预习专题17 统计估计（4知识点+3题型+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

预习专题17 统计估计 总体分布密度曲线 估计总体的分布是统计学中的一个重要概念，它涉及如何从样本数据中推断出整个总体的概率分布情况.在实际应用中,我们通常不知道总体的真实分布,因此需要通过样本数据来估计，当总体中的个体数较多时,抽样时样本容量就不能太小.随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率分布折线图将趋于一条光滑的曲线,称这条光滑曲线为总体分布密度曲线. 总体分布的定义 总体分布是指描述整个数据集或随机变量的概率分布.在统计学中，常见的总体分布包括正态分布、均匀分布、二项分布、泊松分布等,这些分布各有不同的特性和应用场景。 估计总体分布的目的与方法 (1)估计总体分布的目的是从样本中推断总体的分布情况.(2)常用的方法包括最大似然估计和最大后验估计，这些方法可以根据样本数据进行参数估计.点估计是通过样本数据估计总体参数的一个具体值，而区间估计则是对总体参数的估计给出了一个取值范围，更具有统计意义. 通过样本估计总体的集中趋势 我们把能反映一组数据某种特征的量称为这组数据的数字特征. 1．平均数 （1）算术平均数：一般地，如果有 个数 ，那么 叫做这 个数的算术平均数． （2）加权平均数：如果 个数据中不同的数据 、、、 的频数（权）分别是 、、、 ，且 ，则 叫做这 个数的加权平均数． 2.中位数 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列后，若有奇数个数,则取中间的一个数为中位数;若有偶数个数，则取中间两个数的平均数为中位数. 3.众数 一组数据中出现次数最多的数据,称为该组数据的众数 通过样本估计总体的离散程度 1．方差与标准差 假设一组数据是 ，用 表示这组数据的平均数，则我们称 为这组数据的方差.我们对方差开平方，取它的算术平方根 ，称为这组数据的标准差. 在实验中，为了消除系统性偏差，标准差公式中往往以 代替 ，用 作为总体标准差的估计值． 2.计算标准差的步骤 （1）求样本数据的平均数 ； （2）求 ； （3）求 ； （4）求 ； （5）求 即标准差． 3.标准差与方差的统计意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数离散程度的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小. (2)若样本数据都相等,则s=0 (3)当样本的平均数相等或相差无几时,就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征,而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量. (4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.极差是一组数据中的最大值减去最小值所得的差值,它主要反映了以下几个方面的内容:①数据的波动范围:极差直观地展示了一组数据中最大值与最小值之间的差距,能让人们快速了解这组数据在一定范围内的变化情况;②数据的离散程度:极差可以在一定程度上反映数据的离散程度,即数据相对于平均值的分散状况.极差较大,意味着数据较为分散,各个数据之间的差异较大;极差较小,表明数据相对集中,大部分数据都比较接近;③极端值的影响:极差对一组数据中的极端值非常敏感,因为它直接取决于最大值和最小值.只要这两个极端值发生变化，极差就会相应改变,这也使得极差在某些情况下能够突出数据中可能存在的异常值或极端情况.方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常用标准差--样本方差的算术平方根来描述 (5)标准差的大小不会超过极差 (6)方差、标准差、极差的取值范围均为当标准差、方差为0时,样本数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性 (7)标准差的单位与原数据的单位相同,方差的单位是原数据的单位的平方，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标准差. 估计百分位数 1．百分位数的概念 当样本容量很大时，可以将数据分为 100 个部分，每一部分包含 的数据．第 百分位数（ 为 1 到 100 之间的整数，记作 即是将一组数据从小到大排列后，将数据分成两部分：小于或等于第 百分位数的数据至少点 ，大于或等于第 百分位数的数据至少占 ． 2.百分位数的求法 可以通过下面的步骤计算一组 个数据的第 百分位数：第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算 。 第3步，若 是整数，则第 百分位数是第 项与第 项的数据的平均值；若 不是整数，则将 向上取整，得到的数即为第 百分位数的位置． (1)在计算百分位数之前，必须先将数据按照从小到大的顺序排列，这是计算百分位数的基础.如果数据顺序混乱，将无法正确确定百分位数的位置，从而得出错误结果; (2)一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数: (3)一组数据的某些百分位数可能是同一个数; (4)第0百分位数是这组数据中最小的数,第100 百分位数是这组数据中最大的数. 3.几个重要的百分位数 (1)我们在初中学过的中位数,相当于是第50百分位数(2)在实际应用中,除了中位数外,常用的分位数还有第25百分位数、第75百分位数.以上三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数 (3)像第1百分位数、第5百分位数、第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被用到， 4.由统计表或统计图求百分位数由一组数据的频数分布表、频率分布表、频数分布直方图或频率分布直方图可以近似计算这组数据的百分位数，计算中的关键是假定样本在区间内是均匀分布的. 题型一、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 例1（24-25高二上·上海长宁·期末）某校高一共有学生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有35人是男生，则该校高一男生共有 人. 1-1（24-25高二上·上海徐汇·期末）某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 ． 1-2（24-25高二上·上海·期末）校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高． (1)该校高一学生中男、女生各有多少名？ (2)在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）． 1-3（23-24高二上·上海·期末）某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1：4：3：2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为 ． 1-4（23-24高二上·上海·期末）某高中二年级共有学生425名，其中男生204名，女生221名，为了解该校高二年级学生的身高情况，现从中抽取50名学生测量身高，应当采用 的方法求出男女生分别要抽取 、 名，然后在此基础上进行简单随机抽样. 1-5（23-24高二上·上海·期末）某校有学生1800人，为了解学生的作业负担，学校向学生家长随机抽取了1000人进行调查，其中70%的家长回答他们孩子每天睡眠时间大致在6-7小时，28%的家长回答他们孩子回家做作业的时间一般在3-4小时，下列说明正确的是（    ）. A．总体是1000 B．个体是每一名学生 C．样本是1000名学生 D．样本容量是1000 题型二、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 例2（25-26高二上·上海·单元测试）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为：、、、、，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是（    ） A．5 B．8 C．13 D．17 2-1（24-25高二上·上海·单元测试）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为 ，数据落在内的概率约为 ．    2-2（23-24高二上·上海·期末）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为 . 2-3（23-24高二上·上海宝山·期末）某中学为了解高中一年级学生对《生涯规划》读本学习情况，在该年级名学生中随机抽取了名学生作为样本，对他们一周内对《生涯规划》读本学习时间进行调查，经统计，这些时间全部介于至单位分钟之间.现将数据分组，并制成如图所示的频率分布直方图.为了研究的方便，该年级规定，若一周学习《生涯规划》读本时间多于分钟的学生称为“精生涯生”，若一周学习《生涯规划》读本时间小于分钟的学生称为“泛生涯生”. (1)求图中的值； (2)用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？ (3)从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选名学生，求这两名学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的差不超过分钟的概率. 2-4（23-24高二上·上海黄浦·期末）根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 题型三、总体百分位数的估计 例3（24-25高二上·上海金山·期末）现有一组数据：，其第70百分位数为 . 3-1（24-25高二上·上海·期末）现有7张卡片，分别写上数字2，4，5，5，6，9，16，则这7个数的第75百分位数是 ． 3-2（24-25高二上·上海·阶段练习）某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为 ． 3-3（24-25高二上·上海·单元测试）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居民，他们的幸福感指数分别为5、6、7、8、9、5，则这组数据的第80百分位数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3-4（23-24高二上·上海杨浦·期中）小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第50百分位数是 . 3-5（23-24高二上·上海·期中）以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：，，则这15人成绩的第80百分位数是 ． 1．（23-24高二上·上海浦东新·期末）“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有 人. 2．（23-24高二上·上海徐汇·期末）某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100），得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则在分数段抽取的人数是多少？ 3．（25-26高二上·上海·期末）某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人．为了调查师生的健康状况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为 人． 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）某高校承办了志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求a、b的值； (2)在第四、五组志愿者中，按比例分层随机抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率． 5．（2023·上海徐汇·一模）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为 ． 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为 . 7．（23-24高二上·上海·期末）为调研某地空气质量，连续10天测得该地的日均值（单位为），依次为，则下列四个结论中正确的个数为（    ） ①前4天的极差大于后4天的极差；②前4天的方差小于后4天的方差；③这组数据的中位数为31或33；④这组数据的第60百分位数与众数相同. A．0 B．1 C．2 D．3 8．（23-24高二上·上海嘉定·期末）某校从高二女生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：152、155、158、164、164、165、165、165、166、167、168、168、169、170、170、170、171、、176、178，若样本数据的90百分位数是175，则的值为 ． 9．（24-25高二上·上海·期末）某工厂选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数； (2)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，…，第六组，得到如图2所示的频率分布直方图．其中第一组有2人，第二组有13人．求与的值． 10．（24-25高二上·上海青浦·期末）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生? (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中，n是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. 11．（24-25高二上·上海宝山·期末）某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男､女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间．通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8． (1)若该校男生总数为1280，求该校学生总数； (2)若所选27名女生每周锻炼时间从小到大排列后的第9至第13个数据依次为5､5.3､5.6､5.8､5.9，求所选女生样本的第40百分位数； (3)求所有样本数据的平均数和方差（精确到0.001）． 12．（24-25高二上·上海·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数； (2)现学校准备利用分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率． 13．（24-25高二上·上海黄浦·期末）某校有学生500人，其中男生320人，女生180人.某人想了解该校全体学生的身高（单位：cm）信息，从男生、女生中分别随机抽取人进行测量.如果已知男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03，但原始测量数据已丢失.设总体均值与方差分别为与，则下列说法正确的是（   ）． A．若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的 B．若，无法算出总样本的均值与方差 C．若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的 D．若，无法算出总样本的均值与方差 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习专题17 统计估计 总体分布密度曲线 估计总体的分布是统计学中的一个重要概念，它涉及如何从样本数据中推断出整个总体的概率分布情况.在实际应用中,我们通常不知道总体的真实分布,因此需要通过样本数据来估计，当总体中的个体数较多时,抽样时样本容量就不能太小.随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率分布折线图将趋于一条光滑的曲线,称这条光滑曲线为总体分布密度曲线. 总体分布的定义 总体分布是指描述整个数据集或随机变量的概率分布.在统计学中，常见的总体分布包括正态分布、均匀分布、二项分布、泊松分布等,这些分布各有不同的特性和应用场景。 估计总体分布的目的与方法 (1)估计总体分布的目的是从样本中推断总体的分布情况.(2)常用的方法包括最大似然估计和最大后验估计，这些方法可以根据样本数据进行参数估计.点估计是通过样本数据估计总体参数的一个具体值，而区间估计则是对总体参数的估计给出了一个取值范围，更具有统计意义. 通过样本估计总体的集中趋势 我们把能反映一组数据某种特征的量称为这组数据的数字特征. 1．平均数 （1）算术平均数：一般地，如果有 个数 ，那么 叫做这 个数的算术平均数． （2）加权平均数：如果 个数据中不同的数据 、、、 的频数（权）分别是 、、、 ，且 ，则 叫做这 个数的加权平均数． 2.中位数 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列后，若有奇数个数,则取中间的一个数为中位数;若有偶数个数，则取中间两个数的平均数为中位数. 3.众数 一组数据中出现次数最多的数据,称为该组数据的众数 通过样本估计总体的离散程度 1．方差与标准差 假设一组数据是 ，用 表示这组数据的平均数，则我们称 为这组数据的方差.我们对方差开平方，取它的算术平方根 ，称为这组数据的标准差. 在实验中，为了消除系统性偏差，标准差公式中往往以 代替 ，用 作为总体标准差的估计值． 2.计算标准差的步骤 （1）求样本数据的平均数 ； （2）求 ； （3）求 ； （4）求 ； （5）求 即标准差． 3.标准差与方差的统计意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数离散程度的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小. (2)若样本数据都相等,则s=0 (3)当样本的平均数相等或相差无几时,就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征,而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量. (4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.极差是一组数据中的最大值减去最小值所得的差值,它主要反映了以下几个方面的内容:①数据的波动范围:极差直观地展示了一组数据中最大值与最小值之间的差距,能让人们快速了解这组数据在一定范围内的变化情况;②数据的离散程度:极差可以在一定程度上反映数据的离散程度,即数据相对于平均值的分散状况.极差较大,意味着数据较为分散,各个数据之间的差异较大;极差较小,表明数据相对集中,大部分数据都比较接近;③极端值的影响:极差对一组数据中的极端值非常敏感,因为它直接取决于最大值和最小值.只要这两个极端值发生变化，极差就会相应改变,这也使得极差在某些情况下能够突出数据中可能存在的异常值或极端情况.方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常用标准差--样本方差的算术平方根来描述 (5)标准差的大小不会超过极差 (6)方差、标准差、极差的取值范围均为当标准差、方差为0时,样本数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性 (7)标准差的单位与原数据的单位相同,方差的单位是原数据的单位的平方，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标准差. 估计百分位数 1．百分位数的概念 当样本容量很大时，可以将数据分为 100 个部分，每一部分包含 的数据．第 百分位数（ 为 1 到 100 之间的整数，记作 即是将一组数据从小到大排列后，将数据分成两部分：小于或等于第 百分位数的数据至少点 ，大于或等于第 百分位数的数据至少占 ． 2.百分位数的求法 可以通过下面的步骤计算一组 个数据的第 百分位数：第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算 。 第3步，若 是整数，则第 百分位数是第 项与第 项的数据的平均值；若 不是整数，则将 向上取整，得到的数即为第 百分位数的位置． (1)在计算百分位数之前，必须先将数据按照从小到大的顺序排列，这是计算百分位数的基础.如果数据顺序混乱，将无法正确确定百分位数的位置，从而得出错误结果; (2)一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数: (3)一组数据的某些百分位数可能是同一个数; (4)第0百分位数是这组数据中最小的数,第100 百分位数是这组数据中最大的数. 3.几个重要的百分位数 (1)我们在初中学过的中位数,相当于是第50百分位数(2)在实际应用中,除了中位数外,常用的分位数还有第25百分位数、第75百分位数.以上三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数 (3)像第1百分位数、第5百分位数、第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被用到， 4.由统计表或统计图求百分位数由一组数据的频数分布表、频率分布表、频数分布直方图或频率分布直方图可以近似计算这组数据的百分位数，计算中的关键是假定样本在区间内是均匀分布的. 题型一、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 例1（24-25高二上·上海长宁·期末）某校高一共有学生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有35人是男生，则该校高一男生共有 人. 【答案】105 【分析】根据给定条件，求出分层抽样的抽样比，进而求得答案. 【详解】依题意，分层抽样的抽样比为：，所以该校男生的人数为：. 故答案为：105 1-1（24-25高二上·上海徐汇·期末）某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 ． 【答案】 【分析】确定抽样比，即可求解； 【详解】由题意可知抽样比为：， 所以高一年级应抽取的人数是， 故答案为： 1-2（24-25高二上·上海·期末）校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高． (1)该校高一学生中男、女生各有多少名？ (2)在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）． 【答案】(1)男生共有名，女生共有名． (2)原始数据的平均数（cm），方差 【分析】（1)根据分层抽样的步骤，由题中条件，可直接得出结果； （2）先设原始的32个数据为，根据错误数据的平均数与原始数据平均数之间关系，求出原始数据的平均数；根据错误数据的方差与原始数据的方差之间关系，可求出原始数据的方差. 【详解】（1）该校高一学生中，男生共有名， 女生共有名． （2）设原始的32个数据为，其中， 由错误数据的平均数， 得原始数据的平均数（cm）． 由， 得， 故． 1-3（23-24高二上·上海·期末）某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1：4：3：2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为 ． 【答案】 【分析】根据分层抽样的概念计算出答案. 【详解】由分层抽样得到讲师应抽取的人数为. 故答案为：12 1-4（23-24高二上·上海·期末）某高中二年级共有学生425名，其中男生204名，女生221名，为了解该校高二年级学生的身高情况，现从中抽取50名学生测量身高，应当采用 的方法求出男女生分别要抽取 、 名，然后在此基础上进行简单随机抽样. 【答案】 分层抽样 【分析】根据个体的差异性明显选择分层抽样，然后根据比例确定人数. 【详解】由于男生和女生在身高上有明显的差异，故应该采用分层抽样的方法来进行抽样， 其中男生抽人，女生抽人. 故答案为：分层抽样；；. 1-5（23-24高二上·上海·期末）某校有学生1800人，为了解学生的作业负担，学校向学生家长随机抽取了1000人进行调查，其中70%的家长回答他们孩子每天睡眠时间大致在6-7小时，28%的家长回答他们孩子回家做作业的时间一般在3-4小时，下列说明正确的是（    ）. A．总体是1000 B．个体是每一名学生 C．样本是1000名学生 D．样本容量是1000 【答案】D 【分析】根据总体、个体、样本和样本容量的概念依次判断选项即可. 【详解】A：总体是1800学生每天睡眠时间和作业时间，故A错误； B：个体是每一名学生每天睡眠时间和作业时间，故B错误； C：样本是1000名学生每天睡眠时间和作业时间，故C错误； D：样本容量是1000，故D正确. 故选：D. 题型二、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 例2（25-26高二上·上海·单元测试）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为：、、、、，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是（    ） A．5 B．8 C．13 D．17 【答案】C 【分析】计算出产品数量在的频率，进而得到产品数量在的人数. 【详解】产品数量在的频率为， 故这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是. 故选：C 2-1（24-25高二上·上海·单元测试）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为 ，数据落在内的概率约为 ．    【答案】 64 0.4/ 【分析】由样本的频率分布直方图进行求解即可． 【详解】解：样本数据落在内的频数为：； 数据落在内的概率约为：， 故答案为：，. 2-2（23-24高二上·上海·期末）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为 . 【答案】 【分析】直接根据频率计算人数即可. 【详解】根据频率分布直方图得 该校的学生成绩不低于60分的学生人数为. 故答案为： 2-3（23-24高二上·上海宝山·期末）某中学为了解高中一年级学生对《生涯规划》读本学习情况，在该年级名学生中随机抽取了名学生作为样本，对他们一周内对《生涯规划》读本学习时间进行调查，经统计，这些时间全部介于至单位分钟之间.现将数据分组，并制成如图所示的频率分布直方图.为了研究的方便，该年级规定，若一周学习《生涯规划》读本时间多于分钟的学生称为“精生涯生”，若一周学习《生涯规划》读本时间小于分钟的学生称为“泛生涯生”. (1)求图中的值； (2)用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？ (3)从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选名学生，求这两名学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的差不超过分钟的概率. 【答案】(1)0.020 (2)60人；30人 (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1求解即可； （2）先求解“精生涯生” 和 “泛生涯生”的频率，在通过总数频率=频数进行计算； （3）根据古典概型和组合知识进行求解. 【详解】（1）由题意，得，解得. （2）“精生涯生”的频率是，“泛生涯生”的频率是， 故该年级600名学生中“精生涯生”约有人， “泛生涯生”约有人. （3）样本中“精生涯生”有人，“泛生涯生”有人， 从6人中选2人时间的差不超过分钟，即2人同在一个时间组内， 则时间的差不超过分钟的概率. 2-4（23-24高二上·上海黄浦·期末）根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 【答案】4320 【分析】根据频率分布直方图结合醉酒驾车的含义即得. 【详解】由题意结合频率分布直方图可得，醉酒驾车，即血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上的人数约为： . 故答案为：4320． 题型三、总体百分位数的估计 例3（24-25高二上·上海金山·期末）现有一组数据：，其第70百分位数为 . 【答案】10 【分析】根据百分位数定义计算即可. 【详解】因为，从小到大排列数据：，向上取整取第6位数为10. 故答案为：10. 3-1（24-25高二上·上海·期末）现有7张卡片，分别写上数字2，4，5，5，6，9，16，则这7个数的第75百分位数是 ． 【答案】9 【分析】利用百分位数的定义进行判断即可. 【详解】由于，则这7个数的第75百分位数是9， 故答案是：9. 3-2（24-25高二上·上海·阶段练习）某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为 ． 【答案】7 【分析】根据题意结合百分位数的概念运算求解. 【详解】，则该组数据从小到大排列后的第四位数是87，即， 故答案为：7. 3-3（24-25高二上·上海·单元测试）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居民，他们的幸福感指数分别为5、6、7、8、9、5，则这组数据的第80百分位数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用百分位数的概念求解即可，先将数据排序，再计算第80百分位数的位置进而求解. 【详解】将数据排序：5、5、6、7、8、9，则 所以这组数据的第80百分位数是第5个数据，为8. 故选：D. 3-4（23-24高二上·上海杨浦·期中）小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第50百分位数是 . 【答案】55 【分析】先将茎叶图中的数据还原成从小到大排列的一列数，根据百分位数的求法求解即可. 【详解】根据茎叶图中的数据从小到大排列为：42，47，54，55，58，70，96，共7个数据； 且，这组数据的第4个数据即为所求的第50百分位数，即为55. 故答案是：55. 3-5（23-24高二上·上海·期中）以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：，，则这15人成绩的第80百分位数是 ． 【答案】90.5 【分析】计算，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案. 【详解】因为， 将数据从小到大排序得56、70、72、78、79、80、81、83、84、86、88、90、91、94、98， 故这15人成绩的第80百分位数为， 故答案为：90.5. 1．（23-24高二上·上海浦东新·期末）“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有 人. 【答案】 【分析】根据题意可知，随机抽查比例是，算出被抽查的100名学生中对“二十四节气歌”一句也说不出的人数，按比例计算即可得出结果. 【详解】由题意可知，随机抽查100名学生中有人一句也说不出， 又抽查比例为， 所以，该校高二年级的400名学生中共有人对“二十四节气歌”一句也说不出. 故答案为： 2．（23-24高二上·上海徐汇·期末）某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100），得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则在分数段抽取的人数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率之和为计算即可； （2）根据分层抽样的定义计算即可. 【详解】（1）由题意， 解得； （2）在分数段抽取的人数为人. 3．（25-26高二上·上海·期末）某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人．为了调查师生的健康状况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为 人． 【答案】50 【分析】求出抽取比例可得答案. 【详解】应抽取学生人数为. 故答案为：50. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）某高校承办了志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求a、b的值； (2)在第四、五组志愿者中，按比例分层随机抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率和为0.7得到关于的方程，再求出前两组频率从而得到答案； （2）根据分层抽样得到第四组人数，再利用古典概型公式即可得到答案. 【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即， 即，所以． （2）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层随机抽样抽得的第四组志愿者人数为， 分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e．这5人中选出2人， 所有情况有，，，，，，，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有，，，，，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率． 5．（2023·上海徐汇·一模）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为 ． 【答案】 【分析】先利用频率分布直方图求得成绩低于60分的频率，进而求得该校成绩低于60分的学生人数. 【详解】图中成绩低于60分的频率为， 则该校成绩低于60分的学生人数为（人） 故答案为： 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为 . 【答案】75 【分析】先进行排序，后按照百分位数概念计算可得. 【详解】先将成绩进行排序：63，66，66，68，70，74，76，78， 80， 84. 由于，60%分位数为第6和第7个数据的平均值.即. 故答案为：75. 7．（23-24高二上·上海·期末）为调研某地空气质量，连续10天测得该地的日均值（单位为），依次为，则下列四个结论中正确的个数为（    ） ①前4天的极差大于后4天的极差；②前4天的方差小于后4天的方差；③这组数据的中位数为31或33；④这组数据的第60百分位数与众数相同. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】计算该组数据前四个和后四个的极差，及方差，中位数，第60百分位数，众数来判断命题的正误. 【详解】前4天的极差为，后4天的极差为，所以①正确； 前4天的平均数为，方差为，后4天的平均数为，方差为，所以②错误； 数据从小到大排列为17，23，26，30，31，33，33，36，42，106，中位数为，所以③错误； 数据的第60百分位数为，众数也为33，所以④正确，正确的有两个. 故选：C. 8．（23-24高二上·上海嘉定·期末）某校从高二女生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：152、155、158、164、164、165、165、165、166、167、168、168、169、170、170、170、171、、176、178，若样本数据的90百分位数是175，则的值为 ． 【答案】174 【分析】根据百分位数的意义求解. 【详解】因为样本容量为20，， 所以样本数据的90百分位数是第18个数和第19个数的平均数， 即，解得. 故答案为：174. 9．（24-25高二上·上海·期末）某工厂选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数； (2)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，…，第六组，得到如图2所示的频率分布直方图．其中第一组有2人，第二组有13人．求与的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照求百分数的计算步骤计算即可； （2）据直方图面积为1的性质及第一组第二组的人数建立方程组，解出，进而得解. 【详解】（1）40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列为： ，因为， 所以第75百分数为； （2）依题意，则， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 10．（24-25高二上·上海青浦·期末）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生? (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中，n是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. 【答案】(1)1600 (2)8.25小时 【分析】根据分层抽样，按比例抽取即可得到答案． 根据极差可得，再结合学生总数量为100，可求出，再根据求第百分位数的方法即可求得. 【详解】（1）设学校高中三个年级一共有个学生, 因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本， 在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人， 所以高三抽取的人数为：人， 又因为高三年级一共512人，所以有：，解得. 所以学校高中三个年级一共有1600个学生. （2）因为抽取100名学生的样本极差为2，， 所以， 又因为， 所以样本的第40百分位数为：（小时）. 11．（24-25高二上·上海宝山·期末）某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男､女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间．通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8． (1)若该校男生总数为1280，求该校学生总数； (2)若所选27名女生每周锻炼时间从小到大排列后的第9至第13个数据依次为5､5.3､5.6､5.8､5.9，求所选女生样本的第40百分位数； (3)求所有样本数据的平均数和方差（精确到0.001）． 【答案】(1)2000； (2)5.6； (3)平均数为7.168，方差为7.692. 【详解】（1）设该校学生总数为，依题意，，解得， 所以该校学生总数为2000. （2）由，得所选女生样本的第40百分位数为第11个数5.6. （3）所有样本数据的平均数； 所有样本数据的方差为. 12．（24-25高二上·上海·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数； (2)现学校准备利用分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1列方程，可得实数的值，进而求平均数； （2）根据频率分布直方图得比例抽样，列出7人中随机抽取2人的21种情况，确定至少有1人测试成绩位于区间有11种，即可得解. 【详解】（1）根据题意，，解得， 所以这40名学生测试成绩的平均数为. （2）由频率分布直方图，和这两组的频率之比为， 故应从学生中抽取的学生人数为人， 从学生中抽取的学生人数为人， 设从学生中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为， 则这个试验的样本空间为， 故， 又，则， 所以事件的概率为. 13．（24-25高二上·上海黄浦·期末）某校有学生500人，其中男生320人，女生180人.某人想了解该校全体学生的身高（单位：cm）信息，从男生、女生中分别随机抽取人进行测量.如果已知男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03，但原始测量数据已丢失.设总体均值与方差分别为与，则下列说法正确的是（   ）． A．若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的 B．若，无法算出总样本的均值与方差 C．若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的 D．若，无法算出总样本的均值与方差 【答案】C 【分析】根据已知，分层抽样分析数据的前提及样本特征与总体特征的关系判断A、C、D；对于总体数据各层中的数据差异非常小的情况下也可分析总体特征判断B. 【详解】由于男生、女生总人数不相等，需要用分层抽样的方式估计出样本的均值和方差， 此时所得样本特征可作为总体特征的估计值，故不合适、合适，A、D错，C对； 在情况下，只有所有男生、女生身高都在各自身高均值附近波动且幅度很小时，可以算出总样本的均值与方差，B错； 故选：C. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$