第15讲 统计图表（10大题型归纳）（暑假预习讲义）新高二数学沪教版

第15讲 统计图表 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 绘制频率分布直方图 题型6 绘制茎叶图 题型2 补全频率分布直方图 题型7 补全茎叶图的数据 题型3 由频率分布直方图计算频数，频率样本容量 题型8 观察茎叶图比较数据特征 题型4 绘制频率分布折线图 题型9 绘制散点图 题型5 频率分步直方图的实际应用 题型10 由散点图判断是否线性相关 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 频数分布表和频率分布直方图 1.掌握绘制频率分布直方图完整步骤熟记矩形面积代表频率所有矩形面积和为1 2.能根据图表完成补全、计算频率频数样本容量等相关数值运算 3.分清直方图优缺点能根据数据规模选择合适统计图表解决实际问题 频率分布折线图 1.掌握折线图绘制方法会取矩形上底边中点并补充两端零点连线 2.理解折线图反映数据分布变化趋势的作用能结合图表做实际估算应用 3.区分折线图与直方图、茎叶图的适用场景辨析各自优缺点 总体密度曲线 1.理解密度曲线是样本折线图的极限形式曲线与横轴围成面积恒为1 2.会利用曲线下对应区间面积求解总体落在该区间的概率 3.分清样本折线与总体密度曲线的区别不混淆样本与总体分布 茎叶图 1.掌握茎叶图绘制规则茎为高位数字叶为末位数字叶子有序排列 2.能补全茎叶图缺失数据从图表读取原始数据分析平均数中位数等特征 3.熟记茎叶图优缺点明确其仅适用于少量离散整数数据 散点图 1.能根据成对变量坐标规范绘制散点图区分散点图与折线图绘制要求 2.依据点的聚集走向判断正负线性相关、相关性强弱与无关情况 3.能在散点集群中画出近似回归直线保证直线两侧点数大致均衡 学习重点： 1.频率分布直方图、折线图的绘制与频率、频数相关计算 2.茎叶图的绘制、数据补全与数据特征分析 3.散点图绘制、线性相关性判断与近似回归直线画法 4.三类统计图表的适用条件、优缺点辨析 学习难点： 1.频率分布直方图纵轴的含义与频率换算 2.总体密度曲线用面积表示区间概率的逻辑理解 3.结合图表综合分析数据分布、离散程度与变量相关关系 4.根据数据类型、样本规模合理选择对应统计图表 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 频率分布表与频率分布直方图 1.频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图． 第一步，求极差 极差为一组数据中__最大值与最小值__的差． 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取_左闭右开___区间，最后一组数据取闭区间． 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，例如第一小组的频率是，作出频率分布表， 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴(小长方形的高度)表示__． 2.频率分布折线图 取各相邻小矩形上底边的____中点____，用线段顺次连接各点，就得到频率分布折线图． 【易错提醒】 1.混淆纵轴含义误将纵轴直接当作频率计算 2.计算单组频率时忘记用纵轴数值乘以组距导致频率数值偏小 3.绘制图表时分组区间端点重复同一个数据归入两组区间 4.忽略所有矩形面积之和恒等于1计算后不做校验 5.补全直方图时直接用频率当作矩形高度未除以组距换算 6.分不清样本容量与总体容量预估总体数量时代入样本容量计算 7.误认为直方图能读取原始精确数据实际图表会丢失单个样本信息 8.少量离散整数数据选用直方图未选用更合适的茎叶图 9.绘制频率折线图时直接取区间端点描点没有选用矩形上底边中点 10.总体密度曲线相关题型将曲线纵坐标数值当作区间概率忽略面积才代表概率 11.计算多区间总频率时漏加或重复计算部分分组矩形面积 12.作答实际应用题不说明“用样本频率估计总体”直接等同样本与总体 即时即练 1.（25-26高二下·上海·期中）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法错误的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 2.（24-25高三上·上海·阶段检测）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压（单位：kPa）的分组区间为，.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数是（     ）. A．8 B．12 C．16 D．18 知识点02 散点图 绘制散点图：根据一般经验，很多数据之间具有一定的相关性，例如身高与体重、收入与支出等，我们可以通过绘制散点图，来展示这种相关性． 选择身高作为横坐标，体重作为___ 纵坐标_____，在直角坐标系中绘制出相应的____点____，就得到了身高和体重的散点图． 【易错提醒】 1.绘制散点图时把离散点用线段连接混淆散点图与折线图 2.坐标轴刻度设置疏密差距过大人为扭曲点分布形态干扰相关性判断 3.仅凭个别离群点判定变量无线性相关忽略散点集群整体走向 4.散点呈曲线聚集时误判为线性相关无法区分线性与非线性关联 5.颠倒正负相关走向判断正相关、负相关时增减关系弄反 6.绘制近似回归直线时刻意穿过全部散点不贴合整体集群中心 7.回归直线偏向单侧散点直线两侧点的数量差距悬殊 8.过度迁就极端异常离群点绘制直线忽略大部分数据分布规律 9.漏绘部分成对数据点丢失样本关键信息 10.误将散点图用来展示单组数值分布混淆其双变量分析的适用场景 即时即练 1.（24-25高三·上海·课堂例题）有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价： 品牌 A B C D E F G H I J 所含热量的百分比 25 34 20 19 26 20 19 24 19 13 口味记录 89 89 80 78 75 71 65 62 60 52 (1)作出散点图； (2)你能从散点图中发现两者之间的近似关系吗？ (3)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系； (4)对于食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的？ 2.（24-25高二上·上海·随堂练习）某校高三（1）班的学生每周用于数学学习的时间x（单位：h）与数学平均成绩y（单位：分）之间有表格所示的数据． x/h 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y/分 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 (1)画出散点图； (2)判断数学学习的时间与数学平均成绩的关系． 题型1 绘制频率分布直方图 【例1】某校30名高一女生的扔手球记录如下（单位：m）： 16.3 13.2 17.7 14.3 16.4 19.8 13.5 14.5 11.7 14.1 14.8 17.2 13.8 15.4 16.3 15.7 18.5 16.8 17.9 15.9 17.6 15.4 16.8 21.4 16.5 18.1 16.0 20.3 16.6 19.5 (1)选择适当的组距，制作一张频率分布表； (2)在（1）的基础上，绘制一幅频率分布直方图. 【例2】某口腔医师对本月门诊龋齿病患者的年龄（单位：岁）情况进行了统计，得到如下数据： 年龄分组区间 患者人数 7 35 34 46 39 30 12 3 合计 206 绘制频率分布直方图，并分析龋齿病患者的年龄构成． 【技巧归纳】 1.固定五步流程求极差→定组距与组数→分组列频数分布表→计算→画坐标系与矩形 2.纵轴必须标注不可直接标注频率 3.每组矩形宽度统一等于组距高度严格对应数值 4.分组区间采用左闭右开格式避免数据重复归属两组 5.绘图完成后验算所有矩形面积相加等于1 【变式1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生所占总体的百分比． 【变式1-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）从总体中抽取容量为100的样本，数据分组及各组的频数如下： 分组区间 频数 6 16 18 22 20 10 8 根据上表，频率分布表如下： 分组区间 频数 频率 累积频数 6 0.06 6 16 0.16 22 18 0.18 40 22 0.22 62 20 0.20 82 10 0.10 92 8 0.08 100 制作频率分布直方图. 题型2 补全频率分布直方图 【例1】（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在，，内应各抽取多少人？ 【例2】（24-25高二下·上海·期末）为积极参与马拉松比赛，某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是，，，，.    (1)求图中的值，并估计这100名学生比赛成绩的平均数； (2)根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛? 【技巧归纳】 1.先利用已知分组算出样本容量再推导缺失组的频数与频率 2.套用公式算出缺失矩形高度 3.在对应区间画出宽度和其余矩形一致的长方形 4.补全后累加全部矩形面积核验总和等于1 5.分层列式计算区分频数、频率、高度三类数值不混淆 【变式2-1】（24-25高二下·上海虹口·期末）某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为_____．    【变式2-2】（23-24高二下·上海杨浦·期末）学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，图中x的值是________． 题型3 由频率分布直方图计算频数，频率，样本容量 【例1】（25-26高二下·上海·期中）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法错误的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 【例2】某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【技巧归纳】 1.单组频率=纵轴数值×组距不能直接取用纵轴数值当作频率 2.频数=本组频率×样本容量样本容量=本组频数÷本组频率 3.多区间总频率为目标区间内所有矩形面积累加和 4.已知总体容量时总体预估数量=总体容量×区间总频率 5.计算完成反向验算各组频数之和等于样本容量 【变式3-1】某地区对100名新入职教师技能测试的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图．则下列结论中不正确的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 【变式3-2】（24-25高二·上海·课堂例题）某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀（含80分），现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数为________，成绩优秀的经验概率是________． 题型4 绘制频率分布折线图 【例1】某医学研究团队为了研究一种降血脂新药的有效性，给50名患者服用该药，一周后测得低密度脂蛋白的含量（单位：mmol/L）如下： 2.80  3.54  3.02  3.43  3.69  2.46  3.03  3.06  3.35  3.57 3.72  4.36  2.56  4.11  2.81  2.77  5.32  3.34  3.68  3.95 2.98  3.63  3.65  3.22  3.90  3.97  3.86  3.93  3.17  3.72 3.36  3.56  3.80  4.57  5.02  3.31  3.52  3.27  3.98  4.72 3.03  4.09  2.14  2.06  3.00  2.75  3.84  2.16  3.09  2.81 (1)制作频率分布表； (2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图. 【例2】有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下： 分组 频数 7 11 15 40 49 41 20 17 分组 频数 频率 合计 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出样本的频率分布直方图和折线图； (3)求样本数据不足0的频率． 【技巧归纳】 1.以频率分布直方图每组矩形上底边中点作为描点坐标 2.在左右两端各增设一组虚组中点纵坐标为0补充完整折线端点 3.用平滑线段依次连接所有中点不遗漏、不跳点 4.坐标系沿用直方图横轴分组刻度纵轴仍标注 5.禁止以区间左右端点代替矩形中点描点 【变式4-1】随机抽取的20名学生一周内的跑步累计千米数，在各区间内的频数记录如下表： 区间 频数 1 2 3 5 4 3 2 (1)一周内的跑步累计千米数大于25.5的学生占据了学生总人数的比例大致是______； (2)如果全校有1000名学生，那么有大约______名同学一周内的跑步累计千米数不足20.5； (3)画出学生一周内的跑步累计千米数的频率分布直方图和频率分布折线图． 【变式4-2】已知下列是不同厂家生产的手提式电脑的重量（单位：千克）： 1.9，2.0，2.1，2.4，2.4，2.8，3.0，2.3，1.5，2.6， 2.6，1.9，2.4，2.2，1.6，1.7，1.7，1.8，1.8，3.0． (1)这组数据的极差为______，数据1.9的频数为______，数据2.4的频率为______． (2)如果决定把这些数据分成5组，则合适的分组区间为：____________． (3)填写频率分布表： 分组 频数 频率 累积频数 (4)在直角坐标系中，画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图． 题型5 频率分布直方图的实际应用 【例1】为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 【例2】某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表. 类别 选餐 套餐 面食 选择人数 50 30 20 平均每份取餐时长（单位：分钟） 2 0.5 1    已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐. (1)根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？ (2)根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程. 【技巧归纳】 1.先筛选符合题意的分组区间累加区间矩形面积得到总频率 2.求总体对应数量用公式预估总数=总体容量×区间总频率 3.文字作答必须带上“用样本频率估计总体”表述 4.区间端点严格匹配题意不等式不漏算、不多算分组 5.样本容量越大估计结果精度越高答题可结合该结论分析 【变式5-1】某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法错误的是（    ）    A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人 B．图中x的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数约为86.7 D．这400名学生中成绩在80分及以上的人数占 【变式5-2】2021级是广西新高考的第一届，根据新高考改革方案，2024年将采用“3+1+2”的高考模式，其中，“3”为语文、数学、外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理和历史中选择1门，再从政治、地理、化学、生物中选择2门，形成自己的“高考选考组合”． (1)若某学生根据方案进行随机选科，求该生的选科组合中选到物理和化学的概率； (2)按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为，，，，五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表： 等级 人数比例 赋分区间 将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，原始分为时，等数分为，计算结果四舍五入取整．该校某次化学考试的原始分最低分为51，最高分为99，呈连续整数分布，其频率分布直方图如图所示： ①按照等级分赋分规则（例如由频率分布直方图可得此次化学考试的原始分成绩位于区间的占比为，位于区间的占比为，估计等级的原始分区间的最低分为，所以估计此次考试化学成绩等级的原始分区间为），请你估计此次考试化学成绩等级的原始分区间； ②用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为80分，试计算其等级分． 题型6 绘制茎叶图 【例1】（2024·上海嘉定·一模）在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决.比赛采用5局3胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6.比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据.甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：；乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止.请回答以下问题： (1)根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲､乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间； (2)根据所给数据，绘制甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图； (3)在目前情况下（甲队已连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金. 【例2】某公司对应聘人员进行能力测试，测试成绩总分为150分，下面是50位应聘人员的测试成绩： 64 67 70 72 74 76 76 79 80 81 82 82 83 85 86 88 91 91 92 93 93 93 95 96 96 97 97 99 100 100 102 104 106 106 107 108 108 112 112 114 116 118 119 119 122 123 125 126 128 133 试用这些数据绘制一幅茎叶图. 【技巧归纳】 1.统一拆分规则高位数字作茎末位数字作叶 2.每行叶子按照从小到大升序排列方便读取分位数 3.两组数据对比选用双侧茎叶图同一列共用茎左右分写叶子 4.重复数据对应的叶子重复书写不能省略 5.先划定茎的取值范围保证全部数据都能拆分对应茎叶 【变式6-1】从贵阳市某高中全体高一学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则参加体能测试的人数n和频率分布直方图中a的值分别是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中随机抽取了16台,记录下上午8:00~11:00之间各自的销售情况(单位:元): 甲:18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41; 乙:22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23. 试用两种不同的方式分别表示上面的数据,并简要说明各自的优点. 题型7 补全茎叶图的数据 【例1】（24-25高二上·上海·课堂例题）某教育行政部门为了解某校男、女党员教师的“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的18位党员教师，其中男党员教师有9人，女党员教师有9人，这18位党员教师10月份的日均得分（单位：分）如表： 男党员教师日均得分 10 12 16 29 23 25 38 38 41 女党员教师日均得分 11 17 17 28 34 36 37 40 41 根据以上数据完成下面的茎叶图，利用茎叶图判断男党员教师的“学习强国”的积极性是否比女党员教师高，并说明理由. 【例2】（24-25高二上·上海徐汇·期末）从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以，，，，为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则a的值为___________. 【技巧归纳】 1.原始数据=茎的数值拼接叶子数值还原时不颠倒数位 2.统计现有叶子总个数结合题干样本容量算出缺失叶子数量 3.结合平均数、中位数条件反向推导缺失叶子数字 4.补全后统一将每行叶子升序排列符合茎叶图规范 5.验算全部叶子总数和题干样本容量保持一致 【变式7-1】在如图所示的一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为62，则被污染的数字为__________． 【变式7-2】已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值___________． 甲 乙 7 2 n 9 m 3 2 4 8 题型8 观察茎叶图比较数据特征 【例1】空气质量指数PM2.5（单位：）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲､乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示： (1)根据你所学的统计知识估计甲､乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由. (2)在15天内任取1天，估计甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率； 【例2】下表是某沿海地区的气温和海水表层温度（单位：）的统计数据，根据下表绘制茎叶图，并比较气温与海水表层温度的分布情况． 气温/ 海水表层温度/ 气温/ 海水表层温度/ 13.9 9.4 31.1 28.3 15.0 10.6 31.1 26.7 18.3 13.3 28.9 25.0 23.9 18.9 23.9 22.2 27.2 21.7 20.0 15.6 30.0 25.6 15.0 10.0 【技巧归纳】 1.集中趋势看峰值茎叶子集中的茎代表数据主要分布区间 2.离散程度看叶子跨茎范围跨茎越多数据波动越大方差越高 3.求中位数先统计全部数据总数找到中间位置再读取茎叶组合 4.双侧茎叶图横向对比峰值整体靠右则该组数据均值更大 5.计算均值时不能只看茎要结合每行叶子数量加权计算 【变式8-1】某团支部随机抽取甲、乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图.关于这9期的成绩，乙的成绩最低为________；甲的成绩最高为________；平均成绩较好的是________. 甲 乙 1 1 3 4 3 2 2 2 3 2 2 3 1 2 5 1 4 2 2 2 5 0 2 【变式8-2】（24-25高二上·上海·课堂例题） 男生成绩 90 87 91 75 88 93 69 73 80 女生成绩 92 77 73 84 67 80 90 96 74 根据以上数据完成下面的茎叶图，并分析男生成绩是否优于女生成绩. 题型9 绘制散点图 【例1】某研究人员随机抽取15棵某品种的栎树，测得树高（单位：m）和胸径（指地面以上1.3m处树干的直径，单位：cm）的数据，如下表所示. 胸径/cm 6 7.9 8.3 8.9 10.1 12.1 13.8 14.2 树高/m 4.7 5.3 6.1 7 7.5 8.5 7.8 8.1 胸径/cm 16.4 16.9 18.1 20.1 21.8 22.2 23.9 / 树高/m 9.1 9.8 10 10.3 11.3 11.8 12.7 / 绘制散点图，并观察随着高度的增加，栎树胸径的变化趋势. 【例2】（24-25高二上·上海·随堂练习）某校高三（1）班的学生每周用于数学学习的时间x（单位：h）与数学平均成绩y（单位：分）之间有表格所示的数据． x/h 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y/分 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 (1)画出散点图； (2)判断数学学习的时间与数学平均成绩的关系． 【技巧归纳】 1.横轴记变量纵轴记变量每组对应一个实心离散点 2.坐标轴刻度均匀设置完整覆盖所有x、y取值范围 3.只绘制离散点不用线段连接各点不填充图形区域 4.所有成对数据全部描点不遗漏任意一组坐标 5.刻度疏密适中避免刻度差距过大扭曲点分布形态 【变式9-1】某市104路公交车上午7：05—8：55时段在起点站每9分钟发一班次．公交公司为了了解早高峰时段各班次上客情况，某日上午7：14—8：35记录了在起点站各班次车辆上客的人数： 发车时刻 7：14 7：23 7：32 7：41 7：50 7：59 8：08 8：17 8：26 8：35 上车乘客数/人 10 13 13 18 17 15 12 9 3 3 请绘制这组成对数据的散点图，并通过观察散点图大致判断客车发车时刻与上车乘客人数之间的相关性． 【变式9-2】通过随机抽样，我们获得某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的一组调查数据，如表所示． 消费者年需求量与商品每千克价格 每千克价格/百元 4.0 4.0 4.6 5.0 5.2 5.6 6.0 6.6 7.0 10.0 年需求量/千克 3.5 3.0 2.7 2.4 2.5 2.0 1.5 1.2 1.2 1.0 请绘制上述数据的散点图，并依据散点图观察两组数据的相关性． 题型10 由散点图判断是否线性相关 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价： 品牌 A B C D E F G H I J 所含热量的百分比 25 34 20 19 26 20 19 24 19 13 口味记录 89 89 80 78 75 71 65 62 60 52 (1)作出散点图； (2)你能从散点图中发现两者之间的近似关系吗？ (3)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系； (4)对于食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的？ 【例2】（24-25高三·上海·课堂例题）某公司近年来科研费用（单位：万元）与公司所获的利润（单位：万元）之间有如下的统计数据： 2 3 4 5 18 27 32 35 (1)请画出上表数据的散点图； (2)观察散点图，判断与是否具有线性相关关系. 【技巧归纳】 1.看点集群整体走向左下到右上为正相关左上到右下为负相关 2.点紧密聚拢在一条直线两侧为强线性相关分散远离直线为弱相关 3.点杂乱无章均匀散布则无线性相关曲线聚拢不属于线性相关 4.少量离群异常点不影响整体判断以大部分点的分布趋势为准 5.区分线性相关与非线性相关曲线聚集不能判定为线性相关 【变式10-1】（24-25高三·上海·课堂例题）某厂的生产原料耗费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下的对应关系： 2 4 6 8 30 40 50 70 画出的散点图并判断它们是否相关. 【变式10-2】下列关于散点图的说法中，正确的是（    ） A．任意给定统计数据，都可以绘制散点图 B．从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系 C．从散点图中可以看出两个量的因果关系 D．从散点图中无法看出数据的分布情况 一、单选题 1.下列关于散点图的说法中，错误的是（    ） A．可以通过散点图绘制数据的频率直方图 B．成对的数据一般适用于散点图 C．任意给定的统计数据，都可以绘制散点图 D．散点图可以看出数据的分布情况 2．（2025·上海徐汇·一模）用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本株，测得麦穗长度（单位：），以其整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”绘制茎叶图如图所示．用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为（   ）（结果精确到） A． B． C． D． 二、填空题 3．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示． 年龄x（岁） 1 2 3 4 5 6 身高y（cm） 78 87 98 108 115 120 其散点图如下，则y与x________（填“具有”或“不具有”）线性相关关系． 4．（24-25高二上·上海·单元测试）某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多________天． 甲 乙 3 2 60 3 4 7 8 6 4 2 61 1 2 5 9 8 7 3 3 0 62 1 2 4 4 6 7 5 4 3 2 1 63 3 5 6 7 9 8 7 4 64 2 4 6 5．（24-25高二下·上海·期中）已知甲、乙两组数据分别为两组学生射击移动靶时的命中率，其茎叶图如图所示．其中，．若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则________． 6．（23-24高三上·上海虹口·期中）为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间（单位：分钟），所得数据都在区间内，其频率分布直方图如图所示，已知活动时间在内的频数为80，则n的值为________． 7．（24-25高三上·上海黄浦·期末）从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________． 8．（24-25高二上·上海黄浦·期末）已知某校高一年级所有学生的体重（单位：kg），且最大值为98，最小值为44.在制作频率分布直方图时，要对这些体重数据进行分组.若组距为5，则将数据分成______组为宜. 9．（24-25高二上·上海·期末）某校抽取100名学生测量他们的身高，其山最大值为，最小值，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为，则组数为__________. 10．（24-25高二·上海·课堂例题）某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到班培训，低于130分的人到班培训，如果用分层抽样的方法从到班的人和到班的人中共选取5人，则5人中到班的有_____人. 11．（23-24高二下·上海虹口·期末）为了解体育锻炼情况，随机统计了名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. 若在区间中的频数为30，则的值是_________. 三、解答题 12．下表为中国15~19岁男性身高与体重关系表，画出散点图，并观察体重与身高的关系． 身高（cm） 153 155 157 159 161 163 165 167 体重（kg） 46.5 47.3 48.2 49.4 50.5 51.7 53 54.7 身高（cm） 169 171 173 175 177 179 181 183 体重（kg） 55.4 56.8 58.2 59.5 61.4 63.1 65 66.5 13．（24-25高二上·上海·期末）受全球新冠疫情影响，2020东京奥运会延期至2021年7月23日到8月8日举行，某射箭选手积极备战奥运，在临赛前的一次训练中共射了1组共72支箭，下表是命中环数的部分统计信息 环数 <7 7 8 9 10 频数 0 3 a b 22 已知该次训练的平均环数为9.125环 (1)求a，b 的值； (2)据此水平，求正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9环）的概率. 14．（25-26高三上·上海·期中）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 15．（2024·上海奉贤·一模）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率． 16．（25-26高三上·上海·阶段检测）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图（如图）. 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 17 4 22 5 25 6 12 7 6 8 2 9 2 合计 100 (1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； (2)求频率分布直方图中的a，b的值； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 统计图表 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 绘制频率分布直方图 题型6 绘制茎叶图 题型2 补全频率分布直方图 题型7 补全茎叶图的数据 题型3 由频率分布直方图计算频数，频率样本容量 题型8 观察茎叶图比较数据特征 题型4 绘制频率分布折线图 题型9 绘制散点图 题型5 频率分步直方图的实际应用 题型10 由散点图判断是否线性相关 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 频数分布表和频率分布直方图 1.掌握绘制频率分布直方图完整步骤熟记矩形面积代表频率所有矩形面积和为1 2.能根据图表完成补全、计算频率频数样本容量等相关数值运算 3.分清直方图优缺点能根据数据规模选择合适统计图表解决实际问题 频率分布折线图 1.掌握折线图绘制方法会取矩形上底边中点并补充两端零点连线 2.理解折线图反映数据分布变化趋势的作用能结合图表做实际估算应用 3.区分折线图与直方图、茎叶图的适用场景辨析各自优缺点 总体密度曲线 1.理解密度曲线是样本折线图的极限形式曲线与横轴围成面积恒为1 2.会利用曲线下对应区间面积求解总体落在该区间的概率 3.分清样本折线与总体密度曲线的区别不混淆样本与总体分布 茎叶图 1.掌握茎叶图绘制规则茎为高位数字叶为末位数字叶子有序排列 2.能补全茎叶图缺失数据从图表读取原始数据分析平均数中位数等特征 3.熟记茎叶图优缺点明确其仅适用于少量离散整数数据 散点图 1.能根据成对变量坐标规范绘制散点图区分散点图与折线图绘制要求 2.依据点的聚集走向判断正负线性相关、相关性强弱与无关情况 3.能在散点集群中画出近似回归直线保证直线两侧点数大致均衡 学习重点： 1.频率分布直方图、折线图的绘制与频率、频数相关计算 2.茎叶图的绘制、数据补全与数据特征分析 3.散点图绘制、线性相关性判断与近似回归直线画法 4.三类统计图表的适用条件、优缺点辨析 学习难点： 1.频率分布直方图纵轴的含义与频率换算 2.总体密度曲线用面积表示区间概率的逻辑理解 3.结合图表综合分析数据分布、离散程度与变量相关关系 4.根据数据类型、样本规模合理选择对应统计图表 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 频率分布表与频率分布直方图 1.频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图． 第一步，求极差 极差为一组数据中__最大值与最小值__的差． 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取_左闭右开___区间，最后一组数据取闭区间． 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，例如第一小组的频率是，作出频率分布表， 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴(小长方形的高度)表示__． 2.频率分布折线图 取各相邻小矩形上底边的____中点____，用线段顺次连接各点，就得到频率分布折线图． 【易错提醒】 1.混淆纵轴含义误将纵轴直接当作频率计算 2.计算单组频率时忘记用纵轴数值乘以组距导致频率数值偏小 3.绘制图表时分组区间端点重复同一个数据归入两组区间 4.忽略所有矩形面积之和恒等于1计算后不做校验 5.补全直方图时直接用频率当作矩形高度未除以组距换算 6.分不清样本容量与总体容量预估总体数量时代入样本容量计算 7.误认为直方图能读取原始精确数据实际图表会丢失单个样本信息 8.少量离散整数数据选用直方图未选用更合适的茎叶图 9.绘制频率折线图时直接取区间端点描点没有选用矩形上底边中点 10.总体密度曲线相关题型将曲线纵坐标数值当作区间概率忽略面积才代表概率 11.计算多区间总频率时漏加或重复计算部分分组矩形面积 12.作答实际应用题不说明“用样本频率估计总体”直接等同样本与总体 即时即练 1.（25-26高二下·上海·期中）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法错误的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1先求出，根据频率分布直方图性质直接求每个选项即可. 【详解】对于D，根据频率分布直方图可知：，可得，所以D正确. 对于A，成绩在的频数为：，故A正确； 对于B，图中所有小矩形面积之和表示所有区间内的频率之和，为1. B正确； 对于C，设成绩的中位数为，     ， 易得中位数在区间内，故C错误. 2.（24-25高三上·上海·阶段检测）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压（单位：kPa）的分组区间为，.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数是（     ）. A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】由第一组与第二组的频率和频数，求出样本容量，即可求出第三组的频数，可得其中有疗效的人数. 【详解】由直方图可得第一组与第二组的频率之和为，第一组和第二组共有20人， 所以样本容量为，所以第三组的人数为人， 第三组中没有疗效的有6人，则第三组有疗效的有12人. 故选：B. 知识点02 散点图 绘制散点图：根据一般经验，很多数据之间具有一定的相关性，例如身高与体重、收入与支出等，我们可以通过绘制散点图，来展示这种相关性． 选择身高作为横坐标，体重作为___ 纵坐标_____，在直角坐标系中绘制出相应的____点____，就得到了身高和体重的散点图． 【易错提醒】 1.绘制散点图时把离散点用线段连接混淆散点图与折线图 2.坐标轴刻度设置疏密差距过大人为扭曲点分布形态干扰相关性判断 3.仅凭个别离群点判定变量无线性相关忽略散点集群整体走向 4.散点呈曲线聚集时误判为线性相关无法区分线性与非线性关联 5.颠倒正负相关走向判断正相关、负相关时增减关系弄反 6.绘制近似回归直线时刻意穿过全部散点不贴合整体集群中心 7.回归直线偏向单侧散点直线两侧点的数量差距悬殊 8.过度迁就极端异常离群点绘制直线忽略大部分数据分布规律 9.漏绘部分成对数据点丢失样本关键信息 10.误将散点图用来展示单组数值分布混淆其双变量分析的适用场景 即时即练 1.（24-25高三·上海·课堂例题）有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价： 品牌 A B C D E F G H I J 所含热量的百分比 25 34 20 19 26 20 19 24 19 13 口味记录 89 89 80 78 75 71 65 62 60 52 (1)作出散点图； (2)你能从散点图中发现两者之间的近似关系吗？ (3)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系； (4)对于食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的？ 【答案】(1)作图见解析 (2)基本近似成线性相关关系 (3)作图见解析 (4)因为直线上方的食品口味更好. 【分析】对于（1），首先以两个变量分别为横轴和纵轴作平面直角坐标系，再在坐标系中描出各点坐标，即作出散点图； 对于(2)，由散点图中点的分布规律可判断两变量的相关性； 对于(3)，根据(1)的散点图，画一条直线近似地表示两个变量线性相关即可； 对于(4)，从口味分析. 【详解】（1）散点图如图所示； （2）从散点图上可以看出，食品所含热量的百分比与口味值之间总体趋势近似地成一条直线，也就是说他们之间是线性相关的； （3）直线如上图所示； （4）因为当直线上方的食品和下方的食品所含热量相同时，直线上方的食品口味更好. 2.（24-25高二上·上海·随堂练习）某校高三（1）班的学生每周用于数学学习的时间x（单位：h）与数学平均成绩y（单位：分）之间有表格所示的数据． x/h 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y/分 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 (1)画出散点图； (2)判断数学学习的时间与数学平均成绩的关系． 【答案】(1)作图见解析 (2)数学平均成绩与数学学习时间呈现正相关关系． 【分析】（1）直接根据表中数据在坐标系中描点； （2）从点的分布趋势是左下到右上即可判断是正相关关系． 【详解】（1）根据表中的数据画出散点图如图所示：    （2）从散点图看，数学平均成绩与数学学习时间呈现正相关关系 题型1 绘制频率分布直方图 【例1】某校30名高一女生的扔手球记录如下（单位：m）： 16.3 13.2 17.7 14.3 16.4 19.8 13.5 14.5 11.7 14.1 14.8 17.2 13.8 15.4 16.3 15.7 18.5 16.8 17.9 15.9 17.6 15.4 16.8 21.4 16.5 18.1 16.0 20.3 16.6 19.5 (1)选择适当的组距，制作一张频率分布表； (2)在（1）的基础上，绘制一幅频率分布直方图. 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率分布直方图见解析 【分析】（1）根据所给数据求出极差，分组，求出各区间的频数及频率即可求出频率分布表； （2）根据（1）作出频率分布直方图即可 【详解】（1）由题目数据可知极差为，组距为，所以分5组较好， ， 频率分布表如下： 分组 频数 频率 3 7 11 6 3 合计 30 1.00 （2）根据（1）的频率分布表可以画出频率分布直方图如图所示： 【例2】某口腔医师对本月门诊龋齿病患者的年龄（单位：岁）情况进行了统计，得到如下数据： 年龄分组区间 患者人数 7 35 34 46 39 30 12 3 合计 206 绘制频率分布直方图，并分析龋齿病患者的年龄构成． 【答案】频率分布直方图见解析；年龄在的人数患龋齿病居多，而区间的人数患者少. 【分析】求出各区间的频率与组距的比，进而画出频率分布直方图，并分析数据可得龋齿病患者的年龄构成. 【详解】 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 频率分布直方图如下: 年龄在的人数患龋齿病居多，而区间的人数患者少. 【技巧归纳】 1.固定五步流程求极差→定组距与组数→分组列频数分布表→计算→画坐标系与矩形 2.纵轴必须标注不可直接标注频率 3.每组矩形宽度统一等于组距高度严格对应数值 4.分组区间采用左闭右开格式避免数据重复归属两组 5.绘图完成后验算所有矩形面积相加等于1 【变式1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生所占总体的百分比． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题中所给数据 即可得出频率分布表； （2）根据频率分布表画出频率分布直方图即可； （3）根据频率分布直方图即可得解. 【详解】（1）频率分布表如下： 成绩分组 频数 频率 2 0.04 3 0.06 10 0.20 15 0.30 12 0.24 8 0.16 合计 50 1.00 （2）由题意知组距为10，取小矩形的高根据表格画出如下的频率分布直方图： （3）由频率分布直方图，可估计成绩在分的学生所占总体的百分比是. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）从总体中抽取容量为100的样本，数据分组及各组的频数如下： 分组区间 频数 6 16 18 22 20 10 8 根据上表，频率分布表如下： 分组区间 频数 频率 累积频数 6 0.06 6 16 0.16 22 18 0.18 40 22 0.22 62 20 0.20 82 10 0.10 92 8 0.08 100 制作频率分布直方图. 【答案】作图见解析 【分析】根据频率分布表直接制作频率分布直方图. 【详解】解：频率分布直方图如图所示：    题型2 补全频率分布直方图 【例1】（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在，，内应各抽取多少人？ 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）由各小矩形的高之和为求解； （2）由比例求解. 【详解】（1）. （2）因为， 所以在，，内应各抽取： ，，. 故在，，内分别抽取，，人. 【例2】（24-25高二下·上海·期末）为积极参与马拉松比赛，某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是，，，，.    (1)求图中的值，并估计这100名学生比赛成绩的平均数； (2)根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛? 【答案】(1)，平均数为73 (2)2250 【分析】（1）利用各组的频率和为1列方程可求出的值，根据平均数的定义可求得这100名学生比赛成绩的平均数； （2）先求出样本中小于80分钟的频率，然后总数乘以频率可得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图得，解得， 这100名学生比赛成绩的平均数为 ； （2）由频率分布直方图可知，样本中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的频率为 ， 所以该校3000名学生中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的学生人数约为 名. 【技巧归纳】 1.先利用已知分组算出样本容量再推导缺失组的频数与频率 2.套用公式算出缺失矩形高度 3.在对应区间画出宽度和其余矩形一致的长方形 4.补全后累加全部矩形面积核验总和等于1 5.分层列式计算区分频数、频率、高度三类数值不混淆 【变式2-1】（24-25高二下·上海虹口·期末）某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为_____．    【答案】5 【分析】由频率分布直方图可得，据此可估计大致人数. 【详解】 所以成绩在之间的学生人数为. 故答案为：5 【变式2-2】（23-24高二下·上海杨浦·期末）学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，图中x的值是________． 【答案】0.030 【分析】利用面积之和等于1即能解. 【详解】因为每个小矩形的面积就是频率，所以面积之和等于1，即，解出. 故答案为：0.030. 题型3 由频率分布直方图计算频数，频率，样本容量 【例1】（25-26高二下·上海·期中）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法错误的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1先求出，根据频率分布直方图性质直接求每个选项即可. 【详解】对于D，根据频率分布直方图可知：，可得，所以D正确. 对于A，成绩在的频数为：，故A正确； 对于B，图中所有小矩形面积之和表示所有区间内的频率之和，为1. B正确； 对于C，设成绩的中位数为，     ， 易得中位数在区间内，故C错误. 【例2】某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】B 【详解】由频率分布直方图的性质可得，， 解得. 这些同学物理成绩大于等于80分的人数为. 【技巧归纳】 1.单组频率=纵轴数值×组距不能直接取用纵轴数值当作频率 2.频数=本组频率×样本容量样本容量=本组频数÷本组频率 3.多区间总频率为目标区间内所有矩形面积累加和 4.已知总体容量时总体预估数量=总体容量×区间总频率 5.计算完成反向验算各组频数之和等于样本容量 【变式3-1】某地区对100名新入职教师技能测试的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图．则下列结论中不正确的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1先求出，根据频率分布直方图性质直接求每个选项即可. 【详解】根据频率分布直方图可知：，可得.所以B正确； 成绩在的频数为：，故A正确； 设成绩中位数为， ， 易得中位数在区间内，故C正确； 设成绩平均数为， 而， 平均数在区间内，故D错误. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二·上海·课堂例题）某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀（含80分），现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数为________，成绩优秀的经验概率是________． 【答案】 100 0.15/ 【分析】由各组的频率和为1，求出第二小组的频率，再根据第二小组的频数可求出参赛的人数，求出80分以上的频率可得成绩优秀的经验概率. 【详解】因为第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05， 所以第二小组的频率为， 因为第二小组的频数是40，所以参赛的人数为， 因为80分以上的频率为， 所以成绩优秀的经验概率是. 故答案为：100， 题型4 绘制频率分布折线图 【例1】某医学研究团队为了研究一种降血脂新药的有效性，给50名患者服用该药，一周后测得低密度脂蛋白的含量（单位：mmol/L）如下： 2.80  3.54  3.02  3.43  3.69  2.46  3.03  3.06  3.35  3.57 3.72  4.36  2.56  4.11  2.81  2.77  5.32  3.34  3.68  3.95 2.98  3.63  3.65  3.22  3.90  3.97  3.86  3.93  3.17  3.72 3.36  3.56  3.80  4.57  5.02  3.31  3.52  3.27  3.98  4.72 3.03  4.09  2.14  2.06  3.00  2.75  3.84  2.16  3.09  2.81 (1)制作频率分布表； (2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图. 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率分布直方图和频率分布折线图见解析 【分析】（1）根据所给数据求出极差，分组，求出各区间的频数及频率即可求出频率分布表； （2）根据（1）作出频率分布直方图，再由频率分布直方图得出折线图即可 【详解】（1）由题目数据可知极差为，组距为，所以分7组较好， ， 频率分布表如下： 分组 频数 频率 4 11 12 16 3 3 1 合计 50 1.00 （2）根据（1）的频率分布表可以画出频率分布直方图如图所示： 频率折线图如图： 【例2】有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下： 分组 频数 7 11 15 40 49 41 20 17 分组 频数 频率 合计 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出样本的频率分布直方图和折线图； (3)求样本数据不足0的频率． 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率分布直方图和折线图见解析 (3)0.365 【分析】（1）根据表中数据作出频率分布表即可； （2）结合频率分布表作出频率分布直方图与折线图； （3）根据题意，求出，，，的频率和即可． 【详解】（1）根据表中数据，频率分布表如下： 7 0.035 11 0.055 15 0.075 40 0.200 49 0.245 41 0.205 20 0.100 17 0.085 合计 200 1 （2）结合频率分布表得直方图与折线图如下： （3）样本数据不足0的频率为． 【技巧归纳】 1.以频率分布直方图每组矩形上底边中点作为描点坐标 2.在左右两端各增设一组虚组中点纵坐标为0补充完整折线端点 3.用平滑线段依次连接所有中点不遗漏、不跳点 4.坐标系沿用直方图横轴分组刻度纵轴仍标注 5.禁止以区间左右端点代替矩形中点描点 【变式4-1】随机抽取的20名学生一周内的跑步累计千米数，在各区间内的频数记录如下表： 区间 频数 1 2 3 5 4 3 2 (1)一周内的跑步累计千米数大于25.5的学生占据了学生总人数的比例大致是______； (2)如果全校有1000名学生，那么有大约______名同学一周内的跑步累计千米数不足20.5； (3)画出学生一周内的跑步累计千米数的频率分布直方图和频率分布折线图． 【答案】(1) (2)300 (3)画图见解析 【分析】（1）根据频率公式计算可得； （2）首先求出样本中一周内的跑步累计千米数不足的频率，即可估计人数； （3）根据频数分布表得到频率，即可得到频率分布直方图与折线图； 【详解】（1）解：由频数分布表可得一周内的跑步累计千米数大于的学生占据了学生总人数的比例大致是； （2）解：样本中一周内的跑步累计千米数不足的有，占样本的， 所以估计全校名学生中大约有人一周内的跑步累计千米数不足； （3）解：依题意可得内的频率为， 内的频率为， 内的频率为， 内的频率为， 内的频率为， 内的频率为， 内的频率为； 所以可画图如下： 【点睛】 【变式4-2】已知下列是不同厂家生产的手提式电脑的重量（单位：千克）： 1.9，2.0，2.1，2.4，2.4，2.8，3.0，2.3，1.5，2.6， 2.6，1.9，2.4，2.2，1.6，1.7，1.7，1.8，1.8，3.0． (1)这组数据的极差为______，数据1.9的频数为______，数据2.4的频率为______． (2)如果决定把这些数据分成5组，则合适的分组区间为：____________． (3)填写频率分布表： 分组 频数 频率 累积频数 (4)在直角坐标系中，画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图． 【答案】(1)1.5；2；0.15 (2)[1.5，1.8），[1.8，2.1）.[2.1，2.4），[2.4，2.7），[2.7，3.0] (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）根据极差、频数，频率的概念即可求解， （2）（3）（4）根据频率分布直方图的即可求解. 【详解】（1）极差为，1.9出现了两次，所以频数为2，2.4出现了3次，所以频率为， （2）[1.5，1.8），[1.8，2.1）.[2.1，2.4），[2.4，2.7），[2.7，3.0] （3） 分组 频数 频率 累积频数 [1.5，1.8） 4 0.20 4 [1.8，2.1） 5 0.25 9 [2.1，2.4） 3 0.15 12 [2.4，2.7） 5 0.25 17 [2.7，3.0] 3 0.15 20 （4）如图所示： 题型5 频率分布直方图的实际应用 【例1】为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【分析】根据饼状图和条形图提供的数据逐一分析判断选项． 【详解】由饼图可知，高一人数比高二人数多选项正确； 由条形图可知，成绩前200名中高一人数为人，B选项正确； 成绩前100名的学生中，高一人数为人， 故高三人数不超过人，C选项正确； 成绩第101名到第名的学生中，高一人数为人， 故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D选项错误， 故选：D 【例2】某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表. 类别 选餐 套餐 面食 选择人数 50 30 20 平均每份取餐时长（单位：分钟） 2 0.5 1    已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐. (1)根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？ (2)根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程. 【答案】(1)18分钟；不能 (2)建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个；求解过程见解析 【分析】（1）求出就餐高峰期时选择选餐的总人数，确定平均每个窗口等待就餐的人数即可求得选择选餐同学的最长等待时间；根据频率分布直方图可计算可接受等待时长在15分钟以上的同学占比，即可得结论； （2）假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，表示出各队伍的同学最长等待时间，根据从等待时长和公平的角度上考虑即为要求每个队伍的最长等待时间大致相同，从而列式求解. 【详解】（1）由题意得，就餐高峰期时选择选餐的总人数为人； 这100人平均分布在12个选餐窗口，平均每个窗口等待就餐的人数为人， 所以选择选餐同学的最长等待时间为分钟， 由可接受等待时长的频率分布直方图可知，分组为的频率分别为， 所以可接受等待时长在15分钟以上的同学占， 故设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，不能让80％的同学感到满意； （2）假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，则各队伍的同学最长等待时间如下： 类别 选餐 套餐 面食 高峰期就餐总人数 100 60 40 各队伍长度（人） 最长等待时间（分钟） 依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，则要求每个队伍的最长等待时间大致相同， 即得，即有， 而，故， 因此建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个. 【点睛】关键点睛：本题是一道有关频率分布直方图的应用题，题意的叙述较为复杂，解答的关键是明确题意，理解从等待时长和公平的角度上考虑即为要求每个队伍的最长等待时间大致相同，从而列式求解. 【技巧归纳】 1.先筛选符合题意的分组区间累加区间矩形面积得到总频率 2.求总体对应数量用公式预估总数=总体容量×区间总频率 3.文字作答必须带上“用样本频率估计总体”表述 4.区间端点严格匹配题意不等式不漏算、不多算分组 5.样本容量越大估计结果精度越高答题可结合该结论分析 【变式5-1】某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法错误的是（    ）    A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人 B．图中x的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数约为86.7 D．这400名学生中成绩在80分及以上的人数占 【答案】B 【分析】根据直方图的定义结合中位数估计值求解即可. 【详解】由题意，成绩在区间内的学生人数为，故A正确； 由，得，故B错误； 设中位数为，前3个矩形面积之和为0.3，前四个矩形面积之和为0.6， 则，得，故C正确； 80分及以上分数的频率为，占总人数比例为，故D正确; 故选：B. 【变式5-2】2021级是广西新高考的第一届，根据新高考改革方案，2024年将采用“3+1+2”的高考模式，其中，“3”为语文、数学、外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理和历史中选择1门，再从政治、地理、化学、生物中选择2门，形成自己的“高考选考组合”． (1)若某学生根据方案进行随机选科，求该生的选科组合中选到物理和化学的概率； (2)按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为，，，，五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表： 等级 人数比例 赋分区间 将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，原始分为时，等数分为，计算结果四舍五入取整．该校某次化学考试的原始分最低分为51，最高分为99，呈连续整数分布，其频率分布直方图如图所示： ①按照等级分赋分规则（例如由频率分布直方图可得此次化学考试的原始分成绩位于区间的占比为，位于区间的占比为，估计等级的原始分区间的最低分为，所以估计此次考试化学成绩等级的原始分区间为），请你估计此次考试化学成绩等级的原始分区间； ②用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为80分，试计算其等级分． 【答案】(1) (2)①；②79分 【分析】（1）列举出所有可能的选择组合以及组合中包括物理和化学的组合，根据古典概型的公式，即可解得结果； （2）①由已知可推得位于区间的划分等级为的占比为，则位于区间的划分等级为的占比为，从而可求得等级的原始分区间的最低分； ②根据转换公式，直接计算即可得到结果. 【详解】（1）选考科有（物理，生物，化学），（物理，生物，地理），（物理，生物，思想政治），（物理，化学，地理），（物理，化学，思想政治）， （物理，地理，思想政治），（历史，生物，化学），（历史，生物，地理），（历史，生物，思想政治），（历史，化学，地理）， （历史，化学，思想政治），（历史，地理，思想政治），共12种情况. 其中该学生选择考物理和化学的选法有（物理，化学，生物），（物理，化学，地理）， （物理，化学，思想政治），共3种情况. ∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率是． （2）①由图可知，原始分成绩位于区间的占比为，位于区间的占比为， 又位于区间的划分等级为的占比为，所以位于区间的划分等级为的占比为. 位于区间的占比为， 所以等级的原始分区间的最低分为， 又等级的原始分区间的最低分为85，所以等级的原始分区间的最高分为， 所以估计此次考试化学成绩等级的原始分区间为． ②由，解得，该学生的等级分为79分． 题型6 绘制茎叶图 【例1】（2024·上海嘉定·一模）在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决.比赛采用5局3胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6.比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据.甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：；乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止.请回答以下问题： (1)根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲､乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间； (2)根据所给数据，绘制甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图； (3)在目前情况下（甲队已连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金. 【答案】(1)； (2)茎叶图： (3)甲乙获胜的概率分别为，奖金分别为万元和万元. 【分析】（1）根据给定条件，写出比赛结果的样本空间. （2）绘制击杀数分布的茎叶图. （3）利用相互独立事件的概率及对立事件的概率估计概率，再按概率分配奖金. 【详解】（1）用表示甲队在第局获胜，则表示乙队第局获胜， 所以所求样本空间. （2）甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图，如图， （3）乙队获胜的事件为，则，， 因此甲队获胜的概率为， 由此分配10万元奖金，甲队分得（万元），乙队分得万元. 【例2】某公司对应聘人员进行能力测试，测试成绩总分为150分，下面是50位应聘人员的测试成绩： 64 67 70 72 74 76 76 79 80 81 82 82 83 85 86 88 91 91 92 93 93 93 95 96 96 97 97 99 100 100 102 104 106 106 107 108 108 112 112 114 116 118 119 119 122 123 125 126 128 133 试用这些数据绘制一幅茎叶图. 【答案】茎叶图见解析 【分析】利用茎叶图的绘制方法即可得解. 【详解】根据题中数据，绘制茎叶图如图，    【技巧归纳】 1.统一拆分规则高位数字作茎末位数字作叶 2.每行叶子按照从小到大升序排列方便读取分位数 3.两组数据对比选用双侧茎叶图同一列共用茎左右分写叶子 4.重复数据对应的叶子重复书写不能省略 5.先划定茎的取值范围保证全部数据都能拆分对应茎叶 【变式6-1】从贵阳市某高中全体高一学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则参加体能测试的人数n和频率分布直方图中a的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由频率分布直方图求出测试成绩在区间的频率，再由茎叶图求出参加体能测试的人数，然后求出测试成绩在区间的频数，进而求出测试成绩在区间的频率，最后根据频率分布直方图利用频率列出方程即可求出值. 【详解】由频率分布直方图可知，测试成绩在区间的频率为， 又由茎叶图可知，测试成绩在区间的频数为， 参加体能测试的人数， 又由茎叶图可知， 测试成绩在区间的频数为， 测试成绩在区间的频率为， 又由频率分布直方图可知， 测试成绩在区间的频率为， 解得. 故选：A. 【变式6-2】有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中随机抽取了16台,记录下上午8:00~11:00之间各自的销售情况(单位:元): 甲:18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41; 乙:22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23. 试用两种不同的方式分别表示上面的数据,并简要说明各自的优点. 【答案】详见解析. 【分析】一般选条形图和茎叶图来表示上面的数据. 【详解】(方法一)条形图如下图. 甲 乙 (方法二)茎叶图如图,两竖线中间的数字表示甲、乙销售额的十位数,两边的数字分别表示甲、乙销售额的个位数. 从解法一可以看出,条形统计图能直观地反映数据分布的大致情况,并且能够清晰地表示出各个区间的具体数目;从解法二可以看出,用茎叶图表示有关数据,对数据的记录和表示都带来方便. 题型7 补全茎叶图的数据 【例1】（24-25高二上·上海·课堂例题）某教育行政部门为了解某校男、女党员教师的“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的18位党员教师，其中男党员教师有9人，女党员教师有9人，这18位党员教师10月份的日均得分（单位：分）如表： 男党员教师日均得分 10 12 16 29 23 25 38 38 41 女党员教师日均得分 11 17 17 28 34 36 37 40 41 根据以上数据完成下面的茎叶图，利用茎叶图判断男党员教师的“学习强国”的积极性是否比女党员教师高，并说明理由. 【答案】茎叶图见解析，由茎叶图可以看出，男党员教师的“学习强国”的积极性不比女党员教师高.理由见解析 【分析】根据已知画出茎叶图，对比茎叶图数据即可得出结论. 【详解】如图所示： 男党员教师日均得分 女党员教师日均得分 6 2 0 1 1 7 7 9 5 3 2 8 8 8 3 4 6 7 1 4 0 1 由茎叶图可以看出，男党员教师的“学习强国”的积极性不比女党员教师高. 理由如下： 男党员教师的“学习强国”的日均得分集中在茎1，2上，而女党员教师日均得分集中在茎1，3上，由此可以判断女党员教师学习“学习强国”的积极性更高. 【例2】（24-25高二上·上海徐汇·期末）从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以，，，，为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则a的值为___________. 【答案】 【分析】根据频率分布图可得组内有2个数据.结合茎叶图和频率分布直方图可知样本容量，即可得出组内的数据有4个，进而求出a的值. 【详解】由频率分布直方图可得，组内数据的频率等于组内数据的频率，所以组内有2个数据. 设样本容量为，则，所以. 所以组内的数据有，所以组内数据的频率等于，所以. 故答案为：. 【技巧归纳】 1.原始数据=茎的数值拼接叶子数值还原时不颠倒数位 2.统计现有叶子总个数结合题干样本容量算出缺失叶子数量 3.结合平均数、中位数条件反向推导缺失叶子数字 4.补全后统一将每行叶子升序排列符合茎叶图规范 5.验算全部叶子总数和题干样本容量保持一致 【变式7-1】在如图所示的一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为62，则被污染的数字为__________． 【答案】5 【分析】根据茎叶图进行数据分析求出极差，再由极差与中位数之和为62求出中位数，设被污染的数字为a，再根据茎叶图求中位数列方程即可求解. 【详解】根据茎叶图进行数据分析可得：极差为， 因为极差与中位数之和为62，所以中位数为， 设被污染的数字为a，则，解得：. 故答案为：5. 【变式7-2】已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值___________． 甲 乙 7 2 n 9 m 3 2 4 8 【答案】/0.375 【分析】由乙数据可得中位数，即可求m，再由甲数据求平均数为33，即可求n，即可结果． 【详解】由图知：甲数据为，乙数据为，且， 显然乙的中位数为，故，则， 所以平均数为，即，可得， 故． 故答案为： 题型8 观察茎叶图比较数据特征 【例1】空气质量指数PM2.5（单位：）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲､乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示： (1)根据你所学的统计知识估计甲､乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由. (2)在15天内任取1天，估计甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率； 【答案】(1)甲； (2). 【分析】（1）根据茎叶图，由中位数和数据的集中程度判断； （2）利用古典概型，分别求得甲､乙两城市空气质量类别为优或良的概率，再利用独立事件的概率求解. 【详解】（1）由茎叶图知：甲城市的中位数为：61，乙城市的中位数为79， 并且甲的大多集中在65以下，乙的大多集中在76以上， 所以甲城市空气质量总体较好； （2）甲城市空气质量类别为优或良的有10天， 所以甲城市空气质量类别优或良的概率为, 乙城市空气质量类别为优或良的有5天， 所以乙城市空气质量类别优或良的概率为, 所以甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为. 【例2】下表是某沿海地区的气温和海水表层温度（单位：）的统计数据，根据下表绘制茎叶图，并比较气温与海水表层温度的分布情况． 气温/ 海水表层温度/ 气温/ 海水表层温度/ 13.9 9.4 31.1 28.3 15.0 10.6 31.1 26.7 18.3 13.3 28.9 25.0 23.9 18.9 23.9 22.2 27.2 21.7 20.0 15.6 30.0 25.6 15.0 10.0 【答案】茎叶图见解析，海水表层温度和气温都主要集中在到之间，海水表层问题整体上略低于气温 【详解】茎叶图如图所示，由图可得，海水表层温度和气温都主要集中在到之间，海水表层温度整体上略低于气温．    【技巧归纳】 1.集中趋势看峰值茎叶子集中的茎代表数据主要分布区间 2.离散程度看叶子跨茎范围跨茎越多数据波动越大方差越高 3.求中位数先统计全部数据总数找到中间位置再读取茎叶组合 4.双侧茎叶图横向对比峰值整体靠右则该组数据均值更大 5.计算均值时不能只看茎要结合每行叶子数量加权计算 【变式8-1】某团支部随机抽取甲、乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图.关于这9期的成绩，乙的成绩最低为________；甲的成绩最高为________；平均成绩较好的是________. 甲 乙 1 1 3 4 3 2 2 2 3 2 2 3 1 2 5 1 4 2 2 2 5 0 2 【答案】 13分 52分 乙 【分析】根据茎叶图直接找最高分和最低分，再代入平均数公式，即可比较. 【详解】由茎叶图可知，乙同学的最低分位13分，甲同学的最高分为52分， 乙同学的平均分为， 甲同学的平均分为， 所以乙的平均分较好. 故答案为：13分；52分；乙 【变式8-2】（24-25高二上·上海·课堂例题） 男生成绩 90 87 91 75 88 93 69 73 80 女生成绩 92 77 73 84 67 80 90 96 74 根据以上数据完成下面的茎叶图，并分析男生成绩是否优于女生成绩. 【答案】茎叶图见解析，从茎叶图中可以看出，男生成绩并不优于女生成绩. 【分析】根据数据绘制茎叶图，结合数据的分布情况（集中程度）给出分析结论. 【详解】如图所示： 男生成绩 女生成绩 9 6 7 5 3 7 3 4 7 8 7 0 8 0 4 3 1 0 9 0 2 6 从茎叶图看出，男生、女生成绩都不集中且分布差异不大，故男生成绩并不优于女生成绩. 题型9 绘制散点图 【例1】某研究人员随机抽取15棵某品种的栎树，测得树高（单位：m）和胸径（指地面以上1.3m处树干的直径，单位：cm）的数据，如下表所示. 胸径/cm 6 7.9 8.3 8.9 10.1 12.1 13.8 14.2 树高/m 4.7 5.3 6.1 7 7.5 8.5 7.8 8.1 胸径/cm 16.4 16.9 18.1 20.1 21.8 22.2 23.9 / 树高/m 9.1 9.8 10 10.3 11.3 11.8 12.7 / 绘制散点图，并观察随着高度的增加，栎树胸径的变化趋势. 【答案】散点图见解析，随着树高度的增加，栎树胸径也变大 【分析】根据表格数据直接绘制散点图，然后根据散点图即可求得统计结论. 【详解】根据题目数据作出散点图，如下图所示， 由散点图知，随着树高度的增加，栎树胸径也变大. 【例2】（24-25高二上·上海·随堂练习）某校高三（1）班的学生每周用于数学学习的时间x（单位：h）与数学平均成绩y（单位：分）之间有表格所示的数据． x/h 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y/分 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 (1)画出散点图； (2)判断数学学习的时间与数学平均成绩的关系． 【答案】(1)作图见解析 (2)数学平均成绩与数学学习时间呈现正相关关系． 【分析】（1）直接根据表中数据在坐标系中描点； （2）从点的分布趋势是左下到右上即可判断是正相关关系． 【详解】（1）根据表中的数据画出散点图如图所示：    （2）从散点图看，数学平均成绩与数学学习时间呈现正相关关系． 【技巧归纳】 1.横轴记变量纵轴记变量每组对应一个实心离散点 2.坐标轴刻度均匀设置完整覆盖所有x、y取值范围 3.只绘制离散点不用线段连接各点不填充图形区域 4.所有成对数据全部描点不遗漏任意一组坐标 5.刻度疏密适中避免刻度差距过大扭曲点分布形态 【变式9-1】某市104路公交车上午7：05—8：55时段在起点站每9分钟发一班次．公交公司为了了解早高峰时段各班次上客情况，某日上午7：14—8：35记录了在起点站各班次车辆上客的人数： 发车时刻 7：14 7：23 7：32 7：41 7：50 7：59 8：08 8：17 8：26 8：35 上车乘客数/人 10 13 13 18 17 15 12 9 3 3 请绘制这组成对数据的散点图，并通过观察散点图大致判断客车发车时刻与上车乘客人数之间的相关性． 【答案】图表见解析 【分析】根据题意，直接绘制散点图即可，结合散点图即可判断. 【详解】   绘制散点图如图所示，观察散点图可知，之前客车发车时刻与上车乘客人数之间正相关，之后客车发车时刻与上车乘客人数之间负相关. 【变式9-2】通过随机抽样，我们获得某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的一组调查数据，如表所示． 消费者年需求量与商品每千克价格 每千克价格/百元 4.0 4.0 4.6 5.0 5.2 5.6 6.0 6.6 7.0 10.0 年需求量/千克 3.5 3.0 2.7 2.4 2.5 2.0 1.5 1.2 1.2 1.0 请绘制上述数据的散点图，并依据散点图观察两组数据的相关性． 【答案】答案见解析 【分析】由于这两组数据分别来自同一商品的两个变量：“每千克价格”与“年需求量”，因此来自这两个变量的两组数据可以看作成对数据．把“每千克价格”作为横坐标（自变量），“年需求量”作为纵坐标（因变量），在平面直角坐标系中绘制相应的点，就得到年需求量和每千克价格的散点图（图8-1-1），根据散点图可分析两组数据的相关性． 【详解】    从图8-1-1可以看出，消费者对该商品的年需求量大体上随着价格的上升而减少，但也有一些例外的情况．例如，价格都是4百元，但不同年份的需求量分别是3.5千克和3千克，说明在价格不变的情况下，需求量仍可能发生变化．类似地，价格改变，需求也可能基本不变． 从散点图整体上看，所有点都在一条直线的附近波动，在这种情况下，我们说两个变量之间具有一种线性相关关系．此时可以用一条直线来拟合这两组数据（图8-1-1）． 题型10 由散点图判断是否线性相关 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价： 品牌 A B C D E F G H I J 所含热量的百分比 25 34 20 19 26 20 19 24 19 13 口味记录 89 89 80 78 75 71 65 62 60 52 (1)作出散点图； (2)你能从散点图中发现两者之间的近似关系吗？ (3)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系； (4)对于食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的？ 【答案】(1)作图见解析 (2)基本近似成线性相关关系 (3)作图见解析 (4)因为直线上方的食品口味更好. 【分析】对于（1），首先以两个变量分别为横轴和纵轴作平面直角坐标系，再在坐标系中描出各点坐标，即作出散点图； 对于(2)，由散点图中点的分布规律可判断两变量的相关性； 对于(3)，根据(1)的散点图，画一条直线近似地表示两个变量线性相关即可； 对于(4)，从口味分析. 【详解】（1）散点图如图所示； （2）从散点图上可以看出，食品所含热量的百分比与口味值之间总体趋势近似地成一条直线，也就是说他们之间是线性相关的； （3）直线如上图所示； （4）因为当直线上方的食品和下方的食品所含热量相同时，直线上方的食品口味更好. 【例2】（24-25高三·上海·课堂例题）某公司近年来科研费用（单位：万元）与公司所获的利润（单位：万元）之间有如下的统计数据： 2 3 4 5 18 27 32 35 (1)请画出上表数据的散点图； (2)观察散点图，判断与是否具有线性相关关系. 【答案】(1)作图见解析 (2)与有线性相关关系 【分析】（1）结合题中所给数据，作出散点图即可； （2）根据散点图可以判断有没相关性. 【详解】（1）散点图如下： （2）由图知，所有数据点接近直线排列，因此认为与具有线性相关关系. 【技巧归纳】 1.看点集群整体走向左下到右上为正相关左上到右下为负相关 2.点紧密聚拢在一条直线两侧为强线性相关分散远离直线为弱相关 3.点杂乱无章均匀散布则无线性相关曲线聚拢不属于线性相关 4.少量离群异常点不影响整体判断以大部分点的分布趋势为准 5.区分线性相关与非线性相关曲线聚集不能判定为线性相关 【变式10-1】（24-25高三·上海·课堂例题）某厂的生产原料耗费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下的对应关系： 2 4 6 8 30 40 50 70 画出的散点图并判断它们是否相关. 【答案】作图见解析，可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高 【分析】根据表中数据在直角坐标系中描点即可，由散点图可看出，图中的数据点接近直线排列，故可以判断有没相关性. 【详解】画出的散点图如图所示. 可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高. 【变式10-2】下列关于散点图的说法中，正确的是（    ） A．任意给定统计数据，都可以绘制散点图 B．从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系 C．从散点图中可以看出两个量的因果关系 D．从散点图中无法看出数据的分布情况 【答案】B 【分析】根据散点图的概念判断即可. 【详解】散点图不适合用于展示百分比占比的数据，另外数据量较少的数据也不适合用散点图表示，故A错误； 散点图能看出两个量是否具有一定关系，但是并一定是因果关系，故B正确，C错误； 散点图中能看出数据的分布情况，故D错误. 故选：B 一、单选题 1.下列关于散点图的说法中，错误的是（    ） A．可以通过散点图绘制数据的频率直方图 B．成对的数据一般适用于散点图 C．任意给定的统计数据，都可以绘制散点图 D．散点图可以看出数据的分布情况 【答案】C 【分析】利用散点图、频率直方图的定义即可判断答案. 【详解】根据散点图、频率直方图的定义，容易得到ABD正确； 而对于C，散点图只能表示两个变量组成的数对，并不能表示任意给定的统计数据，故C错误; 故选：C. 2．（2025·上海徐汇·一模）用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本株，测得麦穗长度（单位：），以其整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”绘制茎叶图如图所示．用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为（   ）（结果精确到） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平均数公式可求得结果. 【详解】由题意可知，抽取的株小麦的麦穗长度分别为：、、、、、、、 、、、、、，单位：， 用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为. 故选：B. 二、填空题 3．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示． 年龄x（岁） 1 2 3 4 5 6 身高y（cm） 78 87 98 108 115 120 其散点图如下，则y与x________（填“具有”或“不具有”）线性相关关系． 【答案】具有 【分析】根据散点图判断即可； 【详解】解：由散点图可知，所有数据点由左下方到右上方接近一条直线排列， 因此与具有线性相关关系； 故答案为：具有 4．（24-25高二上·上海·单元测试）某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多________天． 甲 乙 3 2 60 3 4 7 8 6 4 2 61 1 2 5 9 8 7 3 3 0 62 1 2 4 4 6 7 5 4 3 2 1 63 3 5 6 7 9 8 7 4 64 2 4 6 【答案】72 【分析】根据给定的茎叶图，得到游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案. 【详解】由给定的茎叶图知，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中， 游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天， 所以在全年中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多天. 故答案为： 5．（24-25高二下·上海·期中）已知甲、乙两组数据分别为两组学生射击移动靶时的命中率，其茎叶图如图所示．其中，．若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则________． 【答案】 【分析】根据给定的茎叶图，由中位数求出，由平均数求出即得. 【详解】由乙组数据的中位数为，则甲组数据的中位数为33，即， 由两组数据的平均数相等，得，解得， 所以. 故答案为：24 6．（23-24高三上·上海虹口·期中）为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间（单位：分钟），所得数据都在区间内，其频率分布直方图如图所示，已知活动时间在内的频数为80，则n的值为________． 【答案】 【分析】根据直方图计算活动时间在内的频率，由该区间的频数，进而求出样本容量. 【详解】由直方图知：活动时间在内的频率为， 又活动时间在内的频数为80，故. 故答案为： 7．（24-25高三上·上海黄浦·期末）从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________． 【答案】11 【分析】根据组距即可求解. 【详解】第一组下限为151.5，组距为3，所以， 故第11组的下限为181.5，因此组数为11， 故答案为：11 8．（24-25高二上·上海黄浦·期末）已知某校高一年级所有学生的体重（单位：kg），且最大值为98，最小值为44.在制作频率分布直方图时，要对这些体重数据进行分组.若组距为5，则将数据分成______组为宜. 【答案】 【分析】计算出极差，即可得解. 【详解】因为最大值为98，最小值为44，则， 又组距为5，则将数据分成组. 故答案为： 9．（24-25高二上·上海·期末）某校抽取100名学生测量他们的身高，其山最大值为，最小值，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为，则组数为__________. 【答案】7 【分析】根据组距即可求解. 【详解】，则组数为7. 故答案为：7. 10．（24-25高二·上海·课堂例题）某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到班培训，低于130分的人到班培训，如果用分层抽样的方法从到班的人和到班的人中共选取5人，则5人中到班的有_____人. 【答案】2 【分析】先根据茎叶图求得到A班的人数和到B班的人数，再利用分层抽样的定义求解即可. 【详解】由题意结合茎叶图的数据可知，这20名学生有8人到A班培训，12人到B班培训， 根据分层抽样的定义知：5人中到A班的有人人， 故答案为：2. 11．（23-24高二下·上海虹口·期末）为了解体育锻炼情况，随机统计了名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. 若在区间中的频数为30，则的值是_________. 【答案】 【分析】首先由频率分布直方图求出中的频率，再由频率等于频数除以样本总数即可求出． 【详解】由频率分布直方图可知在之间的频率为， 又因为，所以. 故答案为： 三、解答题 12．下表为中国15~19岁男性身高与体重关系表，画出散点图，并观察体重与身高的关系． 身高（cm） 153 155 157 159 161 163 165 167 体重（kg） 46.5 47.3 48.2 49.4 50.5 51.7 53 54.7 身高（cm） 169 171 173 175 177 179 181 183 体重（kg） 55.4 56.8 58.2 59.5 61.4 63.1 65 66.5 【答案】答案见解析 【分析】根据表中数据作出散点图，即可根据散点图作出判断. 【详解】随着身高的增长，体重也随之增长，两者之间呈现正相关关系． 13．（24-25高二上·上海·期末）受全球新冠疫情影响，2020东京奥运会延期至2021年7月23日到8月8日举行，某射箭选手积极备战奥运，在临赛前的一次训练中共射了1组共72支箭，下表是命中环数的部分统计信息 环数 <7 7 8 9 10 频数 0 3 a b 22 已知该次训练的平均环数为9.125环 (1)求a，b 的值； (2)据此水平，求正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9环）的概率. 【答案】(1)； (2)0.86. 【分析】（1）根据题中的数据及平均数可求解出参数a，b； （2）再运用频率估计概率，即可得出答案. 【详解】（1）根据题意， ，化简得，解得， （2）训练中命中黄圈的频率为， 以频率估计概率，故正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9环）的概率约为0.86． 14．（25-26高三上·上海·期中）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先由频率分布直方图求出的频率，结合茎叶图中得分在的人数即可求得本次考试的总人数； （2）根据茎叶图的数据，利用（1）中的总人数减去外的人数，即可得到内的人数，从而可计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】（1）分数在的频率为， 由茎叶图知：分数在之间的频数为2，全班人数为． （2）分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为． （3）将之间的3个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共10个， 其中，至少有一个在之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在之间的概率是． 15．（2024·上海奉贤·一模）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）由频率和为1求出得值，根据平均数公式求出平均值. （2）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解. 【详解】（1）由题意得，解得. 由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值： . （2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和， 来自甲型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为，，和， 从中任取2件，样本空间可记为，，，，，， ，，，，，，，，共15个， 记事件：至少有一件为航天级芯片,则，，，，， ，，，共9个， 所以. 16．（25-26高三上·上海·阶段检测）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图（如图）. 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 17 4 22 5 25 6 12 7 6 8 2 9 2 合计 100 (1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； (2)求频率分布直方图中的a，b的值； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 【答案】(1)； (2)； (3)第四组. 【分析】（1）根据频率分布表求出一周课外阅读时间少于12小时的频数，再用频率和为1求出所求的频率； （2）根据小矩形的高，即可求、的值； （3）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案． 【详解】（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有(名)， 所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是， 故从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9； （2）课外阅读时间落在组[4,6)内的有17人，频率为0.17，所以＝ ， 课外阅读时间落在组[8,10)内的有25人，频率为0.25，所以＝ ； （3）同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，则平均数为： （小时）， 样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $