第08讲 球（8大题型归纳）（暑假预习讲义）新高二数学沪教版

第08讲 球 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 球的结构特征及辨析 题型5 球的表面积计算 题型2 球的截面性质及计算 题型6 球的体积计算 题型3 求球面距离 题型7 常见的外接球模型 题型4 直线与球，平面与球的位置关系 题型8 常见的内切球模型 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 球的结构特征辨析 1.掌握球的定义：半圆绕直径旋转一周形成旋转体，明确球心、半径、直径概念 2.区分球面与球体：球面仅曲面外壳，球体包含内部空间；辨析球与圆的平面、立体差异 球的截面的性质及计算 1.熟记截面核心公式（球半径，截面小圆半径，球心到截面距离） 2.分清大圆、小圆：过球心的截面为大圆，不过球心为小圆，掌握二者半径关系 3.已知球半径、截面距离、截面圆半径任意两个量，能求解第三个量 求球面距离 1.理解球面距离定义：球面上两点最短路径为过两点大圆劣弧长 2.掌握球面距离公式（为两点球心角，弧度制） 3.会利用余弦定理计算球心角，再代入公式求解弧长 直线与球、平面与球的位置关系 1.平面与球：相离、相切、相交，相切时切点与球心连线垂直平面 2.直线与球：相离、相切、相交，相切时球心与切点连线垂直直线 3.根据距离与半径大小快速判定位置关系，写出对应几何特征 球的体积的有关计算 1.牢记球体积公式，已知直径先换算半径再计算 2.逆向运算：已知体积反求球半径、直径；处理半球、挖空球体体积加减运算 球的表面积的有关计算 1.熟记球面表面积公式，球面无底面，无额外增减面 2.结合体积公式联立，已知表面积求半径再算体积，或已知体积求表面积 学习重点： 1.球的截面勾股关系，大圆与小圆性质 2.球面距离的求解方法，球心角计算 3.球的表面积、体积标准公式及基础运算 4.平面、直线与球三种位置关系判定标准 学习难点： 1.球面距离易误算成平面两点直线距离，混淆劣弧、优弧取舍 2.组合几何体的内切球、外接球综合计算，难以找到球心与截面距离 3.弧度制球心角换算，球面距离公式应用易混用角度制、弧度制 4.区分球面（曲面）与球体（实心立体）的概念，审题计算易混淆 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 球的结构特征 球及相关概念 图形及表示 定义 以半圆的__直径___所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面叫作__球面__，球面围成的旋转体叫作_球体____，简称球 图中的球记作：球 相关概念 球心：半圆的_圆心___； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 直径：连接球面上两点并且过__球心__的线段 【易错提醒】 1混淆球面与球体球面仅曲面表层不含内部空间球体是实心立体体积表面积公式对应不同对象审题易混用 2旋转判定存在误区只有半圆绕自身直径旋转一周才能得到标准球半圆绕非直径整圆旋转都无法生成球 3混淆二维圆与三维球平面圆是平面图形球是立体旋转体不可直接等同二者半径概念 4直径半径代值出错球直径为2R计算时常直接将直径当作半径代入公式造成数值偏差 即时即练 1.下列说法中正确的个数是（   ） ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据球的概念判断即可. 【详解】半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，故①错误；②正确； 球面和球是两个不同的概念，故③错误； 若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误， 所以说法正确的有1个. 2.下列命题中错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台 C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D．以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度形成的旋转体是球 【答案】B 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台及球体的结构特征判断各项的正误. 【详解】对于A，由棱柱的结构特征知，棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形，正确； 对于B，当截面与棱锥底面不平行时，底面与截面之间的部分不是棱台，错误； 对于C，由棱台的结构特征知，棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点，正确； 对于D，以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度， 相当于以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆面旋转360度，由球的定义知，正确. 故选：B 知识点02 球的截面的性质 球的截面的性质：①球的截面是一个___圆面_____；②球心与截面圆圆心的连线__垂直______于截面；③球半径、截面圆半径，则球心到截面的距离________． 【易错提醒】 1截面勾股公式书写错误核心关系易误写为或 2大圆小圆概念混淆过球心的截面才是大圆半径等于球半径R不过球心为小圆半径r小于R常误用小圆半径计算球面距离 3球面距离概念混淆两点球面距离为大圆劣弧长度不是两点平面直线弦长容易直接用弦长替代弧长运算 4角度单位使用错误球面距离公式里必须采用弧度制直接代入角度制数值会得出错误弧长 5距离定义混淆d指球心到截面平面的垂直距离并非球心到截面上任意一点的线段长度 即时即练 1.在正三棱柱中，，以为球心，为半径的球与侧面相交于曲线，则曲线的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出侧面截球所得截面圆的圆心，再求出曲线所对的圆心角，根据弧长公式求解. 【详解】因为正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，取的中点， 连接，则；又侧棱底面，所以，， 所以平面，所以为截面圆的圆心，且. 设侧面截球所得的小圆半径为，由球的截面性质， 得. 设球与三棱柱的棱的交点分别为，因为为截面圆的圆心， 根据对称性，则， 所以， 所以曲线为以点为圆心，圆心角为，半径的圆弧， 则弧长为，所以曲线的长度为. 2.已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为（     ） A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 【答案】C 【分析】利用球心到截面的距离与球半径以及圆半径构造直角三角形，根据勾股定理解决问题． 【详解】因为截面圆的周长为，则，解得； 因为球半径，设球心到截面所在平面的距离为， 则，即，解得． 知识点03 球的表面积与体积 ____________，____________．其中R为球的半径． 【易错提醒】 1公式系数次数记混体积表面积经常遗漏体积系数或是混淆平方立方 2半球表面积漏算底面完整半球表面积为常忽略底部圆形面积半球体积易错写成 3已知直径不做换算题目给出直径D不换算直接代入公式计算 4空心球组合运算失误挖去小球的组合几何体不会对体积表面积做加减重复计算内部曲面 即时即练 1.已知两个球半径之比为1∶2，则表面积之比为（    ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 【答案】C 【详解】设两个球的半径分别为，则. 所以这两个球的表面积比为. 2.一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，正方体内切球的直径即为正方体的棱长，则内切球的半径为， 由球的体积公式得. 知识点04 外接球常见模型 模型 适用几何体 解题流程 公式 长方体模型 长方体的顶点构成的几何体模型 先补成长方体，再找长方体的长宽高 ______ 对棱相等 模型 对棱相等的三棱锥(也是特殊的长方体模型) 先补成长方体，再找长方体的三对面对角线x，y，z 斗笠模型 圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的正棱锥 找底面外接圆半径r，找 高h 汉堡模型 圆柱，直棱柱，一条侧棱垂直底面的棱锥 找底面外接圆半径r，找 高h 切瓜模型 存在一组邻面垂直的几何体 找两个垂面的外接圆半径 r1，r₂，两个面的交线l 怀表模型 两个全等等腰三角形折叠式棱锥 找等腰三角形的高H，找 外接圆半径r，找二面角θ 夹角问题终极公式 任意普通情况 找两相邻面的截面外接圆，圆心到交线的距离m，n，找二面角θ，找两个面的交线l      【易错提醒】 1长方体外接球公式漏乘2体对角线常直接把体对角线数值当作外接球半径 2直棱柱外接球球心定位错误球心在上下底面外心连线中点容易直接将底面中心当作外接球球心 3墙角三棱锥补形遗忘三条棱两两垂直的三棱锥需补成长方体求外接球半径不补形直接套用底面外接圆半径计算 4正棱锥外接球方程列错球心落在顶点与底面中心连线上列距离等量关系时符号颠倒解方程出错 5内切球外接球模型混用外接球过几何体全部顶点内切球与所有面相切两类半径求解方法混淆使用 6直角四面体模型滥用仅三条棱两两垂直的四面体可补成长方体普通底面为直角三角形的三棱锥不能套用该模型 即时即练 1.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据球的体积公式求出外接球半径，再利用三角形中的勾股定理列出方程即可求解. 【详解】设正四面体的外接球半径为，则由可得， 设正四面体的高为，棱长为， 由于正四面体的底面为正三角形，因此底面外接圆的半径， 又外接球球心到底面的距离为， 故由勾股定理可得，， 代入，解得正四面体的高. 2.已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且侧棱，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱台的性质，结合已知条件求出棱台的高，进而根据外接球的性质求出球的半径，最后利用球的面积公式计算求解． 【详解】    上底面边长为，对角线长为，故上底面外接圆半径为， 下底面边长为，对角线长为，故下底面外接圆半径为， 由正棱台的性质，侧棱长、棱台的高、上下底面外接圆半径之差构成直角三角形， 则，即，解得， 外接球的球心在上下底面的连接线上，设球心到下底面距离为， 则到上底面的距离为，设球半径为，则 ，即，解得， 故， 外接球的表面积． 题型1 球的结构特征及辨析 【例1】（2025高二上·上海·专题练习）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据球的概念逐一判断即可. 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 【例2】（2025高二上·上海·专题练习）给出以下说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形； ④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形． 其中正确的序号是________． 【答案】①④ 【分析】根据球的定义、结构特征以及球的截面依次判断命题即可. 【详解】①：根据球的定义知，球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长，故①正确； ②：因为球的直径必过球心，故②不正确； ③：因为球的任何截面都是圆面，故③不正确， ④：过圆柱轴的平面截圆柱所得的截图为矩形，故④正确． 故答案为：①④ 【技巧归纳】 公式结论 1球体由半圆绕自身直径旋转一周形成 2核心要素球心球半径直径 3球面仅指外层曲面球体包含曲面内部全部空间 方法技巧 1判定标准只有半圆绕直径旋转才能得到标准球其余平面图形旋转无法生成球 2区分概念二维平面圆≠三维球体圆只有半径无内部体积球同时具备表面积与体积 3命题辨析举反例快速排除错误表述 【变式1-1】一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 【答案】D 【分析】根据各选项中旋转体的定义与性质逐项判断. 【详解】对于A：圆柱的轴截面是矩形，故A不符合题意； 对于B：由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故B不符合题意； 对于C，圆台轴截面是等腰梯形，故C不符合题意； 对于D：用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，故D符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（23-24高二上·上海·期中）将地球看作是一个球体，则下列经纬线所在截面是大圆的有（    ） ①经线②北纬③西经④赤道 A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据经线和纬线及大圆的定义判断. 【详解】由经线和纬线的定义可知，所有经线均为大圆，纬线中只有赤道为大圆， 故①③④正确，②错误. 故选：C 题型2 球的截面性质及计算 【例1】在球中，一条直径AB垂直于小圆所在的平面，垂足为.若，则小圆的半径为____________. 【答案】4 【分析】作球的大圆截面，根据圆的有关性质可求截面圆的半径. 【详解】经过球心，截面圆心作球的截面，如图： 球的直径为，所以球的半径为. 在中，，，所以. 所以小圆的半径为4. 故答案为：4 【例2】（2025高二上·上海·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，为正方形底面内的一个动点，则以下结论正确的是________.（填写所有正确结论的序号） （1）三棱锥的体积为定值； （2）若点为的中点，满足平面的点的轨迹长度为2； （3）以点为球心，为半径的球面与面的交线长为    【答案】（1）（3） 【分析】利用等体积法，将三棱锥的体积转化为的体积，即可判断（1）；通过证明平面平面，说明当点在上时，有平面，求出的长，即可判断（2）；设点到平面的距离为，通过等体积法求出，说明以点为球心，为半径的球面与面的交线是一个圆，求出圆的周长，即可判断（3）. 【详解】对于（1），设到上底面的距离为，则等于棱长2， ，三棱锥的体积为定值， 故（1）正确； 对于（2），如图所示，取，的中点分别为，， 连接，，，，    ，. 是正方体， ，， ，. 又平面，平面，平面， 同理可证平面， ，平面平面， 当点在上时，有平面. 正方体棱长为2，，的中点分别为，， ， 故（2）错误； 对于（3），设点到平面的距离为， 为正三角形，点到平面的距离为2， 由，可得， 即，解得. ，以点为球心，为半径的球面与平面的交线是一个圆， 圆的半径，圆的周长为，故（3）正确. 故答案为：（1）（3） 【技巧归纳】 公式结论 1截面勾股恒等式 为球半径为截面小圆半径为球心到截面平面垂直距离 2过球心的截面为大圆大圆半径等于球半径 不过球心截面为小圆小圆半径 方法技巧 1已知R、r、d中任意两个量直接代入公式求解第三个量 2大圆是球面上面积最大的截面圆涉及球面距离优先取大圆分析 3截面计算先找球心向截面作垂线构造直角三角形解题 【变式2-1】如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 【答案】 【分析】根据内切球特征及球的截面的特征可确定所求截面即为等边的内切圆，由此可求得截面面积. 【详解】是边长为的等边三角形， 球与平面、、分别相切于的各边的中点， 平面截球所得的截面为的内切圆， 的内切圆半径， 则所求的截面圆的面积是． 故答案为：． 【变式2-2】（2025高二上·上海·专题练习）已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 【答案】 【分析】根据直接求值. 【详解】已知球的半径，截面圆的半径为， 所以截面圆的圆心与球心的距离为： （）. 故答案为： 题型3 求球面距离 【例1】（24-25高二上·上海杨浦·期中）上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为______千米.（结果保留到1千米） 【答案】135 【分析】求出纬度差，纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为纬度差所对应的弧长，由弧长公式求解即可. 【详解】上海在北纬至之间，则纬度差为度， 上海所辖区域纬线所在两平面的距离为以地球的半径为半径的圆，角度为所对应的弧长， 于是， 所以上海所辖区域纬线所在两平面的距离为. 故答案为：135 【例2】已知上海地处东经至，北纬至之间，地球半径为6371.004km．求上海所辖区域： (1)经线对应的两平面所成的二面角的大小； (2)纬线所在两平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）上海地处东经至，两个经度作差即可求解； （2）先求出纬度差，两纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为纬度差所对应的弧长，由弧长公式求解即可. 【详解】（1）因为上海地处东经至， 所以经线对应的两平面所成的二面角的大小为：. （2）因为上海在北纬至之间， 所以纬度差为， 两纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为所对应的弧长， 所以， 故纬线所在两平面的距离为. 【技巧归纳】 公式结论 1球面距离定义球面上两点最短路径为两点所在大圆的劣弧长 2球面距离公式 为两点对应的球心角单位必须为弧度 方法技巧 1先连接两点与球心用余弦定理算出球心角 2角度制数值必须转化为弧度制再代入公式计算弧长 3两点对应圆心角大于时取计算劣弧长度 【变式3-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）已知地球半径为6371千米.上海的位置约为东经､北纬，台北的位置约为东经､北纬，则经过这两个城市的大圆的劣弧长度约为___________千米（结果保留到1千米）. 【答案】673 【分析】设地球球心为点，上海、台北分别为点，计算出的大小，进而可求解. 【详解】因为上海和台北在同一经线上，所以它们在地球的同一个大圆上. 在这个大圆上，设地球球心为点，上海、台北分别为点， 由上海、台北的经纬度可知,地球半径为（千米）， 所以（千米）. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高二上·上海·单元测试）设地球半径为，北纬圈上两地的经度差为，若，则两地的球面距离为______． 【答案】 【分析】由已知及余弦定理计算，可确定球心角，再由球面距离定义即得答案． 【详解】由题意知及余弦定理得 ， 则球心角为， 两地的球面距离为 故答案为：. 题型4 直线与球平面与球的位置关系 【例1】北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设条件得到，再根据图形，利用，当且仅当三点共线时取等号即可求出结果. 【详解】如图，设卫星乙的运行轨道半径为，因为，且，所以， 设地球的球心为，则，当且仅当与共线且位于两侧时取得等号， 故选：B． 【例2】（24-25高二上·上海金山·期末）已知是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设球心为，连接，则可得和均为等边三角形，所以，再在中利用余弦定理可求出. 【详解】设球心为，连接，由， 所以和均为等边三角形， 所以， 所以，当且仅当共面时取等号，如图所示， 此时取得最大值， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 所以的最大值为， 故选：C 【技巧归纳】 公式结论 设球心到直线/平面垂直距离为球半径 1相离无交点 2相切仅有一个公共点切点与球心连线垂直直线/平面 3相交存在两个及以上公共点 方法技巧 1比较与大小直接判定位置关系 2相切题型优先构造球心与切点连线的垂直直角三角形 3相交平面截球得到小圆可联动题型2截面公式求解 【变式4-1】（24-25高三上·上海浦东新·阶段检测）直线平面，垂足是，正四面体的棱长为4，点在平面上运动，点在直线上运动，则点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将问题转化为点O在以BC为直径的球上运动，再去求球心到直线的距离，进而求得点到直线的距离的取值范围 【详解】在正四面体中，分别取的中点，连接， 则，又，平面，平面 则平面，又平面，则 中， 等腰中，， 若固定正四面体的位置，则点O在以BC为直径的球上运动，球半径为2， 则点O到直线的距离的最小值为球心到直线的距离减去半径即， 最大值为球心到直线的距离加上半径即 则点到直线的距离的取值范围是 故选：B 【变式4-2】半径为1的球放在教室的墙角，紧靠两墙面和地面，墙角顶点到球面上的点的最远距离是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球与相切面的几何特点即可得到最远距离. 【详解】设球心到墙角的距离为，球心半径为，则， 则距离为棱长为1的正方体的对角线长，即， 则墙角顶点到球面上的点的最远距离等于. 故选：D. 题型5 球的表面积计算 【例1】（25-26高二下·上海·期末）将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 【答案】 【详解】圆柱形铁块的体积为， 设实心铁球的半径为，则，解得， 故该实心铁球的表面积为. 【例2】（25-26高一下·上海·期末）直径为的球的表面积为______．（计算结果保留） 【答案】 【详解】由题意知球的半径， 所以球的表面积. 【技巧归纳】 公式结论 1完整球面表面积 2半球表面积 【变式5-1】设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______． 【答案】 【分析】利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】设该球的半径为，则该球的大圆面积为， 故该球的表面积为. 【变式5-2】半径为的球的表面积为_____ 【答案】 【详解】因为球的半径为，所以球的表面积为. 题型6 球的体积计算 【例1】（25-26高一下·上海·期末）大圆面积为的球的体积是________． 【答案】 【分析】先利用球的大圆面积求出球的半径，再代入球的体积公式计算即可得到结果. 【详解】设球的半径为，球的大圆为过球心的截面圆，其半径等于球的半径. 由题意知，解得，所以. 【例2】已知球的直径，则球体积为______． 【答案】 【详解】因为球的直径，所以球的半径， 所以球的体积为. 【技巧归纳】 公式结论 1完整球体积 2半球体积 【变式6-1】（2026·上海·三模）一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 【答案】 【分析】利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得. 【详解】设水面升高了cm，由题意知，解得：. 【变式6-2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）若将一个底面半径为、高为的实心圆柱形铁料，熔铸成一个球形实心工件，则该工件的半径为_____（损耗忽略不计） 【答案】 【分析】根据熔铸前后体积相同，利用圆柱体积公式及球的体积公式计算求解． 【详解】已知圆柱形铁料的半径为，高为， 圆柱体积为， 设球的半径为，体积不变， ，解得． 故答案为：． 题型7 常见的外接球模型 【例1】（25-26高一下·上海浦东新·期末）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【答案】 【详解】由为正四棱柱，且， 所以为正方形，则正四棱柱的外接球半径， 所以球的表面积为. 【例2】（2026·上海·三模）已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征，结合球的截面圆性质列式求出球半径，再求出球的表面积. 【详解】设球的半径为，球心到上底面圆距离为，而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上， 则球心到下底面圆距离为，因此，解得， 所以球O的表面积为. 【技巧归纳】 公式结论 1长方体/长方体型墙角三棱锥外接球直径等于体对角线 2直棱柱外接球球心为上下底面三角形外心连线中点 3正棱锥外接球球心在顶点与底面中心连线上设距离列方程 4直角三角形斜边为公共边的三棱锥外接球球心为斜边中点 【变式7-1】（2026·上海·三模）已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________． 【答案】 【分析】先求出的外接圆半径和正三棱柱的外接球半径，再根据勾股定理求出，即可求出正三棱柱的高，然后利用柱体的体积公式计算体积即可. 【详解】如图所示，作出的外接圆圆心，连接. 正中，，由正弦定理可得，. 又正三棱柱的外接球体积为，. 在中，. 所以正三棱柱的高. 所以正三棱柱的体积. 【变式7-2】在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设、的外心分别为、，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设这两垂线的交点为，求出、的长，利用勾股定理可得出，可得出长的最小值，再利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】设、的外心分别为、， 则为的中点，为的中心， 过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设这两垂线的交点为， 则为四面体的外接球球心，如下图所示： 因为为等边三角形，则， 所以，易知， 因为为等腰直角三角形，且其底边长为，所以， 故球的半径为， 当且仅当点与点重合时，取最小值，即球的半径的最小值为， 所以四面体的外接球表面积最小值为. 故选：C 题型8 常见的内切球模型 【例1】（2025高二·上海·专题练习）一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为．在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是____. 【答案】8 【分析】根据题意可求出圆台内能放置的最大球的半径，使正方体外接于球即可求出正方体的最大棱长. 【详解】如下图所示： 根据题意，又母线与底面所成的角为， 所以，易得； 设圆台内能放置的最大球的球心为，且与底面和母线分别切于两点， 所以球的半径，此时球的直径为， 即此时球与圆台上底面不相切，因此圆台内能放置的最大球的直径为； 若放置一个可以任意转动的正方体，要求正方体棱长最大，需要正方体的中心与球心重合，且该球是正方体的外接球， 设正方体的最大棱长为，满足，解得. 故答案为：8 【例2】已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 ______. 【答案】/ 【分析】先利用体积公式求解内切球的半径，求得圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为，然后作出圆台的轴截面，根据切线关系及勾股定理求得，进而代入圆台的体积公式求解即可. 【详解】由于圆台的内切球体积为，设其内切球半径为，所以，则半径， 所以圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面，为球心，为上下底面圆圆心，如下图： 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得：， 所以，可得， 则该圆台的体积为 故答案为： 【技巧归纳】 公式结论 1通用等体积法 为内切球半径为几何体全部表面积 2正方体内切球直径等于棱长 【变式8-1】（25-26高三·全国·三轮复习）甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为__________. 【答案】 【分析】先由题意作出轴截面，根据四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似，可得，求出，由体积公式计算可得结果. 【详解】设大球半径为，小球半径为， 则大球体积，小球体积. 圆台的高为. 根据切线长定理可得：，. 由图易知四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似， 即. 解得：，则， 则圆台体积为 则酸奶的体积为： . 故答案为： 【变式8-2】如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（   ） A．63颗 B．126颗 C．378颗 D．504颗 【答案】B 【分析】由已知利用三角形相似求得水面圆的半径，由圆锥的体积减去水的体积，得到可放入珍珠的体积，除以一颗珍珠的体积得答案 【详解】作出轴截面图如图，由题意， 设，则，解得， 则最大放入珍珠的体积， 一颗珍珠的体积是，由， 所以最多可以放入珍珠126颗. 故选：B. 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小；当截面过球心时，截面面积最大，进而利用图形求解即可. 【详解】如图：设的中心为，球的半径为，连接，则点在上， 连接. 因为三棱锥为正三棱锥，且，， 所以，， 在中，，即， 解得， 因为，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面的半径为，则截面面积为， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 故选：A 2．（2025高二·上海·专题练习）已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理得为直角三角形，取中点，连接，结合球半径可得的长，进而得体积的最大值. 【详解】 如图，设球心为， 由，，， 则为直角三角形， 取斜边的中点为球小圆的圆心，连接，， 则平面， 由，，可得， 由的面积为：，要使三棱锥的体积最大，即高最大， 因此当三点共线，即平面时， 三棱锥的高最大即为， 故三棱锥的最大体积为：. 故选：A. 3．（25-26高三·上海·一轮复习）在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将四棱锥补成长方体，设，根据条件可求得，可得与所成的角即为或其补角，在中，利用余弦定理求解. 【详解】设，如图所示，将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径， 因为，，即，所以． 又，所以与所成的角即为或其补角， 由题意以及长方体结构特征知和均为直角三角形， 所以，， 所以． 可知与所成的角为，所以与所成的角的正弦值为． 故选：B． 4．（2025高二上·上海松江·专题练习）三棱锥各顶点均在半径为的球O的表面上，，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（   ） ①三棱锥的体积为；②点P形成的轨迹长度为． A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】根据球的截面圆的性质可得出二面角，利用直角三角形性质判断外心和外心的位置，利用垂直关系证明是中点，利用体积公式判断①，根据为定长判断点轨迹是圆，判断②． 【详解】由题意知，故, 设外心为，则为BC的中点，设外心为，当P、O位于平面ABC同侧时，如图， 则平面，平面， 平面，平面，，， ，平面，平面， 又因为，则平面，即，，，四点共面， 则平面， 连接，则为二面角的平面角， 因二面角的大小为，， 而，， 因为平面，平面，故， 而，则， 在中，， 则，故， 即三点共线，且是的中点， 则，故①是真命题； 又因为， 则点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截得的优弧， 同理，当P、O位于平面ABC异侧时，点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截得的劣弧， 故轨迹长度为，故②真命题． 故选：A． 5．（25-26高二上·上海静安·阶段检测）已知边长为2的菱形，，对角线AC，BD交于点，现将沿对角线AC翻折，得到三棱锥记线段AD'，AB，BC的中点分别为，，，有以下几个结论： ①三棱锥体积的最大值为； ②平面EFG截三棱锥的截面图形可能是正方形； ③当折成的二面角为时，三棱锥的外接球半径为 则上述结论中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】先证明平面得.对于①，由条件判断当平面时，体积最大，利用锥体体积公式计算求解；对于②，取中点，推出截面后，结合图形推得即可判断；对于③，找到球心位置，根据勾股定理列方程组即可求解． 【详解】因为四边形为菱形，所以，故，， 又且都在平面内，所以平面，因为平面，所以； ①由上得平面，平面，所以平面平面， 当到平面的距离最大时，即平面时三棱锥的高最大， 由题意得，为等边三角形，为中点，所以， 则三棱锥体积的最大值为，①正确 ； ②取中点，连接，因为线段的中点分别为， 所以，且， 所以截面图形为平行四边形． 由上可知，所以，故四边形为矩形， 由题意得，所以， 所以，即四边形一定不是正方形，②错误； ③当二面角为时，由①可得 ， 所以到平面的距离为， 在平面内的投影在直线上，投影长为， 因为，所以为外接圆圆心， 所以三棱锥外接球的球心在过D且与平面垂直的直线上， 如图， 设三棱锥外接球的半径为R，， 则，解得，故三棱锥外接球的半径为，③错误． 则有1个正确的结论. 故选：B 二、填空题 6．（25-26高二上·上海·期中）若球的半径为1，则其大圆的面积为________. 【答案】 【分析】由球体的结构特征及其最大圆的性质确定半径，即可得. 【详解】由球体的大圆是过球心的圆，故其半径为1，所以其面积为. 故答案为： 7．（25-26高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为___________. 【答案】 【分析】借助于轴截面，根据内切圆的性质分析可知圆台的母线长为，进而可求表面积. 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 8．（2025·上海·三模）球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为______. 【答案】 【分析】将正四面体补形为正方体，利用正四面体和正方体有同一外接球求解即可. 【详解】 如图，正四面体可以补形为正方体，可知图中正四面体和正方体有同一外接球， 即球O是棱长为 1 的正方体的外接球也是图中正四面体的外接球， 因为正方体棱长为1，则体积为1， 可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的三棱锥体积， 即球O的内接正四面体体积为. 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海·期中）半径为的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，如果球心到墙角顶点的距离为2，则__________. 【答案】/ 【分析】不妨将球设为正方体的内切球，从而可得正方体的边长为，进而可得，求出R的值即可. 【详解】不妨将球设为正方体的内切球，正方体的边长， 由球心到墙角顶点的距离为2， 则，可得，解得. 故答案为： 10．（2026·上海徐汇·模拟预测）已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. 【答案】 【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的侧面公式即可求得其侧面积. 【详解】由于圆台的下底面半径为5，故下底面圆周为外接球的大圆，    如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为， 则圆台的高， 则圆台的母线长为， 所以可得圆台的侧面积为. 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）已知球的半径为5，球心到平面的距离为4，则球被平面截得的截面面积为________． 【答案】 【分析】利用勾股定理可求得截面的半径，即可求解 【详解】    设截面圆的半径为，球的半径为，球心到平面的距离为， 则， 即 可得， 所以截面面积为， 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海·期中）圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是________． 【答案】/ 【分析】利用相似求圆锥内切球的半径，进而得出正方体外接球半径，可得出正方体边长最后计算正方体体积即可. 【详解】    如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为， 由题意可知，则，所以. 因为，所以，所以，解得. 设该正方体棱长的最大值为，正方体的外接球的直径为 ， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是. 故答案为： 13．（24-25高一下·上海浦东新·期末）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体是一个鳖臑，已知是直角三角形，，，，，则平面截该鳖臑的外接球所得截面面积为________． 【答案】 【分析】根据鳖臑的性质结合线面垂直的判定定理与性质得线线垂直，设的中点为，从而可得点为四面体外接球的球心，结合球的几何性质确定球心到平面的距离得截面圆的半径，即可得所求. 【详解】设的中点为，连接， 因为鳖臑的四个面都是直角三角形， 且，故． 因为，，，故． 又，，故． 又，平面， 所以平面， 又平面，所以． 又，，平面， 平面， 又平面，所以， 和都是以平面为斜边的直角三角形． 由于为的中点，则点为四面体外接球的球心， 外接球的半径，且点到平面的距离为， 的外接圆半径， 平面截四面体的外接球的截面的面积为． 故答案为：． 14．（25-26高二上·上海·期中）长方体的12条棱的总长度为，表面积为，那么长方体的外接球半径为___________． 【答案】 【分析】设出该长方体的长宽高分别为a，b，c，由已知有：，，解之可得对角线的长，由此可求外接球的半径. 【详解】设该长方体的长宽高分别为a，b，c， 则有：，即① ，即② ∴ ∴长方体的对角线的长为：， 即外接球的直径，所以， 故答案： 15．（2025高二上·上海·专题练习）动点在棱长为的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为___________． 【答案】/ 【分析】先将问题转化为“球与正方体表面所形成的交线总长度”，分析交线的类型，然后根据扇形的弧长公式完成计算. 【详解】将问题转化为“以为球心半径为的球，与正方体各表面所形成的交线长度之和”， 因为，所以正方体的各个面根据与球心的位置关系可分为两类， 第一类：平面，平面，平面为过球心的截面，截痕为大圆弧，半径为，如图所示， 因为，所以， 所以，所以圆心角为； 第二类：平面，平面，平面是与球心距离为的截面， 截痕为小圆弧，半径为，圆心角为， 所以曲线的长度为， 故答案为：. 16．（25-26高二上·上海·期中）已知上海地处东经至，北纬至之间.地球半径为6371.004km，则纬线所在两平面的距离是_________.（精确到0.001km） 【答案】 【分析】由题可得纬度为的纬线所在平面与赤道平面的距离为，代入数据计算可解. 【详解】上海在北纬至之间，地球半径， 纬线所在平面是与赤道平面平行的平面，纬度为的纬线所在平面与赤道平面的距离为， 因此，所求两平面的距离为。 故答案为： 17．（25-26高二上·上海·期末）地球可近似视为半径为的球体.已知我国的冰城哈尔滨市与意大利的都灵市的地理坐标分别约为北纬、东经和北纬、东经.若将两地视为同一纬度圈上的两点，则它们在该纬度圈上所对应的劣弧长度为________.（用含的式子表示） 【答案】 【分析】计算出这两个城市所在圆的半径，以及两地位置的经度差，结合扇形的弧长公式可得结果. 【详解】地球的半径为，我国的冰城哈尔滨市与意大利的都灵市都在北纬， 这两个城市所在圆的半径为， 这两个城市位置的经度差为， 故它们在该纬度圈上所对应的劣弧长度为. 故答案为：. 18．（2025高二上·上海·专题练习）现有一块正四面体木料PABC，其边长为3，现需要将木料进行切割，要求切割后底面ABC上任意一点Q到顶点P的距离不大于，则切割好后，木料体积的最大值是_________．（结果保留） 【答案】 【分析】设正四面体定点在底面的投影为，连接，可得以为圆心，半径为的圆在底面内的部分为底，以为顶点的几何体即为符合要求的部分，先求解底面面积，为高，即可求解切割好后，木料体积的最大值. 【详解】 设正四面体定点在底面的投影为，则为正三角形的中心， 连接，所以，， 若底面上任意一点到顶点的距离不大于， 设，则， 所以以为圆心，半径为的圆在底面内的部分为底，以为顶点的几何体即为符合要求的部分， 如图以为圆心，半径为的圆与底面相交的交点为， 延长交于，连接，， 所以，， 所以，所以， 所以，所以为等边三角形， 所以以为圆心，半径为的圆在底面内的部分的面积为 ， 所以切割好后，木料体积的最大值是. 故答案为：. 19．（25-26高二下·上海徐汇·期末）如图，一个由四根细铁杆、、 、组成的支架（、、 、 按照逆时针排布），若，一个半径为的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是_________________．    【答案】 【详解】由题意可知球与四根细铁杆的接触点在一个圆上， 如图1，依次连接各接触点，则得正四棱锥， 因为，则该正四棱锥的四个侧面都是正三角形. 设，则，， 因,则，则沿切得的图象如图2所示. 因为且，所以四边形为正方形， .    三、解答题 20．（25-26高二上·上海·期中）在正四棱锥中，侧棱的长为，与所成的角的大小等于． (1)求正四棱锥的体积； (2)若正四棱锥的五个顶点都在球的表面上，求此球的半径． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）连接与交于，由异面直线夹角及等腰三角形性质求出，再求出棱锥的高，进而求出体积. （2）根据给定条件，利用球的截面小圆性质求出球半径. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接与交于，连接，平面， 由，得是与所成角，即， 在等腰中，，，， 所以正四棱锥的体积. （2）依题意，球的球心在直线上，设球的半径为，则， 而正方形外接圆半径，由，得，解得， 所以球的半径为5. 21．（2025高二·上海·专题练习）棱长为的正四面体的内切球半径为，若，求正四面体体积． 【答案】 【分析】根据正四面体体积，表面积，内切球半径的关系式求解即可. 【详解】如图所示：设正四面体的边长为，在底面的射影为，连接，    则，， ， 则正四面体的体积，表面积为. 如图所示，设为正四面体内切球的球心，半径，    因为正四面体的体积 ， 所以，解得，即. 22．（25-26高二上·上海·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的＂四面体＂，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体的棱长为，请解答以下问题：    (1)求勒洛四面体中过三点的截面面积． (2)求勒洛四面体能够容纳的最大球的半径． (3)若是勒洛四面体表面上的任意两点，若正四面体的棱长，求长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）勒洛四面体中过三点的截面为三个半径为， 圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，    即． （2）勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图，    其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心， 由题意得该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接， 则三点共线， 设正四面体的外接球半径为， 由题意得：，解得， ，， 由题意得， （3）将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示： 连接，交于中点，交于中点，连接，则， ， 所以长度的最大值为， 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 球 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 球的结构特征及辨析 题型5 球的表面积计算 题型2 球的截面性质及计算 题型6 球的体积计算 题型3 求球面距离 题型7 常见的外接球模型 题型4 直线与球，平面与球的位置关系 题型8 常见的内切球模型 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 球的结构特征辨析 1.掌握球的定义：半圆绕直径旋转一周形成旋转体，明确球心、半径、直径概念 2.区分球面与球体：球面仅曲面外壳，球体包含内部空间；辨析球与圆的平面、立体差异 球的截面的性质及计算 1.熟记截面核心公式（球半径，截面小圆半径，球心到截面距离） 2.分清大圆、小圆：过球心的截面为大圆，不过球心为小圆，掌握二者半径关系 3.已知球半径、截面距离、截面圆半径任意两个量，能求解第三个量 求球面距离 1.理解球面距离定义：球面上两点最短路径为过两点大圆劣弧长 2.掌握球面距离公式（为两点球心角，弧度制） 3.会利用余弦定理计算球心角，再代入公式求解弧长 直线与球、平面与球的位置关系 1.平面与球：相离、相切、相交，相切时切点与球心连线垂直平面 2.直线与球：相离、相切、相交，相切时球心与切点连线垂直直线 3.根据距离与半径大小快速判定位置关系，写出对应几何特征 球的体积的有关计算 1.牢记球体积公式，已知直径先换算半径再计算 2.逆向运算：已知体积反求球半径、直径；处理半球、挖空球体体积加减运算 球的表面积的有关计算 1.熟记球面表面积公式，球面无底面，无额外增减面 2.结合体积公式联立，已知表面积求半径再算体积，或已知体积求表面积 学习重点： 1.球的截面勾股关系，大圆与小圆性质 2.球面距离的求解方法，球心角计算 3.球的表面积、体积标准公式及基础运算 4.平面、直线与球三种位置关系判定标准 学习难点： 1.球面距离易误算成平面两点直线距离，混淆劣弧、优弧取舍 2.组合几何体的内切球、外接球综合计算，难以找到球心与截面距离 3.弧度制球心角换算，球面距离公式应用易混用角度制、弧度制 4.区分球面（曲面）与球体（实心立体）的概念，审题计算易混淆 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 球的结构特征 球及相关概念 图形及表示 定义 以半圆的__直径___所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面叫作__球面__，球面围成的旋转体叫作_球体____，简称球 图中的球记作：球 相关概念 球心：半圆的_圆心___； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 直径：连接球面上两点并且过__球心__的线段 【易错提醒】 1混淆球面与球体球面仅曲面表层不含内部空间球体是实心立体体积表面积公式对应不同对象审题易混用 2旋转判定存在误区只有半圆绕自身直径旋转一周才能得到标准球半圆绕非直径整圆旋转都无法生成球 3混淆二维圆与三维球平面圆是平面图形球是立体旋转体不可直接等同二者半径概念 4直径半径代值出错球直径为2R计算时常直接将直径当作半径代入公式造成数值偏差 即时即练 1.下列说法中正确的个数是（   ） ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 2.下列命题中错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台 C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D．以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度形成的旋转体是球 知识点02 球的截面的性质 球的截面的性质：①球的截面是一个___圆面_____；②球心与截面圆圆心的连线__垂直______于截面；③球半径、截面圆半径，则球心到截面的距离________． 【易错提醒】 1截面勾股公式书写错误核心关系易误写为或 2大圆小圆概念混淆过球心的截面才是大圆半径等于球半径R不过球心为小圆半径r小于R常误用小圆半径计算球面距离 3球面距离概念混淆两点球面距离为大圆劣弧长度不是两点平面直线弦长容易直接用弦长替代弧长运算 4角度单位使用错误球面距离公式里必须采用弧度制直接代入角度制数值会得出错误弧长 5距离定义混淆d指球心到截面平面的垂直距离并非球心到截面上任意一点的线段长度 即时即练 1.在正三棱柱中，，以为球心，为半径的球与侧面相交于曲线，则曲线的长度为（     ） A． B． C． D． 2.已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为（     ） A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 知识点03 球的表面积与体积 ____________，____________．其中R为球的半径． 【易错提醒】 1公式系数次数记混体积表面积经常遗漏体积系数或是混淆平方立方 2半球表面积漏算底面完整半球表面积为常忽略底部圆形面积半球体积易错写成 3已知直径不做换算题目给出直径D不换算直接代入公式计算 4空心球组合运算失误挖去小球的组合几何体不会对体积表面积做加减重复计算内部曲面 即时即练 1.已知两个球半径之比为1∶2，则表面积之比为（    ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 2.一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 知识点04 外接球常见模型 模型 适用几何体 解题流程 公式 长方体模型 长方体的顶点构成的几何体模型 先补成长方体，再找长方体的长宽高 ______ 对棱相等 模型 对棱相等的三棱锥(也是特殊的长方体模型) 先补成长方体，再找长方体的三对面对角线x，y，z 斗笠模型 圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的正棱锥 找底面外接圆半径r，找 高h 汉堡模型 圆柱，直棱柱，一条侧棱垂直底面的棱锥 找底面外接圆半径r，找 高h 切瓜模型 存在一组邻面垂直的几何体 找两个垂面的外接圆半径 r1，r₂，两个面的交线l 怀表模型 两个全等等腰三角形折叠式棱锥 找等腰三角形的高H，找 外接圆半径r，找二面角θ 夹角问题终极公式 任意普通情况 找两相邻面的截面外接圆，圆心到交线的距离m，n，找二面角θ，找两个面的交线l      【易错提醒】 1长方体外接球公式漏乘2体对角线常直接把体对角线数值当作外接球半径 2直棱柱外接球球心定位错误球心在上下底面外心连线中点容易直接将底面中心当作外接球球心 3墙角三棱锥补形遗忘三条棱两两垂直的三棱锥需补成长方体求外接球半径不补形直接套用底面外接圆半径计算 4正棱锥外接球方程列错球心落在顶点与底面中心连线上列距离等量关系时符号颠倒解方程出错 5内切球外接球模型混用外接球过几何体全部顶点内切球与所有面相切两类半径求解方法混淆使用 6直角四面体模型滥用仅三条棱两两垂直的四面体可补成长方体普通底面为直角三角形的三棱锥不能套用该模型 即时即练 1.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（    ） A． B． C． D． 2.已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且侧棱，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 题型1 球的结构特征及辨析 【例1】（2025高二上·上海·专题练习）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（2025高二上·上海·专题练习）给出以下说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形； ④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形． 其中正确的序号是________． 【技巧归纳】 公式结论 1球体由半圆绕自身直径旋转一周形成 2核心要素球心球半径直径 3球面仅指外层曲面球体包含曲面内部全部空间 方法技巧 1判定标准只有半圆绕直径旋转才能得到标准球其余平面图形旋转无法生成球 2区分概念二维平面圆≠三维球体圆只有半径无内部体积球同时具备表面积与体积 3命题辨析举反例快速排除错误表述 【变式1-1】一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 【变式1-2】（23-24高二上·上海·期中）将地球看作是一个球体，则下列经纬线所在截面是大圆的有（    ） ①经线②北纬③西经④赤道 A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题型2 球的截面性质及计算 【例1】在球中，一条直径AB垂直于小圆所在的平面，垂足为.若，则小圆的半径为____________. 【例2】（2025高二上·上海·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，为正方形底面内的一个动点，则以下结论正确的是________.（填写所有正确结论的序号） （1）三棱锥的体积为定值； （2）若点为的中点，满足平面的点的轨迹长度为2； （3）以点为球心，为半径的球面与面的交线长为    【技巧归纳】 公式结论 1截面勾股恒等式 为球半径为截面小圆半径为球心到截面平面垂直距离 2过球心的截面为大圆大圆半径等于球半径 不过球心截面为小圆小圆半径 方法技巧 1已知R、r、d中任意两个量直接代入公式求解第三个量 2大圆是球面上面积最大的截面圆涉及球面距离优先取大圆分析 3截面计算先找球心向截面作垂线构造直角三角形解题 【变式2-1】如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 【变式2-2】（2025高二上·上海·专题练习）已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 题型3 求球面距离 【例1】（24-25高二上·上海杨浦·期中）上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为______千米.（结果保留到1千米） 【例2】已知上海地处东经至，北纬至之间，地球半径为6371.004km．求上海所辖区域： (1)经线对应的两平面所成的二面角的大小； (2)纬线所在两平面的距离． 【技巧归纳】 公式结论 1球面距离定义球面上两点最短路径为两点所在大圆的劣弧长 2球面距离公式 为两点对应的球心角单位必须为弧度 方法技巧 1先连接两点与球心用余弦定理算出球心角 2角度制数值必须转化为弧度制再代入公式计算弧长 3两点对应圆心角大于时取计算劣弧长度 【变式3-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）已知地球半径为6371千米.上海的位置约为东经､北纬，台北的位置约为东经､北纬，则经过这两个城市的大圆的劣弧长度约为___________千米（结果保留到1千米）. 【变式3-2】（24-25高二上·上海·单元测试）设地球半径为，北纬圈上两地的经度差为，若，则两地的球面距离为______． 题型4 直线与球平面与球的位置关系 【例1】北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·上海金山·期末）已知是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【技巧归纳】 公式结论 设球心到直线/平面垂直距离为球半径 1相离无交点 2相切仅有一个公共点切点与球心连线垂直直线/平面 3相交存在两个及以上公共点 方法技巧 1比较与大小直接判定位置关系 2相切题型优先构造球心与切点连线的垂直直角三角形 3相交平面截球得到小圆可联动题型2截面公式求解 【变式4-1】（24-25高三上·上海浦东新·阶段检测）直线平面，垂足是，正四面体的棱长为4，点在平面上运动，点在直线上运动，则点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】半径为1的球放在教室的墙角，紧靠两墙面和地面，墙角顶点到球面上的点的最远距离是（    ） A．2 B． C． D． 题型5 球的表面积计算 【例1】（25-26高二下·上海·期末）将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 【例2】（25-26高一下·上海·期末）直径为的球的表面积为______．（计算结果保留） 【技巧归纳】 公式结论 1完整球面表面积 2半球表面积 【变式5-1】设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______． 【变式5-2】半径为的球的表面积为_____ 题型6 球的体积计算 【例1】（25-26高一下·上海·期末）大圆面积为的球的体积是________． 【例2】已知球的直径，则球体积为______． 【技巧归纳】 公式结论 1完整球体积 2半球体积 【变式6-1】（2026·上海·三模）一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 【变式6-2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）若将一个底面半径为、高为的实心圆柱形铁料，熔铸成一个球形实心工件，则该工件的半径为_____（损耗忽略不计） 题型7 常见的外接球模型 【例1】（25-26高一下·上海浦东新·期末）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【例2】（2026·上海·三模）已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 公式结论 1长方体/长方体型墙角三棱锥外接球直径等于体对角线 2直棱柱外接球球心为上下底面三角形外心连线中点 3正棱锥外接球球心在顶点与底面中心连线上设距离列方程 4直角三角形斜边为公共边的三棱锥外接球球心为斜边中点 【变式7-1】（2026·上海·三模）已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________． 【变式7-2】在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（   ） A． B． C． D． 题型8 常见的内切球模型 【例1】（2025高二·上海·专题练习）一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为．在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是____. 【例2】已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 ______. 【技巧归纳】 公式结论 1通用等体积法 为内切球半径为几何体全部表面积 2正方体内切球直径等于棱长 【变式8-1】（25-26高三·全国·三轮复习）甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为__________. 【变式8-2】如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（   ） A．63颗 B．126颗 C．378颗 D．504颗 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二·上海·专题练习）已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高三·上海·一轮复习）在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二上·上海松江·专题练习）三棱锥各顶点均在半径为的球O的表面上，，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（   ） ①三棱锥的体积为；②点P形成的轨迹长度为． A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 5．（25-26高二上·上海静安·阶段检测）已知边长为2的菱形，，对角线AC，BD交于点，现将沿对角线AC翻折，得到三棱锥记线段AD'，AB，BC的中点分别为，，，有以下几个结论： ①三棱锥体积的最大值为； ②平面EFG截三棱锥的截面图形可能是正方形； ③当折成的二面角为时，三棱锥的外接球半径为 则上述结论中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 6．（25-26高二上·上海·期中）若球的半径为1，则其大圆的面积为________. 7．（25-26高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为___________. 8．（2025·上海·三模）球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为______. 9．（25-26高二上·上海·期中）半径为的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，如果球心到墙角顶点的距离为2，则__________. 10．（2026·上海徐汇·模拟预测）已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. 11．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）已知球的半径为5，球心到平面的距离为4，则球被平面截得的截面面积为________． 12．（24-25高二下·上海·期中）圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是________． 13．（24-25高一下·上海浦东新·期末）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体是一个鳖臑，已知是直角三角形，，，，，则平面截该鳖臑的外接球所得截面面积为________． 14．（25-26高二上·上海·期中）长方体的12条棱的总长度为，表面积为，那么长方体的外接球半径为___________． 15．（2025高二上·上海·专题练习）动点在棱长为的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为___________． 16．（25-26高二上·上海·期中）已知上海地处东经至，北纬至之间.地球半径为6371.004km，则纬线所在两平面的距离是_________.（精确到0.001km） 17．（25-26高二上·上海·期末）地球可近似视为半径为的球体.已知我国的冰城哈尔滨市与意大利的都灵市的地理坐标分别约为北纬、东经和北纬、东经.若将两地视为同一纬度圈上的两点，则它们在该纬度圈上所对应的劣弧长度为________.（用含的式子表示） 18．（2025高二上·上海·专题练习）现有一块正四面体木料PABC，其边长为3，现需要将木料进行切割，要求切割后底面ABC上任意一点Q到顶点P的距离不大于，则切割好后，木料体积的最大值是_________．（结果保留） 19．（25-26高二下·上海徐汇·期末）如图，一个由四根细铁杆、、 、组成的支架（、、 、 按照逆时针排布），若，一个半径为的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是_________________．    三、解答题 20．（25-26高二上·上海·期中）在正四棱锥中，侧棱的长为，与所成的角的大小等于． (1)求正四棱锥的体积； (2)若正四棱锥的五个顶点都在球的表面上，求此球的半径． 21．（2025高二·上海·专题练习）棱长为的正四面体的内切球半径为，若，求正四面体体积． 22．（25-26高二上·上海·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的＂四面体＂，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体的棱长为，请解答以下问题：    (1)求勒洛四面体中过三点的截面面积． (2)求勒洛四面体能够容纳的最大球的半径． (3)若是勒洛四面体表面上的任意两点，若正四面体的棱长，求长度的最大值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $