第20讲 任意角和弧度制（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第20讲 任意角和弧度制 预习目标 知识回顾 1．理解任意角概念，区分正角、负角、零角，掌握象限角、终边相同角、轴线角的集合书写，能判断终边对称垂直关系。 2．认识区间角与区域角，熟练写出各类轴线角集合，推导两角终边对称、垂直对应的角度等量关系式。 3．掌握弧度制定义，熟记角度与弧度互化规则，灵活运用弧度制扇形弧长、面积公式及其变形计算。 4．能结合坐标系分析角的位置，利用终边相同角、对称角规律解决角度表示与范围类基础题型。 1．复习平面直角坐标系，分清四个象限、坐标轴，掌握点坐标相关知识，为判断象限角、轴线角打基础。 2．回顾圆的基础内容，熟悉圆心角、圆弧，掌握扇形周长、面积计算，助力理解弧度制相关公式。 3．重温初中锐角三角函数，牢记正弦、余弦、正切定义，为后续任意角三角函数学习做好铺垫。 新知导图 预习精讲 想一想 月阴月圆、四季交替、齿轮与摩跃轮转动有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性。 如何刻画圆周上P的位置变化呢？ 知识点01 任意角 1.任意角 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． （2）角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为. ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. ④角的减法可以转化为角的加法． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． 4．轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 } 终边落在x轴的非正半轴上 } 终边落在x轴上 } 终边落在y轴的非负半轴上 } 终边落在y轴的非正半轴上 } 终边落在y轴上 } 终边落在坐标轴上 } 5．区间角、区域角 区间角：介于两个角之间的角的集合，例如。 区域角：终边介于两个已知角终边之间的角的集合，一个区域角包含无数个区间角。 6．角的终边对称、垂直关系 角终边的位置关系 的关系 与的终边关于轴对称 } 与的终边关于轴对称 } 与的终边关于原点对称 } 与的终边在一条直线上 } 与的终边垂直 } 与的终边关于直线对称 } 与的终边关于直线对称 } 【即学即练】 1．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 2．二十四节气（The 24 Solar Terms）是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个分别相应于地球在黄道上每运动所到达的一定位置．根据上述描述，从秋分到小雪相应于地球在黄道上运动的度数为（   ） A． B． C． D． 知识点02 弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 3．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式 面积公式 角度制 弧度制 注意 （1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制． （2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ① 【即学即练】 3．将改写成的形式是（     ） A． B． C． D． 4．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为2 cm，则该扇形的面积是________． 题型速练 题型01 任意角的概念 【例1】若将钟表调快10分钟，则分针转动的角为（   ） A． B． C． D． 【例2】下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于的角是第一象限角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的结论为_____________（填序号）. 必记结论 根据射线旋转方向区分角，逆时针旋转为正角，顺时针为负角，无旋转是零角。判断相等角需旋转方向、旋转量完全一致；相反角旋转量相同、旋转方向相反。角的加减运算可转化为终边旋转理解。 【小试牛刀】 【变式1-1】若角，把角逆时针旋转得到角，则________． 【变式1-2】若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列所示图形中，的是__________；的是__________．    题型02 终边相同的角 【例3】与角终边相同的角可表示为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 必记结论 所有与终边相同的角统一写成集合。已知一个角，给取整数可写出范围内全部终边相同角；已知终边位置，直接写出对应通式。 【小试牛刀】 【变式2-1】在与角终边相同的角中，最大的负角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】设集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 区域角 【例5】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   【例6】用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.    必记结论 先写出两条边界终边对应的角，再结合旋转方向写出区间范围，加上得到完整区域角集合。区间角仅限定数值大小，区域角要兼顾终边旋转范围。 【小试牛刀】 【变式3-1】如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合______． 【变式3-2】如下图，终边落在位置时的角的集合是__________；终边落在位置，且在内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______． 【变式3-3】已知集合，，集合，． （1）在平面直角坐标系中，表示出角终边所在区域； （2）在平面直角坐标系中，表示出角终边所在区域； （3）求． 题型04 确定角终边所在的想象 【例7】“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例8】若，则的终边在第___________象限． 【小试牛刀】 【变式4-1】若是第四象限角，则是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【变式4-2】已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【变式4-3】（多选）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型05 用弧度制表示角或范围 【例9】设集合，则（    ） A． B． C． D． 【例10】终边在轴正半轴上的角的集合是______（用弧度表示） 【小试牛刀】 【变式5-1】把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】经过15分钟，分针转了___________弧度. 【变式5-3】已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为______，______．（用弧度制表示） 题型06 弧长公式与面积公式 【例11】若某扇形的弧长与面积的数值相等，则该扇形的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例12】两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 必记结论 弧度制：弧长，扇形面积；角度制需先换算弧度再计算，简化运算。可根据已知条件灵活变形公式求半径、圆心角。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知某扇形的圆心角的弧度数为3，且该扇形的周长为25cm，则该扇形的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm 【变式6-2】已知某扇形的面积为，弧长为，若，则该扇形的圆心角对应的弧度数为________. 【变式6-3】（多选）晋祠博物馆的折扇馆藏是其重要的艺术珍品，以清代至民国时期的扇面为主，融合了绘画、书法、诗文等传统元素，体现了中国扇子艺术的精髓，已知某折扇展开后其示意图如图所示，若的长为，则（   ） A． B． C．扇形的面积为 D．扇形的面积为 题型07 扇形中的最值问题 【例13】已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 【例14】已知扇形的圆心角为，半径为R. （1）若，求该扇形的弧长和面积； （2）若该扇形的面积为20cm2，求扇形周长的最小值，并指出此时的值. 【小试牛刀】 【变式7-1】周长为20的扇形的面积最大为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 【变式7-2】面积为8的扇形，要使它的周长最小，则它的圆心角为多少（ ）rad． A．2 B． C． D． 【变式7-3】如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 基础过关 1．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 2．在平面直角坐标系内，角的顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，则其终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．集合中角终边所处位置是（    ） A．轴 B．轴 C．非负半轴 D．非负半轴 4．如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 5．已知扇形的半径为2，圆心角的大小为，则该扇形的面积为（   ）. A． B． C． D． 6．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．   B．   C．   D．   7．（多选）以下表示第四象限角的集合．正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知某钟表分针的长度为5cm，在某天中，从到，则（    ） A．分针转过的角的弧度为 B．分针转过的角的弧度为 C．分针尖端所走过的弧长为 D．分针扫过的扇形面积为 9．与的角终边相同的最小正角为______． 10．扇形的圆心角是，半径是，则扇形的面积是_________． 11．已知. (1)写出与角终边相同的角的集合S，并指出角是第几象限的角； (2)写出S中适合不等式的角. 12．如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 能力提升 13．扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（   ） A． B． C． D． 14．已知为小于的正角，这个角的倍与角的终边关于轴对称，那么______． 15．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 16．（多选）已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（    ） A．一个周期是 B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆 C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是 D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是 17．已知，当时，中的一个元素与角终边相同，若取最小正值为，最大负值为，则（    ） A．－12 B．－10 C．－4 D．4 挑战一刻 18．中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事､政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事､政治的“焦点”，则这个时刻大约是（    ） A．7点36分 B．7点38分 C．7点39分 D．7点40分 19．公元3世纪，刘徽提出“割圆术”，用圆内接正多边形的周长逼近圆周长来求圆周率的近似值.设圆的半径为，圆内接正边形的周长为，下列说法错误的是（   ） A．圆内接正边形的边长为 B．用近似圆周长时， C．当时，的近似值为3 D．边数越大，的值越小于 20．甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（   ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 任意角和弧度制 预习目标 知识回顾 1．理解任意角概念，区分正角、负角、零角，掌握象限角、终边相同角、轴线角的集合书写，能判断终边对称垂直关系。 2．认识区间角与区域角，熟练写出各类轴线角集合，推导两角终边对称、垂直对应的角度等量关系式。 3．掌握弧度制定义，熟记角度与弧度互化规则，灵活运用弧度制扇形弧长、面积公式及其变形计算。 4．能结合坐标系分析角的位置，利用终边相同角、对称角规律解决角度表示与范围类基础题型。 1．复习平面直角坐标系，分清四个象限、坐标轴，掌握点坐标相关知识，为判断象限角、轴线角打基础。 2．回顾圆的基础内容，熟悉圆心角、圆弧，掌握扇形周长、面积计算，助力理解弧度制相关公式。 3．重温初中锐角三角函数，牢记正弦、余弦、正切定义，为后续任意角三角函数学习做好铺垫。 新知导图 预习精讲 想一想 月阴月圆、四季交替、齿轮与摩跃轮转动有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性。 如何刻画圆周上P的位置变化呢？ 知识点01 任意角 1.任意角 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． （2）角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为. ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. ④角的减法可以转化为角的加法． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． 4．轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 } 终边落在x轴的非正半轴上 } 终边落在x轴上 } 终边落在y轴的非负半轴上 } 终边落在y轴的非正半轴上 } 终边落在y轴上 } 终边落在坐标轴上 } 5．区间角、区域角 区间角：介于两个角之间的角的集合，例如。 区域角：终边介于两个已知角终边之间的角的集合，一个区域角包含无数个区间角。 6．角的终边对称、垂直关系 角终边的位置关系 的关系 与的终边关于轴对称 } 与的终边关于轴对称 } 与的终边关于原点对称 } 与的终边在一条直线上 } 与的终边垂直 } 与的终边关于直线对称 } 与的终边关于直线对称 } 【即学即练】 1．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 2．二十四节气（The 24 Solar Terms）是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个分别相应于地球在黄道上每运动所到达的一定位置．根据上述描述，从秋分到小雪相应于地球在黄道上运动的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得从“秋分”开始，进行逆时针旋转， 经历秋分—寒露—霜降—立冬—小雪，共， 故地球在黄道上运动的度数为. 知识点02 弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 3．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式 面积公式 角度制 弧度制 注意 （1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制． （2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ① 【即学即练】 3．将改写成的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 4．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为2 cm，则该扇形的面积是________． 【答案】 【详解】依题意，扇形的弧所对的圆心角为，且半径为2 cm， 所以扇形的面积为. 题型速练 题型01 任意角的概念 【例1】若将钟表调快10分钟，则分针转动的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分针转一圈60min共，将钟表的分针调快10分钟，为顺时针， 则分针转动的角为． 【例2】下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于的角是第一象限角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的结论为_____________（填序号）. 【答案】② 【详解】①由于直角三角形中有的角，而的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确； ②相等的角终边一定相同，根据逆否命题等价，终边不同的角一定不相等，故②正确； ③小于的角可以是角，也可以是负角，故③不正确； ④钝角大于，而的角是第三象限角，故④不正确； ⑤角小于，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确. 故答案为： ② 必记结论 根据射线旋转方向区分角，逆时针旋转为正角，顺时针为负角，无旋转是零角。判断相等角需旋转方向、旋转量完全一致；相反角旋转量相同、旋转方向相反。角的加减运算可转化为终边旋转理解。 【小试牛刀】 【变式1-1】若角，把角逆时针旋转得到角，则________． 【答案】 【详解】∵角是由角逆时针旋转所得 ∴， ∴. 故答案为：. 【变式1-2】若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 因为分针是顺时针旋转， 所以在2小时40分钟内，分针转过的角度为， 故选：D. 【变式1-3】下列所示图形中，的是__________；的是__________．    【答案】 ①④ ②③ 【详解】在①中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在②中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在③中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在④中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以. 的是①④；的是②③. 故答案为：①④；②③. 题型02 终边相同的角 【例3】与角终边相同的角可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，角与角的终边相同， 与角终边相同的角可表示为. 【例4】已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则. 必记结论 所有与终边相同的角统一写成集合。已知一个角，给取整数可写出范围内全部终边相同角；已知终边位置，直接写出对应通式。 【小试牛刀】 【变式2-1】在与角终边相同的角中，最大的负角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】与角终边相同的角的集合为， 令，可得，又， 所以，且， 所以与角终边相同的角中，最大的负角是， 故选：B. 【变式2-2】（多选）若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为角与角的终边相同，所以， 同理得，所以， 故选：AD． 【变式2-3】设集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】表示终边落在轴非正半轴上角的集合，表示终边落在轴上角的集合， 表示终边落在轴上角的集合，故. 故选：A. 题型03 区域角 【例5】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】当时，， 当时，,所以选项C满足题意. 故选：C. 【例6】用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）； （2） . 必记结论 先写出两条边界终边对应的角，再结合旋转方向写出区间范围，加上得到完整区域角集合。区间角仅限定数值大小，区域角要兼顾终边旋转范围。 【小试牛刀】 【变式3-1】如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合______． 【答案】 【详解】阴影部分内的角的集合为 故答案为：. 【变式3-2】如下图，终边落在位置时的角的集合是__________；终边落在位置，且在内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______． 【答案】 【详解】由题意以为终边的一个角是，因此以为终边的角的集合是； 以为终边的角的集合是，在已知范围内的有两个角，集合表示为； ∴终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查终边相同角的表示方法，对于阴影部分角的表示要注意，特别象题中阴影部分，要抓住终边按逆时针方向旋转时角在增大，就不容易出错． 【变式3-3】已知集合，，集合，． （1）在平面直角坐标系中，表示出角终边所在区域； （2）在平面直角坐标系中，表示出角终边所在区域； （3）求． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）. 【解析】（1）根据角对应的集合直接画出即可； （2）根据角对应的集合直接画出即可； （3）根据集合A，B可直接求出交集. 【详解】（1）角终边所在区域如图所示． （2）角终边所在区域如图所示． （3）由（1）（2）知. 题型04 确定角终边所在的想象 【例7】“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若角与终边相同，则，. 当为偶数（设）时，，此时是第一象限角； 当为奇数（设）时，，此时是第三象限角. 充分性不成立. 若角是第三象限角，则， ， 此时角的终边落在第一、第二象限或与终边相同，不一定与终边相同； 必要性不成立. 综上，“角与终边相同”是“角是第三象限角”的既不充分也不必要条件. 【例8】若，则的终边在第___________象限． 【答案】二 【详解】由，所以，所以的终边在第二象限. 故答案为：二. 【小试牛刀】 【变式4-1】若是第四象限角，则是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】B 【详解】解：因为是第四象限角，且与的终边关于x轴对称， 所以是第一象限角，将的终边按逆时针方向旋转，角的终边落在第三象限． 【变式4-2】已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【答案】C 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 【变式4-3】（多选）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【详解】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 故选：CD 题型05 用弧度制表示角或范围 【例9】设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，当时，或， 当取其他整数时，均不在内， 故. 故选：C 【例10】终边在轴正半轴上的角的集合是______（用弧度表示） 【答案】 【详解】在内，终边在轴正半轴上的角为， 所以终边在轴正半轴上的角的集合是. 故答案为： 【小试牛刀】 【变式5-1】把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 【变式5-2】经过15分钟，分针转了___________弧度. 【答案】 【详解】分针60分钟转一圈，每圈弧度数为，15分钟，分针转了圈， 所以经过15分钟，分针转了弧度． 【变式5-3】已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为______，______．（用弧度制表示） 【答案】/ 【详解】设这两个角为弧度，不妨设， 则，解得. 题型06 弧长公式与面积公式 、【例11】若某扇形的弧长与面积的数值相等，则该扇形的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设该扇形的圆心角为α，半径为r． 因为扇形的弧长与面积的数值相等， 所以，解得． 【例12】两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】大轮有60齿，小轮有45齿，当大轮转动一周时小轮转动周， 当大轮的转速为时，小轮转速为， 小轮周上一点每1s转过的弧度数为：. 又小轮的半径为，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：. 必记结论 弧度制：弧长，扇形面积；角度制需先换算弧度再计算，简化运算。可根据已知条件灵活变形公式求半径、圆心角。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知某扇形的圆心角的弧度数为3，且该扇形的周长为25cm，则该扇形的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm 【答案】C 【详解】设该扇形的半径为r cm，则该扇形的弧长为3r cm， 周长为，解得. 【变式6-2】已知某扇形的面积为，弧长为，若，则该扇形的圆心角对应的弧度数为________. 【答案】 【详解】记扇形的圆心角为，半径为，显然，， 于是，易知，于是. 故答案为: 【变式6-3】（多选）晋祠博物馆的折扇馆藏是其重要的艺术珍品，以清代至民国时期的扇面为主，融合了绘画、书法、诗文等传统元素，体现了中国扇子艺术的精髓，已知某折扇展开后其示意图如图所示，若的长为，则（   ） A． B． C．扇形的面积为 D．扇形的面积为 【答案】AC 【详解】设该扇形的半径为，弧长为， 所以扇形的面积． 结合选项可知BD错误，AC正确． 故选：AC． 题型07 扇形中的最值问题 【例13】已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为， 所以，所以扇形的面积为， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以当时，扇形的面积取得最大值. 【例14】已知扇形的圆心角为，半径为R. （1）若，求该扇形的弧长和面积； （2）若该扇形的面积为20cm2，求扇形周长的最小值，并指出此时的值. 【答案】（1）扇形的弧长和面积分别为、；（2）扇形周长的最小值为cm2，此时为2. 【分析】 【详解】（1）由题意，知，根据扇形弧长；扇形面积； （2）由，即，而扇形的周长为当且仅当cm等号成立， ∴由知：. 【小试牛刀】 【变式7-1】周长为20的扇形的面积最大为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，其面积， 由，当且仅当，即时取等号， 所以，即扇形面积的最大值为. 【变式7-2】面积为8的扇形，要使它的周长最小，则它的圆心角为多少（ ）rad． A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】设扇形圆心角为，半径为，弧长为， 由题意知， 周长，当且仅当，即时等号成立， 此时， 故选：A 【变式7-3】如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)面积为，弧AB的长为 (2)， 【详解】（1）由题意知，设，所以 根据扇形弧长； 扇形面积； （2）由，即， 扇形的周长为当且仅当等号成立， 所以由知：． 基础过关 1．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【详解】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 2．在平面直角坐标系内，角的顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，则其终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】，故从x轴正半轴开始，顺时针旋转，正好落在第三象限 3．集合中角终边所处位置是（    ） A．轴 B．轴 C．非负半轴 D．非负半轴 【答案】B 【详解】若为偶数，设，则，角终边与终边相同，落在轴正半轴； 若为奇数，设，则，角终边与终边相同，落在轴负半轴. 综上，终边整体落在轴上. 4．如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 【答案】C 【详解】因为是锐角，即，所以， 故选：C. 5．已知扇形的半径为2，圆心角的大小为，则该扇形的面积为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】扇形的面积. 6．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样， 当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样. 故选：C. 7．（多选）以下表示第四象限角的集合．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A选项仅仅表示了在范围内的那一部分第四象限角，并没有包含所有终边相同的角， 缺少了周期，表示不完整，故A错误， B选项包含了轴线角，故B错误， C选项以为基础区间，加上周期即表示所有第四象限角，故C正确， D选项以为基础区间，加上周期即表示所有第四象限角，故D正确. 8．（多选）已知某钟表分针的长度为5cm，在某天中，从到，则（    ） A．分针转过的角的弧度为 B．分针转过的角的弧度为 C．分针尖端所走过的弧长为 D．分针扫过的扇形面积为 【答案】BC 【详解】由题意得分针转过的角的弧度为， 所以分针尖端所走过的弧长为，分针扫过的扇形面积为． 故选：BC 9．与的角终边相同的最小正角为______． 【答案】 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是. 10．扇形的圆心角是，半径是，则扇形的面积是_________． 【答案】/ 【详解】扇形的面积为． 11．已知. (1)写出与角终边相同的角的集合S，并指出角是第几象限的角； (2)写出S中适合不等式的角. 【答案】(1)，第二象限的角 (2)， 【分析】 【详解】（1）， ， 与的终边相同. 是第二象限的角， 是第二象限的角. （2）由， 解得. 由，得或5， 即S中适合的元素有 ， . 12．如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）设扇形AOB的半径为r，弧长为l， 则，解得， 所以扇形的周长为． （2）过O作，垂足为D， 由（1）知，，， 则，，． 所以的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． 能力提升 13．扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设扇形的半径为，扇形内切圆半径为，则， 因此内切圆面积，扇形面积， 所以. 故选：B 14．已知为小于的正角，这个角的倍与角的终边关于轴对称，那么______． 【答案】或 【详解】依题意，可知角与角终边相同，故，所以， 又因为，即，可得， 因为，故或， 当时，；当时，. 故或. 故答案为：或. 15．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 【答案】A 【详解】根据题意，可算得弧，弧． 所以，所以． 依据题意，可知截面面积， 化简得：． 所以当，． 即当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米． 16．（多选）已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（    ） A．一个周期是 B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆 C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是 D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是 【答案】ACD 【详解】由已知可得：点一个周期的运动轨迹如图所示， 对于A，当再次回落到轴上时，发生了个单位的位移，则一个周期为，A正确； 对于B，完成一个周期，顶点的轨迹由以为圆心，为半径的圆和以为圆心，为半径的圆共同组成，不是一个半圆，B错误； 对于C，由B知，顶点的轨迹为，C正确； 对于D，顶点的轨迹与轴围成的区域面积为两个圆的面积与的面积之和， 即所求面积为，D正确. 故选：ACD. 17．已知，当时，中的一个元素与角终边相同，若取最小正值为，最大负值为，则（    ） A．－12 B．－10 C．－4 D．4 【答案】C 【详解】与终边相同的角的集合为， 由题意知，，，解得，， 当时，，故的最小整数值为1，此时的最小正值为. 当时，，故的最大整数值为0，此时的最大负值为. 所以. 挑战一刻 18．中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事､政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事､政治的“焦点”，则这个时刻大约是（    ） A．7点36分 B．7点38分 C．7点39分 D．7点40分 【答案】B 【详解】设7点分时针与分针重合. 在7点时，时针与分针所夹的角为， 时针每分钟转，分针每分钟转， 则分针从到达需旋转，时针从到达需旋转， 于是，解得（分）， 故选：B 19．公元3世纪，刘徽提出“割圆术”，用圆内接正多边形的周长逼近圆周长来求圆周率的近似值.设圆的半径为，圆内接正边形的周长为，下列说法错误的是（   ） A．圆内接正边形的边长为 B．用近似圆周长时， C．当时，的近似值为3 D．边数越大，的值越小于 【答案】D 【详解】对于A：圆内接正边形的中心角为，用正边形的一边与圆心构成等腰三角形， 则边长为，A正确. 对于B：正边形的周长，圆周长为， 用近似圆周长时，，即，B正确. 对于C：当时，圆内接正六边形的边长等于半径，周长， 近似圆周长，得，C正确. 对于D：边数越大，正边形的周长越接近圆周长，会越来越接近，而不是“越小于”，D错误. 20．甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度， 设甲、乙两个扇形的半径均为，圆心角分别为，，弧长分别为，. ， 又， 联立， 解得：，， ，， . 故选：B 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $