第12讲 随机事件的独立性（4大题型归纳）（暑假预习讲义）新高二数学沪教版

第12讲 随机事件的独立性 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 独立事件的判断 题型2 相互独立事件与互斥事件的辨析 题型3 独立事件的乘法公式 题型4 独立事件的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 独立事件的判断 1.掌握独立事件定义：事件发生与否不影响事件发生的概率 2.会用定义式、判定两事件相互独立 3.能结合生活实例（有放回抽取、多次独立试验）直观识别独立事件 相互独立事件与互斥事件 1.分清两类事件核心定义：独立指概率互不影响，互斥指不能同时发生 2.记住关键结论：若，独立事件一定不互斥，互斥事件一定不独立 3.能通过举反例辨析混淆两类概念的错误说法 独立事件的乘法公式 1.熟记两独立事件乘法公式： 2.拓展掌握个相互独立事件乘法公式： 3.会结合对立事件，计算“至少一个发生”“全部不发生”类复合概率 独立事件的实际应用 1.能从抽奖、射击、有放回抽取等应用题中识别独立事件模型 2.分步拆解多道独立试验，套用乘法公式分步计算复合事件概率 3.结合对立事件简化复杂正面事件的概率计算 学习重点： 1.独立事件的判定方法与乘法公式运用 2.相互独立事件和互斥事件的概念辨析 3.独立事件模型的实际应用题求解 学习难点： 1.区分独立事件与互斥事件，理清二者不能同时成立的逻辑 2.“至少、至多”类复合事件结合对立事件、独立乘法公式综合计算 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相互独立事件 1．定义：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率_没有影响_______，这样的两个事件叫作相互独立事件． 2．计算公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即________． 3．性质：如果事件与事件相互独立，则与，与，与也都___相互独立_____． 4.若为个随机事件，且，则______． 【易错提醒】 1.仅凭生活经验判定事件独立不通过公式验证 2.无放回抽取误判定为相互独立前后试验概率互相制约不满足独立条件 3.认为两事件独立则不能同时发生混淆独立与互斥的定义 4.忽略独立事件拓展结论A、B独立时与与与同样独立 5.多个独立事件相乘时遗漏某一子事件概率最终联合概率计算偏小 6.未先验证独立性直接套用乘法公式计算联合概率 7.混淆条件概率与独立判定标准误将当作独立判定依据 即时即练 1.（25-26高二下·上海青浦·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件：出现偶数点，事件：出现2点或3点，则事件与事件的关系为（    ） A．相互独立事件 B．相互互斥事件 C．既相互独立又相互互斥事件 D．既不相互互斥又不相互独立事件 2.（25-26高二下·上海·期末）抛一枚质地均匀的硬币两次，：第一次正面，：两次结果相同；验证两个事件的独立性． 知识点02 相互独立事件与互斥事件的概率计算 概率 A，B互斥 A，B相互独立 P（A∪B） P（A）＋P（B） 1－P（）P（） P（AB） 0 P（A）P（B） P（ ） 1－[P（A）＋P（B）] P（）P（） P（A∪B） P（A）＋P（B） P（A）P（）＋P（）P（B） 【易错提醒】 1.混淆两类事件计算公式互斥事件误用乘法公式独立事件误用加法公式 2.忽略核心推论当且时独立事件一定不互斥互斥事件一定不独立 3.计算互斥事件同时发生概率时忘记直接做乘法运算 4.题目同时存在独立、互斥多重关系时不分层判断直接套公式 5.忽略特殊边界情况或时事件可同时满足独立与互斥 6.“至少一个发生”题型互斥直接相加独立需用两类模型计算方式混淆 7.多事件混合题型未先判断两两互斥就累加概率未判断独立就相乘概率 8.文字应用题分不清抽取模式有放回套互斥公式无放回套独立乘法公式 即时即练 1.假设，，且A与B相互独立，则下列说法正确的个数为（    ） ①        ②    ③        ④        ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 题型1 独立事件的判断 【例1】（25-26高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．判断事件C与D是否独立，并证明． 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品．在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张．记事件： “首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，判断事件是否独立． 【技巧归纳】 1.公式判定：计算验证等式等式成立则相互独立 2.条件概率判定：对比与数值相等则A、B独立 3.直观场景判定：有放回抽取、多次互不干扰试验、互不影响的设备故障属于独立事件 4.拓展判定：若A、B独立则与、与、与也相互独立 5.反向排除：无放回抽取、一次试验内两个互斥事件一定不独立 【变式1-1】一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【变式1-2】（25-26高三上·上海·期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 题型2 相互独立事件与互斥事件的辨析 【例1】投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【例2】已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【技巧归纳】 1.抓核心定义区分：独立看概率互不影响互斥看事件无法同时发生 2.固定结论记忆：时独立必不互斥互斥必不独立 3.公式区分记忆：互斥用加法独立用乘法 4.举反例快速判断对错满足概率大于0时二者不能同时成立 5.分层审题：先判断能否同时发生区分互斥再判断概率是否互不干扰区分独立 【变式2-1】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 【变式2-2】已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 题型3 独立事件的乘法公式 【例1】（2026·上海·模拟预测）已知事件与事件相互独立，如果，，________． 【例2】（25-26高二下·上海·期中）已知事件发生的概率，事件发生的概率，若事件与独立，则______. 【技巧归纳】 1.先判定事件两两相互独立再使用乘法公式计算同时发生概率 2.两件独立事件：；多件独立事件： 3.求“全部不发生”：先算出每个事件对立事件概率再全部相乘 4.求“至少一件发生”：用全部事件都不发生的概率简化计算 5.对立拓展题型：独立事件搭配对立事件先转换对立再套乘法公式 【变式3-1】（25-26高二下·上海·期中）设甲、乙两射手独立地射击同一个目标，他们的命中率分别为0.85和0.9，在一次射击中，目标被击中的概率为__________. 【变式3-2】（25-26高二下·上海·期中）甲､乙射击命中目标的概率分别为，现在两人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为__________. 题型4 独立事件的实际应用 【例1】（25-26高三上·上海·期中）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求. (2)证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； (3)甲乙两个人比赛，对于弱者甲（赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为）来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束) 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 【技巧归纳】 1.识别独立模型：射击命中、有放回抽样、多台设备独立工作、多次重复试验均为独立模型 2.分步拆解试验逐个求出单次事件发生概率依次相乘得到复合事件概率 3.正面分类情况过多时优先计算对立事件简化运算步骤 4.作答前核对抽取方式无放回不属于独立模型不能直接套乘法公式 5.多问综合题分层计算先算单次独立概率再求解至多、至少类问题 【变式4-1】（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 一、单选题 1．（2025·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在研究某个随机现象时，以下关于事件的描述正确的是（    ） A．若两个事件可以同时发生，则事件与独立 B．若，则事件是事件的对立事件 C．若，则事件不是事件的互斥事件 D．依某个角度观察时，样本空间的任意两个非空子集所对应的事件要么是相互互斥关系要么是相互独立关系 3．（25-26高二上·上海·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（    ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 4．（25-26高二上·上海·期末）已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为和，且事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为（    ） A．0.88 B．0.48 C．0.32 D．0.12 二、填空题 5．（25-26高二下·上海·期中）已知事件与相互独立，假设，则__________. 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中概率分别为0.8和0.9，两人各罚球一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是___________． 7．（25-26高二上·上海·期末）一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该产品的正品率______． 8．（2026·上海闵行·二模）已知事件发生的概率，事件发生的概率，若事件与独立，则______． 9．（2026·上海·高考真题）已知事件，互斥，，，则__________． 10．（25-26高二上·上海·期末）相互独立事件，满足，，则________． 11．（2025·上海普陀·一模）设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”（），若事件与事件相互独立，则的一个可取值为___________. 12．（25-26高二上·上海普陀·期末）在信道内传输信号，信号的传输相互独立．发送时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到的概率为，收到1的概率为．现依次发送1、1、0三个信号，则至少收到两个0的概率为______． 三、解答题 13．（2025高二上·上海·专题练习）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求. (2)甲乙两个人比赛，对于弱者甲（赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为）来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束) 14．（25-26高二上·上海长宁·期末）甲和乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛的结果互不影响，且设甲赢的概率为． (1)若两人采用“三局两胜”（先赢得两局者为胜，最多三局结束比赛）比赛模式，最终胜者会获得100元奖金，且．第一局比赛甲胜后，因突发事件比赛终止，问：怎样分配100元奖金才公平？ (2)若，比赛模式可在“一局定胜负”或“三局两胜”中选择一种，问：哪种比赛模式对甲有利？为什么？ 15．（25-26高三上·上海·期中）中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. (1)已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率 (2)求至多进行四场就结束比赛的概率. 16．（25-26高三上·上海·期中）某项室内体育赛事共有大学生志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 m 其中、均为正整数，． (1)从这36名大学生志愿者中随机抽取两名作为某个小项目的主持人，求抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”．试给出一组、的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 17．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）2025年11月9日至11月21日，第15届全运会在广东，香港，澳门成功举办，某运动场馆内共有志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 其中均为正整数，． (1)从这36名志愿者中随机抽取两名作为某活动主持人，求：抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”；试给出所有符合条件的的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 18．（25-26高二上·上海黄浦·期末）掷质地均匀的一颗骰子，观察朝上的点数.表示事件“点数为偶数”，表示事件“点数为2或3”，表示事件“点数大于3”.分别验证事件与事件、事件与事件是否独立，请说明理由. 19．（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 20．（25-26高二下·上海徐汇·期末）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 随机事件的独立性 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 独立事件的判断 题型2 相互独立事件与互斥事件的辨析 题型3 独立事件的乘法公式 题型4 独立事件的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 独立事件的判断 1.掌握独立事件定义：事件发生与否不影响事件发生的概率 2.会用定义式、判定两事件相互独立 3.能结合生活实例（有放回抽取、多次独立试验）直观识别独立事件 相互独立事件与互斥事件 1.分清两类事件核心定义：独立指概率互不影响，互斥指不能同时发生 2.记住关键结论：若，独立事件一定不互斥，互斥事件一定不独立 3.能通过举反例辨析混淆两类概念的错误说法 独立事件的乘法公式 1.熟记两独立事件乘法公式： 2.拓展掌握个相互独立事件乘法公式： 3.会结合对立事件，计算“至少一个发生”“全部不发生”类复合概率 独立事件的实际应用 1.能从抽奖、射击、有放回抽取等应用题中识别独立事件模型 2.分步拆解多道独立试验，套用乘法公式分步计算复合事件概率 3.结合对立事件简化复杂正面事件的概率计算 学习重点： 1.独立事件的判定方法与乘法公式运用 2.相互独立事件和互斥事件的概念辨析 3.独立事件模型的实际应用题求解 学习难点： 1.区分独立事件与互斥事件，理清二者不能同时成立的逻辑 2.“至少、至多”类复合事件结合对立事件、独立乘法公式综合计算 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相互独立事件 1．定义：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率_没有影响_______，这样的两个事件叫作相互独立事件． 2．计算公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即________． 3．性质：如果事件与事件相互独立，则与，与，与也都___相互独立_____． 4.若为个随机事件，且，则______． 【易错提醒】 1.仅凭生活经验判定事件独立不通过公式验证 2.无放回抽取误判定为相互独立前后试验概率互相制约不满足独立条件 3.认为两事件独立则不能同时发生混淆独立与互斥的定义 4.忽略独立事件拓展结论A、B独立时与与与同样独立 5.多个独立事件相乘时遗漏某一子事件概率最终联合概率计算偏小 6.未先验证独立性直接套用乘法公式计算联合概率 7.混淆条件概率与独立判定标准误将当作独立判定依据 即时即练 1.（25-26高二下·上海青浦·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件：出现偶数点，事件：出现2点或3点，则事件与事件的关系为（    ） A．相互独立事件 B．相互互斥事件 C．既相互独立又相互互斥事件 D．既不相互互斥又不相互独立事件 【答案】A 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义，计算对应概率判断事件关系即可. 【详解】抛掷骰子的样本空间为，共6个等可能样本点. 事件，因此，事件，因此. 事件，不为空集，故不是互斥事件. 则，且，满足，故是相互独立事件. 所以事件与不是互斥事件，但满足，故关系为相互独立事件. 2.（25-26高二下·上海·期末）抛一枚质地均匀的硬币两次，：第一次正面，：两次结果相同；验证两个事件的独立性． 【答案】独立． 证明：由题意，事件为两次均为正面，故， 因为，， 故； 故； ∴两事件独立． 知识点02 相互独立事件与互斥事件的概率计算 概率 A，B互斥 A，B相互独立 P（A∪B） P（A）＋P（B） 1－P（）P（） P（AB） 0 P（A）P（B） P（ ） 1－[P（A）＋P（B）] P（）P（） P（A∪B） P（A）＋P（B） P（A）P（）＋P（）P（B） 【易错提醒】 1.混淆两类事件计算公式互斥事件误用乘法公式独立事件误用加法公式 2.忽略核心推论当且时独立事件一定不互斥互斥事件一定不独立 3.计算互斥事件同时发生概率时忘记直接做乘法运算 4.题目同时存在独立、互斥多重关系时不分层判断直接套公式 5.忽略特殊边界情况或时事件可同时满足独立与互斥 6.“至少一个发生”题型互斥直接相加独立需用两类模型计算方式混淆 7.多事件混合题型未先判断两两互斥就累加概率未判断独立就相乘概率 8.文字应用题分不清抽取模式有放回套互斥公式无放回套独立乘法公式 即时即练 1.假设，，且A与B相互独立，则下列说法正确的个数为（    ） ①        ②    ③        ④        ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的概念和乘法公式，以及互斥事件的概念，逐个判定，即可求解. 【详解】由，，且事件与相互独立，则与相互独立，与相互独立，则，所以①不正确，③正确； 又由，所以④正确； 由，所以⑤不正确； 又由事件与不一定时互斥事件，所以与不一定相等， 所以②不正确. 故选：B. 2.已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 【答案】C 【分析】利用计算出，可得到则能得到与不互斥，不对立；再利用算出即可得到答案 【详解】由可得， 因为，则与不互斥，不对立， 由可得， 因为，所以与相互独立 故选：C 题型1 独立事件的判断 【例1】（25-26高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．判断事件C与D是否独立，并证明． 【答案】(1) (2)相互独立，证明见解析 【分析】（1）利用古典概型求解概率即可； （2）根据事件独立的定义计算判断即可； 【详解】（1）因为每次抽取都有4种可能，两次抽取相互独立， 共包含个基本事件 其中事件包含3个基本事件． 所以； （2）一次抽取两张共包含6个基本事件， 事件，所以．． 事件所以． 事件所以， 因为，所以事件C和D相互独立． 【例2】（25-26高二上·上海·阶段检测）为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品．在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张．记事件： “首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，判断事件是否独立． 【答案】不独立 【分析】根据概率公式求出、、，再由相互独立事件的概率公式判断是否独立． 【详解】答案：，， ， ，所以事件不独立． 【技巧归纳】 1.公式判定：计算验证等式等式成立则相互独立 2.条件概率判定：对比与数值相等则A、B独立 3.直观场景判定：有放回抽取、多次互不干扰试验、互不影响的设备故障属于独立事件 4.拓展判定：若A、B独立则与、与、与也相互独立 5.反向排除：无放回抽取、一次试验内两个互斥事件一定不独立 【变式1-1】一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断可得答案. 【详解】用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，, ，事件，， 事件，， 对于A，，故A错误；     对于B，因为，所以事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，，，， 因为，所以事件与事件相互独立，故C正确；     对于D，， ，，故D错误. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高三上·上海·期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 【答案】B 【分析】利用事件独立性的定义判断即可. 【详解】由题意可得，，，，， 由古典概型的概率公式可得，，， 所以，， 故事件与相互独立，事件与不独立. 故选：B. 题型2 相互独立事件与互斥事件的辨析 【例1】投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 【例2】已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【详解】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 【技巧归纳】 1.抓核心定义区分：独立看概率互不影响互斥看事件无法同时发生 2.固定结论记忆：时独立必不互斥互斥必不独立 3.公式区分记忆：互斥用加法独立用乘法 4.举反例快速判断对错满足概率大于0时二者不能同时成立 5.分层审题：先判断能否同时发生区分互斥再判断概率是否互不干扰区分独立 【变式2-1】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 【答案】C 【分析】首先列举样本空间，利用样本空间法，结合互斥，对立事件的定义，判断ABD，根据与的关系，判断C. 【详解】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个， 其中事件A包含的样本点为：（1,3），（1,5），（3,5）共3个，故， 事件B包含的样本点为：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7个，故； 事件C包含的样本点为：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4个，故， 事件D包含的样本为：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个，故， 因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确； 因为,所以C与D不相互独立，故C错误. 因为,所以C与D不互斥，故D正确. 故选:C. 【变式2-2】已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项. 【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D 题型3 独立事件的乘法公式 【例1】（2026·上海·模拟预测）已知事件与事件相互独立，如果，，________． 【答案】/ 【详解】由，得， 因为事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立， 所以. 【例2】（25-26高二下·上海·期中）已知事件发生的概率，事件发生的概率，若事件与独立，则______. 【答案】 【详解】由事件与独立可得： ， 代入，， 计算得：. 【技巧归纳】 1.先判定事件两两相互独立再使用乘法公式计算同时发生概率 2.两件独立事件：；多件独立事件： 3.求“全部不发生”：先算出每个事件对立事件概率再全部相乘 4.求“至少一件发生”：用全部事件都不发生的概率简化计算 5.对立拓展题型：独立事件搭配对立事件先转换对立再套乘法公式 【变式3-1】（25-26高二下·上海·期中）设甲、乙两射手独立地射击同一个目标，他们的命中率分别为0.85和0.9，在一次射击中，目标被击中的概率为__________. 【答案】 【详解】由题意得目标被击中的概率为： . 【变式3-2】（25-26高二下·上海·期中）甲､乙射击命中目标的概率分别为，现在两人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为__________. 【答案】/ 【详解】记“目标被击中”为事件A，则为“甲、乙都没有击中目标” 所以目标被击中的概率是. 题型4 独立事件的实际应用 【例1】（25-26高三上·上海·期中）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求. (2)证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； (3)甲乙两个人比赛，对于弱者甲（赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为）来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束) 【答案】(1) (2) 如果两个事件与相互独立， ， ， ， 所以与也独立. (3) 若一局定胜负，甲赢的概率为； 若三局两胜，甲赢的概率为. 因为甲是弱者，所以， 所以，即， 所以一局定胜负对甲有利. 【分析】（1）根据互斥事件及对立事件的概率公式求解； （2）根据独立事件的概念证明； （3）分别计算：一局定胜负与三局两胜情况下甲赢的概率，比较即可． 【详解】（1）， 事件与互斥，， 又，， ，， . 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 【答案】 【分析】设事件A：甲命中驾驶员，事件B：乙命中油箱，事件C：丙命中发动机， 由，代入计算可得. 【详解】设事件A：甲命中驾驶员，事件B：乙命中油箱，事件C：丙命中发动机， 则, 所以 . 即击落直升机的概率为． 【技巧归纳】 1.识别独立模型：射击命中、有放回抽样、多台设备独立工作、多次重复试验均为独立模型 2.分步拆解试验逐个求出单次事件发生概率依次相乘得到复合事件概率 3.正面分类情况过多时优先计算对立事件简化运算步骤 4.作答前核对抽取方式无放回不属于独立模型不能直接套乘法公式 5.多问综合题分层计算先算单次独立概率再求解至多、至少类问题 【变式4-1】（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 . 故选：D. 【变式4-2】为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件概率即可得到答案； （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件的概率即可， 【详解】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件， 则. 因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件， 则所求的概率为. （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件， 则. 所以事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为， 所以所求的概率为 一、单选题 1．（2025·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由独立事件概率公式和充要条件的概念即可求解. 【详解】由甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6， 若“事件互相独立”，则， 若，则事件互相独立， 即“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的充要条件， 故选：C 2．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在研究某个随机现象时，以下关于事件的描述正确的是（    ） A．若两个事件可以同时发生，则事件与独立 B．若，则事件是事件的对立事件 C．若，则事件不是事件的互斥事件 D．依某个角度观察时，样本空间的任意两个非空子集所对应的事件要么是相互互斥关系要么是相互独立关系 【答案】C 【分析】由独立事件的定义判断A；由对立事件的定义判断B；由互斥事件的定义判断C，举反例说明D. 【详解】对于A，由独立事件的定义可知，事件需满足，与事件是否同时发生无关， 如：投掷一枚骰子，记事件为：出现的点数为1，事件为出现的点数为奇数， 则事件可同时发生， 但不满足，故A错误； 对于B，对立事件要求首先是互斥事件，其次是(为样本空间)， 如，，， 此时满足，但事件不是对立事件，故B错误； 对于C，互斥事件的性质为， 又因为， 所以对任意互斥事件都有， 根据其逆否命题可知，当时，事件一定不是互斥事件，故C正确； 对于D，样本空间的非空子集对应的事件未必是互斥或独立事件， 如，，， 则， 则， 所以事件、既不互斥也不独立，故D错误. 故选：C. 3．（25-26高二上·上海·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（    ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】A.利用对立事件的定义判断；B.利用相互独立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用互斥事件的定义判断. 【详解】A. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，总事件的基本事件还有等，所以 和不是对立事件，故错误； B. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，而，则，所以与是相互独立事件，故正确； C. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，则，，所以与不为相互独立事件，故错误； D. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，都有基本事件，所以与不为互斥事件，故错误； 故选：B 4．（25-26高二上·上海·期末）已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为和，且事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为（    ） A．0.88 B．0.48 C．0.32 D．0.12 【答案】A 【分析】令事件表示甲投篮命中，事件表示乙投篮命中，事件表示甲、乙两人至少有一人命中，则，，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】令事件表示甲投篮命中，事件表示乙投篮命中，事件表示甲、乙两人至少有一人命中， 则，所以， 所以 ， 故选：A. 二、填空题 5．（25-26高二下·上海·期中）已知事件与相互独立，假设，则__________. 【答案】0.4/ 【详解】因事件与相互独立，则， 故. 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中概率分别为0.8和0.9，两人各罚球一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是___________． 【答案】/ 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可． 【详解】记事件为“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， ， 所以． 故答案为：． 7．（25-26高二上·上海·期末）一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该产品的正品率______． 【答案】 【分析】经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的，第一道工序的正品率为，第二道工序的正品率为，再利用相互独立事件的概率乘法公式求得产品的正品率． 【详解】由题意可得，当经过这第一道工序出来的产品是正品，且经过这第二道工序出来的产品也是正品时，得到的产品才是正品．经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的． 第一道工序的正品率为，第二道工序的正品率为， 故产品的正品率为， 故答案为：． 8．（2026·上海闵行·二模）已知事件发生的概率，事件发生的概率，若事件与独立，则______． 【答案】 【详解】因为事件与独立，事件发生的概率，事件发生的概率， ． 9．（2026·上海·高考真题）已知事件，互斥，，，则__________． 【答案】/ 【详解】因为互斥，所以. 10．（25-26高二上·上海·期末）相互独立事件，满足，，则________． 【答案】/ 【详解】由对立事件的性质得， 则，解得， 已知事件，相互独立，则 ，解得． 11．（2025·上海普陀·一模）设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”（），若事件与事件相互独立，则的一个可取值为___________. 【答案】3（或5、7、9、11其中之一） 【分析】设第一次的点数为，第二次的点数为，进而依次讨论的情况即可得答案. 【详解】设第一次的点数为，第二次的点数为， 则两次抛掷两枚质地均匀的骰子的结果记为，其中，共种基本事件， 故由题知，， 当时，的基本事件为，的基本事件为，故，， ，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为，故，， ，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件不独立； 综上，的可能取值为 故答案为：3（或5、7、9、11其中之一） 12．（25-26高二上·上海普陀·期末）在信道内传输信号，信号的传输相互独立．发送时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到的概率为，收到1的概率为．现依次发送1、1、0三个信号，则至少收到两个0的概率为______． 【答案】 【分析】将目标事件合理拆分，再利用互斥事件的概率公式和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意得至少收到两个可拆分为恰好收到个和恰好收到个， 且两种情况互斥，对于恰好收到个，可拆分为如下三种情况， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 而每一位收发数字的情况相互独立， 对于第一种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 对于第二种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 对于第三种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 由互斥事件的概率公式得恰好收到个的概率为， 当恰好收到个时，由独立事件概率公式得概率为， 由互斥事件的概率公式得至少收到两个0的概率为. 故答案为： 三、解答题 13．（2025高二上·上海·专题练习）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求. (2)甲乙两个人比赛，对于弱者甲（赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为）来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束) 【答案】(1) (2)一局定胜负对甲有利，解释见解析 【分析】（1）根据互斥事件及对立事件的概率公式求解； （2）分别计算：一局定胜负与三局两胜情况下甲赢的概率，比较即可． 【详解】（1）， 事件与互斥，， 又，， ，， . （2）若一局定胜负，甲赢的概率为； 若三局两胜，甲赢的概率为. 因为甲是弱者，所以， 所以，即， 所以一局定胜负对甲有利. 14．（25-26高二上·上海长宁·期末）甲和乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛的结果互不影响，且设甲赢的概率为． (1)若两人采用“三局两胜”（先赢得两局者为胜，最多三局结束比赛）比赛模式，最终胜者会获得100元奖金，且．第一局比赛甲胜后，因突发事件比赛终止，问：怎样分配100元奖金才公平？ (2)若，比赛模式可在“一局定胜负”或“三局两胜”中选择一种，问：哪种比赛模式对甲有利？为什么？ 【答案】(1)甲应该分得元，乙分得元； (2)“三局两胜” 对甲有利，理由见解析 【分析】（1）分局，局比赛，求出甲获胜的概率，从而得到最终甲获胜的概率，根据甲、乙最终获胜的概率分钱； （2）分别算出两种情况的甲获胜的概率，然后作差比大小，决定最后的有利情况. 【详解】（1）若两局比完，甲第局获胜，概率为； 若三局比完，甲第局输，第局赢，概率为； 故比完比赛，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为， 因此甲应该分得元，乙分得元. （2）“三局两胜” 对甲有利，理由如下： “一局定胜负”甲获胜的概率是； “三局两胜”甲连胜两局或者第三局赢，前两局赢一次输一次， 则概率为. 因为， 而且，故，即， 即，于是“三局两胜”更有利. 15．（25-26高三上·上海·期中）中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. (1)已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率 (2)求至多进行四场就结束比赛的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设事件“中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况：①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，分别求出两种情况的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率. （2）设比赛进行三场且中国队获胜为事件、比赛进行四场且中国队获胜为事件，比赛进行三场且瑞典队获胜为事件，比赛进行四场且瑞典队获胜事件，至多进行四场比赛为事件，分别求出，的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率. 【详解】（1）设事件“中国队在已输第一场的情况下获胜”，则有两类情况： ①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，所以， ②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”， 所以， 又因为与是互斥事件， 所以， 所以中国队在已输一场的情况下获胜的概率为； （2）设比赛进行三场且中国队获胜为事件、比赛进行四场且中国队获胜为事件，比赛进行三场且瑞典队获胜为事件，比赛进行四场且瑞典队获胜事件，至多进行四场比赛为事件， 所以，， ，， ，是互斥事件， 所以 ， 所以至多进行四场就结束比赛的概率为. 16．（25-26高三上·上海·期中）某项室内体育赛事共有大学生志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 m 其中、均为正整数，． (1)从这36名大学生志愿者中随机抽取两名作为某个小项目的主持人，求抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”．试给出一组、的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)(写出一组即可) 【分析】（1）先求出对立事件的概率进而可求出结果. （2）先根据题意求出，然后根据相互独立事件列出等式，求出即可. 【详解】（1）根据题意可知，设抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率是 . （2）由题意得， 而抽到的志愿者既是男生又会说韩语的概率为. 要使得事件与相互独立，那么， 即，化简得. 因为均为正整数，且，当时，； 当时，；当时，. 17．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）2025年11月9日至11月21日，第15届全运会在广东，香港，澳门成功举办，某运动场馆内共有志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 其中均为正整数，． (1)从这36名志愿者中随机抽取两名作为某活动主持人，求：抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”；试给出所有符合条件的的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)，或，或，，理由见解析 【分析】（1）利用古典概型以及对立事件的概率公式可得答案； （2）利用独立事件的判定公式可得答案. 【详解】（1）设事件“抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语”为 ，则其对立事件为“两名志愿者都不会说日语”， 由题意，志愿者总人数为 36，其中会说日语的人数为 ，故不会说日语的人数为 ， 于是 所以，抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率为 . （2）由题意， 事件 与 相互独立的充要条件是 即， 化简得 又 均为正整数，且 ，同时需满足 ， 当 时，； 当 时，； 当 时，. 因此，符合条件的 的值为： 18．（25-26高二上·上海黄浦·期末）掷质地均匀的一颗骰子，观察朝上的点数.表示事件“点数为偶数”，表示事件“点数为2或3”，表示事件“点数大于3”.分别验证事件与事件、事件与事件是否独立，请说明理由. 【答案】事件与事件独立，事件与事件不独立，理由见解析 【分析】根据古典概型概率公式计算出各事件的概率，再根据独立事件的定义判断即可. 【详解】掷质地均匀的一颗骰子，样本空间，共6个基本事件，且每个基本事件发生的概率相等，均为. 事件：“点数为偶数”，则，包含3个基本事件. 事件：“点数为2或3”，则，包含2个基本事件. 事件：“点数大于3”，则，包含3个基本事件. 根据古典概型概率公式可得，，，. 表示事件与事件同时发生，即“点数为偶数且为2或3”，所以，则. 又，所以事件与事件独立. 表示事件与事件同时发生，即“点数为偶数且大于3”，所以，则. 又，所以事件与事件不独立. 综上，事件与事件独立，事件与事件不独立. 19．（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，则事件小李恰好有一关闯关成功，由条件结合概率加法公式和独立事件概率乘法公式求结论； （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，由条件结合概率公式列方程求，分别求出两人两关都通过的概率，再求结论． 【详解】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知相互独立，且， ， 则，， 设事件小李恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 所以， 所以当时，， 所以小李恰好有一关闯关成功的概率为． （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 则结合（1）知事件相互独立，且，，，，， 因为小王，小李两关都闯关成功的概率为，即，得①， 设事件小王恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 由（1）有， 因为小王，小李各有一关闯关成功的概率为，即，得②， 联立①，②得，解得或， 又，所以，， 所以小王两关都闯关成功的概率为， 小李两关都闯关成功的概率为， 所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为. 20．（25-26高二下·上海徐汇·期末）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $