第02讲 直线与直线间的位置关系（10大题型归纳）（暑假预习讲义）新高二数学沪教版

第02讲 直线与直线的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 平行公理 题型5 异面直线的距离 题型2 等角定理 题型6 求异面直线的夹角 题型3 异面直线的概念辨析 题型7 证明异面直线的垂直 题型4 异面直线的判定 题型8 由异面直线的夹角求其他量..... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平行公理、空间平行线传递性 1.掌握空间平行公理及平行线传递定理 2.能利用平行关系证明空间直线互相平行 3.区分平面平行与空间平行直线的异同 异面直线、共面直线、异面概念辨析 1.熟记异面直线定义：不同在任意一个平面内 2.快速区分共面直线与异面直线 3.辨别易混淆的真假命题，规避概念误区 异面直线判定、反证法、平面相交取点 1.掌握异面直线两种判定方法（定义法、判定定理） 2.会用反证法证明两条直线为异面直线 3.依托几何体直观识别异面直线 异面直线公垂线段、异面直线距离 1.理解异面直线公垂线定义，明确公垂线段唯一 2.掌握正方体、长方体模型中异面直线距离求解 3.分清异面直线距离与两点间距离的区别 异面直线所成角、平移法、范围 1.理解异面直线夹角的构造逻辑：平移至共面 2.牢记异面直线夹角取值范围 3.辨析夹角为钝角时取其补角的规则 异面直线垂直、线线垂直判定 1.区分共面垂直与异面垂直，均满足夹角 2.通过平移构造直角证明异面直线互相垂直 3.能结合几何体棱、面对角线判定异面垂直 平移找角、中位线、补形法、余弦定理 1.熟练使用平移、中位线、补形三类找角方法 2.构造三角形，结合余弦定理计算夹角余弦值 3.规范书写求异面直线夹角完整步骤 异面直线夹角、棱长、线段长度、周长面积 1.利用异面直线夹角结合解三角形求棱长 2.根据夹角大小判断几何体截面、侧面几何量 3.结合勾股、余弦定理完成综合计算 学习重点： 1.空间平行公理与平行线传递性质 2.异面直线定义、判定方法 3.异面直线所成角的取值范围、平移找角法 4.异面直线夹角计算（余弦定理）、异面垂直证明 学习难点： 1.异面直线抽象概念理解，直观区分异面与相交/平行直线 2.复杂几何体中平移构造异面直线夹角 3.异面直线距离的识别与求解 4.综合题型结合夹角求解棱长、线段等量 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间两直线的位置关系 （1）空间中两条直线的位置关系 （2）异面直线：把不同在__任何一个______平面内的两条直线叫做异面直线． 【易错提醒】 1.错误定义：把“无公共点的直线”直接等同于异面直线，忽略平行直线也无公共点（平行直线共面） 2.误解“不同在一个平面”，认为异面直线分别位于两个平面就是异面，两平面内直线也可平行/相交 3.画图时异面直线不加遮挡，画成交叉共面样式，无法体现异面层次 即时即练 1.（25-26高二·上海·暑假作业）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 2.（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形. 知识点02 平行直线 平行直线（1）定义：在同一平面内__不相交______的两条直线称为平行直线；（2）空间平行线的传递性；（1）文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相_平行_______；（2）符号表述：. 【易错提醒】 1.忽略空间平行线传递性前提：三条直线必须共面或两两平行，若直线不在同一空间体系不能直接传递平行 2.混淆平面平行与空间平行，误判定异面直线可互相平行 即时即练 1.（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，、分别为、的中点．求证：． 2.（24-25高二·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，设E、F、G、H分别为AD、DB、AC、BC中点，试判定四边形EFHG的形状，并说明理由．    知识点03 等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应__平行______，那么这两个角__相等______或___互补_____ 符号语言 ，或 图形语言 作用 判定两个角相等或互补 【易错提醒】 1..等角定理易漏条件：两边分别平行且方向一致才相等，方向相反则互补，直接默认两角相等 即时即练 1.（25-26高二上·上海普陀·期中）已知空间中的两个角和，若，则_____. 2.（25-26高二上·上海·阶段检测）空间中，与的两边分别平行，若，则_________． 知识点04 异面直线 ①定义：不同在__任何一个______平面内（不共面）的两条直线． ②异面直线的画法（衬托平面法） 如图①②所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托． 2.异面直线的夹角 定义 前提 两条异面直线， 作法 过空间任一点作直线， 结论 我们把与所成的_不大于的角_______称为异面直线与的夹角 范围 记异面直线与的夹角为，则________ 特殊情况 当________时，与互相垂直，记作：________ 【易错提醒】 1.使用判定定理遗漏条件：平面外一点、平面内一点连线，直线必须不经过平面内定点才是异面 2.反证法证明时，未完整推出“两直线共面”矛盾，推导逻辑断裂 3.仅凭图形直观判断异面，未严格用定理验证 4.记错夹角取值范围，写成，异面直线无重合，不能取，正确范围 5.平移后算出钝角，直接当作异面夹角，未取其补角 6.混淆异面直线夹角与向量夹角，向量夹角范围不可直接等同 即时即练 1.（25-26高三下·上海·阶段检测）在正方体中，与直线异面的直线可以是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2.（25-26高二下·上海松江·期中）在正方体中，与直线异面的直线可以是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 题型1 .平行公理 【例1】（25-26高二下·上海·阶段检测）（1）如图，E，F，G，H是空间四边形ABCD的边AB，CB，CD，AD上的点，，求证：四边形EFGH是平行四边形． （2）在正方体中，画出平面与平面的交线．（保留作图痕迹） 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）空间四边形中，点分别在上，且．求证：四点共面． 【技巧归纳】 公式结论 1.平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 2.平行传递性：若，，则（空间中仍成立） 方法技巧 1.证明线线平行优先使用平行线传递性搭桥推导 2.判定命题真假可举异面直线反例推翻错误说法 3.区分平面、空间平行，空间平行直线无交点且共面 【变式1-1】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在长方体中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（    ）． A．四点共面，且与平行． B．四点共面，且与相交． C．四点共面，且与平行． D．四点不共面． 【变式1-2】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为__． 题型2 等角定理 【例1】（25-26高二上·上海静安·期中）空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）若与的两边分别平行，且，则__________. 【技巧归纳】 公式结论 空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 方法技巧 1.两边同向平行→两角相等；一边同向、一边反向平行→两角互补 2.求空间角大小先判断两边平行方向再定角度关系 3.做题必须标注方向，直接默认相等易丢分 【变式2-1】（24-25高二上·上海静安·期中）若与的两边分别平行且方向相同，若，则____. 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，则的大小是______ 题型3 异面直线的概念辨析 【例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）在四面体的6条棱中，与棱所在直线异面的是棱__________所在直线. 【例2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）“两条直线异面”的（   ）条件是“两条直线不相交” A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分且非必要 【技巧归纳】 公式结论 1.空间直线三类位置： ①相交直线：共面，有且仅有1个公共点 ②平行直线：共面，无公共点 ③异面直线：不同在任意平面内，无公共点 方法技巧 1.无公共点≠异面，需额外判定两直线不共面 2.绘图异面直线用虚实线体现前后遮挡，区分共面交叉线 3.命题辨析抓核心：异面直线不能同时落在同一个平面 【变式3-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）若空间三条直线满足，与相交，则、的位置关系是_____. 【变式3-2】（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型4 异面直线的判定 【例1】（2025·上海长宁·一模）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 【例2】（2023·上海嘉定·一模）如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 【技巧归纳】 公式结论 判定定理：平面内一点，平面外一点，直线且，则直线与为异面直线 方法技巧 1.定理法：满足定点条件直接判定异面 2.反证法：假设两直线共面，推出矛盾证明异面 3.几何体中优先找棱、面对角线快速识别异面直线 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与 异面的有________条    【变式4-2】（25-26高二上·上海·期中）在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有__________条. 题型5 异面直线的距离 【例1】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线与之间的距离. 【例2】（24-25高一下·上海·期末）在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【技巧归纳】 公式结论 1.公垂线定义：同时垂直、同时相交于两条异面直线的直线为公垂线 2.公垂线段长度为异面直线距离，异面直线有且仅有1条公垂线段 方法技巧 1.正方体、长方体直接找棱为公垂线段，读取棱长即为距离 2.无直观公垂线时，转化为线面距离间接求解 3.区分两点连线、平行线距离，不可混淆为异面距离 【变式5-1】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，已知正方体的棱长为1．求异面直线与之间的距离．    【变式5-2】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，，，．求异面直线与之间的距离． 题型6 求异面直线的夹角 【例1】（25-26高二下·上海·期中）正方体中，异面直线与所成角的大小为________． 【例2】（25-26高二上·上海·期末）在如图所示的正方体中，设分别是棱、的中点，则异面直线与所成的角的大小为___________．（用反三角函数表示） 【技巧归纳】 公式结论 1.夹角范围： 2.余弦定理：（平移后构造三角形三边m、n、k） 方法技巧 1.平移三法：中位线平移、平行四边形平移、补形平移 2.平移后算出钝角，取其补角作为异面直线夹角 3.解题步骤：平移找角→构造三角形→余弦定理计算 【变式6-1】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，在正方体中，则异面直线与所成角的大小为______． 【变式6-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）三棱锥中，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角为________. 题型7 证明异面直线的垂直 【例1】如图，正方体，求证：． 【例2】如图，在长方体中，直线与的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 【技巧归纳】 公式结论 异面直线所成角，则两条异面直线互相垂直 方法技巧 1.平移异面直线至相交，证明夹角为直角即可判定垂直 2.结合勾股定理，三角形三边满足直接得直角 3.异面垂直无需相交，和共面垂直定义区分开 【变式7-1】在直三棱柱中，，求证：． 【变式7-2】如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 题型8 由异面直线的夹角求其他量 【例1】（25-26高二上·上海普陀·期末）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【例2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）四面体中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则线段的长为_____________. 【技巧归纳】 公式结论 1.余弦定理、勾股定理通用， 2.若，满足 方法技巧 1.以异面夹角为等量桥梁，反推几何体棱长、对角线长 2.计算面积、周长先利用夹角求出对应线段长度 3.钝角余弦值取负，换算为锐角后再参与几何计算 【变式8-1】（24-25高二上·上海松江·阶段检测）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH=______． 一、单选题 1．（24-25高二·上海·课堂例题）若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 2．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 3．（2023·上海·高考真题）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知，，则与的位置关系为（    ） A．平行或异面 B．相交 C．重合 D．以上都有可能 5．（24-25高三下·上海浦东新·阶段检测）如下四个正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的共有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知S是正方形ABCD所在平面外一点，连接SA，SB，SC，SD，AC，BD，则在所有的10条直线中，异面直线共有（   ） A．8对 B．10对 C．12对 D．14对 二、填空题 7．（25-26高二上·上海·期中）如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有___________条．    8．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有_____条    9．（23-24高二上·上海·阶段检测）空间中和两边分别平行，，则的大小是________. 10．（24-25高二上·上海·期中）已知角的两边和角的两边分别平行且，则_________. 11．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的大小为______（用反三角函数表示）. 12．（24-25高一下·上海·期末）已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________． 13．（25-26高二上·上海长宁·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 14．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________. 15．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在四面体中，，直线与直线所成的角为，､分别为､的中点.则直线和直线所成角的大小为__________. 16．（25-26高二上·上海·期中）正方体中，异面直线与所成角的大小为______. 三、解答题 17．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别是的中点. (1)求证：与是异面直线； (2)求证：与相交； (3)若，且与所成角为，求异面直线与所成角大小. 18．（25-26高三·上海·一轮复习）已知在正方体中，分别为、的中点，，．求证：四点共面. 19．（25-26高一下·上海·阶段检测）在棱长为的正方体 中，是的中点，是棱的中点，是棱上的一点. (1)若的延长线与的延长线相交于点，证明点在直线上； (2)若点是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值. 20．（24-25高二·上海·随堂练习）在正方体中，P，Q分别为，的中点， (1)求直线AP与CQ所成的角； (2)求直线AP与BD所成的角； (3)证明：与垂直． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 直线与直线的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 平行公理 题型5 异面直线的距离 题型2 等角定理 题型6 求异面直线的夹角 题型3 异面直线的概念辨析 题型7 证明异面直线的垂直 题型4 异面直线的判定 题型8 由异面直线的夹角求其他量..... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平行公理、空间平行线传递性 1.掌握空间平行公理及平行线传递定理 2.能利用平行关系证明空间直线互相平行 3.区分平面平行与空间平行直线的异同 异面直线、共面直线、异面概念辨析 1.熟记异面直线定义：不同在任意一个平面内 2.快速区分共面直线与异面直线 3.辨别易混淆的真假命题，规避概念误区 异面直线判定、反证法、平面相交取点 1.掌握异面直线两种判定方法（定义法、判定定理） 2.会用反证法证明两条直线为异面直线 3.依托几何体直观识别异面直线 异面直线公垂线段、异面直线距离 1.理解异面直线公垂线定义，明确公垂线段唯一 2.掌握正方体、长方体模型中异面直线距离求解 3.分清异面直线距离与两点间距离的区别 异面直线所成角、平移法、范围 1.理解异面直线夹角的构造逻辑：平移至共面 2.牢记异面直线夹角取值范围 3.辨析夹角为钝角时取其补角的规则 异面直线垂直、线线垂直判定 1.区分共面垂直与异面垂直，均满足夹角 2.通过平移构造直角证明异面直线互相垂直 3.能结合几何体棱、面对角线判定异面垂直 平移找角、中位线、补形法、余弦定理 1.熟练使用平移、中位线、补形三类找角方法 2.构造三角形，结合余弦定理计算夹角余弦值 3.规范书写求异面直线夹角完整步骤 异面直线夹角、棱长、线段长度、周长面积 1.利用异面直线夹角结合解三角形求棱长 2.根据夹角大小判断几何体截面、侧面几何量 3.结合勾股、余弦定理完成综合计算 学习重点： 1.空间平行公理与平行线传递性质 2.异面直线定义、判定方法 3.异面直线所成角的取值范围、平移找角法 4.异面直线夹角计算（余弦定理）、异面垂直证明 学习难点： 1.异面直线抽象概念理解，直观区分异面与相交/平行直线 2.复杂几何体中平移构造异面直线夹角 3.异面直线距离的识别与求解 4.综合题型结合夹角求解棱长、线段等量 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间两直线的位置关系 （1）空间中两条直线的位置关系 （2）异面直线：把不同在__任何一个______平面内的两条直线叫做异面直线． 【易错提醒】 1.错误定义：把“无公共点的直线”直接等同于异面直线，忽略平行直线也无公共点（平行直线共面） 2.误解“不同在一个平面”，认为异面直线分别位于两个平面就是异面，两平面内直线也可平行/相交 3.画图时异面直线不加遮挡，画成交叉共面样式，无法体现异面层次 即时即练 1.（25-26高二·上海·暑假作业）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】只需证明，且即可，依据是平行公理四：和同一条直线平行的直线平行． 【详解】因为在空间四边形中，E，F，G，H分别为、、、的中点， 所以，，， 所以，， 所以四边形是平行四边形． 2.（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形. 【答案】且 【分析】由题意得四边形为平行四边形，要使四边形为正方形即可得解. 【详解】由分别为中点，所以且， 同理且，所以且， 所以四边形为平行四边形， 同理得，要使四边形为正方形，则且， 故答案为：且. 知识点02 平行直线 平行直线（1）定义：在同一平面内__不相交______的两条直线称为平行直线；（2）空间平行线的传递性；（1）文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相_平行_______；（2）符号表述：. 【易错提醒】 1.忽略空间平行线传递性前提：三条直线必须共面或两两平行，若直线不在同一空间体系不能直接传递平行 2.混淆平面平行与空间平行，误判定异面直线可互相平行 即时即练 1.（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，、分别为、的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接，由正方体的性质得到为平行四边形，从而得到，再由中位线的性质得到，最后由平行公理证明即可. 【详解】如图，连接， 在正方体中，易知且， 四边形为平行四边形， ， 又、分别为、的中点， ， ． 2.（24-25高二·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，设E、F、G、H分别为AD、DB、AC、BC中点，试判定四边形EFHG的形状，并说明理由．    【答案】菱形，理由见解析 【分析】根据题意，利用三角形的中位线即可判断四边形的形状. 【详解】连接， 由三角形中位线性质可知，且， 且， ∴且， 所以四边形为平行四边形． 同理可知：且． ∵，， 所以四边形为菱形.    知识点03 等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应__平行______，那么这两个角__相等______或___互补_____ 符号语言 ，或 图形语言 作用 判定两个角相等或互补 【易错提醒】 1..等角定理易漏条件：两边分别平行且方向一致才相等，方向相反则互补，直接默认两角相等 即时即练 1.（25-26高二上·上海普陀·期中）已知空间中的两个角和，若，则_____. 【答案】 【分析】根据等角定理可得. 【详解】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 故答案为：或. 2.（25-26高二上·上海·阶段检测）空间中，与的两边分别平行，若，则_________． 【答案】或 【分析】由空间等角定理即可求解. 【详解】由空间等角定理可知 或， 故答案为：或 知识点04 异面直线 ①定义：不同在__任何一个______平面内（不共面）的两条直线． ②异面直线的画法（衬托平面法） 如图①②所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托． 2.异面直线的夹角 定义 前提 两条异面直线， 作法 过空间任一点作直线， 结论 我们把与所成的_不大于的角_______称为异面直线与的夹角 范围 记异面直线与的夹角为，则________ 特殊情况 当________时，与互相垂直，记作：________ 【易错提醒】 1.使用判定定理遗漏条件：平面外一点、平面内一点连线，直线必须不经过平面内定点才是异面 2.反证法证明时，未完整推出“两直线共面”矛盾，推导逻辑断裂 3.仅凭图形直观判断异面，未严格用定理验证 4.记错夹角取值范围，写成，异面直线无重合，不能取，正确范围 5.平移后算出钝角，直接当作异面夹角，未取其补角 6.混淆异面直线夹角与向量夹角，向量夹角范围不可直接等同 即时即练 1.（25-26高三下·上海·阶段检测）在正方体中，与直线异面的直线可以是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【详解】对于A，在正方体中，平面，平面，平面， 点直线，点直线，因此直线与直线互为异面直线，A是； 对于B，，直线与直线是相交直线，B不是； 对于C，连接，由，得四边形是平行四边形，直线与直线是相交直线，C不是； 对于D，由选项C，同理得直线与直线是相交直线，D不是. 2.（25-26高二下·上海松江·期中）在正方体中，与直线异面的直线可以是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】对ABC选项可找到平行四边形，使得所要判断的两条直线为平行四边形的对角线，从而可判断为相交直线，对于D则根据异面直线判断方法可得. 【详解】如图，在正方体中， 对于A，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故A错误； 对于B，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故B错误； 对于C，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故C错误； 对于D，因为直线是平面内一条直线，直线经过平面外一点和平面内一点且， 所以直线与直线是异面直线，故D正确. 题型1 .平行公理 【例1】（25-26高二下·上海·阶段检测）（1）如图，E，F，G，H是空间四边形ABCD的边AB，CB，CD，AD上的点，，求证：四边形EFGH是平行四边形． （2）在正方体中，画出平面与平面的交线．（保留作图痕迹） 【答案】（1）证明见解析 （2）如图所示：图中即为平面与平面的交线. 【详解】（1）由题意得，所以且，且，即且，所以四边形是平行四边形. （2）如图所示：图中即为平面与平面的交线. 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）空间四边形中，点分别在上，且．求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】根据条件，利用基本事实2的推论3，即可证明结果. 【详解】∵， 所以，，得到， 所以四点共面. 【技巧归纳】 公式结论 1.平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 2.平行传递性：若，，则（空间中仍成立） 方法技巧 1.证明线线平行优先使用平行线传递性搭桥推导 2.判定命题真假可举异面直线反例推翻错误说法 3.区分平面、空间平行，空间平行直线无交点且共面 【变式1-1】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在长方体中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（    ）． A．四点共面，且与平行． B．四点共面，且与相交． C．四点共面，且与平行． D．四点不共面． 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理及平行公理即可判断. 【详解】如图，连接，则在上且为中点， 因为为分别为中点， 所以由三角形的中位线定理可知，， 所以四点共面且，故B、D错误，C正确， 因为，所以，故A错误. 故选：C． 【变式1-2】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为__． 【答案】平行 【分析】根据给定条件，利用平行公理即可判断得解. 【详解】依题意，由，得，由，得， 所以，即与的位置关系为平行. 故答案为：平行 题型2 等角定理 【例1】（25-26高二上·上海静安·期中）空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 【答案】或 【分析】直接由等角定理求解即可. 【详解】根据等角定理可知与相等或互补，又， 所以或， 故答案为：或. 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）若与的两边分别平行，且，则__________. 【答案】或 【分析】两角的两边分别平行时，两角相等或互补 【详解】 当两角的两边分别平行时，两角相等或互补，如图所示，角B为或 故答案为：或 【技巧归纳】 公式结论 空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 方法技巧 1.两边同向平行→两角相等；一边同向、一边反向平行→两角互补 2.求空间角大小先判断两边平行方向再定角度关系 3.做题必须标注方向，直接默认相等易丢分 【变式2-1】（24-25高二上·上海静安·期中）若与的两边分别平行且方向相同，若，则____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等角定理求解即可. 【详解】由与的两边分别平行且方向相同，得. 故答案为： 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，则的大小是______ 【答案】或 【分析】根据和相等或者互补即可求解. 【详解】因为， 所以和相等或者互补， 所以或. 故答案为:或. 题型3 异面直线的概念辨析 【例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）在四面体的6条棱中，与棱所在直线异面的是棱__________所在直线. 【答案】 【分析】作出图形，利用异面直线的定义判断即可． 【详解】如图所示，四面体的6条棱：, 棱的端点为，过的棱、过的棱都和相交，共面，不是异面直线； 剩余仅棱，与没有公共点，且不共面，因此和互为异面直线. 【例2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）“两条直线异面”的（   ）条件是“两条直线不相交” A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分且非必要 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】两条直线异面，则两条直线不相交， 反之，若两条直线不相交，则可能共面平行，不一定异面， 所以“两条直线不相交”是“两条直线异面”的必要非充分条件， 即“两条直线异面”的必要非充分条件是“两条直线不相交”. 故选：B 【技巧归纳】 公式结论 1.空间直线三类位置： ①相交直线：共面，有且仅有1个公共点 ②平行直线：共面，无公共点 ③异面直线：不同在任意平面内，无公共点 方法技巧 1.无公共点≠异面，需额外判定两直线不共面 2.绘图异面直线用虚实线体现前后遮挡，区分共面交叉线 3.命题辨析抓核心：异面直线不能同时落在同一个平面 【变式3-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）若空间三条直线满足，与相交，则、的位置关系是_____. 【答案】相交或异面 【分析】根据空间直线的位置关系直接判断. 【详解】设直线与交于点，因为，所以与确定一个平面， 由于，所以，若直线在平面内，则与相交； 若直线不在平面内，则与异面. 故答案为：相交或异面 【变式3-2】（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，利用异面直线的定义，依次分析4个命题是否正确，综合可得答案. 【详解】根据题意，依次分析4个命题： 因为直线平面，所以、、、不可能与直线异面， 当直线过底面两个顶点时， 若直线为底面边所在直线时，假设直线取，中只有四条直线、、、与直线异面，故②正确； 若直线为底面对角线时，假设直线取，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线只过底面的一个顶点时，假设直线过点，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线不过底面的任何一个顶点时，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 综上所述，中不可能有2条直线与异面，故①错误； 对于③，当直线取点与线段的中点连线时，中除了、、和之外有8条棱均与直线异面，故③正确； 对于④，当直线取线段中点与线段的中点连线时，中除了和之外的10条棱均与直线异面，故④正确. 故选：C. 题型4 异面直线的判定 【例1】（2025·上海长宁·一模）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用异面直线的定义依次判断选项即可. 【详解】如图取正方体底边的中点，和正方体的顶点M，N，P，Q， 连接， 在正方体中有， 所以，所以点四点共面；同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面，所以六点共面, 所以直线与直线、直线与直线共面、直线与直线共面， 直线平面AFG， 直线平面，所以直线与直线是异面直线. 综上可知ABC错误D正确. 故选：D. 【例2】（2023·上海嘉定·一模）如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 【答案】5 【分析】作出辅助线，得到四点共面，不是异面直线，同理得到与共面，再由，与相交，得到与不是异面直线的面对角线，从而得到与异面的面对角线，求出答案. 【详解】连接， 因为六边形为正六边形，所以， 故，所以四点共面，不是异面直线， 同理可得：与共面，不是异面直线， 而， 又与相交， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为， 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 故答案为：5 【技巧归纳】 公式结论 判定定理：平面内一点，平面外一点，直线且，则直线与为异面直线 方法技巧 1.定理法：满足定点条件直接判定异面 2.反证法：假设两直线共面，推出矛盾证明异面 3.几何体中优先找棱、面对角线快速识别异面直线 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与 异面的有________条    【答案】4 【分析】根据异面直线的定义可得. 【详解】在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与重合的有一条，即直线； 与平行的有三条，即直线； 与相交的有四条，即直线； 所以与异面的有四条，分别是直线. 故答案为：4. 【变式4-2】（25-26高二上·上海·期中）在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有__________条. 【答案】 【分析】根据三棱柱的几何特征以及异面直线的定义即可判断. 【详解】 根据三棱柱的几何特征以及异面直线的定义有、与直线异面， 所以三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有条. 故答案为： 题型5 异面直线的距离 【例1】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线与之间的距离. 【答案】 【分析】取的中点G，连接EG、FG，则可证得平面，则异面直线与之间的距离即为直线与平面间的距离，再转化为点与平面的距离，连接，，设，则可得为点到平面的距离，然后求解即可. 【详解】如图： 取的中点G，连接EG、FG，所以 ， 因为 ，所以 ， 因为平面，平面， 所以平面， 所以异面直线与之间的距离即为直线与平面间的距离， 即点B与平面的距离. 连接，，设. 因为 ，，所以. 因为平面，平面，所以， 因为 ，所以 因为，平面 所以平面，即为点到平面的距离. 因为，， 所以， 即异面直线EF与AB之间的距离为. 【例2】（24-25高一下·上海·期末）在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【分析】根据长方体的性质得出是异面直线和的公垂线；再根据异面直线间距离的定义即可求解. 【详解】 由长方体性质可得：，平面. 因为平面, 所以， 则是异面直线和的公垂线， 所以异面直线和的距离为 故答案为： 【技巧归纳】 公式结论 1.公垂线定义：同时垂直、同时相交于两条异面直线的直线为公垂线 2.公垂线段长度为异面直线距离，异面直线有且仅有1条公垂线段 方法技巧 1.正方体、长方体直接找棱为公垂线段，读取棱长即为距离 2.无直观公垂线时，转化为线面距离间接求解 3.区分两点连线、平行线距离，不可混淆为异面距离 【变式5-1】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，已知正方体的棱长为1．求异面直线与之间的距离．    【答案】 【分析】证明平面平面，将异面直线与之间的距离转化为平行平面的距离，再转化为点到平面的距离，结合等体积法求解. 【详解】因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以异面直线与之间的距离与平面和平面之间的距离相等， 所以异面直线与之间的距离等于点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 则， 又， 所以， ， 所以， 所以异面直线与之间的距离为.    【变式5-2】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，，，．求异面直线与之间的距离． 【答案】 【分析】依据题意转化为点到平面的距离，结合等面积法求解长度即可. 【详解】如图，连接，作，设， 由长方体性质得，， 而，面， 所以面，故， 而由长方体性质得，而面， 面，所以面， 所以异面直线的距离转化为到面的距离， 由等面积公式得， 解得，所以异面直线与之间的距离为. 题型6 求异面直线的夹角 【例1】（25-26高二下·上海·期中）正方体中，异面直线与所成角的大小为________． 【答案】 【分析】设，线段的中点为，求直线和的夹角即可. 【详解】设，线段的中点为， 因为为正方形，所以为中点，则是的中位线，则， 因为，所以、全等， 则，则，则， 故异面直线与所成角的大小为. 【例2】（25-26高二上·上海·期末）在如图所示的正方体中，设分别是棱、的中点，则异面直线与所成的角的大小为___________．（用反三角函数表示） 【答案】 【分析】连接则，即为异面直线与所成的角，.在中，即可求解. 【详解】如图：连接则，即为异面直线与所成的角或其补角. 设正方体的棱长为，在中，，，， 异面直线与所成的角的大小为. 故答案为：. 【技巧归纳】 公式结论 1.夹角范围： 2.余弦定理：（平移后构造三角形三边m、n、k） 方法技巧 1.平移三法：中位线平移、平行四边形平移、补形平移 2.平移后算出钝角，取其补角作为异面直线夹角 3.解题步骤：平移找角→构造三角形→余弦定理计算 【变式6-1】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，在正方体中，则异面直线与所成角的大小为______． 【答案】/ 【分析】构造异面直线所成的角，再利用解三角形求解. 【详解】如图： 连接，. 因为为正方体，所以， 所以即为异面直线与所成的角或其补角， 在中，因为，所以. 故答案为： 【变式6-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）三棱锥中，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角为________. 【答案】60° 【分析】根据异面直线所成角定义得出（或其补角）为异面直线与所成的角，再应用余弦定理计算求解. 【详解】如图，取的中点，连接，， 则，，（或其补角）为异面直线与所成的角， ，， 又，. ，则异面直线与所成的角为. 故答案为：. 题型7 证明异面直线的垂直 【例1】如图，正方体，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用异面直线所成的角是即可证明异面直线垂直. 【详解】证明:如图,连接,交于,设的中点为,连接,则,所以与所成的角即为与所成的角． 连接,,因为正方体,所以. 又是的中点,所以,所以. 【例2】如图，在长方体中，直线与的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 【答案】C 【分析】由题意易得平面，则有，结合异面直线的位置关系即可判断直线与的位置关系. 【详解】在长方体中，平面， 因为平面，所以， 又直线与不相交且不平行， 所以直线与异面且垂直. 故选：C. 【技巧归纳】 公式结论 异面直线所成角，则两条异面直线互相垂直 方法技巧 1.平移异面直线至相交，证明夹角为直角即可判定垂直 2.结合勾股定理，三角形三边满足直接得直角 3.异面垂直无需相交，和共面垂直定义区分开 【变式7-1】在直三棱柱中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】找到异面直线的夹角，利用直三棱柱的性质求出夹角度数，再证明线线垂直即可. 【详解】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 【变式7-2】如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】取BC中点为G，连接DG，AG，通过证明，结合可证明结论； 【详解】取BC中点为G，连接DG，AG． 因分别为中点，则． 则四边形是平行四边形，故． 因为，则，所以. 题型8 由异面直线的夹角求其他量 【例1】（25-26高二上·上海普陀·期末）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【分析】连接，由中位线定理可得为异面直线所成角或所成角补角，据此可得答案. 【详解】如图，连接，由题设及中位线定理可得， 则为异面直线所成角或所成角补角，则或. 故答案为：或. 【例2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）四面体中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则线段的长为_____________. 【答案】或 【分析】取中点，连接，，即可得到为异面直线与所成的角（或补角），再由余弦定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以或， 当时，由余弦定理， 所以； 当时，由余弦定理， 所以； 综上可得或. 故答案为：或 【技巧归纳】 公式结论 1.余弦定理、勾股定理通用， 2.若，满足 方法技巧 1.以异面夹角为等量桥梁，反推几何体棱长、对角线长 2.计算面积、周长先利用夹角求出对应线段长度 3.钝角余弦值取负，换算为锐角后再参与几何计算 【变式8-1】（24-25高二上·上海松江·阶段检测）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH=______． 【答案】或 【分析】由题意可知四边形为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为，再由所给边长即可求得的长. 【详解】如图，    由分别是的中点，得， ，则四边形为菱形，又与所成的角为， 于是直线与所成角为，即菱形的边长为1，相邻两个内角分别为， 即或，当时，, 当时，， 所以或. 故答案为：或 一、单选题 1．（24-25高二·上海·课堂例题）若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 【答案】D 【分析】举例分析判断即可. 【详解】在长方体中， ，两组对应边分别是平行， ，一组对应边平行，另一组对应边不平行，且垂直， 故选：D 2．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面，则可能平行，如图， 也可能相交，如图， 也可能与异面，如图， 故选：D. 3．（2023·上海·高考真题）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 4．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知，，则与的位置关系为（    ） A．平行或异面 B．相交 C．重合 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，即可判断与的位置关系. 【详解】如图所示，，， 则与的位置关系可能是平行、相交、异面、重合. 故选：D. 5．（24-25高三下·上海浦东新·阶段检测）如下四个正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的共有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据正方体性质作出与平行的直线、平面或平面，通过求解与的垂直关系即可得解. 【详解】对于第1个图，如图（1）由正方体性质得， 所以四边形是平行四边形，所以，且与不垂直， 所以与不垂直； 对于第2个图，如图（2），令为所在棱中点，则由中位线性质得， 令正方体边长为1，则，即， 因为，所以，所以；    对于第3个图，如图（3），令为所在棱中点，与P重合， 连接，，由正方体结构性质可得， 令正方体边长为1，则，，， 因为，所以，所以； 对于第4个图，如图（4），令为所在棱中点，与P重合， 连接，，由正方体结构性质可得， 令正方体边长为1，则，，， 因为，所以，则与不垂直， 所以与不垂直. 所以满足的共有2个. 故选：B. 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知S是正方形ABCD所在平面外一点，连接SA，SB，SC，SD，AC，BD，则在所有的10条直线中，异面直线共有（   ） A．8对 B．10对 C．12对 D．14对 【答案】C 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】和，和，和，和，和，和， 和，和，和，和，和，和， 共有以上12对异面直线. 故选：C. 二、填空题 7．（25-26高二上·上海·期中）如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有___________条．    【答案】6 【分析】根据异面直线的判定依次写出与直线成异面直线的直线即可得解. 【详解】正方体的所有棱中， 其所在的直线与直线成异面直线有： 共6条. 故答案为：6 8．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有_____条    【答案】4 【分析】利用异面直线的定义判断得解. 【详解】正六棱柱中与直线异面的侧棱有,共有4条. 故答案为：4. 9．（23-24高二上·上海·阶段检测）空间中和两边分别平行，，则的大小是________. 【答案】或 【分析】利用等角定理可得结果. 【详解】因为空间中和两边分别平行，则和相等或互补， 又因为，则或. 故答案为：或. 10．（24-25高二上·上海·期中）已知角的两边和角的两边分别平行且，则_________. 【答案】或 【分析】由等角定理求解即可. 【详解】角的两边和角的两边分别平行且， 由等角定理可知，或， 则或， 故答案为：或 11．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的大小为______（用反三角函数表示）. 【答案】 【分析】由正方体的性质找到异面直线所成的角，在直角三角形中求解正切值即可. 【详解】由题意可得，所以异面直线与所成角等于， 连接，平面，平面，所以， 设正方体的棱长为，则， 所以在直角三角形中，，所以. 故答案为： 12．（24-25高一下·上海·期末）已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________． 【答案】相交或异面 【分析】由异面直线定义以及平行线之间的关系分类讨论即可得出结论. 【详解】显然直线不可能平行，否则，由，知，与是异面直线矛盾， 根据异面直线定义可知， 设平面，当，，且，如下图所示： 此时与为异面直线； 当，，且时，如下图所示： 此时与相交， 所以与的位置关系是异面直线或相交直线. 故答案为：相交或异面 13．（25-26高二上·上海长宁·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 【答案】 【分析】还原正方体并确定各线所在位置，进而判断直线的位置关系． 【详解】展开图还原后与重合，则与交于点，即与共面， 平面，平面，故与直线异面的是直线． 故答案为：． 14．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________. 【答案】或 【分析】设为的中点，连接，结合题设分析易得，（或其补角）为直线与所成的角，（或其补角）为直线与所成的角，进而求解即可. 【详解】如图，设为的中点，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，， 而，则， 则（或其补角）为直线与所成的角，即或， 而（或其补角）为直线与所成的角， 当时，， 当时，， 故答案为：或. 15．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在四面体中，，直线与直线所成的角为，､分别为､的中点.则直线和直线所成角的大小为__________. 【答案】75°或15° 【分析】取中点，得出，，结合边长关系及异面直线所成角计算求解. 【详解】因为､分别为､的中点，取中点， 所以，， 因为直线与直线所成的角为， 所以或，又因为，所以， 所以或， 所以直线和直线所成角为或. 故答案为：或. 16．（25-26高二上·上海·期中）正方体中，异面直线与所成角的大小为______. 【答案】 【分析】如图，取中点为F，中点为E，连接，取中点为O， 连接EF，FO，则为异面直线与所成角或所成角的补角，然后由余弦定理可得答案. 【详解】如图，取中点为F，中点为E，连接，取中点为O， 连接EF，FO，设正方体边长为2，则，，， ，取中点为G，连接， 则，，， 从而，即异面直线与所成角的大小为.    三、解答题 17．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别是的中点. (1)求证：与是异面直线； (2)求证：与相交； (3)若，且与所成角为，求异面直线与所成角大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)或. 【分析】（1）根据异面直线的定义判断证明即可； （2）根据已知得为平行四边形，与为的两条对角线，即可证； （3）根据已知得与所成角为或其补角，且为等腰三角形，讨论确定对应异面直线与所成角大小. 【详解】（1）由题设平面，平面，，平面， 所以平面，故与是异面直线； （2）分别是的中点，分别是的中点， 所以，，故为平行四边形， 所以与为的两条对角线，故与相交； （3）由题设知，且， 由（2）知：，，则与所成角，即或其补角， 又，则，故为等腰三角形， 当 时，则与的夹角为，即异面直线与所成角为； 当 时，则与的夹角为，即异面直线与所成角为； 综上，异面直线与所成角为或. 18．（25-26高三·上海·一轮复习）已知在正方体中，分别为、的中点，，．求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】先证明平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面. 【详解】证明：因为是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以在一个平面内，即四点共面． 19．（25-26高一下·上海·阶段检测）在棱长为的正方体 中，是的中点，是棱的中点，是棱上的一点. (1)若的延长线与的延长线相交于点，证明点在直线上； (2)若点是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)因为平面，直线，故平面， 因为平面，直线，所以平面， 因为平面平面，所以点在直线上. (2) 【分析】（1）证明出为平面、平面的一个公共点，结合基本事实可证得结论成立； （2）先证，所以为异面直线与OE所成的角或其补角，根据题意运算求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接，取的中点，连接、， 因为、、分别为、、的中点，所以，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，， ，， 则，所以，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 20．（24-25高二·上海·随堂练习）在正方体中，P，Q分别为，的中点， (1)求直线AP与CQ所成的角； (2)求直线AP与BD所成的角； (3)证明：与垂直． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，则可得（或其补角）为直线AP与CQ所成的角，然后在中求解即可； （2）取的中点，连接，则可得（或其补角）为直线AP与BD所成的角，然后在中求解； （3）连接，可证得∥，而，从而可证得结论. 【详解】（1）解：取的中点，的中点，连接， 则， 因为为的中点，所以， 因为∥，，所以，∥， 所以四边形为平行四边形，所以，∥， 因为，∥，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为的中点，的中点，所以∥， 所以（或其补角）为直线AP与CQ所成的角， 设正方体的棱长为4，则， ， 由余弦定理得， 因为直线AP与CQ所成的角为锐角， 所以直线AP与CQ所成的角为； （2）取的中点，连接， 由（1）的证法可知∥， 所以（或其补角）为直线AP与BD所成的角， 设正方体的棱长为4，则， ， 所以由余弦定理得 ， 因为直线AP与BD所成的角为锐角， 所以直线AP与BD所成的角为； （3）证明：连接， 因为， ∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为， 所以. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $