3.1.2 第1课时 函数的表示法-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦人教必修一第三章“函数的概念及其表示”，以“自主学习·新知感悟”为课堂导入支架，帮助学生衔接前期知识与函数概念，构建从具体到抽象的知识脉络。 其亮点在于PPT支持任意编辑（双击内容呈现word文档编辑），采用“自主-合作-评价-分层练”四段式设计，通过合作探究培养数学思维，课堂评价提升数学语言应用能力，如课后分层练以梯度题目促进思维进阶。助力学生自主探究与能力分层提升，方便教师灵活调整教学内容，提升教学效率。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第三章 函数的概念及其表示 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．1.1　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 学习目标　1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法，提升数学抽象素养．(重点)　2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，提升逻辑推理素养．(重点)　3.会求函数的解析式，提升逻辑推理和数学运算素养．(重点、难点) 观察下列图表． (1)如图，这是我国出生人口数的变化曲线： (2)下面是大气中氰化物浓度与距污染源距离的关系表： 距污染源距离 50 100 200 300 500 氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 问题　图表中表示的两者的关系都是函数关系吗？若是，分别是什么表示方法？ 提示：都是函数关系．(1)是图象法，(2)是列表法． 【自主评测】 1．教材挖掘：任何函数都能用图象法表示吗？ 提示：不是，有的函数无法作出图象，如狄利克雷函数D(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,0，x∉Q.)) 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)任何一个函数都能用解析法表示．(　　 ) (2)函数y＝2x－1(－1≤x≤0)的图象是一条直线．(　　 ) (3)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(　　 ) (4)图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 　函数的表示法 例1　已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出． x 1 2 3 f(x) 2 1 1 g(x) 3 2 1 (1)f(g(3))＝________； (2)若g(f(x))＝2，则x＝________． 解析：(1)由表知g(3)＝1， ∴f(g(3))＝f(1)＝2； (2)由表知g(2)＝2，又g(f(x))＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1. 答案：(1)2　(2)1 eq \x(,应用函数三种表示方法应注意以下三点：,(1)解析法必须注明函数的定义域；,(2)列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系；,(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．) 类题通法 应用函数三种表示方法应注意以下三点： 解析法必须注明函数的定义域； 列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系； 图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线”. 【迁移运用】 1.某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　) 解析：选D．由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0. 　函数的图象 作函数图象的基本步骤 例2　(链接教材：人教A版P68例6)作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝ eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞)； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]. 解：(1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 eq \f(2,3) eq \f(1,2) eq \f(2,5) … 画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝ eq \f(2,x)的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0，1]. (2)列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2).由图可得函数的值域是[－1，8]. 类题通法 　 利用图象认识函数 左右看范围→函数的定义域； 上下看范围→函数的值域； 左右看变化→函数值随x的变化情况．　 【迁移运用】 2.画出下列函数的图象． (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1或x<－1). 解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图1. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图2. 　求函数的解析式 (1)一次函数：y＝kx＋b，k≠0； (2)正比例函数：y＝kx，k≠0； (3)反比例函数：y＝ eq \f(k,x)，k≠0； (4)一元二次函数：①一般式：y＝ax2＋bx＋c；②顶点式：y＝a(x－h)2＋k；③两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中a≠0，顶点(h，k)，与x轴交点的横坐标x1，x2. 角度一　待定系数法求解析式 例3　已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式． 解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f[f(x)]＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8.)) ∴f(x)＝2x＋ eq \f(8,3)或f(x)＝－2x－8. eq \x(,若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程（组），通过解方程（组）求出待定系数，进而求出函数解析式．) 类题通法 若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程（组），通过解方程（组）求出待定系数，进而求出函数解析式. 角度二　换元法和配凑法求解析式 例4　(一题多解)已知函数f( eq \r(x)＋1)＝x＋2 eq \r(x)＋1，求f(x)的解析式． 解：配凑法：∵f( eq \r(x)＋1)＝x＋2 eq \r(x)＋1＝( eq \r(x)＋1)2， ∴f(x)＝x2.又 eq \r(x)＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1). 换元法：令t＝ eq \r(x)＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1. 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，所以f(x)＝x2(x≥1). 类题通法 换元法和配凑法求解析式的策略 换元法：令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围． (2)配凑法：从f(g（x)）的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．　　　 角度三　方程组法求解析式 例5　若f(x)＋2f(－x)＝ eq \f(1,x)，求f(x). 解：因为f(x)＋2f(－x)＝ eq \f(1,x)　①， 用－x替换x得f(－x)＋2f(x)＝－ eq \f(1,x)　②， ②×2－①得3f(x)＝－ eq \f(2,x)－ eq \f(1,x)＝－ eq \f(3,x)， 所以f(x)＝－ eq \f(1,x). eq \x(,已知关于f(x)与f(\f(1,x))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).) 类题通法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 已知关于f(x)与f( eq \f(1,x))或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 1．已知学校宿舍与办公室相距a m，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3 min来到办公室，停留2 min，然后匀速步行10 min返回宿舍，在这个过程中，这位同学行走的路程s是时间t的函数，则这个函数图象是(　　) 解析：选A．由题意可得先匀速跑步3 min来到办公室，路程是递增的；停留2 min，路程不发生变化；再匀速步行10 min返回宿舍，总路程也是增加的，只有A符合． 2．已知f( eq \f(2,x)＋1)＝x＋3，则f(x)的解析式可取(　　) A．f(x)＝ eq \f(3x－1,x－1)(x≠1) B．f(x)＝ eq \f(3x＋1,x－1)(x≠1) C．f(x)＝ eq \f(2x,1＋x2)(x≠1) D．f(x)＝－ eq \f(x,1＋x2)(x≠1) 解析：选A．令t＝ eq \f(2,x)＋1(t≠1)，则x＝ eq \f(2,t－1)，因为f( eq \f(2,x)＋1)＝x＋3，所以f(t)＝ eq \f(2,t－1)＋3＝ eq \f(3t－1,t－1)(t≠1).所以f(x)＝ eq \f(3x－1,x－1)(x≠1). 3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f( eq \f(1,x))· eq \r(x)－1，则f(x)＝(　　) A． eq \f(1,3) eq \r(x)＋ eq \f(2,3)(x>0) B． eq \f(2,3) eq \r(x)＋ eq \f(1,3)(x>0) C． eq \r(x)＋1(x>0) D． eq \r(x)－1(x>0) 解析：选B．由f(x)＝2f( eq \f(1,x))· eq \r(x)－1，① 以 eq \f(1,x)替换x，得f( eq \f(1,x))＝2f(x)· eq \r(\f(1,x))－1，② 把②代入①，可得f(x)＝2 eq \r(x)[2f(x)· eq \r(\f(1,x))－1]－1，即3f(x)＝2 eq \r(x)＋1. 所以f(x)＝ eq \f(2,3) eq \r(x)＋ eq \f(1,3)(x>0). 4．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为______________． 解析：由梯形的面积公式有100＝ eq \f(x＋3x,2)·y，得y＝ eq \f(50,x)(x>0). 答案：y＝ eq \f(50,x)(x>0) 5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域． 解：(1)f(x)图象的简图如图所示． (2)由f(x)的图象可知，f(x)所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3]. 【基础巩固】 1．已知f(3x－1)＝9x2，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)＝9x2 B．f(x)＝(x＋1)2 C．f(2)＝36 D．f(－2)＝－1 解析：选B．因为f(3x－1)＝9x2＝(3x－1)2＋2(3x－1)＋1，所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，则f(2)＝9，f(－2)＝1. 2．已知函数y＝f(x)，用列表法表示如下： x －2 －1 0 1 2 y 1 0 －2 2 －1 则f(－2)＋f[f(－2)]＝(　　) A．－4 B．0 C．2 D．3 解析：选D．由表格可得：f(－2)＝1， 所以f[f(－2)]＝f(1)＝2， 所以f(－2)＋f[f(－2)]＝3. 3．若函数f( eq \f(1,x))＝ eq \f(1,1＋x)，则函数f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝1＋x(x≠0，x≠－1) B．f(x)＝ eq \f(x,x＋1)(x≠0，x≠－1) C．f(x)＝ eq \f(1,x＋1)(x≠0，x≠－1) D．f(x)＝x(x≠0，x≠－1) 解析：选B．设t＝ eq \f(1,x)，则x＝ eq \f(1,t)， ∵函数f( eq \f(1,x))＝ eq \f(1,1＋x)， ∴f(t)＝ eq \f(t,1＋t)，t≠0，t≠－1， ∴f(x)＝ eq \f(x,x＋1)(x≠0，x≠－1). 4．在函数y＝|x|(x∈[－2，2])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数的图象与x轴、直线x＝－2及x＝t围成的图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图象可表示为(　　) 解析：选B．当－2≤t<0时，S＝2－ eq \f(t2,2)，其图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，2)； 当0<t≤2时，S＝2＋ eq \f(t2,2)，其图象是开口向上的抛物线，顶点坐标是(0，2).所以B满足要求． 5．已知函数f(x)与g(x)的部分对应值如表所示，则方程f(g(x))＝x＋1的解集是(　　 ) x 1 2 3 g(x) 1 3 2 f(x) 2 3 1 A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{1，2，3} 解析：选A．∵f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝1，f(g(1))＝2，f(g(2))＝1，f(g(3))＝3 ， ∴只有f(g(1))＝2满足f(g(x))＝x＋1， 因此方程f(g(x))＝x＋1的解集是{1}． 6．若f(x)＝4x－3，g(2x－1)＝f(x)，则g(3)＝(　　) A．2 B．3 C．5 D．17 解析：选C．由f(x)＝4x－3，g(2x－1)＝f(x)， 令2x－1＝3，解得x＝2， 所以g(3)＝f(2)＝2×4－3＝5. 7．(2025·福建莆田期中)若函数f(x)满足f(x)＋2f( eq \f(1,x))＝2x＋1，则f(2)＝(　　) A．－ eq \f(1,3) B． eq \f(2,3) C． eq \f(8,3) D． eq \f(1,2) 解析：选A．因为函数f(x)满足f(x)＋2f( eq \f(1,x))＝2x＋1　①， 所以f( eq \f(1,x))＋2f(x)＝ eq \f(2,x)＋1　②， 联立①② eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(x)＋2f(\f(1,x))＝2x＋1，,f(\f(1,x))＋2f(x)＝\f(2,x)＋1，)) 解得f(x)＝ eq \f(4,3x)－ eq \f(2x,3)＋ eq \f(1,3)， ∴f(2)＝ eq \f(4,6)－ eq \f(4,3)＋ eq \f(1,3)＝－ eq \f(1,3). 8．(多选)下列命题中，正确的有(　　) A．函数y＝ eq \r(x＋1)· eq \r(x－1)与函数y＝ eq \r(x2－1)表示同一函数 B．已知函数f(2x＋1)＝4x－6，若f(a)＝10，则a＝9 C．若函数f( eq \r(x)－1)＝x－3 eq \r(x)，则f(x)＝x2－x－2(x≥－1) D．若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)的定义域为[0，4] 解析：选BC．f(x)＝ eq \r(x＋1)· eq \r(x－1)的定义域是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x－1≥0))))＝{x|x≥1}，g(x)＝ eq \r(x2－1)的定义域是{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1，或x≤－1}，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误； 函数f(2x＋1)＝4x－6，若f(a)＝10，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋1＝a，,4x－6＝10，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,a＝9，))故B正确； 若函数f( eq \r(x)－1)＝x－3 eq \r(x)＝( eq \r(x)－1)2－( eq \r(x)－1)－2，则f(x)＝x2－x－2(x≥－1)，故C正确； 若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)中，0≤2x≤2，所以0≤x≤1，即函数f(2x)的定义域为[0，1]，故D错误． 9．根据下列条件，求函数的解析式： (1)已知f( eq \r(x)＋1)＝x＋2 eq \r(x)； (2)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1； (3)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1). 解：(1)方法一(换元法)：设t＝ eq \r(x)＋1，t≥1，则x＝(t－1)2(t≥1). 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二(配凑法)：∵x＋2 eq \r(x)＝( eq \r(x))2＋2 eq \r(x)＋1－1＝( eq \r(x)＋1)2－1， ∴f( eq \r(x)＋1)＝( eq \r(x)＋1)2－1( eq \r(x)＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1). (2)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式2f(x)－f(－x)＝3x＋1联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1. (3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y＝(－y)2＋(－y)＋1，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1. 10．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)求函数f(x)的值域． 解：f(x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示： (1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0. 所以f(1)>f(0)>f(3). (2)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4， 则函数f(x)的值域为(－∞，4]. 【综合运用】 11．函数y＝ eq \f(x,1＋x)的大致图象是(　　) 解析：选A．y＝ eq \f(x,1＋x)的定义域为{x|x≠－1}，排除C、D；当x＝0时，y＝0，排除B. 12．(2025·广西北海期末)若函数f(x＋ eq \f(1,x))＝x2＋ eq \f(1,x2)，且f(m)＝4，则实数m的值为(　　) A． eq \r(6) B． eq \r(6)或－ eq \r(6) C．－ eq \r(6) D．3 解析：选B．令x＋ eq \f(1,x)＝t(t≥2或t≤－2)，x2＋ eq \f(1,x2)＝(x＋ eq \f(1,x))2－2＝t2－2，∴f(t)＝t2－2，f(m)＝m2－2＝4，∴m＝± eq \r(6). 13．设函数f(x)＝ eq \f(x,ax＋b)(a，b为非零常数)满足： (1)f(2)＝1；(2)f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值及f(x)的值域． 解：因为f(2)＝ eq \f(2,2a＋b)＝1. ∴2a＋b＝2，① 又因为f(x)＝x有唯一解， 即 eq \f(x,ax＋b)＝x有唯一解， 所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根， 则Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1.② 代入①式，得a＝ eq \f(1,2). 所以f(x)＝ eq \f(x,\f(1,2)x＋1)＝ eq \f(2x,x＋2). 所以f(－3)＝ eq \f(2×(－3),－3＋2)＝6. 因此f[f(－3)]＝f(6)＝ eq \f(2×6,6＋2)＝ eq \f(3,2). 又f(x)＝ eq \f(2x,x＋2)＝ eq \f(2(x＋2)－4,x＋2)＝2－ eq \f(4,x＋2)，由 eq \f(4,x＋2)≠0，知f(x)≠2. 故函数f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠2}． 【创新探索】 14．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《中华人民共和国村民委员会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表．规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人．那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　) A．y＝[ eq \f(x＋11,15)] B．y＝[ eq \f(x＋4,15)] C．y＝[ eq \f(x＋10,15)] D．y＝[ eq \f(x＋5,15)] 解：选B．根据规定15户推选一名代表，当全村户数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加4， 因此利用取整函数可表示为y＝[ eq \f(x＋4,15)]. 15．已知二次函数f(x)满足：f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝3. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若g( eq \r(x＋1))＝f(x)(x≥－1)，求函数g(x)的解析式． 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为f(0)＝3，所以c＝3， 因为f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋2ax＋a＋bx＋b＋c， 所以f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x， 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，)) 所以f(x)＝x2－x＋3. (2)依题意可得g( eq \r(x＋1))＝x2－x＋3(x≥－1)， 令t＝ eq \r(x＋1)，则t≥0， 所以x＝t2－1， 所以g(t)＝(t2－1)2－(t2－1)＋3＝t4－3t2＋5， 所以g(x)＝x4－3x2＋5，x∈[0，＋∞). $