第六讲 曲线运动与平抛运动- 2027届高三物理暑假自学衔接课

新高三暑假复习讲义 2027届高三暑假自学衔接课 第六讲 曲线运动与平抛运动 一、曲线运动的条件及轨迹 1.曲线运动的条件 ①运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。 ②动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。 2．合外力方向与轨迹的关系 物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧。 物体做曲线运动的轨迹特征 1判断物体是做曲线运动还是做直线运动，关键要看a和v的方向，两者方向在同一直线上则做直线运动，否则做曲线运动。 2曲线上某点处合外力的方向在曲线上该点的切线的哪一侧，曲线就向哪一侧弯曲；曲线上某点的加速度越大、速度越小，则曲线轨迹弯曲越厉害；曲线轨迹必定夹在a、v方向之间 3.合运动轨迹和性质的判断方法 标准:看合初速度方向与合加速度(或合外力)方向是否共线 (1)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。 (2)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。 4.小船过河问题： 方式 图示 说明 渡河时间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝ 5. 关联速度 1．模型特点：沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。 2．分解思路： 二、平抛运动 1. 平抛运动的基本规律 (1)．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。 (2)．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。 (3)．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。 (4)．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 (5)．基本规律(如图所示) ①速度关系 ②位移关系 2.平抛运动的两个重要推论 1.做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。 2.做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。 考点一：对曲线运动的理解 例1.滔滔黄河水，在山西境内蜿蜒前行近千公里，形成了气象万千的绝美景致。如图是无人机航拍的一段黄河流域地形图片，河水在山涧中沿着弯弯曲曲的河床做曲线运动。图中的a、b、c、d四点中，与P点处河水速度方向一致的是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】B 【详解】曲线运动过程中速度的方向就是运动轨迹的切线方向。对图中各点做切线，可知b点与P点处河水速度方向一致。故选B。 【变式训练】歼-20是由中国航空工业集团自主研制的新一代中型隐身多用途战斗机。如图所示，虚线ab是歼-20战机从水平地面起飞过程中的部分曲线轨迹，关于此过程下列说法中正确的是（　　） A．研究歼-20姿态调整时可以把战斗机看成质点 B．歼-20的运动一定是匀变速曲线运动 C．歼-20从a到b飞行过程中的速度时刻在变化 D．歼-20从a到b起飞过程中，飞行员处于失重状态 【答案】C 【详解】A．研究歼-20姿态调整时，需要关注飞机的机翼角度、机身倾斜度等细节，飞机的大小和形状不能忽略，因此不可以把战斗机看成质点，故A错误； B．歼-20在起飞过程中，受到重力、发动机推力、空气阻力和升力等作用，这些力的大小和方向随飞行状态变化，合外力不恒定，加速度不恒定，所以不是匀变速曲线运动，故B错误； C．歼-20从a到b做曲线运动，曲线运动中速度方向时刻沿轨迹的切线方向，方向时刻改变，而速度是矢量，所以速度时刻在变化，故C正确； D．歼-20从a到b起飞过程中，轨迹向上弯曲且速率增加，加速度具有竖直向上的分量，合外力有竖直向上的分力，根据牛顿第二定律可知，飞行员处于超重状态，故D错误。 故选C。 例2.在2026年5月1日“闽超”赛场上，厦门队球员在一次进攻中，突破重重阻碍，踢出的足球划出一条完美弧线进入球门，守门员“望球莫及”，其轨迹如图所示。下列关于足球在飞行过程中的说法正确的是（     ） A．足球在空中仅受到重力的作用 B．足球的速度方向指向轨迹内侧 C．足球所受合外力方向指向轨迹内侧 D．足球所受合外力方向沿轨迹切线相反方向 【答案】C 【详解】A．足球能划出弧线轨迹，说明除了重力外，还受到空气的作用力，故A错误； B．在曲线运动中，物体的速度方向是轨迹的切线方向，故B错误； CD．根据曲线运动的特点，可知曲线运动的合外力方向一定指向轨迹的内侧，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练】一辆汽车在十字路口等候信号灯，当绿灯亮时汽车从静止开始启动，恰好经过四分之一圆周完成左转。如图所示，在汽车加速经过点时，、、、分别为汽车所受合外力的四个方向，其中方向为切线方向，则合力的方向可能是（     ） A．方向 B．方向 C．方向 D．方向 【答案】A 【详解】当汽车所受合外力与速度方向不在一条直线上时，汽车才能做曲线运动完成转弯，当合外力方向与速度方向夹角为锐角时，汽车速度变大；当合外力方向与速度方向夹角为钝角时，汽车速度减小。由于汽车从静止开始启动，其速度增大，故速度与合外力方向夹角应为锐角，由此可以判断，图示下，当速度方向为时，其合外力方向可能是。 故选A。 例3.2026年4月19日，人形机器人“闪电”在北京亦庄半程马拉松中夺冠并打破机器人组赛会纪录。若机器人在一段圆弧轨道上转弯，运动过程中速度大小保持不变，则机器人（　　 ） A．所受合外力可能为零 B．速度的方向一定变化 C．加速度的方向保持不变 D．所受合外力的大小一定变化 【答案】B 【详解】A．机器人做曲线运动，速度方向不断变化，一定存在加速度，因此合外力一定不为零，A错误； B．圆周运动的速度方向为轨道切线方向，位置变化时切线方向始终变化，因此速度方向一定变化，B正确； C．匀速圆周运动的加速度为向心加速度，方向始终指向圆心，随位置变化加速度方向不断改变，C错误； D．匀速圆周运动合外力提供向心力，大小满足，机器人质量、速度大小、圆弧半径都不变，因此合外力大小不变，D错误。 故选B。 考点二：运动的合成与分解 例1.如图所示，某无人机在水平面内进行自动避障测试。测试场存在一条沿正东方向匀速流动的模拟“风场”，风会带着无人机以恒定速度向东飘移。无人机自带动力在静止空气中的飞行速度恒为。无人机从点由静止出发，严格沿正北方向直线运动至距点正北的点。不计空气阻力与高度变化。下列说法正确的是（　　） A．无人机机头与正北方向夹角的正弦值为0.6 B．无人机从飞向的时间约为 C．无人机相对地面的实际速度大小为 D．若出发时机头意外指向正北，到达北边界时偏离点的距离为 【答案】B 【详解】A．无人机要抵消东风（4m/s向东），机头的速度（5m/s）需要有向西的分量4m/s。设机头与正北方向的夹角为，则，故A错误； B．无人机向北的实际速度分量，OA之间的距离是60m，时间为，故B正确； C．无人机相对地面的实际速度就是向北的合速度，大小为3m/s，故C错误； D．若机头指向正北，无人机向北的速度为5m/s，到达北边界的是时间为，这段时间内风向东漂移的距离是，所以偏离A点的距离是48m，故D错误。 故选B。 【变式训练】如图所示，在一条玻璃生产线上，宽3m的待切割玻璃板以0.4m/s的速度向前匀速平移。在切割工序处，金刚石切割刀的移动速度为0.5m/s，为使割下的玻璃板呈矩形下列说法正确的是（　　） A．切割刀的移动方向与玻璃板平移方向夹角为37° B．切割刀的移动方向与玻璃板平移方向夹角为143° C．切割一块矩形玻璃需要10s D．切割一块矩形玻璃需要7.5s 【答案】AC 【详解】AB．设切割刀速度方向与玻璃板平移方向的夹角为，已知玻璃板速度，切割刀速度，沿平移方向分速度满足 代入得 因此，故A正确，B错误。 CD．切割刀垂直于平移方向的分速度为 玻璃板宽度，切割时间 故C正确，D错误。 故选AC。 例2.2026年4月11-12日，长三角无人机公开赛（浙江站）在绍兴越城区举行。若分别以水平向右、竖直向上为x、y的正方向，某无人机起飞阶段在x、y方向的v-t图像分别如图甲、乙所示，则0~t2时间内，该无人机的运行轨迹为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图甲可知，在时间内，无人机在方向上做匀速直线运动；由图乙可知，在时间内，无人机在方向上做初速度为零的匀加速直线运动，速度逐渐增大，合速度方向与轴正方向的夹角变大，故该段时间内运动轨迹向上弯曲；在时间内，无人机在方向上做匀减速直线运动，速度逐渐减小，合速度方向与轴正方向的夹角变小，故该段时间内运动轨迹向下弯曲。 故选A。 【变式训练】某质点在一竖直平面内运动，其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别如图甲、乙所示，初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是（     ） A．质点的运动轨迹是直线 B．时，质点的合速度方向与水平方向成 C．时，质点的合速度大小为 D．时，质点的合位移大小为 【答案】C 【详解】由图可知，质点在水平方向的速度大小不变，为；在竖直方向，质点的加速度大小不变，为，质点在竖直方向做匀加速直线运动，竖直方向初速度为0，则 A．由上述分析可知，质点的合初速度方向沿水平方向，合加速度方向沿竖直方向，初速度与加速度不共线，质点运动轨迹为曲线，故A错误； B．时，质点的竖直速度 设合速度与水平方向夹角为，则 可知 故质点的合速度方向与水平方向成，故B错误； C．时，质点的竖直速度 则合速度大小，故C正确； D．时间内，质点沿水平方向的位移为 质点沿竖直方向的位移为 故质点的合位移大小为，故D错误。 故选C。 例3.如图所示，在风洞实验室中，从点以水平速度向左抛出一质量的小球（可视为质点），抛出后的小球受水平向右的风力作用，大小恒为，经过一段时间小球运动到点正下方的B点处，已知水平方向上向左运动所能达到的最远处为C点，重力加速度取，在此过程中（    ） A．小球从A到C的时间为2s B．小球离A、B所在直线的最远距离为4m C．A、B两点间的距离为40m D．小球从A到B过程做变加速曲线运动 【答案】AB 【详解】A．小球水平加速度为 从A到C的时间为，A正确； B．小球离A、B所在直线的最远距离为，B正确； C．竖直方向小球做自由落体运动，则A、B两点间的距离为，C错误； D．小球从A到B过程水平加速度和竖直加速度都是定值，则加速度为定值，则小球做匀变速曲线运动，D错误。 故选AB。 【变式训练】某物体在水平面上运动，它的两个正交分速度与时间的关系分别如图甲、乙所示，由图可知（　　） A．内物体的位移为 B．内物体一直做曲线运动 C．0~4s内物体做曲线运动，4~6s内物体做直线运动 D．内物体做直线运动，内物体做曲线运动 【答案】AC 【详解】A．根据图线与坐标轴所围面积表示位移可知，物体沿轴的位移大小为 物体沿轴的位移大小为 所以，内物体的位移为，故A正确； BCD．物体的初速度沿轴方向，加速度沿轴方向，两者不在一条直线上，所以物体做曲线运动；4s末物体的速度方向与轴方向的夹角的正切值为 根据图线的斜率表示加速度可知，时间内物体沿轴方向的加速度为 沿轴方向的加速度为 加速度方向与轴方向夹角的正切值为 所以速度方向与加速度方向在同一条直线上，物体做直线运动，故BD错误，C正确。 故选AC。 考点三：小船渡河问题 例1.如图所示，宽度为d=200 m的河，河水以恒定的速度向右流动，小船从A点开始渡河，当船头始终垂直指向河岸BC时，渡河时间为t=20s，最终在河对岸的C点登岸，已知AB垂直河岸，，小船相对静水的速度恒定。下列说法正确的是（     ） A．船在静水中的速度为5m/s B．AC连线与河岸夹角的正切值为 C．若小船以最短的位移渡河，则渡河时间为20s D．若小船以最短的位移渡河，则船相对静水的速度方向与河岸的夹角为60° 【答案】B 【详解】A．当船在静水中速度始终垂直于河岸时，此时的渡河时间最短，则小船的速度为，A错误； B．水流的速度为 船头垂直河岸时，AC连线的方向为小船合速度的方向，则AC连线与河岸夹角的正切值为，B正确； D．若小船以最短的位移渡河，则船头应指向上游，设船速与河岸的夹角为，则有，解得，D错误； C．垂直河岸方向的速度为 小船的渡河时间为，C错误。 故选B。 例2. 某河流两岸平行，水流速度恒定，甲船以船速从河岸某点由静止出发，以最短时间渡河；乙船以船速从同一点出发，以最短航程渡河。若两船轨迹恰好重合，且与河岸夹角为θ，则两船速度之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲船以最短时间渡河，因此船头垂直河岸，船速沿垂直河岸方向。合速度与河岸夹角为θ，如图所示 则有 乙船以最短航程渡河且轨迹与甲重合，说明 此时航程最短的条件是船速与合速度方向垂直，如图所示 则有 两式作商得 故选C。 例3.一次抗洪抢险活动中，小船要到对岸去救援，小船在静水中行驶的速度为，该船船头垂直河岸行驶，若河水流速变大，则小船（　　） A．渡河时间变短 B．渡河时间不变 C．渡河位移不变 D．渡河位移变大 【答案】BD 【详解】AB．渡河时间由垂直河岸的分运动决定，船头垂直河岸时，垂直河岸分速度等于船在静水中的速度，设河宽为，则渡河时间 和水流速度无关，水流速度变大时渡河时间不变，故A错误，B正确； CD．沿河岸方向的分位移 水流速度变大、不变，因此变大；垂直河岸分位移恒为，合位移为 因此合位移变大，故C错误，D正确。 故选BD。 例4.1935年，红军四渡赤水河，最后跳出包围圈。假设赤水河河宽为d，水流速度大小恒为v1，一艘小船在静水中的速度大小恒为v2。下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的最短时间为 B．小船渡河的最短航程一定为d C．若v1>v2，则小船渡河的最短航程为d D．若v1>v2，且水流速度突然增大，则小船渡河的最短时间将变短 【答案】AC 【详解】AD．小船渡河的时间由小船垂直河岸的分运动决定，当船头垂直河岸时，小船垂直河岸的分速度大小为v2，小船渡河的最短时间为 水流速度不影响小船垂直河岸的分运动，故水流速度突然增大，小船渡河的最短时间不变，故A正确，D错误； BC．在v2>v1的情况下，船头可斜向上游，使小船的合速度垂直河岸，小船渡河的最短航程为d； 在v1>v2的情况下，小船无法垂直渡河，当小船的合速度方向与河岸的夹角最大时，小船渡河的航程最短，速度关系 位移关系 联立可得最短航程为，故B错误，C正确。 故选AC。 考点四：关联速度问题 例1.建筑工人利用绳索提升货物的情景简化如图所示。绳索一端穿过固定光滑圆环连接货物，另一端由工人拉住。工人以速度v沿水平向右做匀速直线运动（保持手握绳索的高度不变）。当工人所拉绳索与水平方向夹角为时，下列说法正确的是（　　） A．货物的速度大小为 B．货物的速度大小为 C．绳索对货物的拉力等于货物的重力 D．绳索对货物的拉力大于货物的重力 【答案】BD 【详解】AB．将工人的速度沿绳方向和垂直于绳方向分解，当工人所拉绳索与水平方向夹角为时，根据速度的分解可知，货物的速度大小为，故A错误，B正确； CD．人向右运动时，减小，增大，则货物的速度增大，可知货物向上加速运动，合力方向向上，所以绳索对货物的拉力大于货物的重力，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练】春日垂钓时，钓友小刚正在收线遛鱼，他的鱼竿顶端O点始终保持不动，鱼线长度从缓慢缩短到，鱼在水面上沿水平直线向岸边移动（可视为质点，忽略水的阻力）。下列说法正确的是（　　） A．若小刚匀速收线，则鱼做减速运动 B．若小刚匀速收线，则鱼做加速运动 C．若小刚减速收线，则鱼不可能做加速运动 D．若小刚加速收线，则鱼做加速运动 【答案】BD 【详解】AB．假设鱼线与水平方向的夹角为，鱼的速度v水平向左，分解为垂直于鱼线的分速度和沿鱼线方向的分速度，其中，收线过程夹角增大，减小，若小刚匀速收线，即不变，则v变大，即鱼做加速运动，A项错误，B项正确； C．若小刚减速收线，即变小，则v可能变大，可能变小，也可能不变，鱼可能做加速运动，C项错误； D．若小刚加速收线，即变大，因减小，则v变大，鱼做加速运动，D项正确。 故选BD。 例2.某千斤顶的结构如图所示，四根等长杆由铰链相连。摇动手柄竖直抬升重物过程中，两点的间距每秒均匀缩短，当时，下列说法正确的是（     ） A．与两点速度大小相等，方向相反 B．点速度方向竖直向上，大小为 C．点速度方向沿向上，大小为 D．点相对点的速度沿水平方向，大小为 【答案】BD 【详解】ABC．由题意可知，四边形ABCD是菱形，摇动手柄竖直抬升重物过程中，B点的速度方向竖直向上，A、C两点的速度方向分别垂直AD、CD方向，大小相等，A、C两点的间距每秒均匀缩短2mm，可知A、C两点速度的水平分量大小相等为 当时，B点和C点沿BC方向的分速度大小相等，即 又 可得， A、C两点的速度大小相等，方向相互垂直，故AC错误，B正确； D．A、C两点竖直方向的速度大小相等，方向相同，水平方向速度大小相等，方向相反，所以A点相对C点的速度沿水平方向，大小为，故D正确。 故选BD。 【变式训练】起重机正进行吊装作业，吊绳使得刚性杆上端以速度沿竖直方向匀速上升。刚性杆下端始终与水平地面接触，某时刻刚性杆与水平地面的夹角为，此时端的速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，端速度竖直向上，端速度水平向右，根据关联速度关系，有 得 故选C。 考点五：对平抛运动的理解 例1.“打水漂”是很多孩子喜欢玩的游戏之一，不仅可以锻炼孩子身体技能，而且趣味性十足。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于。假设某人将一石子从距水面高度为0.8 m水平抛出，不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为，则抛出速度的最小值为多少（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有 由题意可知 解得 则抛出速度的最小值为。 故选D。 例2.从空中水平向右抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹如图所示，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则（     ） A．b和c的运动时间相同 B．a的飞行时间比b的长 C．a的水平初速度比b的大 D．b的水平初速度比c的小 【答案】AC 【详解】AB．竖直方向，根据 可得 知，、抛出点的高度相同，则和在空中的运动时间相同，抛出点的高度小于抛出点的高度，则的运动时间小于的运动时间，A正确，B错误； C．的运动时间短，根据知，的水平位移大，则的水平初速度大于的水平初速度，C正确； D．、的运动时间相等，落地时的水平位移大，根据知，的初速度大，D错误。 故选AC。 例3.有一个小球从空中某点水平抛出，经过A、B两点，已知小球在A点的速度大小为v、方向与水平方向成角，小球在B点的速度方向与水平方向成60°角。不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)小球在B点的速度大小； (2)小球由A点运动到B点的时间； (3)A、B两点之间的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球平抛的初速度为，将A点速度分解 将B点速度分解 解得 （2）A、B点竖直分速度分别为 ， 竖直方向加速度为，根据速度时间关系 解得 （3）A、B两点之间的水平位移 A、B两点之间的竖直位移 A、B两点的间距 考点六：对平抛运动推论的应用 例1.如图所示，一炮弹从倾角为37°的山坡上的A点以初速度水平飞出，A点到坡底B的距离，地面BC水平。不计空气阻力，重力加速度，，，下列说法正确的是（     ） A．初速度越大，炮弹在空中运动的时间越长 B．若，则炮弹一定落在山坡上 C．若炮弹落到地面上，则v0越大，落地时速度方向与水平面的夹角越大 D．若炮弹落到山坡上，则v0越大，落到山坡上时速度方向与山坡的夹角越大 【答案】B 【详解】A．平抛运动竖直方向做自由落体运动，由可得 当炮弹落到地面BC上时，增大，不变，运动时间不变，A错误； B．当炮弹刚好落到B点时，有，，，解得，B正确； C．炮弹落到地面时，速度方向与水平面的夹角满足，一定，越大，夹角越小，C错误； D．炮弹落到山坡上时，速度方向与水平方向夹角为，与山坡的夹角为，山坡的倾角为，有，，炮弹落到山坡上，位移夹角相同，则相同，故速度与山坡的夹角也相同，D错误。 故选B。 例2.滑雪运动员从跳台A处水平飞出后落在斜坡B处，A、B间距离为40 m，斜坡与水平方向夹角为，不计空气阻力。下列说法错误的是（     ） A．运动员在空中飞行的时间为2 s B．运动员在A处的速度大小为 C．运动员在空中离坡面的距离最大时，速度方向与坡面平行 D．运动员落到B处时的速度方向与水平方向的夹角为 【答案】D 【详解】A．在竖直方向上，运动员做自由落体运动，竖直位移为 根据 可得运动员在空中飞行的时间为，故A正确； B．在水平方向上，运动员做匀速直线运动，水平位移为 根据 可得运动员在处的初速度大小为，故B正确； C．运动员在空中的平抛运动可以分解为垂直于斜面和平行于斜面两个方向，在垂直斜面方向上，其运动规律等效于竖直上抛运动，因此当垂直斜面方向的速度减小到0时，运动员距离斜面最远，此时合速度方向与斜面平行，故C正确； D．根据平抛运动推论，位移偏转角的正切值为速度偏转角正切值的一半，即，故D错误。 本题选错误的，故选D。 【变式训练】如图所示，质量相同的两个小球a、b分别从斜面顶端和斜面中点沿水平方向抛出，恰好都落在斜面底端，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球a、b抛出时的初速度大小之比为∶1 B．小球a、b到达斜面底端时的位移之比为∶1 C．小球a、b到达斜面底端时速度方向与斜面的夹角之比为1∶1 D．小球a、b到达斜面底端时的速度大小之比为2∶1 【答案】AC 【详解】A．根据 得 则时间之比为∶1，根据可知，初速度之比为∶1，故A正确； B．因为两小球下落的高度之比为2∶1，两球的水平位移之比为2∶1，故小球a、b到达斜面底端时的位移之比为2∶1，故B错误； C．小球落在斜面上，速度方向与水平方向的夹角的正切值是位移方向与水平方向的夹角的正切值的2倍。因为位移方向与水平方向的夹角相等，则速度方向与水平方向的夹角相等，到达斜面底端时速度方向与斜面的夹角也相等，故C正确； D．由竖直方向上做自由落体运动，有 合速度 故到达斜面底端时速度大小之比为∶1，故D错误。 故选AC。 例3.如图所示，在倾角为的斜面顶端A以大小为的水平速度抛出一小球a，同时在斜面底端B正上方与a等高处以大小为的水平速度抛出另一小球b，两球恰能在斜面上的P点相遇，且此时b球的速度恰好与斜面垂直。不计空气阻力，以下说法正确的是（　　） A．若P点是斜面AB的中点，则斜面倾角的正切值 B．若P点是斜面AB的中点，则斜面倾角的正切值 C．若P点到斜面顶端A的距离是到底端B距离的2倍，则斜面倾角的正切值 D．若P点到斜面顶端A的距离是到底端B距离的2倍，则斜面倾角的正切值 【答案】AD 【详解】AB．因两小球抛出点等高，又在P点相遇，故下落的竖直高度相同,由 故它们运动的时间相同为,若P点是斜面AB的中点,则它们的水平分位移相等即 对小球a有 b球的速度恰好与斜面垂直 消去t,得，故A正确，B错误； CD．若P点到斜面顶端A的距离是到底端B距离的2倍，则由几何关系知小球a的水平分位移是小球b的2倍，即 故 联立消去t，得，故C错误，D正确。 故选AD。 考点七：平抛运动的临界问题 例1.如图所示为等高等宽的台阶，、、、、均为台阶的边缘点。一同学将甲玻璃珠由最上面台阶的边缘点沿水平方向弹出，经过一段时间甲玻璃珠直接落在点；另一同学将乙玻璃珠由点沿水平方向弹出，乙玻璃珠也刚好直接落在点，不计空气阻力，两玻璃珠均视为质点，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到落至点，甲、乙两玻璃珠的运动时间之比为 B．甲、乙两玻璃珠弹出的初速度大小之比为 C．甲、乙两玻璃珠落在点时的竖直速度大小之比为 D．甲、乙两玻璃珠落在点时的速度大小之比为 【答案】C 【详解】A．玻璃珠在竖直方向做自由落体运动，由得 而甲、乙两玻璃珠的竖直位移之比为，则，故A错误； B．玻璃珠在水平方向做匀速直线运动，由得 而甲、乙两玻璃珠的水平位移之比为，则，故B错误； C．由得，故C正确； D．玻璃珠落在点时的速度大小，可得，故D错误。 故选C。 例2.如图所示，排球场地长l=18 m，中间球网的高度h=2 m。某次比赛中，一同学在右侧球场距中间球网3 m处竖直向上跳起，在距地面高h1=2.45 m处将球水平击出，球的初速度与球网所在的平面垂直。若排球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，要保证排球落在对方场地内，则水平击出的球的初速度大小范围是（　 　） A．10 m/s<v< m/s B．5 m/s<v< m/s C．v>10 m/s D．v< m/s 【答案】A 【详解】若球刚好不出左侧边界，则水平方向有 竖直方向有 解得 若球刚好能过球网，则水平方向有 竖直方向有 解得 所以水平击出的球的初速度大小范围是。 故选A。 例3.如图是月球上一圆柱形阴影坑竖直截面图。假定某飞行器在月面上空向坑中心方向以速度匀速水平飞行。在距坑边的点正上方关闭动力，此后只受月球重力，直至抵达着陆线。已知坑直径，月面至着陆线深度，月面重力加速度取，飞行器可视为质点。飞行器安全到达着陆线，则的大小可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知飞行器安全到达着陆线，速度最小时会刚好通过月面坑边到达着陆线，此时根据平抛运动规律在竖直方向有，代入数据解得 在水平方向有，代入数据可得； 飞行器安全到达着陆线，速度最大时会到达着陆线最右端的坑边缘，此时根据平抛运动规律在竖直方向有，代入数据解得 在水平方向有，代入数据可得 所以飞行器安全到达着陆线需满足 故选B。 一、单选题 1．抗震救灾国之大事，2025年1月7日，西藏定日县发生6.8级地震，为保障灾民生命财产安全，消防队员利用直升机为灾民配送物资。在执行任务时，直升机以的速度水平匀速飞行，物资投出后恰好垂直落在一倾角为的斜坡上的预定地点。不计空气阻力，重力加速度，，。下列说法正确的是（    ） A．物资从投出到落到斜坡上所下降的高度为 B．物资从投出到落到斜坡上所用的时间为 C．物资落到斜坡上的速度大小为 D．物资从投出到落到斜坡上所发生的水平位移为 【答案】D 【详解】C．物资从投出后做平抛运动，由题意可知，物资落到斜坡上时 其中 解得 则物资落到斜坡上的速度大小为，故C错误； B．物资从投出到落到斜坡上所用的时间为，故B错误； A．物资从投出到落到斜坡上所下降的高度为，故A错误； D．物资从投出到落到斜坡上水平位移大小为，故D正确。 故选D。 2．如图所示，在同一高度上同时水平抛出的两个小球A、B在空中相遇，若不计空气阻力，则（     ） A．A球的初速度比B球大 B．A球的初速度比B球小 C．相遇时A球的竖直速度比B球大 D．相遇时A球的竖直速度比B球小 【答案】A 【详解】AB.相遇时两球运动时间相等，水平方向满足。由图可知A球的水平位移大于B球，运动时间相同，因此A球的初速度比B球大，故A正确，B错误； CD.竖直方向做自由落体运动，竖直速度。两球同时抛出，相遇时运动时间相等，因此相遇时两球的竖直速度大小相等，故CD错误。 故选A。 3．在篮球比赛中，运动员投出的篮球在空中划出一条曲线轨迹，精准命中篮筐。则篮球做曲线运动时（　　） A．加速度一定与速度方向在同一直线上 B．速度的大小和方向可能都不变 C．合外力方向可能与速度方向相反 D．一定具有加速度 【答案】D 【详解】AC．由于篮球做曲线运动，合外力方向与速度方向不在同一条直线上，根据牛顿第二定律可知加速度方向与速度方向不在同一条直线上，故AC错误； B．篮球在空中做曲线运动过程中，速度方向不断改变，故B错误； D．由于篮球做曲线运动，因此加速度不为零，故D正确。 故选D。 4．如图所示，在饺子（可视为质点）加工厂的自动化生产线上，水平传送带末端与收集槽（槽壁厚度不计）左边缘的水平距离为，与收集槽上边缘的高度差为，收集槽的开口宽度也为，重力加速度为，不计空气阻力。为使水平传送带上的饺子准确落入收集槽中，则饺子离开传送带的速度的大小应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】饺子竖直方向做自由落体运动，根据 解得 刚好落到槽口左边缘，水平方向有 联立得初速度 刚好落到槽口右边缘，水平方向有 联立解得 综上可得。 故选C。 5．如图所示，小球甲从A点水平抛出，小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时速度大小相等，且它们的速度方向间夹角为，已知BC高h，不计空气的阻力。由以上条件可知（     ） A．A、B两点的高度差为h B．A、B两点的水平距离为 C．甲小球做平抛运动的初速度大小为 D．甲、乙两小球到达C点所用时间之比为 【答案】D 【详解】A．乙球做自由落体运动，根据速度位移公式有 ，解得乙球经过 点时的速度大小为 由题意知，甲球在 点的速度大小 甲球做平抛运动，在 点竖直方向的分速度 甲球下落的高度 ，已知 、 高度差为 ，则 、 两点的高度差 ，故A错误； B．甲球在 点水平方向的分速度即为其初速度 甲球运动的时间 、两点的水平距离等于甲球的水平位移 ，故B错误； C．由B选项分析可知，甲小球做平抛运动的初速度大小为 ，故C错误； D．乙球到达 点的时间 甲、乙两小球到达 点所用时间之比为 ，故D正确。 故选 D。 6．如图所示，物体A通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，现用适当的外力作用在物体B上，使物体A沿光滑竖直杆以速度v匀速下滑，某一时刻细绳与竖直杆间的夹角为θ，则以下说法正确的是（     ） A．此时物体B的速度为 B．物体B向右减速运动 C．细绳对B的拉力逐渐变大 D．细绳对A的拉力逐渐变小 【答案】D 【详解】A．将A的合速度分解为沿细绳方向和垂直细绳方向的分速度，由于细绳不可伸长，沿绳方向的分速度等于B的速度，因此，故A错误； B． A下滑过程中，细绳与竖直杆的夹角逐渐减小，逐渐变大，而A的速度不变，因此逐渐变大，B向右做加速运动，故B错误； CD．A匀速下滑，受力平衡，对A受力分析有 解得 A下滑时减小，增大，因此拉力逐渐减小，细绳对B、A的拉力都逐渐变小，故C错误，D正确。 故选D。 7．甲、乙两同学分别握住晾衣绳两端，在同一水平面以相同速率匀速靠近，晾衣绳与竖直方向的夹角逐渐减小，则晾衣架向下运动的过程中速率逐渐（     ） A．增加 B．减小 C．不变 D．先增加后减小 【答案】B 【详解】对手的速度和衣服的速度进行沿着绳和垂直绳分解，则沿绳方向速度相等。由几何关系，绳与竖直方向夹角为时，因此得 解得 题目说明逐渐减小，而随减小而减小，因此晾衣架向下运动的速率逐渐减小。 故选B。 8．物理学中二连杆是一个经典的模型，其基本结构由两根刚性的杆件AB、BC组成。如图，A、B、C处分别装有三个可活动的铰链，且A处铰链固定在地面上，C处铰链连接在一个可移动的木块上。木块沿水平方向以的速度向右匀速运动，某时刻AB杆与BC杆垂直，BC杆与水平面成37°角，则下列说法正确的是（　　） A．此时B位置处铰链的速度大小为 B．此时B位置处铰链的速度大小为 C．此时B位置处铰链的速度方向竖直向下 D．此时B位置处速度满足关系 【答案】B 【详解】ABC．分析B点速度方向： AB杆绕固定铰链A转动，B点做圆周运动，因此B点速度方向一定垂直于AB杆。由题意，该时刻，因此B点速度方向平行于BC杆（沿BC向下）。 利用刚性杆沿杆分速度相等计算： 刚性杆长度不变，杆两端点沿杆方向的分速度大小相等：C点速度水平向右，将其沿BC杆方向分解，沿BC杆的分速度为 B点速度方向沿BC杆，因此B沿BC杆的分速度等于，即 根据沿杆分速度相等得： 代入， 得，因此A、C错误，B正确。 D．关系式是错误假设B速度竖直向下推导得到的，实际B速度方向沿BC杆不是竖直方向，该关系不成立，故D错误。 故选B。 9．一艘观光小船在盘锦辽河上渡河，河宽为，小船在静水中的速度与时间t、河中某点的水流速度与该点到河岸距离d的关系分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是（　　） A．若船头垂直河岸渡河，小船的实际渡河轨迹是偏下游的直线 B．若船头垂直河岸渡河，渡河时间与水流速度无关，此时渡河位移也最短 C．只要调整船头方向，小船一定能垂直到达正对岸 D．若小船以最短时间渡河，则小船沿河流方向的位移大小为 【答案】D 【详解】A．若船头垂直河岸渡河，沿垂直河岸方向做匀速运动，沿平行河岸方向做变速运动，可知合运动不是直线运动，即小船的实际渡河轨迹不是直线，A错误； B．若船头垂直河岸渡河，渡河时间与水流速度无关，此时船沿平行河岸方向有位移，则渡河位移不是最短，B错误； C．因水流速度不断变化，则当船头方向一定时合速度方向不断变化，即即使调整船头方向，小船也不能垂直到达正对岸，C错误； D．若小船以最短时间渡河，则小船渡河的时间为 由图可知 可知水流的加速度 可知沿河流方向的位移大小为，D正确。 故选D。 10．端午节将至，多地均举行龙舟竞渡，某龙舟队在自西向东的一段直河道中进行训练，龙舟需要从南岸抵达北岸，已知河宽，龙舟在静水中的速度为，水流速度大小恒为，忽略龙舟的长度。下列说法正确的是（     ） A．该龙舟不能到达正对岸 B．该龙舟过河的最短时间为 C．该龙舟在此河流中航行的最大速度为 D．该龙舟以最短时间渡河时，沿水流方向的位移大小为 【答案】D 【详解】A．由于龙舟在静水中的速度大于水流速度，因此可以通过调整船头方向使合速度垂直河岸，从而到达正对岸，故A错误； B．当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间，故B错误； C．龙舟过河参与了两个运动，一个是龙舟相对静水的匀速直线运动，方向可以调节，另外一个是随水流的匀速直线运动，方向沿河岸指向下游，龙舟的运动是两个运动的合成，速度也是两个速度的合成，和的合速度在1m/s到7m/s之间，故5m/s不是最大速度，故C错误； D．以最短时间渡河时，船头垂直河岸，沿水流方向做匀速运动，位移，故D正确。 故选D。 11．有一个质量为的质点在平面内运动，在方向的位移图像和方向的速度图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是（    ） A．质点做匀变速直线运动 B．质点所受的合外力大小为 C．0时刻质点的速度大小为 D．前2 s内质点的位移大小为8 m 【答案】C 【详解】ABC．从题图甲知质点在方向上做匀速直线运动，速度 从题图乙知质点在方向上做匀加速直线运动，初速度为 加速度大小 则可知0时刻，即质点初速度大小 设初速度方向与正方向成，则 可得 合力大小 方向为正方向，由力与运动的关系知质点做匀变速曲线运动，故AB错误，C正确； D．前2s内，方向位移大小 方向位移大小 则2s内质点的位移大小为。故D错误。 故选C。 二、解答题 12．如图为一游戏活动中某个环节场景的示意图。参与活动的选手会遇到一个人造山谷，是高的竖直墙壁，是以点为圆心、为半径的圆弧形坡，，点右侧是一段水平跑道。选手可以自点借助绳索下降到点后再爬上水平跑道，但身体素质好的选手会选择自点直接跃上水平跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度。 (1)若选手从点水平跳出后能落到水平跑道上，求该选手跳出时速度的最小值； (2)若选手以速度从点水平跳出，求该选手从跳出到落地的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若选手水平跳出后恰能落在水平跑道的点上，初速度最小，则水平方向     竖直方向 解得 （2）若选手以速度水平跳出，因，选手将落在圆弧形坡上， 下落高度    水平前进距离 又 解得 13．2026年春季学期云大附中星耀学校教职工气排球比赛正火热进行中。某次发球中，张老师从底线中点处将球以的初速度垂直底线水平击出，击球点离地高。若球场总长12m（半场6m），球网高，，不计空气阻力。求（计算结果可带根号）： (1)通过计算说明球能否过网？ (2)若要球顺利过网，其他条件不变，初速度至少是多少？ (3)调整击球角度改为斜向上方击球，其他条件不变，则球运动到最高点时距离地面的高度为多少？ 【答案】(1)否 (2) (3) 【详解】（1）根据 可得 此时间段水平位移为 故不能过网。 （2）若要球顺利过网，其他条件不变，则 （3）初速度的竖直分量为 上升到最高点时，竖直速度减为0，上升高度为 则球运动到最高点时距离地面的高度为 14 学科网（北京）股份有限公司 $新高三暑假复习讲义 2027届高三暑假自学衔接课 第六讲 曲线运动与平抛运动 一、曲线运动的条件及轨迹 1.曲线运动的条件 ①运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。 ②动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。 2．合外力方向与轨迹的关系 物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧。 物体做曲线运动的轨迹特征 1判断物体是做曲线运动还是做直线运动，关键要看a和v的方向，两者方向在同一直线上则做直线运动，否则做曲线运动。 2曲线上某点处合外力的方向在曲线上该点的切线的哪一侧，曲线就向哪一侧弯曲；曲线上某点的加速度越大、速度越小，则曲线轨迹弯曲越厉害；曲线轨迹必定夹在a、v方向之间 3.合运动轨迹和性质的判断方法 标准:看合初速度方向与合加速度(或合外力)方向是否共线 (1)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。 (2)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。 4.小船过河问题： 方式 图示 说明 渡河时间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝ 5. 关联速度 1．模型特点：沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。 2．分解思路： 二、平抛运动 1. 平抛运动的基本规律 (1)．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。 (2)．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。 (3)．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。 (4)．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 (5)．基本规律(如图所示) ①速度关系 ②位移关系 2.平抛运动的两个重要推论 1.做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。 2.做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。 考点一：对曲线运动的理解 例1.滔滔黄河水，在山西境内蜿蜒前行近千公里，形成了气象万千的绝美景致。如图是无人机航拍的一段黄河流域地形图片，河水在山涧中沿着弯弯曲曲的河床做曲线运动。图中的a、b、c、d四点中，与P点处河水速度方向一致的是（   ） A．a B．b C．c D．d 【变式训练】歼-20是由中国航空工业集团自主研制的新一代中型隐身多用途战斗机。如图所示，虚线ab是歼-20战机从水平地面起飞过程中的部分曲线轨迹，关于此过程下列说法中正确的是（　　） A．研究歼-20姿态调整时可以把战斗机看成质点 B．歼-20的运动一定是匀变速曲线运动 C．歼-20从a到b飞行过程中的速度时刻在变化 D．歼-20从a到b起飞过程中，飞行员处于失重状态 例2.在2026年5月1日“闽超”赛场上，厦门队球员在一次进攻中，突破重重阻碍，踢出的足球划出一条完美弧线进入球门，守门员“望球莫及”，其轨迹如图所示。下列关于足球在飞行过程中的说法正确的是（     ） A．足球在空中仅受到重力的作用 B．足球的速度方向指向轨迹内侧 C．足球所受合外力方向指向轨迹内侧 D．足球所受合外力方向沿轨迹切线相反方向 【变式训练】一辆汽车在十字路口等候信号灯，当绿灯亮时汽车从静止开始启动，恰好经过四分之一圆周完成左转。如图所示，在汽车加速经过点时，、、、分别为汽车所受合外力的四个方向，其中方向为切线方向，则合力的方向可能是（     ） A．方向 B．方向 C．方向 D．方向 例3.2026年4月19日，人形机器人“闪电”在北京亦庄半程马拉松中夺冠并打破机器人组赛会纪录。若机器人在一段圆弧轨道上转弯，运动过程中速度大小保持不变，则机器人（　　 ） A．所受合外力可能为零 B．速度的方向一定变化 C．加速度的方向保持不变 D．所受合外力的大小一定变化 考点二：运动的合成与分解 例1.如图所示，某无人机在水平面内进行自动避障测试。测试场存在一条沿正东方向匀速流动的模拟“风场”，风会带着无人机以恒定速度向东飘移。无人机自带动力在静止空气中的飞行速度恒为。无人机从点由静止出发，严格沿正北方向直线运动至距点正北的点。不计空气阻力与高度变化。下列说法正确的是（　　） A．无人机机头与正北方向夹角的正弦值为0.6 B．无人机从飞向的时间约为 C．无人机相对地面的实际速度大小为 D．若出发时机头意外指向正北，到达北边界时偏离点的距离为 【变式训练】如图所示，在一条玻璃生产线上，宽3m的待切割玻璃板以0.4m/s的速度向前匀速平移。在切割工序处，金刚石切割刀的移动速度为0.5m/s，为使割下的玻璃板呈矩形下列说法正确的是（　　） A．切割刀的移动方向与玻璃板平移方向夹角为37° B．切割刀的移动方向与玻璃板平移方向夹角为143° C．切割一块矩形玻璃需要10s D．切割一块矩形玻璃需要7.5s 例2.2026年4月11-12日，长三角无人机公开赛（浙江站）在绍兴越城区举行。若分别以水平向右、竖直向上为x、y的正方向，某无人机起飞阶段在x、y方向的v-t图像分别如图甲、乙所示，则0~t2时间内，该无人机的运行轨迹为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】某质点在一竖直平面内运动，其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别如图甲、乙所示，初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是（     ） A．质点的运动轨迹是直线 B．时，质点的合速度方向与水平方向成 C．时，质点的合速度大小为 D．时，质点的合位移大小为 例3.如图所示，在风洞实验室中，从点以水平速度向左抛出一质量的小球（可视为质点），抛出后的小球受水平向右的风力作用，大小恒为，经过一段时间小球运动到点正下方的B点处，已知水平方向上向左运动所能达到的最远处为C点，重力加速度取，在此过程中（    ） A．小球从A到C的时间为2s B．小球离A、B所在直线的最远距离为4m C．A、B两点间的距离为40m D．小球从A到B过程做变加速曲线运动 【变式训练】某物体在水平面上运动，它的两个正交分速度与时间的关系分别如图甲、乙所示，由图可知（　　） A．内物体的位移为 B．内物体一直做曲线运动 C．0~4s内物体做曲线运动，4~6s内物体做直线运动 D．内物体做直线运动，内物体做曲线运动 考点三：小船渡河问题 例1.如图所示，宽度为d=200 m的河，河水以恒定的速度向右流动，小船从A点开始渡河，当船头始终垂直指向河岸BC时，渡河时间为t=20s，最终在河对岸的C点登岸，已知AB垂直河岸，，小船相对静水的速度恒定。下列说法正确的是（     ） A．船在静水中的速度为5m/s B．AC连线与河岸夹角的正切值为 C．若小船以最短的位移渡河，则渡河时间为20s D．若小船以最短的位移渡河，则船相对静水的速度方向与河岸的夹角为60° 例2. 某河流两岸平行，水流速度恒定，甲船以船速从河岸某点由静止出发，以最短时间渡河；乙船以船速从同一点出发，以最短航程渡河。若两船轨迹恰好重合，且与河岸夹角为θ，则两船速度之比为（    ） A． B． C． D． 例3.一次抗洪抢险活动中，小船要到对岸去救援，小船在静水中行驶的速度为，该船船头垂直河岸行驶，若河水流速变大，则小船（　　） A．渡河时间变短 B．渡河时间不变 C．渡河位移不变 D．渡河位移变大 例4.1935年，红军四渡赤水河，最后跳出包围圈。假设赤水河河宽为d，水流速度大小恒为v1，一艘小船在静水中的速度大小恒为v2。下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的最短时间为 B．小船渡河的最短航程一定为d C．若v1>v2，则小船渡河的最短航程为d D．若v1>v2，且水流速度突然增大，则小船渡河的最短时间将变短 考点四：关联速度问题 例1.建筑工人利用绳索提升货物的情景简化如图所示。绳索一端穿过固定光滑圆环连接货物，另一端由工人拉住。工人以速度v沿水平向右做匀速直线运动（保持手握绳索的高度不变）。当工人所拉绳索与水平方向夹角为时，下列说法正确的是（　　） A．货物的速度大小为 B．货物的速度大小为 C．绳索对货物的拉力等于货物的重力 D．绳索对货物的拉力大于货物的重力 【变式训练】春日垂钓时，钓友小刚正在收线遛鱼，他的鱼竿顶端O点始终保持不动，鱼线长度从缓慢缩短到，鱼在水面上沿水平直线向岸边移动（可视为质点，忽略水的阻力）。下列说法正确的是（　　） A．若小刚匀速收线，则鱼做减速运动 B．若小刚匀速收线，则鱼做加速运动 C．若小刚减速收线，则鱼不可能做加速运动 D．若小刚加速收线，则鱼做加速运动 例2.某千斤顶的结构如图所示，四根等长杆由铰链相连。摇动手柄竖直抬升重物过程中，两点的间距每秒均匀缩短，当时，下列说法正确的是（     ） A．与两点速度大小相等，方向相反 B．点速度方向竖直向上，大小为 C．点速度方向沿向上，大小为 D．点相对点的速度沿水平方向，大小为 【变式训练】起重机正进行吊装作业，吊绳使得刚性杆上端以速度沿竖直方向匀速上升。刚性杆下端始终与水平地面接触，某时刻刚性杆与水平地面的夹角为，此时端的速度为（     ） A． B． C． D． 考点五：对平抛运动的理解 例1.“打水漂”是很多孩子喜欢玩的游戏之一，不仅可以锻炼孩子身体技能，而且趣味性十足。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于。假设某人将一石子从距水面高度为0.8 m水平抛出，不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为，则抛出速度的最小值为多少（     ） A． B． C． D． 例2.从空中水平向右抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹如图所示，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则（     ） A．b和c的运动时间相同 B．a的飞行时间比b的长 C．a的水平初速度比b的大 D．b的水平初速度比c的小 例3.有一个小球从空中某点水平抛出，经过A、B两点，已知小球在A点的速度大小为v、方向与水平方向成角，小球在B点的速度方向与水平方向成60°角。不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)小球在B点的速度大小； (2)小球由A点运动到B点的时间； (3)A、B两点之间的距离。 考点六：对平抛运动推论的应用 例1.如图所示，一炮弹从倾角为37°的山坡上的A点以初速度水平飞出，A点到坡底B的距离，地面BC水平。不计空气阻力，重力加速度，，，下列说法正确的是（     ） A．初速度越大，炮弹在空中运动的时间越长 B．若，则炮弹一定落在山坡上 C．若炮弹落到地面上，则v0越大，落地时速度方向与水平面的夹角越大 D．若炮弹落到山坡上，则v0越大，落到山坡上时速度方向与山坡的夹角越大 例2.滑雪运动员从跳台A处水平飞出后落在斜坡B处，A、B间距离为40 m，斜坡与水平方向夹角为，不计空气阻力。下列说法错误的是（     ） A．运动员在空中飞行的时间为2 s B．运动员在A处的速度大小为 C．运动员在空中离坡面的距离最大时，速度方向与坡面平行 D．运动员落到B处时的速度方向与水平方向的夹角为 【变式训练】如图所示，质量相同的两个小球a、b分别从斜面顶端和斜面中点沿水平方向抛出，恰好都落在斜面底端，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球a、b抛出时的初速度大小之比为∶1 B．小球a、b到达斜面底端时的位移之比为∶1 C．小球a、b到达斜面底端时速度方向与斜面的夹角之比为1∶1 D．小球a、b到达斜面底端时的速度大小之比为2∶1 例3.如图所示，在倾角为的斜面顶端A以大小为的水平速度抛出一小球a，同时在斜面底端B正上方与a等高处以大小为的水平速度抛出另一小球b，两球恰能在斜面上的P点相遇，且此时b球的速度恰好与斜面垂直。不计空气阻力，以下说法正确的是（　　） A．若P点是斜面AB的中点，则斜面倾角的正切值 B．若P点是斜面AB的中点，则斜面倾角的正切值 C．若P点到斜面顶端A的距离是到底端B距离的2倍，则斜面倾角的正切值 D．若P点到斜面顶端A的距离是到底端B距离的2倍，则斜面倾角的正切值 考点七：平抛运动的临界问题 例1.如图所示为等高等宽的台阶，、、、、均为台阶的边缘点。一同学将甲玻璃珠由最上面台阶的边缘点沿水平方向弹出，经过一段时间甲玻璃珠直接落在点；另一同学将乙玻璃珠由点沿水平方向弹出，乙玻璃珠也刚好直接落在点，不计空气阻力，两玻璃珠均视为质点，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到落至点，甲、乙两玻璃珠的运动时间之比为 B．甲、乙两玻璃珠弹出的初速度大小之比为 C．甲、乙两玻璃珠落在点时的竖直速度大小之比为 D．甲、乙两玻璃珠落在点时的速度大小之比为 例2.如图所示，排球场地长l=18 m，中间球网的高度h=2 m。某次比赛中，一同学在右侧球场距中间球网3 m处竖直向上跳起，在距地面高h1=2.45 m处将球水平击出，球的初速度与球网所在的平面垂直。若排球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，要保证排球落在对方场地内，则水平击出的球的初速度大小范围是（　 　） A．10 m/s<v< m/s B．5 m/s<v< m/s C．v>10 m/s D．v< m/s 例3.如图是月球上一圆柱形阴影坑竖直截面图。假定某飞行器在月面上空向坑中心方向以速度匀速水平飞行。在距坑边的点正上方关闭动力，此后只受月球重力，直至抵达着陆线。已知坑直径，月面至着陆线深度，月面重力加速度取，飞行器可视为质点。飞行器安全到达着陆线，则的大小可能是（     ） A． B． C． D． 一、单选题 1．抗震救灾国之大事，2025年1月7日，西藏定日县发生6.8级地震，为保障灾民生命财产安全，消防队员利用直升机为灾民配送物资。在执行任务时，直升机以的速度水平匀速飞行，物资投出后恰好垂直落在一倾角为的斜坡上的预定地点。不计空气阻力，重力加速度，，。下列说法正确的是（    ） A．物资从投出到落到斜坡上所下降的高度为 B．物资从投出到落到斜坡上所用的时间为 C．物资落到斜坡上的速度大小为 D．物资从投出到落到斜坡上所发生的水平位移为 2．如图所示，在同一高度上同时水平抛出的两个小球A、B在空中相遇，若不计空气阻力，则（     ） A．A球的初速度比B球大 B．A球的初速度比B球小 C．相遇时A球的竖直速度比B球大 D．相遇时A球的竖直速度比B球小 3．在篮球比赛中，运动员投出的篮球在空中划出一条曲线轨迹，精准命中篮筐。则篮球做曲线运动时（　　） A．加速度一定与速度方向在同一直线上 B．速度的大小和方向可能都不变 C．合外力方向可能与速度方向相反 D．一定具有加速度 4．如图所示，在饺子（可视为质点）加工厂的自动化生产线上，水平传送带末端与收集槽（槽壁厚度不计）左边缘的水平距离为，与收集槽上边缘的高度差为，收集槽的开口宽度也为，重力加速度为，不计空气阻力。为使水平传送带上的饺子准确落入收集槽中，则饺子离开传送带的速度的大小应满足（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，小球甲从A点水平抛出，小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时速度大小相等，且它们的速度方向间夹角为，已知BC高h，不计空气的阻力。由以上条件可知（     ） A．A、B两点的高度差为h B．A、B两点的水平距离为 C．甲小球做平抛运动的初速度大小为 D．甲、乙两小球到达C点所用时间之比为 6．如图所示，物体A通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，现用适当的外力作用在物体B上，使物体A沿光滑竖直杆以速度v匀速下滑，某一时刻细绳与竖直杆间的夹角为θ，则以下说法正确的是（     ） A．此时物体B的速度为 B．物体B向右减速运动 C．细绳对B的拉力逐渐变大 D．细绳对A的拉力逐渐变小 7．甲、乙两同学分别握住晾衣绳两端，在同一水平面以相同速率匀速靠近，晾衣绳与竖直方向的夹角逐渐减小，则晾衣架向下运动的过程中速率逐渐（     ） A．增加 B．减小 C．不变 D．先增加后减小 8．物理学中二连杆是一个经典的模型，其基本结构由两根刚性的杆件AB、BC组成。如图，A、B、C处分别装有三个可活动的铰链，且A处铰链固定在地面上，C处铰链连接在一个可移动的木块上。木块沿水平方向以的速度向右匀速运动，某时刻AB杆与BC杆垂直，BC杆与水平面成37°角，则下列说法正确的是（　　） A．此时B位置处铰链的速度大小为 B．此时B位置处铰链的速度大小为 C．此时B位置处铰链的速度方向竖直向下 D．此时B位置处速度满足关系 9．一艘观光小船在盘锦辽河上渡河，河宽为，小船在静水中的速度与时间t、河中某点的水流速度与该点到河岸距离d的关系分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是（　　） A．若船头垂直河岸渡河，小船的实际渡河轨迹是偏下游的直线 B．若船头垂直河岸渡河，渡河时间与水流速度无关，此时渡河位移也最短 C．只要调整船头方向，小船一定能垂直到达正对岸 D．若小船以最短时间渡河，则小船沿河流方向的位移大小为 10．端午节将至，多地均举行龙舟竞渡，某龙舟队在自西向东的一段直河道中进行训练，龙舟需要从南岸抵达北岸，已知河宽，龙舟在静水中的速度为，水流速度大小恒为，忽略龙舟的长度。下列说法正确的是（     ） A．该龙舟不能到达正对岸 B．该龙舟过河的最短时间为 C．该龙舟在此河流中航行的最大速度为 D．该龙舟以最短时间渡河时，沿水流方向的位移大小为 11．有一个质量为的质点在平面内运动，在方向的位移图像和方向的速度图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是（    ） A．质点做匀变速直线运动 B．质点所受的合外力大小为 C．0时刻质点的速度大小为 D．前2 s内质点的位移大小为8 m 二、解答题 12．如图为一游戏活动中某个环节场景的示意图。参与活动的选手会遇到一个人造山谷，是高的竖直墙壁，是以点为圆心、为半径的圆弧形坡，，点右侧是一段水平跑道。选手可以自点借助绳索下降到点后再爬上水平跑道，但身体素质好的选手会选择自点直接跃上水平跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度。 (1)若选手从点水平跳出后能落到水平跑道上，求该选手跳出时速度的最小值； (2)若选手以速度从点水平跳出，求该选手从跳出到落地的时间。 13．2026年春季学期云大附中星耀学校教职工气排球比赛正火热进行中。某次发球中，张老师从底线中点处将球以的初速度垂直底线水平击出，击球点离地高。若球场总长12m（半场6m），球网高，，不计空气阻力。求（计算结果可带根号）： (1)通过计算说明球能否过网？ (2)若要球顺利过网，其他条件不变，初速度至少是多少？ (3)调整击球角度改为斜向上方击球，其他条件不变，则球运动到最高点时距离地面的高度为多少？ 14 学科网（北京）股份有限公司 $