第19讲 函数的应用（二）（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第19讲 函数的应用（二） 预习目标 知识回顾 1．理解函数零点定义，分清零点是实数而非点，熟记五类基础初等函数的零点分布规律。 2．掌握零点存在性定理的两大前提条件，能借助函数值符号判断区间内是否存在零点。 3．吃透二分法适用范围与核心原理，熟练背诵二分法求零点近似解的完整解题步骤。 4．理清方程、函数图像与零点三者等价关系，能结合图像快速分析零点相关基础题型。 1．理解对数函数定义，记住底数范围，区分复合对数函数，掌握定义域求解方法。 2．熟记对数函数图像性质，运用底大图低规律，判断单调性、比较底数大小。 3．掌握反函数定义与值域定义域互换，明确指数、对数函数互为反函数且图像对称。 新知导图 预习精讲 想一想 我们在前面学习过： 对于二次函数，我们把使的实数x，叫做函数的零点 所以二次函数的零点，即是对应方程的实数根，是函数图像与x轴交点的横坐标， 则这个定义我们是否可以拓展到其他函数上？ 知识点01 函数的零点 1.零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 3．常见基本初等函数零点情况 （1）一次函数：有且仅有1个零点。 （2）反比例函数：不存在零点。 （3）指数函数：无零点。 （4）对数函数：仅有1个零点。 （5）幂函数时，存在零点；当时，没有零点。 【即学即练】 1．函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即，解方程得， 由函数零点的定义可知，函数的零点是，故C正确. 2．若函数只有一个零点，则实数的值是___________． 【答案】 【详解】由题意得：令，即，所以方程有一个根， 所以，解得， 故答案为：. 知识点02 函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 注意 定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： 函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 【即学即练】 3．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 4．若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 知识点03 二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意 二分法就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 【即学即练】 5．下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 6．已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【答案】 【详解】，且， 函数在区间内存在一个零点，故零点位于， 精确到，故零点的近似值为. 故答案为： 题型速练 题型01 函数的零点 【例1】已知为函数的一个零点，则_________． 【答案】 【详解】由已知可得，所以. 【例2】已知函数则的零点之和为_____________． 【答案】1 【详解】当时，令，得； 当时，令，得, 所以的零点之和为． 易错点 1.把零点写成坐标形式，混淆零点是横坐标实数而非点。 2.忽略函数定义域，在无定义区间内寻找零点，造成判断错误。 3.认为所有函数都有零点，记错指数函数、反比例函数无零点的特点。 【小试牛刀】 【变式1-1】若是函数的零点，则________. 【答案】/ 【详解】由题意可得， 解得. 【变式1-2】已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 【答案】 27 【详解】因为a是函数的零点， 所以，所以， 则实数a的值为． 【变式1-3】若一次函数的零点是2，那么函数的零点是______. 【答案】0， 【详解】因为一次函数的零点是2， 所以，即，则， 令，解得或， 所以函数的零点是0，. 故答案为：0，. 题型02 判断零点区间及已知零点区间求参数 【例3】函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 【例4】函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，， 故函数的零点所在区间为， 又因为函数零点所在的大致区间为，故. 故选：C. 必记结论 1.零点存在定理：函数在上连续，且，则区间内至少存在一个零点。 2.已知零点区间，直接代入得，解不等式得到参数范围。 3.若区间端点函数值乘积等于0，说明端点处就是零点，不在开区间内部。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】∵，，，， ∴函数存在零点的区间有共4个. 【变式2-2】已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数和在都单调递增， 所以函数在都单调递增， 又函数在区间上存在零点， 所以，故， 所以, 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式2-3】函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 题型03 判断零点的个数 【例5】下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的零点是函数图像与轴的交点的横坐标，所以函数零点的个数即为函数图像与轴的交点个数. 有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故答案选D． 【例6】已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 必记结论 1.图像法：画出函数图像，图像与轴交点数量即为零点个数。 2.拆分法：将变形为，两函数图像交点个数等于零点个数。 3.单调函数最多1个零点；二次函数判别式两个零点，一个零点，无零点。 【小试牛刀】 【变式3-1】函数的函数值表示不小于x的最小的整数，例如，则函数的零点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【详解】解法一：令，则. 由已知可设，，则. 所以，则. 又因为，所以，解得. 又因为，所以的取值为. 当时，，则. 所以，所以是的零点； 当时，，则. 所以，所以是的零点； 当时，，则. 所以，所以2是的零点. 综上所述，的零点有3个. 解法二：作出函数的图象，其与直线的交点个数即为函数零点的个数， 观察图象有，，共3个交点，即函数有3个零点. 【变式3-2】若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，设，则，即， 所以，解得，所以， 由可得， 作出函数与的图象如图所示： 由图可知，函数与有且只有三个交点， 故函数的零点个数为. 【变式3-3】已知，则满足的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】当时， ； 当时， ， 所以的实数的个数为2. 故选：C 题型04 已知零点个数求参数 【例7】已知函数．若关于的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个的值是_____． 【答案】（满足即可） 【详解】函数定义域为， 对于方程，当时恒成立，因此是一个解. 再考虑的情况， 当时，方程化为，即， 对于方程， 当，方程无解； 当，，，即方程在仅有一解； 当时，，方程无解； 当时，即，此时，， 即方程有两个负根（时，两负根相等），此时方程在无解． 当且时，方程化为，即． 对于方程， 当，方程无解； 当，，，即方程在仅有一解； 当时，，方程无解； 当时，，此时，方程有两个负根（时，两负根相等）； 综上所述，当，方程在无解，在仅有一解，由于是一个解，符合题意； 当方程在仅有一解，在无解，由于是一个解，符合题意，所以，所以满足条件的可以是． 【例8】已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数是偶函数，且其图像与轴恰有4个公共点，因此，在上有两个不同的零点， 当时，令，则，共有两个实数根， 由于函数和均为定义域内的单调函数， 因此有一个实数根，有一个实数根， 故时，， 时，， 因此当时，. 必记结论 1.二次型函数：分二次项系数为0（一次函数，1个零点）、系数不为0，结合判别式判断零点个数。 2.复合对数、指数函数：先求内层取值范围，结合外层单调性，结合图像交点求参数。 3.分段函数分别分析每一段零点，再合并统计总零点数量，建立参数不等式。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】令，的图象如图所示， 由题知与有四个不同的交点，由图知， 所以的取值范围为. 【变式4-2】已知表示不超过的最大整数，，若函数在区间上恰好有个零点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，则， 令，可得，故的零点为， 因为函数在区间上恰好有个零点， 所以， 所以的最大值是. 【变式4-3】若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【详解】方程有两个实数根，等价于两函数的图象有两个交点， 方程可化为，在同一坐标系里画出两函数与大致图象如图所示， 观察图象可知，当，即时，两个函数图象有两个交点， 所以实数的取值范围是. 题型05 已知零点分布求参数 【例9】已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 【例10】若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【小试牛刀】 【变式5-1】命题“在区间上有零点”为真命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为在区间上有零点， 所以，即，解得或； 令集合或， 由命题“在区间上有零点”的一个必要不充分条件， 集合A是该条件范围的真子集，根据题目选项A满足. 故选：A. 【变式5-2】函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 【变式5-3】函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解. 令函数，则直线与函数的图象有交点. 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，所以函数是减函数. 因为. 所以函数的值域为，所以实数的取值范围为. 故选：D. 题型06 比较零点的大小 【例11】若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 【例12】已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 必记结论 1.代数法：分别求出各零点的精确值，直接比较实数大小。 2.图像法：画出函数图像，观察零点在轴上的左右位置判断大小。 3.估值法：无法精确求解时，利用零点存在定理锁定零点所在区间，区间范围可比较大小。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是上的增函数，，， 因此零点，即. 令，得零点. 是上的增函数，，，因此零点，即， 综上可得大小关系：. 【变式6-2】已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由及得， 由及得， 由及得， 由函数的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一坐标系中分别作出函数，，，的图象如图， 由图知 【变式6-3】已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 题型07 零点之和 【例13】已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由可得，由，， 依题意，如图所示，即函数图象与直线的交点的横坐标. 由图知，因函数是一对反函数，图象关于直线对称，则点也关于直线对称， 由解得，则点关于点对称，故. 【例14】函数，则函数的所有零点之和为_________． 【答案】13 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为． 【小试牛刀】 【变式7-1】如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为是实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为是正实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为函数和互为反函数， 所以它们的图象关于直线对称，且直线与直线互相垂直， 所以点关于直线对称， 所以，所以. 故选：C 【变式7-2】（多选）已知函数若（），则（   ） A． B．的值可能为25 C． D．的值可能为32 【答案】ABD 【详解】由解析式，在，上单调递减，在，上单调递增， ，，可得函数大致图象如下， 由，且，则， 所以，易知，且， 所以，， 综上，. 故选：ABD 【变式7-3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______，函数的所有零点之和为_______. 【答案】 1 【详解】依题意，，因此； ，当时，，则，解得或； 当时，若，则，， 由，得，解得； 若，则，， 由，得，解得或， 所以函数的所有零点之和为. 故答案为：1； 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： ①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． ②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． ③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 题型08 二分法概念的理解 【例15】下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C 【例16】用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 易错点 1.认为所有零点都能用二分法求出，忽略相切不变号零点不满足。 2.忘记函数连续这个前提，间断函数不能使用二分法。 3.混淆精确度与区间中点，误把中点直接当作零点近似解。 【小试牛刀】 【变式8-1】已知函数的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________，________. 【答案】 【详解】由图可知，函数图象与轴有个交点，所以零点的个数为； 左右函数值异号的零点有个，所以用二分法求解的个数为． 【变式8-2】用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 【变式8-3】已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 题型09 二分法求函数零点或方程的近似解 【例17】用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 【例18】函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 满足精确度，， 方程的一个近似解为. 故选：C. 易错点 1.循环二分过程中，中点函数值符号判断出错，零点所在区间取反。 2.未算到区间长度小于题目给定精确度就停止二分，结果不符合要求。 3.解方程忘记先转化为标准函数，直接对原式二分造成计算混乱。 【小试牛刀】 【变式9-1】若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（精确到0.04）为______. 【答案】 【详解】由参考数据知， 且，所以方程的一个近似解可取为. 【变式9-2】用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为， 且函数在定义域内单调递增， 则函数在定义域为内单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为，，可知在内有零点，且； 第一次等分，可得，可知在内有零点，且； 第二次等分，可得，可知在内有零点，且； 第三次等分，可得，可知在内有零点，且； 第四次等分，可得，可知在内有零点，且， 所以对区间最少等分次数为4，零点近似值为. 故选：A. 【变式9-3】方程在上的近似解为 __（精确度为0.1）． 【答案】1.3126（答案不唯一） 【详解】设函数， 区间端点及中点的函数值用二分法逐次计算列表如下： 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 因为，，， 所以原方程的解在区间上，所以取方程的近似解1.3126. 故答案为：1.3126（答案不唯一） 基础过关 1．已知函数则的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【详解】当时，令，得； 当时，令，得. 所以的零点之和为. 故选：A 2．用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间 内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 3．设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 因为， 所以由零点存在定理可知函数的零点. 4．方程的实数解个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】令，因为与在R上都是单调递增函数， 所以函数在R上单调递增，所以函数在R上最多有1个零点， 又因为，且在上连续且单调递增， 所以函数在上有且仅有1个零点. 故选：B 5．用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【详解】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且， 结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C． 6．已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 7．（多选）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则的可能取值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【详解】设， ， 在上均单调递增， 且， ，， 即，， 所以函数的零点所在区间是和． 观察选项，可得的值可能为， 故选：BC. 8．设是单调递增函数，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项， 符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项． 故选：ABD． 9．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【详解】由，得或， 由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根， 则，解得且， 所以实数a的取值范围是. 10．若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 【答案】 【详解】由题意，第二次操作的区间为，其中点为， 第三次操作得到的区间为，是区间的左子区间， 故其右端点应等于原区间的中点，则有，解得. 故答案为： 11．用二分法求方程在区间内的一个近似解（精确度0.01）． 【答案】1.32 【详解】设，经计算， 所以函数在内存在零点． 取的中点，经计算， 因为， 所以． 如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表： 的中点 1.25 1.375 1.3125 1.34375 1.328125 1.3203125 因为， 所以方程的一个精确度为0.01的近似解可取为1.32． 【点睛】本题考查了二分法求解函数的零点的过程，解题的关键是正确的计算． 12．已知是定义在R上的奇函数，当时， (1)求的解析式和单调区间，并画出简图； (2)讨论方程的根的个数． 【答案】(1)，增区间为，；无减区间，图见解析 (2)当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 【分析】 【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，所以， 因为当时，，所以当时，，， 因为，所以，综上. 由于为增函数，所以的单调增区间为，；无减区间. 其简图如图， （2）由可得， 由图可知，当时，即时，方程仅有一个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程有三个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程仅有一个根； 综上，当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 能力提升 13．已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 【答案】 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 要使有个不同实数根， 需满足有两个不同的实数根，且这两实数根均大于． 设，即要使的两实数根均大于，则需满足： ，即，得． 所以的取值范围为． 14．已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 【答案】 【详解】二次函数有两个正零点， ，解得. 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 15．已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】由题得的定义域为， 因为，当时，， 当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点； 因为， 又当时，， 当且仅当时等号成立， 若要用二分法求的零点，需满足，所以， 故答案为：． 16．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得， 所以，即，解得， 故的取值范围为. （2）因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， 也即有两个不相等的实根，所以，即， 设，即与有两个不同的交点， 的简图如下： 当时，单调递减，当时，单调递增，则， 又当时，， 所以结合图像可知， 故的取值范围为. 17．已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，因为， 所以，即， 解得，所以所求解集为； （2）因为， 由，得只有一个正根， 若，满足题意； 当时， 若，解是， 此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号， 所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意； 综上，或， 所以实数的取值范围是：. 挑战一刻 18．已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 19．已知且，函数若的图象与直线有两个交点，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】当时， 时，单调递减，且，此时的图象与直线有一个交点； 时，单调递减，且， 此时的图象与直线没有交点； 时，单调递增，且， 又的图象与直线有两个交点， 所以，此时的图象与直线有一个交点， ，解得，又， ， 当时， 时，单调递增，且，此时的图象与直线没有交点； 时，单调递增，且，， 此时的图象与直线有一个交点， 时，单调递增，则， 又的图象与直线有两个交点， 所以，此时的图象与直线有一个交点， ，解得， 综上，． 20．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由于是偶函数， 所以即， 即 化简，得 所以， 要使等式恒成立，则， 经检验，当时，函数 是偶函数. （2）由于 所以， ， 设，则 因为函数在上只有一个零点，那么 由可得 即 上只有一个零点 所以，关于的方程在上只有一个实根，那么 ， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时， 根据函数图象可知，要使关于的方程在上只有一个实根， 则或，即或 故实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 函数的应用（二） 预习目标 知识回顾 1．理解函数零点定义，分清零点是实数而非点，熟记五类基础初等函数的零点分布规律。 2．掌握零点存在性定理的两大前提条件，能借助函数值符号判断区间内是否存在零点。 3．吃透二分法适用范围与核心原理，熟练背诵二分法求零点近似解的完整解题步骤。 4．理清方程、函数图像与零点三者等价关系，能结合图像快速分析零点相关基础题型。 1．理解对数函数定义，记住底数范围，区分复合对数函数，掌握定义域求解方法。 2．熟记对数函数图像性质，运用底大图低规律，判断单调性、比较底数大小。 3．掌握反函数定义与值域定义域互换，明确指数、对数函数互为反函数且图像对称。 新知导图 预习精讲 想一想 我们在前面学习过： 对于二次函数，我们把使的实数x，叫做函数的零点 所以二次函数的零点，即是对应方程的实数根，是函数图像与x轴交点的横坐标， 则这个定义我们是否可以拓展到其他函数上？ 知识点01 函数的零点 1.零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 3．常见基本初等函数零点情况 （1）一次函数：有且仅有1个零点。 （2）反比例函数：不存在零点。 （3）指数函数：无零点。 （4）对数函数：仅有1个零点。 （5）幂函数时，存在零点；当时，没有零点。 【即学即练】 1．函数的零点是（ ） A． B． C． D． 2．若函数只有一个零点，则实数的值是___________． 知识点02 函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 注意 定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： 函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 【即学即练】 3．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 4．若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点03 二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意 二分法就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 【即学即练】 5．下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 题型速练 题型01 函数的零点 【例1】已知为函数的一个零点，则_________． 【例2】已知函数则的零点之和为_____________． 易错点 1.把零点写成坐标形式，混淆零点是横坐标实数而非点。 2.忽略函数定义域，在无定义区间内寻找零点，造成判断错误。 3.认为所有函数都有零点，记错指数函数、反比例函数无零点的特点。 【小试牛刀】 【变式1-1】若是函数的零点，则________. 【变式1-2】已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 【变式1-3】若一次函数的零点是2，那么函数的零点是______. 题型02 判断零点区间及已知零点区间求参数 【例3】函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【例4】函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 必记结论 1.零点存在定理：函数在上连续，且，则区间内至少存在一个零点。 2.已知零点区间，直接代入得，解不等式得到参数范围。 3.若区间端点函数值乘积等于0，说明端点处就是零点，不在开区间内部。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】函数的零点在区间内，则_________． 题型03 判断零点的个数 【例5】下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A． B． C． D． 【例6】已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 必记结论 1.图像法：画出函数图像，图像与轴交点数量即为零点个数。 2.拆分法：将变形为，两函数图像交点个数等于零点个数。 3.单调函数最多1个零点；二次函数判别式两个零点，一个零点，无零点。 【小试牛刀】 【变式3-1】函数的函数值表示不小于x的最小的整数，例如，则函数的零点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式3-2】若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，则满足的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型04 已知零点个数求参数 【例7】已知函数．若关于的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个的值是_____． 【例8】已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 必记结论 1.二次型函数：分二次项系数为0（一次函数，1个零点）、系数不为0，结合判别式判断零点个数。 2.复合对数、指数函数：先求内层取值范围，结合外层单调性，结合图像交点求参数。 3.分段函数分别分析每一段零点，再合并统计总零点数量，建立参数不等式。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 【变式4-2】已知表示不超过的最大整数，，若函数在区间上恰好有个零点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是____________. 题型05 已知零点分布求参数 【例9】已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例10】若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式5-1】命题“在区间上有零点”为真命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式5-2】函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【变式5-3】函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型06 比较零点的大小 【例11】若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【例12】已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 必记结论 1.代数法：分别求出各零点的精确值，直接比较实数大小。 2.图像法：画出函数图像，观察零点在轴上的左右位置判断大小。 3.估值法：无法精确求解时，利用零点存在定理锁定零点所在区间，区间范围可比较大小。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 题型07 零点之和 【例13】已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例14】函数，则函数的所有零点之和为_________． 【小试牛刀】 【变式7-1】如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【变式7-2】（多选）已知函数若（），则（   ） A． B．的值可能为25 C． D．的值可能为32 【变式7-3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______，函数的所有零点之和为_______. 题型08 二分法概念的理解 【例15】下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【例16】用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 易错点 1.认为所有零点都能用二分法求出，忽略相切不变号零点不满足。 2.忘记函数连续这个前提，间断函数不能使用二分法。 3.混淆精确度与区间中点，误把中点直接当作零点近似解。 【小试牛刀】 【变式8-1】已知函数的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________，________. 【变式8-2】用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型09 二分法求函数零点或方程的近似解 【例17】用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【例18】函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 易错点 1.循环二分过程中，中点函数值符号判断出错，零点所在区间取反。 2.未算到区间长度小于题目给定精确度就停止二分，结果不符合要求。 3.解方程忘记先转化为标准函数，直接对原式二分造成计算混乱。 【小试牛刀】 【变式9-1】若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（精确到0.04）为______. 【变式9-2】用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 【变式9-3】方程在上的近似解为 __（精确度为0.1）． 基础过关 1．已知函数则的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 2．用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 3．设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 4．方程的实数解个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 6．已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则的可能取值为（    ） A． B． C．1 D．2 8．设是单调递增函数，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 10．若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 11．用二分法求方程在区间内的一个近似解（精确度0.01）． 12．已知是定义在R上的奇函数，当时， (1)求的解析式和单调区间，并画出简图； (2)讨论方程的根的个数． 能力提升 13．已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 14．已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 15．已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 16．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，求的取值范围． 17．已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 挑战一刻 18．已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．已知且，函数若的图象与直线有两个交点，则a的取值范围是________． 20．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $