】当时，函数的最大值为______． 【答案】-4 【详解】由题意得 所以， 当时，， 设 所以， 所以当时，函数取最大值. 所以的最大值为-4． 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对已知函数的化简，由于已知函数分子分母都是“二次式”，所以可以同时除以，得到单变量函数. 基础过关 1．函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的最小正周期是. 2．函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得， 故函数图象的对称中心是. 3．观察正切曲线能使成立的x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】能使成立，即的x的取值范围为 4．函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则（    ）. A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为， 所以，解得，则，得到. 5．“函数的图象关于点对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由函数的图象关于点对称，可得， 解得. 设，则是的必要不充分条件，故B正确. 故选：B. 6．曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据函数的图象可知曲线的图象如下图： 因此对称轴方程满足，即可得， 所以对称轴方程为. 故选：A 7．（多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．在区间上单调递增 D． 【答案】ACD 【详解】的最小正周期为，A正确； 由，解得， 所以的定义域为，B错误； 由，解得， 当时，可得在区间上单调递增， ，则，CD正确． 故选：ACD 8．（多选）A、B是函数与直线的两个交点，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．的对称中心为 D．在区间上单调递增 【答案】AC 【详解】的最小正周期，则，故A正确； 由，得， 所以的定义域为，故B错误； 由，解得， 所以的对称中心为，故C正确； 当时，得，从而无意义， 因此区间不可能是的单调递增区间，故D错误， 故选：AC. 9．函数的定义域为___________． 【答案】 【详解】由函数，得，即， 由的定义域为 ， 函数在每个区间内单调递增，且当时，解得. 故可解得. 故答案为：. 10．若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值______． 【答案】/ 【详解】由正切函数的对称中心可知： 要求函数的图像的对称中心即令， 则其对称中心为， 所以，显然时，. 故答案为：. 11．比较大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）因为，， 又，在上单调递增， 所以， 即． （2）因为，， 又，在上单调递增， 所以， 所以， 即． 12．已知函数，其中为三角形的一个内角，且． (1)求函数的解析式及定义域； (2)求函数的对称中心及单调区间． 【答案】(1)，定义域为 (2)对称中心为；单调递减区间为，无单调增减区间 【分析】 【详解】（1）①，则，得或， 为为三角形内角，则，故．则 ②令，得．即函数的定义域为． 综上： ， 定义域为， （2）①，得，故对称中心为； ②令，解得， 即函数的单调递减区间为，无单调增区间． 能力提升 13．已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ，，解得； ，； ，得； 的最大值为. 14．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的最小正周期，两个对称中心的间隔为， 也即的对称中心的间隔为， 所以的最小正周期, 所以. 由，解得， 由，解得， 依题意，与图象的对称中心完全一致，， 所以. 15．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的值域是 D．函数的单调递减区间是 【答案】BD 【详解】选项A：因为函数，其周期与相同，为， 因为题中，则周期，故A错误； 选项B：因为 的对称轴为 ， 令 ，则对称轴为 ， 当 时，，符合条件，故B正确； 选项C：因为，当 时，， 故值域为 ，不是 ，故C错误； 选项D：因为 的单调递减区间为 ， 则令 ，解得：， 所以与选项D的区间一致，故D正确； 挑战一刻 16．将角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，在角α的终边上任取一点，点P到原点的距离为，定义：角α的余切，角α的正割，角α的余割，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】D 【详解】不妨设点在单位圆上，则． 对于A，由于，，，所以，A正确； 对于B，由于，，，所以，B正确； 对于C，当时，，当时，且的值随α增大而减少， 当时，且的值随α增大而减少，所以在上单调递减，C正确； 对于D，因为，，，所以函数在上不单调，D错误． 17．设，，函数，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】因，则，又， 则，从而， 当时，， 由已知可得. 18．已知点是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的对称中心及在上的减区间； (3)若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)对称中心为；减区间为； (3)或. 【分析】 【详解】（1）角的终边经过点， . 由时，的最小值为， 得，即； （2）令，即，即， 所以函数的对称中心为 令，得， 又因为，所以在上的减区间为； （3）.设，则， 因为当时，方程只有一个解，不符合题意， 所以上述问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根. .作出曲线与直线的图象. 时，时，时，. ∴当或时，直线与曲线有且只有一个公共点. 的取值范围是：或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $