第18讲 对数函数（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第18讲 对数函数 预习目标 知识回顾 1．掌握对数函数标准定义，牢记底数取值范围，区分对数函数与对数型复合函数，明确定义域要求。 2．熟记两类对数函数图像与性质，掌握底大图低规律，能根据底数判断函数增减、比较底数大小。 3．理解反函数定义与定义域值域互换关系，掌握指数、对数互为反函数的图像对称特征。 1．理解对数定义，分清底数与真数，掌握指对互化，熟记特殊对数记法和对数基础性质。 2．熟练运用对数加减、数乘运算性质，牢记对数有意义的条件，规范完成化简与求值计算。 3．掌握对数换底公式及相关推论，灵活统一底数，快速处理不同底数对数的运算题目。 新知导图 预习精讲 想一想 用x表示细胞分裂的次数，y表示细胞分裂后细胞的个数，我们通过前面的学习已经能知道y与x的函数关系式为， 那如果知道了细胞分裂后细胞的个数是y个，如何确定x细胞分裂的次数呢？ 知识点01 对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 【即学即练】 1．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 知识点02 对数函数的图象及性质 1.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 2．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 【即学即练】 2．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，解得， 所以函数的定义域为. 3．函数，的最大值为______. 【答案】-2 【详解】因为 ，则， 由于 是减函数，所以， 故答案为：-2 知识点03 反函数 1．反函数的定义 设集合、分别是函数的定义域与值域。若通过能解出，且对任意，都有唯一与之对应，则称为的反函数，记作。 在中，是自变量，是关于的函数；日常书写习惯交换变量，改写为，定义域为。 与本质是同一个函数，二者定义域、对应法则完全一致。 核心对应关系： 1.原函数的定义域=反函数的值域； 2.原函数的值域=反函数的定义域。 注意 不是所有函数都存在反函数，例如二次函数无反函数； 判定结论：单调函数一定存在反函数。 2．反函数的核心性质 1.互为反函数的两个函数图像，关于直线对称。 2.点与图像对应关系：若点在原函数图像上，则点一定在它的反函数图像上；反之，若在反函数图像上，则在原函数图像上。 【即学即练】 4．若函数与的图像关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】因为函数与的图像关于直线对称， 所以，所以. 故选：B. 题型速练 题型01 对数函数的概念 【例1】下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】根据对数函数的概念确定正确选项. 【详解】形如（且）的函数为对数函数， 故③④为对数函数， 所以共有个. 故选：B 【点睛】本小题主要考查对数函数的概念，属于基础题. 【例2】下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 必记结论 1.标准对数函数解析式为（且），自变量仅在真数位置，底数为常数。 2.区分对数函数与对数型复合函数，形如、都不属于标准对数函数。 3.底数限制条件：；标准对数函数真数为，满足。 【小试牛刀】 【变式1-1】下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 【变式1-2】下列函数是对数函数的个数_____ ①    ②    ③    ④ 【答案】1 【详解】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数， 只有④符合. 故答案为：1 【点睛】 本题主要考查函数概念的判断，根据对数函数的定义是解决本题的关键． 【变式1-3】函数为对数函数，则________． 【答案】3 【详解】函数为对数函数， 则，且，所以. 故答案为：3 题型02 求对数函数的解析式或函数值 【例3】已知为对数函数，，则_______，_______． 【答案】 【详解】设且，则，即，解得， 所以， 所以． 故答案为：， 【例4】已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 必记结论 1.求解析式通用方法：待定系数法，设，代入已知点坐标求出底数。 2.求函数值步骤：将自变量代入解析式，结合对数运算性质、指对互化化简计算。 3.已知函数值求自变量，直接转化为指数式求解，最后检验真数大于0。 【小试牛刀】 【变式2-1】函数（，且）是对数函数，且过点，则________． 【答案】1 【详解】由题设，可得，故， 所以. 故答案为：1 【变式2-2】已知函数是对数函数，且，则_________． 【答案】/ 【详解】设，且， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式2-3】已知对数函数（且）的图象经过点，若点为此函数图象上的点，求实数b的值． 【答案】9 【详解】将代入得，，则，解得或（不合题意舍去）， 所以，又点为此函数图象上， 所以，则． 题型03 对数函数的定义域 【例5】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域满足，解得或， 则定义域为． 【例6】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的定义域为， 所以函数要有意义则：，解得：， 所以函数的定义域为：. 易错点 1.只考虑真数大于0，忽略底数含参时底数的取值限制。 2.多个对数同时存在时，只解单个不等式，忘记取公共交集。 【小试牛刀】 【变式3-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式3-2】函数的定义域是______. 【答案】（或） 【详解】，解得，则此函数的定义域为或. 【变式3-3】若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 当时，，解得，不合题意； 当时，则，解得． 综上实数的取值范围为． 题型04 反函数问题 【例7】函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意令，解得. 故选：C. 【例8】已知函数的图象过点，则的反函数的图象过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象过点，，即， 则的图象过点， 根据反函数的性质可知的反函数的图象过点. 故选：A. 必记结论 1.指数函数与对数函数互为反函数，定义域、值域互换。 2.互为反函数的图像关于直线对称；原函数上点，反函数对应点。 3.单调函数一定存在反函数，对数函数在定义域上单调，必然存在反函数。 4.求反函数步骤：互换，利用指对互化解出新，标注对应定义域。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（   ） A． B．10 C．12 D． 【答案】C 【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以函数与互为反函数， 所以， 所以. 故选：. 【变式4-2】函数为奇函数，是的反函数，若，则______． 【答案】 【详解】由题意，，图象关于中心对称， 所以的图象经过点，， 所以的图象经过点，从而. 故答案为：. 【变式4-3】已知和它的反函数的图像都经过，则______． 【答案】 【详解】因为函数的反函数的图像经过， 所以函数的图像经过， 又的图像经过， 所以. 故答案为： 题型05 对数函数的图象 【例9】函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 【例10】若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以是减函数，且时，，是增函数， 排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． 必记结论 1.分两类图像：时函数单调递增，图像从左下向右上；时单调递减，图像从左上向右下。 2.所有对数函数恒过定点，时函数值恒为0。 3.底大图低规律：直线右侧，底数越大图像越靠下；区间底数越大图像越靠上。 【小试牛刀】 【变式5-1】如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】根据函数都是指数函数且为减函数，过点， 又，结合图象可知①函数为，②函数为， 函数为单调递减的对数函数，过，，结合图象可知④函数图象符合. 所以③不是已知函数的图象. 故选：C 【变式5-2】在同一直角坐标系中，函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可知函数在上单调递减，函数在上单调递增. 由图可知选项D符合. 故选：D 【变式5-3】已知函数且的图像经过坐标原点.则函数与函数在同一直角坐标系下的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数且的图像经过坐标原点. 所以，得到. 所以且. 当时，函数的图象为选项A,B中的图象， 此时，因为， 所以，所以，由图可知A,B均错误； 当时，函数的图象为选项C,D中的图象， 此时，因为， 所以，因为，所以有可能大于1， 所以根据图象可知，D正确. 故选：D. 题型06 对数(型）函数的单调性问题 【例11】函数的单调减区间是__________． 【答案】 【详解】函数定义域为或. 又二次函数在上单调递减，对数函数在其定义域内单调递增， 从而函数的单调减区间为. 【例12】函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，函数的外层函数为， 又，则外层函数为单调递减函数. ∵ 函数在区间上单调递增， ∴ 内层函数在区间上单调递减，且在上恒成立. ∵ 是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 要满足在上单调递减，需，解得. ∵ 在上单调递减，∴ 时，， 要满足在上恒成立，需，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 必记结论 1.标准对数函数单调性：在单调递增；在单调递减。 2.复合对数遵循同增异减：外层对数与内层单调性相同则整体递增，相反则递减。 3.讨论单调性前必须先求定义域，单调区间只能在定义域内书写。 【小试牛刀】 【变式6-1】对于实数，“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，取，，此时无意义，不满足. 因此“”不能推出“”，充分性不成立. 若，因在上单调递增，故且、. 因此“”可以推出“”，必要性成立. 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式6-2】函数的单调递增区间是_____． 【答案】 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为， 令，则原函数为， 在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 【变式6-3】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在区间上单调递增， 令，而函数在定义域内单调递减， 所以在区间上单调递减， 又因为，有恒成立， 则，求解可得 所以． 故选：D 题型07 比较两数的大小 【例13】已知，，，比较，，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对数函数在定义域上单调递减， 由于，因此，即； 对数函数在定义域上单调递增， 由于，因此，即； 指数函数在定义域R上单调递减，由，因此， 综上可得. 【例14】已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 故. 必记结论 1.同底数对数：看底数范围，真数越大值越大；真数越大值越小。 2.同真数对数：结合图像底大图低规律，分、两段比较底数。 3.底数、真数均不同：引入中间量0或1搭桥，如、。 4.正负快速判断：，对数为正，对数为负；相反。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ，． 【变式7-2】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在单调递减，， 所以， 因为在上单调递增，， 所以， 因为在上单调递减，， 所以， 即，，， 所以. 【变式7-3】已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为减函数，， 所以，即， 因为函数为增函数，， 所以，即 因为函数为减函数，， 所以，即 所以， 故选：A. 题型08 解简单的对数不等式 【例15】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 【例16】不等式的解集（用区间表示）________________． 【答案】 【详解】需满足：， 解得或，解得，因此， 由于，则 由于函数在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. 易错点 1.直接去掉对数符号，遗漏真数大于0的限制，产生大量增根。 2.时去掉对数不改变不等号方向，解集完全错误。 【小试牛刀】 【变式8-1】若（且，且），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以；，所以. 由，因为，， 所以. 综上可得. 故选项D是错误的. 【变式8-2】不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且对于对数函数在时单调递增， 所以原不等式等价为， 由，等价为，解得或； 由，即，解得， 综上得，所以原不等式的解集为. 【变式8-3】不等式的解集为______. 【答案】 【详解】不等式，可化为， 因为在上是增函数， 所以不等式，即为，解得 所以不等式的解集为 题型09 对数（型）函数的值域（最值） 【例17】（多选）已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】BD 【详解】根据已知条件，函数， 当时，， 在上单调递减， 则，解得，满足条件； 当时，，在上单调递增， 则，解得，满足条件. 故选：BD. 【例18】已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为， 当时， ，，所以 当时， ，,所以. 所以. . 必记结论 1.标准对数值域为全体实数，无最大值、最小值。 2.复合对数值域解题步骤：先求内层真数取值范围，再结合外层对数单调性求整体范围。 3.若内层真数有上下界，结合底数增减判断对应对数最值；含参底数分两类讨论。 4.定义域为闭区间时，最值仅出现在区间端点，代入端点真数计算即可。 【小试牛刀】 【变式9-1】已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【答案】 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 【变式9-2】函数的最大值为_____. 【答案】/ 【详解】 当，即时，取得最大值. 故答案为：. 【变式9-3】已知的值域为，那么的取值范围是______. 【答案】 【详解】当，则， 设在内的值域为， 因为的值域为， 则，当时，，不符合题意， 显然不合题意，则，解得， 所以的取值范围是为. 故答案为：. 题型10 对数函数的分类讨论 【例19】若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 【例20】已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意的，且时，满足， 所以函数在上单调递增， 令，其图象的开口向上，对称轴为， 则在上单调递增， 当时，为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递减，不满足题意； 当时，为单调递增函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递增， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 必记结论 1.分类讨论核心分界点：底数，分、两大情况。 2.讨论内容包含：单调性、图像升降、对数不等式不等号方向、值域最值。 3.底数含参数时，先排除、无意义情况，再分段分析。 4.两类情况分别求出解集或结论，无特殊说明不合并答案，分开书写。 【小试牛刀】 【变式10-1】已知函数的定义域和值域都是，则_________. 【答案】 【详解】因为在上单调递减，且， 当时，在上单调递减， 因为函数的定义域和值域都是， 所以，这与矛盾，不符合题意； 当时，在上单调递增， 因为函数的定义域和值域都是， 所以，则，因为， 所以， 故答案为：. 【变式10-2】已知（且），如果对于任意的都有成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】当时，在上单调递减，则的值域为， 所以，即， 因此，解得； 当时，在上单调递增，则的值域为， 所以，即， 因此，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 【变式10-3】若函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】当时，在上单调递减，则在上单调递减， 所以，无解； 当时，在上单调递减，则在上单调递增， 所以，解得， 综上可得，的取值范围为. 故答案为：. 题型11 对数函数中的恒成立问题 【例21】已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)在区间和单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，即，则， 故，则，由于x不恒为常数，则，即， 当时，，不满足题意； 当时，由，得或， 所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以满足题意， 综上，． （2）在区间和单调递增，证明如下： 的定义域为， 当时，因为， 令，则，取， 则，即， 因为在其定义域上单调递增，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 因为是奇函数，所以在上也是单调递增， 因此在区间和单调递增； （3）因为为奇函数， 所以由，得， 因为在其定义域上单调递增， 所以在上恒成立，则恒成立， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以． 【例22】已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）当时，，． （2）若函数的定义域为，则对任意的恒成立． 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）由题意可知，不等式对任意的恒成立， 所以，，可得， 因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数， 所以，. 因此，实数的取值范围是. 【小试牛刀】 【变式11-1】已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 【变式11-2】已知（，均为常数），且． (1)求函数的解析式； (2)若对，不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得，解得， 即； （2）由题意可得对，不等式成立， 即对，不等式成立， 即对，不等式成立， 由在上单调递增， 故当时，， 则有. 【变式11-3】已知函数，且． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）因为，且， 即，所以，解得， ， 由解得，的定义域为， 对于任意，都有，且， 是奇函数. （2）在上单调递减. 证明：设，则， ， ，，， 在上单调递减. （3）对任意，不等式恒成立， 即任意，不等式恒成立， 令，， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， ， 实数的取值范围为. 3 基础过关 1．对数函数经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，令，则， 即函数经过点. 2．函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，即，解得且， 因此，函数的定义域为． 故选：C． 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得，所以， 又因为，所以. 4．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】指数函数为增函数，且，所以，即. 对数函数在定义域内为减函数，且，所以，即. 因为，所以. 综上，. 5．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 6．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数在上单调递减，且， 所以，所以. 7．（多选）设函数，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】CD 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或. 综上所述，或. 故选：CD. 8．（多选）与函数的图象关于直线对称的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为函数与的图象关于直线对称， 故只需判断哪个函数与表示同一个函数， 因为函数的定义域为， 选项A的定义域为，故排除A； 选项BCD的定义域均为， 根据对数的运算法则，， 且. 故选：BCD 9．若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 【答案】 【详解】由题意可知，，，，，， 则，， 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意， 所以整数n的取值集合为 10．函数的单调递减区间为______． 【答案】 【详解】， 由，即，解得. 函数的图象开口向下，对称轴是，在上递增， 而在上递减， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递减区间是. 故答案为： 11．设函数. (1)画出函数的图象； (2)若存在不相等的实数，，使，求的值. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，作出函数的图象如下图所示： （2）不妨设，由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则必有，且有，即， 所以，解得. 12．已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)2或； (2). 【分析】 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 当时，， 于是，因此； 当时，函数在上单调递减， 当时，， 于是，因此， 所以a的值为2或. （2）当时，函数在上单调递增，而， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 能力提升 13．已知函数，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由恒成立，故定义域为， ， 由在上单调递增， 且在上单调递增，则在上单调递减， 有， 则， 故函数为奇函数，则在上单调递减， 则由可得， 即，则， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为. 14．（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 15．已知函数，且，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【详解】由得， 故函数的定义域为f，定义域关于原点对称， 因为，因此是偶函数， 当时，，其中和在上均为增函数， 故在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 已知，根据偶函数性质，可转化为, 又因为在上单调递增，所以, 当时：，由对数函数单调性得, 当时：，由对数函数单调性得, 实数的取值范围为 16．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，即．已知函数的图象关于点成中心对称，函数．（为自然对数的底数） (1)求函数的定义域，并判断函数的单调性（只需判断即可）； (2)求函数的对称中心； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域为，函数在上单调递增； (2)对称中心为 (3)的取值范围是 【分析】 【详解】（1）因为 所以，即，解得. 所以函数的定义域为. 令， 因为，所以单调递增，即单调递增. 又因为单调递增，所以函数在上单调递增. （2） 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以，即. 所以. 因为上式对任意成立，所以，解得. 所以函数的对称中心为. （3）因为，使得不等式成立， 所以. 由（1）得在上单调递增，所以. ， 令，设 因为，所以，即，所以 即. 所以，解得. 实数的取值范围是. 17．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 【分析】 【详解】（1）因为是奇函数，定义域为，由奇函数性质， 代入得， 验证可得，满足奇函数定义，故. （2）已知，可知是上的增函数. 当时，的最小值为. 对任意，存在使， 等价于在上的最小值大于等于在上的最小值. 令，，则， ，是开口向上的二次函数，对称轴， 则最小值为， 令，即实数的取值范围为. （3）由（1）知，是定义域为的奇函数，得，因此. 将代入得，已知对任意，都有， 不等式两边同乘正数，整理得，对系数分类讨论： ①：若，不等式变为，恒成立； 若 ，，不等式变形为，此时右边，而恒成立，不等式恒成立. 因此，当时，解集为. ②：此时，不等式变形为，由于， 因此右边，而恒成立，不等式无解 因此，当时，解集为空集. ③：此时，不等式变形为，此时， 对不等式两边以3为底取对数得. 因此，当时，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 挑战一刻 18．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 19．已知函数，其中表示不超过的最大整数，则__________. 【答案】5334 【详解】当为正整数时，. 当，时，； 当，，，，，时，，共6个1； 当，，，，时，，共18个2； 当，，，，时，，共54个3； 当，，，，时，，共20个4. 所以 . 20．已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）当时，的定义域为，因为，所以是增函数， 即，所以，解得， 所以的解集为． （2），所以，（） ， ，因为，所以，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2． （3）因为，所以是增函数，所以在上的最小值为，最大值为， ，在的最大值与最小值之和不大于，即 等价转化为恒成立， 因为，所以的最大值为，所以，化简得， 解得，又因为， 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 对数函数 预习目标 知识回顾 1．掌握对数函数标准定义，牢记底数取值范围，区分对数函数与对数型复合函数，明确定义域要求。 2．熟记两类对数函数图像与性质，掌握底大图低规律，能根据底数判断函数增减、比较底数大小。 3．理解反函数定义与定义域值域互换关系，掌握指数、对数互为反函数的图像对称特征。 1．理解对数定义，分清底数与真数，掌握指对互化，熟记特殊对数记法和对数基础性质。 2．熟练运用对数加减、数乘运算性质，牢记对数有意义的条件，规范完成化简与求值计算。 3．掌握对数换底公式及相关推论，灵活统一底数，快速处理不同底数对数的运算题目。 新知导图 预习精讲 想一想 用x表示细胞分裂的次数，y表示细胞分裂后细胞的个数，我们通过前面的学习已经能知道y与x的函数关系式为， 那如果知道了细胞分裂后细胞的个数是y个，如何确定x细胞分裂的次数呢？ 知识点01 对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 【即学即练】 1．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 对数函数的图象及性质 1.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 2．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 【即学即练】 2．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 3．函数，的最大值为______. 知识点03 反函数 1．反函数的定义 设集合、分别是函数的定义域与值域。若通过能解出，且对任意，都有唯一与之对应，则称为的反函数，记作。 在中，是自变量，是关于的函数；日常书写习惯交换变量，改写为，定义域为。 与本质是同一个函数，二者定义域、对应法则完全一致。 核心对应关系： 1.原函数的定义域=反函数的值域； 2.原函数的值域=反函数的定义域。 注意 不是所有函数都存在反函数，例如二次函数无反函数； 判定结论：单调函数一定存在反函数。 2．反函数的核心性质 1.互为反函数的两个函数图像，关于直线对称。 2.点与图像对应关系：若点在原函数图像上，则点一定在它的反函数图像上；反之，若在反函数图像上，则在原函数图像上。 【即学即练】 4．若函数与的图像关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．3 题型速练 题型01 对数函数的概念 【例1】下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 必记结论 1.标准对数函数解析式为（且），自变量仅在真数位置，底数为常数。 2.区分对数函数与对数型复合函数，形如、都不属于标准对数函数。 3.底数限制条件：；标准对数函数真数为，满足。 【小试牛刀】 【变式1-1】下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【变式1-2】下列函数是对数函数的个数_____ ①    ②    ③    ④ 【变式1-3】函数为对数函数，则________． 题型02 求对数函数的解析式或函数值 【例3】已知为对数函数，，则_______，_______． 【例4】已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 必记结论 1.求解析式通用方法：待定系数法，设，代入已知点坐标求出底数。 2.求函数值步骤：将自变量代入解析式，结合对数运算性质、指对互化化简计算。 3.已知函数值求自变量，直接转化为指数式求解，最后检验真数大于0。 【小试牛刀】 【变式2-1】函数（，且）是对数函数，且过点，则________． 【变式2-2】已知函数是对数函数，且，则_________． 【变式2-3】已知对数函数（且）的图象经过点，若点为此函数图象上的点，求实数b的值． 题型03 对数函数的定义域 【例5】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例6】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 易错点 1.只考虑真数大于0，忽略底数含参时底数的取值限制。 2.多个对数同时存在时，只解单个不等式，忘记取公共交集。 【小试牛刀】 【变式3-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】函数的定义域是______. 【变式3-3】若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 题型04 反函数问题 【例7】函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 【例8】已知函数的图象过点，则的反函数的图象过点（   ） A． B． C． D． 必记结论 1.指数函数与对数函数互为反函数，定义域、值域互换。 2.互为反函数的图像关于直线对称；原函数上点，反函数对应点。 3.单调函数一定存在反函数，对数函数在定义域上单调，必然存在反函数。 4.求反函数步骤：互换，利用指对互化解出新，标注对应定义域。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（   ） A． B．10 C．12 D． 【变式4-2】函数为奇函数，是的反函数，若，则______． 【变式4-3】已知和它的反函数的图像都经过，则______． 题型05 对数函数的图象 【例9】函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例10】若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 必记结论 1.分两类图像：时函数单调递增，图像从左下向右上；时单调递减，图像从左上向右下。 2.所有对数函数恒过定点，时函数值恒为0。 3.底大图低规律：直线右侧，底数越大图像越靠下；区间底数越大图像越靠上。 【小试牛刀】 【变式5-1】如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式5-2】在同一直角坐标系中，函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知函数且的图像经过坐标原点.则函数与函数在同一直角坐标系下的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型06 对数(型）函数的单调性问题 【例11】函数的单调减区间是__________． 【例12】函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 必记结论 1.标准对数函数单调性：在单调递增；在单调递减。 2.复合对数遵循同增异减：外层对数与内层单调性相同则整体递增，相反则递减。 3.讨论单调性前必须先求定义域，单调区间只能在定义域内书写。 【小试牛刀】 【变式6-1】对于实数，“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】函数的单调递增区间是_____． 【变式6-3】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型07 比较两数的大小 【例13】已知，，，比较，，的大小为（     ） A． B． C． D． 【例14】已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 必记结论 1.同底数对数：看底数范围，真数越大值越大；真数越大值越小。 2.同真数对数：结合图像底大图低规律，分、两段比较底数。 3.底数、真数均不同：引入中间量0或1搭桥，如、。 4.正负快速判断：，对数为正，对数为负；相反。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型08 解简单的对数不等式 【例15】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例16】不等式的解集（用区间表示）________________． 易错点 1.直接去掉对数符号，遗漏真数大于0的限制，产生大量增根。 2.时去掉对数不改变不等号方向，解集完全错误。 【小试牛刀】 【变式8-1】若（且，且），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】不等式的解集为______. 题型09 对数（型）函数的值域（最值） 【例17】（多选）已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 【例18】已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 必记结论 1.标准对数值域为全体实数，无最大值、最小值。 2.复合对数值域解题步骤：先求内层真数取值范围，再结合外层对数单调性求整体范围。 3.若内层真数有上下界，结合底数增减判断对应对数最值；含参底数分两类讨论。 4.定义域为闭区间时，最值仅出现在区间端点，代入端点真数计算即可。 【小试牛刀】 【变式9-1】已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【变式9-2】函数的最大值为_____. 【变式9-3】已知的值域为，那么的取值范围是______. 题型10 对数函数的分类讨论 【例19】若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【例20】已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 必记结论 1.分类讨论核心分界点：底数，分、两大情况。 2.讨论内容包含：单调性、图像升降、对数不等式不等号方向、值域最值。 3.底数含参数时，先排除、无意义情况，再分段分析。 4.两类情况分别求出解集或结论，无特殊说明不合并答案，分开书写。 【小试牛刀】 【变式10-1】已知函数的定义域和值域都是，则_________. 【变式10-2】已知（且），如果对于任意的都有成立，则a的取值范围为______． 【变式10-3】若函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围为__________. 题型11 对数函数中的恒成立问题 【例21】已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【例22】已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【小试牛刀】 【变式11-1】已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【变式11-2】已知（，均为常数），且． (1)求函数的解析式； (2)若对，不等式成立，求实数m的取值范围． 【变式11-3】已知函数，且． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3 基础过关 1．对数函数经过点（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）设函数，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D． 8．（多选）与函数的图象关于直线对称的函数为（    ） A． B． C． D． 9．若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 10．函数的单调递减区间为______． 11．设函数. (1)画出函数的图象； (2)若存在不相等的实数，，使，求的值. 12．已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 能力提升 13．已知函数，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 14．（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 15．已知函数，且，则实数的取值范围为_____________． 16．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，即．已知函数的图象关于点成中心对称，函数．（为自然对数的底数） (1)求函数的定义域，并判断函数的单调性（只需判断即可）； (2)求函数的对称中心； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 17．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 挑战一刻 18．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 19．已知函数，其中表示不超过的最大整数，则__________. 20．已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $